GUIA DE FACTORIZACION

1. Desempeño · factoriza una expresión algebraica utilizando diferentes estrategias
Indicadores de
desempeño
· Aplica los diferentes casos de factorización para reducir
expresiones algebraicas
· Valora la importancia del trabajo en grupo y las actividades
extracurriculares en su proceso de formación.
Recomendación Para usted es de suma importancia formarse un hábito de estudio eficiente, pues esto le significará
el éxito en la internalización del conocimiento adquirido y le brindará la posibilidad de estudiar y
rendir académicamente de forma tranquila.
Estudiar no significa "aprender de memoria" algún tópico específico, pues la memoria es frágil y
con toda seguridad que pasado el período académico olvidará lo que según usted "estudió".
Usted no debe conformarse con "estudiar" para una prueba o certamen. El estudiante no debe
"estudiar" para una nota, es mas no debe estudiar para que lo vean. Usted debe realmente
preocuparse de estudiar para aprender, pues así estará manejando la información y las
herramientas que utilizará después en grados superiores y posteriormente en su desarrollo
profesional.
Con esta recomendación pretendo entregar una orientación sobre cómo estudiar en forma
eficiente, reconociendo que no existe una norma general, sino que cada persona debe adecuar su
propio hábito de estudio. Además, entrega algunos consejos de cómo preparar y rendir en la
sustentación de la guía en forma adecuada.
Los siete puntos siguientes resumen las técnicas más importantes a tener en cuenta en el
desarrollo de la guía:
1. Dónde estudiar 2. Revise el texto completo. 3. Lea buscando las ideas principales. 4.
Cuestiónese a medida que lea.
5. Tome notas o apuntes (subraye sólo si el texto es suyo). 6. Use guías de estudio si están
disponibles para el texto.
7. Estudie sin ningún tipo de presión y en forma sistemática. 8. Utilice la bibliografía según lo
requiera que se encuentra en la pagina Web www.profejersonandres.blogspot.com con ayudas
didácticas para desarrollar tus guías
A ACTIVIDADES BÁSICAS
1. CUANTO SABEMOS
Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados
a. El cuadrado de un número menos tres.
b. La suma de un número y su cuadrado
c. El cuadrado de la suma de dos números.
d. La suma de tres números consecutivos
2. Efectua las operaciones indicadas

2. 3. Resuelve los siguientes productos notables
a. (x + y )2 b. ( 3 a + 4 b )3 c. ( 3 a + 4 b ) ( 3 a - 4 b )
d. ( x - 2 ) ( x + 2 ) e. ( 2 x - 3 y )3
2° APRENDAMOS COSAS NUEVAS.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL.
En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición o transformación de una
suma algebraica o expresión matemática en una multiplicación. Existen diferentes técnicas de
factorización, cuyo objetivo es simplificar una expresión re escribiéndola en términos de
«bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores. Entre las estrategias más
utilizadas están; el factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto,
trinomios de la forma, suma y diferencia de cubos y casos especiales.
In mathematics, factorization (or factoring) is the decomposition or transformation of an
algebraic sum or a mathematical expression multiplication. There are different factoring
techniques, which aims to simplify an expression reescriendola in terms of "building
blocks" which are called factors. Strategies are most used; the common factor,
difference of squares, perfect square trinomial, trinomials of form, sum and difference
of cubes and special cases.
 A. FACTOR COMÚN MONOMIO
Escuchemos el diálogo de Carlos y Zara:
El polinomio 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 tiene factores repetidos o comunes: uno es numérico y
el otro es literal. ¿Cuáles son?. FACIL, el numérico es 4 y el literal es x.
¿Cuál es el menor exponente al que está elevado el factor común literal? Es 2; es decir, el
factor común literal es x2 , Esto significa que el factor común del polinomio es 4 x2 .
¿Podemos escribir 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 como el producto del factor común 4x2 con otro
factor? ¿ Con cuál factor? ¡Claro¡ observa:
4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 = 4 x2( y – x z + x3 )

