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1. FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y
EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y
NEGOCIOS INTERNACIONALES
SESIÓN 4: ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
CAPACIDAD:
Identifica, analiza y aplica los diferentes modelos de estimación de parámetro
puntual y por intervalos
1.-ESTIMACIÓN
El objetivo principal de la estadística inferenciales la estimación, esto es que mediante el
estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones hacia el
total de dicha población. Mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más
cercanos serán sus valores. El Error estándar podríamos expresarlo conceptualmente como
el error que se puede cometer al intentar conocer a una población por medio de una muestra
tomada de dicha población.
Existen dos tipos de estimaciones para parámetro puntuales y por intervalo.
•Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro.
El estadístico usado se denomina estimador.
•Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera
que contenga el parámetro
Si, por ejemplo, queremos tener un nivel de confianza de
95% (lo cual es muy común), entonces usamos la
distribución normal estándar y encontramos los valores que
incluyen a 95% del área.

2. 2. INTERVALO DE CONFIANZA
Seguramente que inconscientemente has pensado alguna vez con términos de
suposiciones o probabilidades.
Por ejemplo. Este mes ganaré 2000€ y gastaré más o menos entre 500€ y 850€. Más o
menos tendré para mi entre 1150€ en el peor de los casos y 1500€ en el mejor.
Y esto lo puedes extrapolar. Puedes pensar en la media de todos los meses del año.
Esto que haces a ojo y que está super bien, la estadística tiene herramientas para hacerlo
de manera más científica.
Un intervalo de confianza nos va a permitir calcular dos valores alrededor de
una media muestral (uno superior y otro inferior). Estos valores van a acotar un rango
dentro del cual, con una determinada probabilidad, se va a localizar el parámetro
poblacional.
Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza,
que es una medida del grado de confiabilidad en el intervalo
Un nivel de confianza de 95% implica que 95% de las muestras daría lugar a un intervalo
que incluye m o cualquier otro parámetro que se esté estimando, y sólo 5% de las muestras
producirá un intervalo erróneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que
el valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo.
Todo está muy bien, pero ¿cómo
sabemos estos valores?

3. 3. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Dada una variable aleatoria con distribución Normal N(μ, σ), el objetivo es la construcción
de un intervalo de confianza para el parámetro μ, basado en una muestra de tamaño n de
la variable.
Caso de varianza conocida
Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico
se distribuye según una Normal estándar. Por tanto, aplicando el método del pivote
podemos construir la expresión
donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una
probabilidad de α/2, de la que se deduce el intervalo de confianza
.
EJEMPLO: Supongamos que la variable X representa el precio ( en miles de soles) de la
vivienda de alquiler en el Cuzco y se distribuye según una normal de media desconocida y
varianza 𝞭2
= 202
Para determinar el precio del alquiler medio en el Cuzco, se toma una muestra de 70
viviendas; obteniéndose una media muestral de 82.5.Siendo el valor de confianza 95%
Se sabe que la variable
𝑋−𝜇
𝜎
√𝑛
∼ N(0, 1)

4. Es una normal estándar.
Por tanto (el valor de z= 1,96)
Recuerda que para intervalos se trabaja con la tabla Z DE DOS
COLAS.
➢ Por tanto
[82,5 − 1,96 ∗
20
√70
; 82,5 + 1,96 ∗
20
√70
]
Entonces
[𝟕𝟕, 𝟖𝟏; 𝟖𝟕. 𝟏𝟖]
RESPUESTA:
Luego el precio del alquiler medio en Cuzco se encuentra en el intervalo
[𝟕𝟕, 𝟖𝟏; 𝟖𝟕. 𝟏𝟖] con una confianza del 95%.
Recordar que tenemos que confiar (al 95%) en que este intervalo sea de los
“buenos”.

5. Caso de varianza desconocida
Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico
Se distribuye según una t de Student de n − 1 grados de libertad. Por tanto, y siguiendo
pasos similares a los del apartado anterior, el intervalo de confianza resultante es

6. donde tα/2 es el valor de una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad que deja
a su derecha una probabilidad de α/2.
4. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA CARACTERÍSTICA.
Deseamos estimar la proporción con la que se da una característica en una determinada
población, esta característica es dicotómica por lo que o bien se posee o bien no.
El intervalo se plantea, como todos con un nivel de confianza 1-α prefijado.
Por lo tanto la fórmula es:
OBSERVACION
Como por lo general solo vamos a disponer de una muestra, tenemos que confiar (por
ejemplo con un 95% de confianza) que la muestra que tenemos pertenece al grupo de las
muestras buenas (las que nos dan una estimación del intervalo que contiene el verdadero
valor del parámetro).

