Capítulo 3. Límites y Continuidad

1
PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo 3 Límites y Continuidad
ENTORNO O VECINDAD
 0 0 0; ,x x x v x     
0 0 0 0x x x x x x x               
00 x x   
“entorno reducido” o “vecindad agujerada”
EJEMPLOS PARA UNA MEJOR COMPRENSIÓN DEL LÍMITE
Ejemplo. Simbólicamente, si al ser humano se le denota con
" "H , con " "n al número de actos de humanidad y con " "P
a la perfección, entonces se puede escribir que:
lim
n
H P


Ejemplo. Analogía de una célebre paradoja del famoso
científico griego Zenón de Elea: A un ingeniero se le pide que
realice un levantamiento geológico de un camino recto de
longitud " "L , que unirá dos puntos A y B. Este individuo se
traza como plan de trabajo el siguiente: “cada día estudiaré
la mitad de lo que me falte”.
L
A B
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5

2
2 4 8 16 32
L L L L L
   
lim
n
S L


Ejemplo. Considérese un polígono regular con " "n lados y
cuya área es " "a . Dicho polígono está inscrito en un círculo
cuya área es " "c .
lim
n
a c


Ejemplo. Considérese el cociente
1
n
y véase qué sucede si
se hace crecer indefinidamente el valor " "n partiendo del
valor “uno”.
Si se hace
1
n x y y
n
  , entonces se tiene que:
1
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
n
n
Área del
Polígono="a"
(n=8)
Área del
Círculo="c"

3

1 1
; 1, lim 0
x
y x
x x
    
Ejemplo. Ahora se tiene el caso de analizar la siguiente
función considerando diversos entornos reducidos.
 
2
1 ; 0,4
2
x
y f x x      
2
2
lim 1 3
2x
x

 
  
 
x
3
421 3
1
2
4
5
6
7
8
9
y
 
2
1
2
x
f x  

4
DEFINICIÓN. Una función f tiene límite L cuando la variable
independiente fx D tiende a un valor " "a y se escribe
como
 lim
x a
f x L


si la función está en el interior de una vecindad de L con
radio 0  tan pequeño como se desee, siempre que x
pertenezca a una vecindad de " "a con radio 0  , siendo
 función de  . Esto se expresa, analíticamente, como:
  siempre que 0f x L x a     
LÍMITES LATERALES
 lim I
x a
f x L


 lim D
x a
f x L


x
a x
x
x a
x
y
L 
L
y
L 
a  x a a 
 y f x

5
Teorema.      lim lim lim
x a x a x a
f x L f x L f x   
   
EXISTENCIA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Primer Caso Sea f una función definida en un intervalo
,a b   y sea ,c a b   . Entonces, como ya se trató
 lim
x c
f x L


si L y    lim lim
x c x c
f x f x 
 

  siempre que 0f x L x c     
Segundo caso Sea f una función definida en  0, .
x
y
 f x
L
c
x x
ff
yy
IL I DL L L 
a a
"el límite sí existe"
DL
"el límite no existe"

6
Entonces  lim
x
f x L

 si para toda 0  y tan pequeña
como se desee, existe un número " "n (función de  y de f),
tal que:
  siempre quef x L x n  
 lim
x
f x L


y L es una asíntota horizontal.
Tercer caso
Sea f una función definida en ,a b   y sea ,c a b   .
Entonces el límite de f no existe o que tiende a infinito, lo
cual se escribe como  lim
x c
f x

  si para todo número
" "m tan grande como se desee, existe un valor 0  (que
depende de m y de f) tal que:
  siempre quef x m x c   
 lim
x c
f x

 
x c es una asíntota vertical.
x
c
f
y
x
y
f
a
L

7
Cuarto caso Sea f una función definida en  ,a  . Entonces
el límite de f no existe o que tiende a infinito, lo cual se
escribe como:
 lim
x
f x

 
si al crecer fx D indefinidamente, la función también crece
de manera indefinida.
De la misma forma se pueden construir los límites:
     lim ; lim ; lim
x x x
f x f x f x
  