3. ¿Cómo hizo Zara para factorizar el polinomio 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 . observemos:
 Primero identificó el factor común numérico y el factor común literal; así:
FACTOR COMÚN NUMÉRICO: 4
LITERAL: X2
 Luego el FACTOR COMÚN del polinomio dado es 4 X2
 A continuación, dividió cada término del polinomio entre el FACTOR COMUN, así:
( 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 ) : 4 x2 = y – x z + x3
Por lo tanto : 4 x2 y - 4 x3 z + 4 x5 = 4 x2 ( y – x z + x3 )
Notemos que el factor común del polinomio se obtiene formando el producto de los factores
REPETIDOS Y ELEVADOS AL MENOR EXPONENTE; es decir, hallando el máximo común
divisor (M.C.D) de los términos del polinomio.
En los ejercicios del 25 al 39 del texto de BALDOR de la página 145. factoriza cada
polinomio en el conjunto Q de los números racionales.
 B. FACTOR COMÚN POLINOMIO
En los ejercicios 20 a 32 del texto de BALDOR página 147 factoriza cada polinomio en
el conjunto Q, sacando un factor común BINOMIO O TRINOMIO.
DESARROLLA EL TALLER ANEXO DEL TEXTO PENSAMIENTO MATEMTICO PAG 212.
CASO I I
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Existen algunos polinomios que para factorizarse es necesario buscar la forma de agrupar sus
términos de manera que podamos encontrar un factor común.
Para factorizar un polinomio por medio de la agrupación de términos se siguen los siguientes
pasos:
 Se forman los grupos (con igual cantidad de elementos cada uno), aplicando el criterio de
que los términos agrupados deben tener un factor común.
 Se extrae el respectivo factor común en cada grupo. La expresión resultante debe tener
como característica, que todos los términos que aparecen dentro de signos de agrupación,
sean idénticos.
 A la expresión anteriormente nombrada se le extrae, nuevamente, FACTOR COMÚN.
EJEMPLOS: aplica la factorización por agrupación de términos, a cada uno de los polinomios
siguientes.
1. 7x y - 14y + 11 x z - 22 z = (7 x y – 14 y) + ( 11 x z – 22 z )

4. = 7 y ( x – 2 ) + 11 z ( x - 2 )
= ( x – 2 ) + ( 7 y + 11 z ) = R
2. 2 a m - 2 a n + 2 a - m + n - 1 =
3. 3 x – 9 a x - x + 3 a =
Caso III: trinomio cuadrado perfecto.
Son tres criterios para reconocer si una expresión algebraica es, o no un trinomio cuadrado
perfecto.
1. La expresión debe estar ordenada.
2. Los términos primero y tercero deben poseer igual signo ( + ) y tener raíz cuadrada exacta,
o ser ( cuadrados perfectos ).
3. El segundo término debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas de los
términos primero y tercero.
SI SE CUMPLEN LOS TRES CRITERIOS ANTERIORES, SE CONCLUYE QUE LA
EXPRESIÓN ES, EFECTIVAMENTE, UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Un trinomio cuadrado perfecto se FACTORIZA en un binomio elevado al CUADRADO.
De la siguiente forma:
Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces
por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del
trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva la cuadrado.
EJEMPLOS:
Descomponer en DOS factores:
1. 16 + 40 x2 + 25 x4 =
1. 49 m6 - 70 a m3 n2 + 25 a2 n4 =
CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
CUADRADO PERFECTO: es el cuadrado de otra cantidad, es decir, el producto de DOS
factores iguales.
Raíz cuadrada de un MONOMIO: para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la
raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por dos.
REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS :

5. Se extrae la raíz cuadrada al MINUENDO y al SUSTRAENDO y se multiplica la suma de estas
raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
EJEMPLOS:
Descomponer en DOS factores:
1. a10 - 49 b12 =
2. 100 - x2 y6 =
2. 196 x2 y4 - 144 =
CASO V I TRINOMIO DE LA FORMA X + b X + C
TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA
Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ( ).
· Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx)
(puede ser negativo o positivo).
· Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz
cuadrada del termino .
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del
segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma
sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor
absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores
binomios.
4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya
diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea
igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo

6. término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo
término del segundo factor binomio.
Ejemplo explicativo:
CASO VII
TRINOMIO DE LA FORMA
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado ( ) se
encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja
de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:
Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a ” por cada termino del trinomio, dejando esta
multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a ” de la
manera .
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz
cuadrada del termino la que seria “ax”.
3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del
polinomio.
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del
segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del
caso del trinomio anterior.
Ejemplo explicativo:

7. CASO V III CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
De los productos notables tenemos:
En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:
Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos.
· Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.
· Dos de sus términos, el 1º (a ) y el 4º (b ), deben poseer raíz cúbica exacta.
· El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del
primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a) (b)].
· El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino
por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b) ].