7. EJERCICIO
Se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido político mediante una
muestra aleatoria. a) Si de una muestra de 500 personas 300 dicen que lo votan, calcule
con un nivel de confianza del 95% un intervalo para la proporción de votantes a ese partido
en la población. Con una variabilidad negativa del 40% para la población
• n= 500
• = 300/500
• q= 0,4
• P=0,6
• 1-= 95%
95/200= 0,4750
Z=1.96
∴ ∃ 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 95% 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 56% 𝑦 64%
EJERCICIO
[𝑝ҧ − 𝑍
1−𝛼
2
ට
𝑝.𝑞
𝑛
≤ 𝑝 ≤ 𝑝ҧ + 𝑍
1−𝛼
2
ට
𝑝.𝑞
𝑛
]
[0,6 − 1,96 ට
(0,6)(0,4)
500
≤ 𝑝 ≤ 0,6 + 1,96 ට
(0,6)(0,4)
500
]
[0,56 ≤ 𝑝 ≤ 0,64]
[56% ≤ p ≤ 64%]

8. EJERCICIO
Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos
88 ;90; 90; 86; 87; 88; 91; 92; 89.
Halla un intervalo de confianza al 95 % para la media de la población.
a) X=
801
9
X=89
b)s=ට
30
8
2
s= 1,93
c) gl=n-1 entonces gl=9-1
Xi fi Xi.fi fi (xi – x)2
86 1 86 9
87 1 87 4
88 2 176 2
89 1 89 0
90 2 180 2
91 1 91 4
92 1 92 9
TOTAL 9 801 30

9. gl= 8
α/2= 0,025
t=2,75
d)
[89 − 2,75 ∗
1,93
√9
; 89 + 2,75 ∗
1,93
√9
]
[87.23; 89,64]
RESPUESTA
El peso de las tarrinas de helado se encuentra entre 87,23 y 89,64. Con un nivel de
confianza del 95%.
EJERCICIO
Se estudió el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2ª de administración elegidos
aleatoriamente de la universidad CUIDEMOS EL MEDIO AMBIENTE, siendo estos valores:
80, 96, 87, 104, 105, 99, 112, 89, 90, 100.
Sabiendo que el cociente intelectual se distribuye según una normal con desviación típica
15, se pide:
a) Halla el intervalo de confianza al nivel del 95% para la media del cociente
intelectual de los estudiantes
RESPUESTA El promedio del cociente intelectual de los estudiantes se encuentra
entre 86,9 y 105,5. Con un nivel de confianza del 95%
b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera
menor amplitud con el mismo nivel de confianza.

10. En este caso, como σ = 15 no puede cambiarse, la amplitud puede disminuirse aumentando
el tamaño muestral, n, o disminuyendo la confianza (el valor de Zα/2 ). Por tanto, si se quiere
mantener la confianza, la única manera sería aumentar n.
EJERCICIO
El tiempo que los peruanos dedican a ver la televisión los domingos es una variable
aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 75
minutos.
Elegida una muestra aleatoria de peruanos se ha obtenido, para la media de esa
distribución, el intervalo de confianza (188,18;208,82), con un nivel del 99%.
a) Calcula la media muestral y el tamaño de la muestra.
[𝑋 − 2,58 ∗
75
√𝑛
; 𝑋 + 2,58 ∗
75
√𝑛
]
Entonces se debe aplicar sistema de ecuaciones con dos variables.
𝑿− 𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
= 𝟏𝟖𝟖,𝟏𝟖
𝑿+ 𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
= 𝟐𝟎𝟖,𝟖𝟐
Despejando X en ambas ecuaciones
𝑿 = 𝟏𝟖𝟖,𝟏𝟖 + 𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
𝑿 = 𝟐𝟎𝟖,𝟖𝟐 − 𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
Igualando ambas ecuaciones, por la propiedad transitiva
𝟏𝟖𝟖,𝟏𝟖 + 𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
= 𝟐𝟎𝟖,𝟖𝟐 − 𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
+ 𝟐,𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
= 𝟐𝟎𝟖,𝟖𝟐 − 𝟏𝟖𝟖,𝟏𝟖
Reduciendo términos semejantes