     
Quinto caso Sea f una función definida en un intervalo
cerrado ,a b  . Entonces se pueden definir los límites en los
extremos del intervalo, es decir, por la derecha de " "a y por
la izquierda de " "b , siempre que existan. A través de los
límites laterales, se puede plantear la existencia de los
siguientes límites:
   lim limD I
x a x a
f x L y f x L 
 
 
a
y
x
f
x
y
DL
IL
a b
f
xx

8
Para demostrar formalmente la existencia del límite de una
función en un punto habría que obtener para qué valores de
" " y " " se cumple la definición, pero esto se sale de los
objetivos de este tema. Sin embargo, se ilustrará esto para las
funciones constante e identidad.
LÍMITE DE LA FUNCIÓN CONSTANTE
Como ya se vio en el Capítulo I, la función constante y su
gráfica son:
Teorema.    lim lim
x a x a
y f x k f x k k
 
    
LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD
Como ya se vio también, esta función y su gráfica son:
Teorema    lim lim
x a x a
y f x x f x x a
 
    
y
x
 f x x
k
y
x
 f x k

9
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Teorema. Unicidad. El límite de una función f es único.
Teorema.
     
     
   
 
1 31 2 3
1 2 3 2
lim lim; ;
lim
x a x a
x a
f x L f xf x f x f x
f x f x f x f x L
 

 
 
  
Teorema. Límite de una suma
     1 2; ; ; nf x f x f x
     1 1 2 2lim ; lim ; ; lim n n
x a x a x a
f x L f x L f x L
  
  
     1 2 1 2lim n n
x a
f x f x f x L L L

         
Teorema. Límite de un producto
     1 2; ; ; nf x f x f x
     1 1 2 2lim ; lim ; ; lim n n
x a x a x a
f x L f x L f x L
  
  
     1 2 1 2lim n n
x a
f x f x f x L L L

         
   lim lim
x a x a
k f x k f x
 
    
Teorema. Límite del cociente
       1 2 1 1 2 2; lim lim
x a x a
f x y f x f x L y f x L
 
 
 
 
 
 
11 1
2
2 2 2
lim
lim ; 0
lim
x a
x a
x a
f xf x L
L
f x f x L



   

10
Teorema. Límite de la potencia
   lim lim ; n, entero positivo
nn
x a x a
f x f x
 
      
Teorema. Límite de la raíz
   lim lim ; n, entero positivon n
x a x a
f x f x
 

CÁLCULO DE LÍMITES
Formas determinadas
Formas indeterminadas
0 00
, , 0 , , 0 , ,1
0

    

Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites:
2 2
2 22 5
3
9 6 2 2 6
) lim ; ) lim
1 3 18 3 10x
x
x x x x
i ii
x x x x

   
   
2 3
2 23 5
18 2 125
) lim ; ) lim
2 10 3 13 10x x
x x
iii iv
x x x x 
 
   

11
Ejemplo. Obtener el valor de los siguientes límites:
2
3 5
9 1 6
) lim ; ) lim
12 3 20 5x x
x x
i ii
x x 
  
   
43
2 6
10 2 22 2
) lim ; ) lim
2 4 22x x
x x
iii iv
x x 
   
  
33
13 4
) lim
5 122x
x
v
x
 
 

13
3 2 6
2 3 3
5 6 2 5 21
) lim ; ) lim
1 15 2 4 3x x
x x x
i ii
x x x x 
  
   
3 3
27 9
) lim
15 7x
x
iii
x


Ejemplo. Calcular el siguiente límite:


  
 
2
4
lim 2 4
x
x x
y decir si existe una razón del porqué se pida calcular el
límite lateral por la izquierda.

