Actividad N° 4

1. Actividad N° 4
Alumno: Novillo Pablo.
Parte B.

2. Resolución.
Como primerpaso reducimosla inecuación.
|2(x – 4)|+ 4 < 5
2|x – 4|+ 4 < 5
2|x – 4|+ 4 – 4 < 5 – 4
2|x – 4| < 1
|x – 4| <
𝟏
𝟐
Por definiciónde valor absoluto debencumplirse:
|a| < b = - b < a < b
Donde a es el argumento.
|x – 4| = a , b =
𝟏
𝟐
-
𝟏
𝟐
< |x – 4| <
𝟏
𝟐
+ 4 -
𝟏
𝟐
< |x – 4 + 4| <
𝟏
𝟐
+ 4
𝟕
𝟐
< |x| <
𝟗
𝟐
x – 4 < 0 y - (x– 4) >
𝟏
𝟐
o también x – 4 > 0 y x – 4 > -
𝟏
𝟐
. Este planteodebe hacerse porque el
argumento involucraun valor desconocido x locual hace que desconozcamossu signo,es decir,
x – 4 dependiendodel valorde x puede sernegativoo positivo.
Luego se plantean las cuatro inecuaciones.
x – 4 > 0  x – 4 > -
𝟏
𝟐
 x – 4 < 0  - (x – 4) >
𝟏
𝟐
x – 4 > 0  x – 4 > -
𝟏
𝟐
 x – 4 < 0  x - 4 <
𝟏
𝟐
x – 4 > 0  x > -
𝟏
𝟐
+ 4  x – 4 < 0  x <
𝟏
𝟐
+ 4
x > 4  x >
𝟕
𝟐
 x < 4  x <
𝟗
𝟐

3. Testeamos:
ℝ = (
𝟕
𝟐
, ) ∪ [
𝟕
𝟐
,
𝟗
𝟐
] ∪ (-,
𝟗
𝟐
)
 Si x = 5. En reemplazoenlospuntos de los intervalos,resulta:
x – 4 > 0  x – 4 > -
𝟏
𝟐
 x – 4 < 0  - (x – 4) >
𝟏
𝟐
5 – 4 > 0  5 – 4 > -
𝟏
𝟐
 5 – 4 < 0  5 – 4 <
𝟏
𝟐
1 > 0  1 > -
𝟏
𝟐
 1 < 0  1 <
𝟏
𝟐
Testeamosen la inecuacióninicial.
|2(x – 4)|+ 4 < 5
|2 (5 – 4)|+ 4 < 5
2|5 – 4|+ 4 < 5
2|1|+ 4 < 5
2 + 4 < 5
6 < 5
Finalmente ladesigualdadesfalsa.
 Si x = 4. En reemplazoenlospuntos de los intervalos,resulta:
x – 4 > 0  x – 4 > -
𝟏
𝟐
 x – 4 < 0  - (x – 4) >
𝟏
𝟐
4 – 4 > 0  4 – 4 > -
𝟏
𝟐
 4 – 4 < 0  4 – 4 <
𝟏
𝟐
0 > 0  0 > -
𝟏
𝟐
 0 < 0  0 <
𝟏
𝟐
Testeamosen la inecuacióninicial.
|2(x – 4)|+ 4 < 5
|2 (4 – 4)|+ 4 < 5
2|4 – 4|+ 4 < 5
|0|+ 4 < 5
4 < 5
Finalmente ladesigualdadesverdadera.

4. Inecuaciónen términosde distancia.
 Vistoel valor absoluto como distancia a un punto se tiene:buscamoslos realescuya
distancia al punto 4 no supere
𝟏
𝟐
.
4 +
𝟏
𝟐
=
𝟗
𝟐
y 4 -
𝟏
𝟐
=
𝟕
𝟐
son los extremos reales de los intervalos solución.
Comparando los conjuntossoluciónvemos que coinciden.

5. Segunda Parte.
Estamos frente a una parábola. Su lugar geométricose describe como:
{(x , y)  R2
/(y - b)2
= 4p (x - a)} con x = a - p ecuaciónde la recta directriz.
Corresponde a un eje horizontal.
Ecuación Estándar:
Para el eje horizontal:
(y – b)2
= 4p(x – a) Siendox = a - p
(y – 2)2
= 4(-5) (x – (-3)) 2 = (-3) - p
(y – 2)2
= -20 (x– (-3)) p = -2 (-3)
p = -5

6. Ecuación General:
Para el eje horizontal:
Ay2
+ By + Cx+ D = 0
Donde:
A = 1 , B = -2b , C = -4p , D = a2
+ 4 pa
Entonces nos queda:
y2
- 4y + 20x + 64 = 0 Ecuación general.
Vértice = (a , b) = (-3 , 2)
Directriz = x = 2
Foco = (-8, 2)
Puntos de corte con losejes coordenados:
Punto de corte con el eje x. Reemplazodirecto.
y = 0
y2
- 4y + 20x + 64 = 0
02
– 4.0 + 20x + 64 = 0
20x + 64 = 0
20x = - 64
x = −
𝟔𝟒
𝟐𝟎
x = −𝟑. 𝟐 = −
𝟏𝟔
𝟓
(−
𝟏𝟔
𝟓
, 0)
Si se puede pensar como una función porque dependiendodel valorque tome y le va a
corresponderun punto en la rama de la parábola a x.