11. 𝟓,𝟏𝟔 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
= 𝟐𝟎,𝟔𝟒
𝟓,𝟏𝟔 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
= 𝟐𝟎,𝟔𝟒
𝟓, 𝟏𝟔 ∗ 𝟕𝟓 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟒 ∗ √𝒏
𝟓, 𝟏𝟔 ∗ 𝟕𝟓 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟒 ∗ √𝒏
𝟑𝟖𝟕 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟒 ∗ √𝒏
𝟑𝟖𝟕
𝟐𝟎, 𝟔𝟒
= √𝒏
𝟏𝟖, 𝟕𝟓 = √𝒏
Elevando al cuadrado ambos miembros:
𝟑𝟓𝟏, 𝟓𝟔 = 𝒏
Entonces n= 352
Hallando la media aritmética
𝑿 = 𝟏𝟖𝟖, 𝟏𝟖 + 𝟐, 𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝒏
𝑿 = 𝟏𝟖𝟖, 𝟏𝟖 + 𝟐, 𝟓𝟖 ∗
𝟕𝟓
√𝟑𝟓𝟐

12. 𝑿 = 𝟏𝟗𝟖, 𝟒𝟗
RESPUESTA:
Se necesita una muestra equivalente a 352 peruanos y una media aritmética muestral
de 198,49. Para obtener el intervalo de confianza (188,18, 208,82), con un nivel del
99%.
TABLA Z DE DOS COLAS

13. TABLA T STUDENT

14. PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
1) Se sabe que la velocidad de los coches que circulan por una carretera es una variable
aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 12 km/hora.
-Se toma una muestra aleatoria de 400 coches que da una velocidad media de 87 km/hora.
Obtenga un intervalo con un 99% de confianza, para la velocidad media del total de coches
que circulan por esa carretera.
2) El número de horas semanales que los estudiantes de Bachillerato de una ciudad dedican
al deporte se distribuye según una ley Normal de media 8 y varianza 7.29.
Para muestras de tamaño 36, indique cuál es la distribución de las medias muestrales.
3) Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la
proporción de amas de casa que compran sólo una vez a la semana. Si se sabe que en
una muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 afirmaron comprar una vez a
la semana
4) Se desea estimar la proporción de jóvenes que fuman regularmente. De 1000 jóvenes
entrevistados, 200 fumaban regularmente. Calcule una estimación puntual para P y obtenga
un intervalo de confianza del 95% para la proporción de jóvenes que fuman regularmente.
5) Los vuelos de una empresa de aviación tienen una duración bimestral aproximadamente
distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de
30 vuelos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre los intervalos de confianza
de 95% para la media de la población de todos los vuelos de esta empresa.
6) El propietario de la granja CUIDEMOS EL MEDIO AMBIENTE, desea calcular la cantidad
media de huevos que pone cada gallina. Una muestra de 20 gallinas indica que pone un
promedio 20 huevos al mes; con una desviación estándar de 2 huevos al mes. Calcular el
intervalo de confianza al 95%.
7)Una muestra aleatoria de tamaño 100, extraída de una población normal de varianza 81,
presenta una media muestral igual a 150. i) Calcular un intervalo de significancia del 1 %
para la media poblacional. ii) Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la media
poblacional y compararlo con el anterior
8)Se ha obtenido que el intervalo de confianza correspondiente al 95 % de una variable es
(6,66; 8,34). Calcula la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obtener
el intervalo sabiendo que la desviación típica es igual a 3. Explica cada uno de los pasos
realizados.
9)Una máquina llena cajas de arroz, Como la varianza era desconocida se procedió a
escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 12,48; 12,14; 11,86;
11,98, 11,74;12;11,99; 11,36; 12,45;12,34;13,72;12;13;12,5.
Para un nivel de significancia del 5%

15. 10)Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para los colaboradores de la empresa
LA PUNTUALIDAD de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).
12 15 16 18 13
11 11 13 13 14
14 15 15 16 16
16 16 17 17 17
13 19 12 15 14
Hállese un intervalo de confianza, para un nivel de significancia del 5%
CONCLUSIÓN
➢ Cuanto mayor es la desviación típica σ, mayor es la longitud del intervalo.
➢ Cuanto mayor es el tamaño de la muestra n, menor es la longitud del
intervalo.
➢ Cuanto mayor es el nivel de confianza 1 − α, mayor es la longitud del
intervalo.
ÉXITOS