14
Ejemplo. Calcular el valor del límite, si existe, de la siguiente
función, cuando la variable independiente tiende a los
valores " 2" y "0" . Apoyarse en la gráfica de la función.
  2
2
2 5 2
4 2 0
1 0 3
2
x si x
f x x si x
x
si x

    

    

   


15
LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para resolver límites que involucran funciones circulares
directas, resulta conveniente conocer los límites de las
siguientes funciones:
0 0 0
lim 0 ; limcos 1 ; lim 1
x x x
senx
senx x
x  
  
2
0 0
4
tan 1 tan
) lim ; ) lim ; ) lim
5 cosx x
x
x sen x x
i ii iii
x x senx x 



2
20 0
2 2
) lim ; ) lim
3secx x
sen x sen x
iv v
sen xx x 
20 1
cos
1 cos 2
) lim ; ) lim
1x x
x
x
vi vii
xx

 
 
   


16
OTRO LÍMITE
 
  
2
1 2
3
3
11 1 1
1 1 1 1
1! 2!
1 2 1
1
3!
x
x x x
x
x xx
x x x
x x x
x
 

     
        
     
   
  
 
1 1 1 1 1 1 2
1 1
1! 2! 3!
x
x x x
x x x x
        
           
      
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1
1! 2! 3!
x
x x x x
      
              
      

17
 
1
20
1 1
) lim 1 ; ) lim 1 ; ) lim 1
x x
x
x x x
i ii x iii
x x  
   
     
   
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Definición intuitiva. Una función es continua si al dibujar su
gráfica no hay necesidad de despegar del papel la punta
del lápiz.
La continuidad de una función, básicamente es un problema
puntual, es decir, que se estudia en un determinado punto.
Considérense las gráficas de las funciones de la siguiente
figura, cuyo análisis conduce al concepto de continuidad de
una función en un punto.

18
Definición. Una función f es continua en x a sí y solo si:
 ) Que existei f a
 ) Que lim existe
x a
ii f x

   ) Que lim
x a
iii f a f x


Continuidad en un intervalo. Una función f es continua en un
intervalo cerrado ,a b   si se cumple que:
)a Que f sea continua en todos los puntos del intervalo
abierto  ,a b .
)b Que f sea continua por la derecha de " "a , lo que
implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:
 ) Que existai f a
 ) Que lim exista
x a
ii f x

   ) Que lim
x a
iii f a f x


x x
y y y
f
f
a
 f a
a a
 f a
f
 
 
 
existe
lim no existe
no es cont en
x a
f a
f x
f x x a


 
 
no existe
no es cont en
f a
f x x a
 
 
   
 
existe
lim existe
lim
no es cont en
x a
x a
f a
f x
f a f x
f x x a




x

19
)c Que f sea continua por la izquierda de " "b , lo que
implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:
 ) Que existai f b
 ) Que lim exista
x b
ii f x

   ) Que lim
x b
iii f b f x


Teoremas sobre continuidad
)i La suma, resta, producto y cociente de dos funciones
que son continuas en un punto, también son funciones
continuas en dicho punto (con tal de que la función del
divisor no se anule en el punto).
)ii Toda función polinomial es continua en su dominio, esto
es, para todo valor real de la variable independiente.
)iii Toda función algebraica o trascendente es continua en
su dominio.
Ejemplo. Analizar la continuidad en el punto correspondiente
a 3x  para la siguiente función y hacer un trazo
aproximado de su gráfica:
 
1
2 3
1
4 15
3 6
3
si x
x
f x
x
si x

   
 
  


20
Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función en
0x  y trazar su gráfica:
  2
cos 0
1 0 2
x si x
f x
x si x
  
 
  

21
Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función,
tanto en puntos como en intervalos:
 
2
3 5 2
3 4 2 0
cos 0
2
4 10
5
10 2
si x
x si x
f x x si x
x
si x

 

   

    

   

  
 


23
Ejemplo. Determinar el valor de las constantes
" " " "c y k de tal forma que la función dada sea
continua para todo valor real de " "x . Hacer un trazo
aproximado de la gráfica de la función resultante.
 
1
1 4
2 4
x si x
f x cx k si x
x si x


   
  
Ejemplo. Un ingeniero está trazando el perfil de un camino y
hay un tramo de 24 m en línea recta, en el que deberán
realizarse determinados trabajos por la presencia del cauce
de un río cuyo ancho es de 10 m. Con respecto a un cierto
sistema coordenado, este tramo de 24 m se sitúa de
acuerdo con los puntos
       125,500 ; 131,499.5 ; 141,499 ; 149,500A B C D

