Transformación de Coordenadas Patricia Ortiz Geometría Analítica Sección "A"

1. Maturín, Diciembre 2021
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
MATURÍN – EDO. MONAGAS
Autor:
Ortiz, Patricia
Profesor:
Ely Ramírez
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

2. TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS
Una transformación es un proceso mediante el cual una ecuación es
convertida en una ecuación distinta a través de una ley la cual se manifiesta
por medio de una o más expresiones denominadas ecuaciones de
transformación. La transformación de coordenadas se define como la variación
de ubicación que experimentan los ejes de referencia en un sistema de
coordenadas debido a la traslación o rotación de los ejes o por una
combinación de los dos, con el fin de hacer más sencilla una expresión de una
curva. Diversos tipos de ecuaciones pueden sufrir transformaciones de
coordenadas como ecuaciones de circunferencia, parábola, entre otros.

3. El sistema de coordenadas rectangulares es un sistema de coordenadas
que se encuentra conformado por dos ejes, el eje de las x (eje de las abscisas)
y el eje de las y (eje de las ordenadas). Cada eje posee una parte positiva y
negativa y el punto donde los dos ejes intersectan se conoce como origen
(0,0). Las coordenadas rectangulares se definen como la separación existente
entre el origen y las proyecciones ortogonales de un punto sobre cada uno de
los ejes del sistema de coordenadas. Cada punto en coordenadas
rectangulares (x, y) se encuentra definido por x y y siendo x la coordenada que
se determina sobre el eje de las abscisas y y la coordenada que se determina
sobre el eje de las ordenadas. Un punto en coordenadas rectangulares puede
ser transformado a coordenadas polares a través de las siguientes
expresiones:
r = x2+y2 Tanθ =
y
x
TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS
RECTANGULARES A POLARES

4. Todo esto se puede observar mediante el siguiente ejemplo:
Dado el punto (
3
4
,
3
4
) transformar el punto a coordenadas polares.
Se procede a sustituir el punto (
3
4
,
3
4
) en las expresiones r = x2+y2 y
Tanθ =
y
x
con el fin de obtener las coordenadas polares.
Tanθ =
y
x
r= x2+y2
Tanθ =
3
4
3
4
r= (
3
4
)2+(
3
4
)2
Tanθ =
3
3
r=
9
16
+
3
16
TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS
RECTANGULARES A POLARES

5. θ =Tan−1(
3
3
) r=
12
16
θ= 30˚ r=
12
16
θ= 30˚x
π
180°
r=
2 3
4
θ=
π
6
r=
3
2
Por lo tanto las coordenadas polares son P(r,θ)=P(
3
2
,
π
6
)
TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS
RECTANGULARES A POLARES

6. TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS
RECTANGULARES A POLARES

7. Las coordenadas polares son un tipo de coordenadas dónde cada punto
se encuentra definido por r y θ dónde r es la separación existente entre el
punto y el origen o polo y θ es el ángulo que se produce entre r y el eje polar.
Los puntos expresados en coordenadas polares pueden ser transformados a
coordenadas rectangulares a través de las siguientes expresiones:
x = r.cosθ y= r.senθ
Todo esto se puede observar por medio del el siguiente ejemplo:
Dado el punto ( 2,
3π
4
) transformar a coordenadas rectangulares.
Se procede a sustituir el punto dado ( 2,
3π
4
) en las expresiones x = r.cosθ
y y= r.senθ con el fin de obtener las coordenadas rectangulares del punto.
TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS POLARES A
RECTANGULARES

8. x = r.cosθ y= r.senθ
x= 2 . cos (
3π
4
) y= 2 . sen (
3π
4
)
x= 2 .(−
2
2
) y= 2 .(
2
2
)
x=
−2
2
y=
2
2
x= -1 y= 1
Por lo tanto se tiene que las coordenadas rectangulares son P(x, y)=
P(-1,1).
TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS POLARES A
RECTANGULARES

9. TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS POLARES A
RECTANGULARES

10. La traslación de ejes es un tipo de transformación de coordenadas qué
consiste en desplazar uno o ambos ejes de un sistema de coordenadas
rectangulares a una ubicación distinta de la inicial de tal forma que estos ejes
se encuentran paralelos a los ejes iniciales y con una dirección idéntica a los
mismos. La traslación de ejes se emplea con el propósito principal de hacer
más sencillas las ecuaciones de curvas y se lleva a cabo mediante el uso de
expresiones conocidas como ecuaciones de traslación de ejes. Para realizar
una traslación de ejes se debe reemplazar las ecuaciones de traslación de ejes
en la expresión que se desea simplificar y resolviendo las operaciones
algebraicas, que se obtienen al reemplazar las ecuaciones de traslación de
ejes, se obtiene como resultado una nueva ecuación qué es mucho más simple
de operar que la ecuación inicial. Las ecuaciones de traslación de ejes serán
iguales a:
x = x’ + h y = y’ + k
TRASLACIÓN DE EJES

11. Todo esto se puede observar a través del siguiente ejemplo:
Una circunferencia con centro en (1,2) y un radio de r = 3 posee como
ecuación:
x − 1 2+(y − 2)2= 32
x − 1 2+(y − 2)2= 9
Transforme la ecuación trasladando los ejes de coordenadas al nuevo
origen (1,2).
Se sustituye el punto (1,2) en las ecuaciones de traslación de ejes para
luego reemplazar las mismas en la ecuación de circunferencia dada
obteniéndose así la ecuación transformada.
x = x’ + h y = y’ + k
x=x’+1 y=y’+2
x − 1 2+(y − 2)2= 9
x′+1 − 1 2+(y′+2 − 2)2= 9
(x′)2+(y′)2= 9
TRASLACIÓN DE EJES

12. La rotación de ejes es un tipo de transformación donde, a partir de un
sistema de coordenadas planteado, se encuentra otro sistema de coordenadas
de tal modo que sus ejes produzcan un ángulo con respecto a los ejes iniciales
y que su origen sea el mismo que el del sistema de coordenadas inicial. Al
igual que la traslación de ejes, la rotación se efectúa con el propósito principal
de convertir una expresión de curva en una ecuación mucho más sencilla y se
lleva a cabo a través de las siguientes ecuaciones:
x= x´cosθ – y´senθ y= x´cosθ + y´senθ
Estás ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de rotación de los
ejes.
ROTACIÓN DE EJES

13. Para llevar a cabo una rotación de ejes se debe sustituir las ecuaciones de
rotación de los ejes en la expresión que se desea simplificar y resolver las
operaciones algebraicas que se obtienen de reemplazar dichas ecuaciones. De
esta manera se obtiene como resultado una ecuación más sencilla de analizar
que la anterior.
Todo esto se puede observar a través del siguiente ejemplo:
Transformar la expresión y2+yx+x2=1 girando los ejes coordenados a un
ángulo de 45˚.
Primero se sustituye en las ecuaciones de rotación de los ejes el ángulo
dado y luego se sustituyen las mismas en la expresión dada obteniéndose de
esta manera la ecuación transformada.
ROTACIÓN DE EJES

14. x= x´cosθ – y´senθ y= x´cosθ + y´senθ
x= x’ cos(45˚) – y’ sen(45˚) y= x’ cos(45˚) + y’ sen(45˚)
x=
2
2
x’ -
2
2
y’ y=
2
2
x’ +
2
2
y’
y2+yx+x2= 1
(
2
2
x’ +
2
2
y’ )2+ (
2
2
x’ +
2
2
y’ )(
2
2
x’ -
2
2
y’ ) +(
2
2
x’ −
2
2
y’)2= 1
6(x′)2
4
+
2(y′)2
4
= 1
3(x′)2
2
+
(y′)2
2
= 1
3(x′)2+ (y′)2
2
= 1
3(x′)2+ (y′)2= 2
ROTACIÓN DE EJES

15. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA
CIRCUNFERENCIA Y UNA PARABOLA
EN COORDENADAS POLARES
Circunferencia con centro en
el origen o polo (r = a)

16. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA
CIRCUNFERENCIA Y UNA PARABOLA
EN COORDENADAS POLARES
Ecuación de la parábola
de la forma r =
e.p
1+e.cosθ

17. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA
CIRCUNFERENCIA Y UNA PARABOLA
EN COORDENADAS POLARES