24
de tal manera que el cauce del río está entre las abscisas
131 141y . ¿Cómo representaría el ingeniero dicho tramo a
partir de una función, qué diría de su continuidad y cómo
removería la discontinuidad, lo que en realidad sería hecho
con un puente para cruzar el río? ¿Cómo quedaría la función
con la discontinuidad removida?
   2 1
1 1
2 1
6125
125 131
12
;
3851
141 149
8
x
si x
y y
y y x x f x
x x x
si x

  
    
   

Por la derecha de 125x 
   ) 125 500 cumplei f 
   125
) lim 500 cumple
x
ii f x


     125
) 125 lim cumple
x
iii f f x


Por lo que  f x es continua por la derecha de 125x  .
Por la izquierda de 131x 
496
495
497
498
499
500
501
125 130 135 140 145 150
y
x
río
A
B
C
D

25
   ) 131 499.5 cumplei f 
   131
) lim 499.5 cumple
x
ii f x


     131
) 131 lim cumple
x
iii f f x


Por lo que  f x es continua por la izquierda de 131x  .
Por la derecha de 141x 
   ) 141 499 cumplei f 
   141
) lim 499 cumple
x
ii f x


     141
) 141 lim cumple
x
iii f f x


Por lo que  f x es continua por la derecha de 141x  .
Por la izquierda de 149x 
   ) 149 500 cumplei f 
   149
) lim 500 cumple
x
ii f x


     149
) 149 lim cumple
x
iii f f x


Por lo que  f x es continua por la izquierda de 149x  .
Al considerar el intervalo de 125x  a 149x  , concluye
que la función  f x es continua en
125,131 141,149y       y discontinua en  131,141 .

26
 
6125
125 131
12
1021
131 141
20
3851
141 149
8
x
si x
x
f x si x
x
si x

 

 
  

 
 
Forma alternativa para estudiar la continuidad
0x x x  
       0 0 0y f x f x y f x x f x        
 
 
1 1 1
2 1
2 2 2
;
;
;
x y f x
y y y
x y f x

  

496
495
497
498
499
500
501
125 130 135 140 145 150
y
x
río
A B
C
D
puente

27
Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener su incremento:
3 2
2 5 1y x x x   
Ejemplo. Supóngase una esfera metálica de radio
25r cm , la que, por efecto de variaciones de
temperatura, aumenta su diámetro en 0.002 cm. ¿Cuál será
la variación de su volumen y de su superficie?

28
Teorema (Continuidad por incrementos). Una función f es
continua en un valor 0x x si se cumple que
0
lim 0
x
y
 
 
Prueba.
   
       
0
0 0 0
0
0
0 0 0
lim 0 lim 0
lim lim lim
x x x
x x x x x x
y f x x f x
f x x x f x f x f x
  
  
        
     
Ejemplo. Dada la función   2
2 1y f x x   , determinar el
incremento de la función cuando la variable independiente
cambia de 0 0.5x  a 0.7x  . Estudiar también si la función
es continua en 0 0.5x  a través del límite
0
lim 0
x
y
 
  .
Mostrar de manera explícita, con una tabla, cómo se
cumple este límite, es decir, cómo al tender a cero el
incremento de " "x , lo mismo le sucede al incremento y de
la función.

29
ASÍNTOTAS
Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite no existe
cuando la variable independiente " "x tiende a un cierto
valor 0" "x , el cual anula el denominador de la función;
entonces, esta tiene una asíntota vertical, cuya ecuación es
0x x .
Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las
asíntotas verticales para las siguientes funciones:
  2
5 1
) ; )
15 6
x x
i f x ii y
xx x

 
 
 
3 2
6
)
6
x x
iii f x
x




30
Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite sí existe
cuando la variable independiente " "x tiende a ; entonces,
la función tiene una asíntota horizontal, cuya ecuación es:
 lim
x
y f x

 o bien  lim
x
y f x


asíntotas horizontales para las siguientes funciones:
 
2
2 2
4 1 4
) ; )
2 5 6
x
i y ii f x
x x x

 
  
 
4
2 4
)
2
x
iii y
x x




31
asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función y
hacer un trazo aproximado de su gráfica en la cual se
señalen las asíntotas.
 
2
2
1
2
x
f x
x x


 

Capítulo 3. Límites y Continuidad

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