8. · El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o
negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino
son negativos realizar factor común con el factor -1).
· Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos
cantidades (a + b) , si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de
dos cantidades (a – b) .
Ejemplo explicativo:
CASO I X SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Recordamos de cocientes notables que:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente,
efectuándolo nos queda:
De donde se deducen las siguientes reglas:

9. · La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la
suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera
raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
· La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la
diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la
primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo explicativo:
3° AFIANCEMOS LO APRENDIDO
APLICA TUS CONOCIMIENTOS CON EL ALGEBRA GEOMETRICA
Extraído de: UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
PROYECTO MATEMÁTICAS Y FÍSICA BÁSICAS EN ANTIOQUIA
Código:
MA-09
No. de páginas: 2
Materiales: FOMI, CARTULINA,REGLA, LAPICERO.
1. Selecciona entre en los cuadriláteros los rectángulos y los cuadrados:

10. 2. Completa:
· El área de un cuadrado es: _____________
· El área de un rectángulo es: _____________
Naranja Verde
Rojo
1
1 a b
Termina de llenar la tabla:
FIGURA COLOR AREA
Cuadrado pequeño
Rectángulo 1
Rectángulo 2
Rectángulo 3
Cuadrado mediano
Cuadrado grande
Naranja
Verde
Rojo
3. Forma los rectángulos correspondientes a las áreas que se te indica, júntalos (suma sus
áreas) para formar otro rectángulo, con todos los que tenías:
AREA 1
AREA
2
AREA
3
AREA
4 AREA FINAL
2 x 1 2 x 5 2 x 3
2 x 3 3 x 6 3 x 3
1 x a 2 x a 4 x a
a x b 5 x b 2 x a 10
a x b 3 x a 5 x b 15
a x b 3 x b 2 x a 6
a x b 4 x a 2 x b 8

11. a x a 5 x a 6
b x b 4 x b 3
a x a 6 x a 8
b x b 6 x b 9
a x a 8 x a 16
b x b 3 x b 2
a x a -5 x a 6
b x b -2 x b 1
a x a -7 x a 12
a x a a -2
b x b 2 x b -15
a x a -9
a x a 1
a x a -3 x a -10
2 x a x a 7 x a 3
3 x b x b 8 x b 4
3 x a x a 13 x a 4
Autor:
Elízabeth Montoya y Juan David Montoya
Bibliografía: UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Modificado: Mayo 19 de 2000
B.. Actividades de Practica
Calcula:
a) ( x +2)2 b) ( x -4)2 c) ( x + y)2
d) (x -3)2 e) (2x +2)2 f) (3x -5)2
Quita paréntesis (utilizando los productos notables):
a) (b +1) × (b -1) b) (4 + x) × (4 - x) c) (m-4) ×(m+4)
d) (2x +1) ×(2x -1) e) (2x +3y) × (2x -3y) f) (3z -2) ×(3z +2)
Resuelve
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =
5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =
7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =

12. 9. b4-b3 = 10. 4a3bx - 4bx =
11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =
13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =
15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
19. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 20. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
21. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 22. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
23. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 24. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
25. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 26. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
27. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 28. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
29. x2 + 4x + 3 = 30. a2 + 7a + 10 =
31. b2 + 8b + 15 = 32. x2 - x - 2 =
33. r2 - 12r + 27 = 34. s2 - 14s + 33 =
35. h2 - 27h + 50 = 36. y2 - 3y - 4 =
37. x2 + 14xy + 24y2 = 38. m2 + 19m + 48 =
39. x2 + 5x + 4 = 40. x2 - 12x + 35 =
41. 9a2 - 25b2 = 42. 16x2 - 100 =
43. 4x2 - 1 = 44. 9p2 - 40q2 =
45. 36m2n2 - 25 = 46. 49x2 - 64t2 =
47. 169m2 - 196 n2 = 48. 121 x2 - 144 k2 =
49. 2 - b2 =
a 49
25
9 50. 4 - y4 =
36
x 9
16
1
25
51. 3x2 - 12 = 52. 5 - 180f2 =
53. 8y2 - 18 = 54. 3x2 - 75y2 =
55. 45m3n - 20mn = 56. 2a5 - 162 a3 =
57. b2 - 12b + 36 = 58. 25x2 + 70xy + 49y2 =
59. m2 - 2m + 1 = 60. x2 + 10x + 25 =
61. 16m2 - 40mn + 25n2 = 62.49x2 - 14x + 1 =
63.36x2 - 84xy + 49y2 = 64.4a2 + 4a + 1 =
65.1 + 6ª + 9a2 = 66.25m2 - 70 mn + 49n2 =
67.25a2c2 + 20acd + 4d2 = 68.289a2 + 68abc + 4b2c2 =
69.16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

13. 125. 64 – x3 = 126. 8a3b3 + 27 =
127. 27m3 + 6n6 = 128. x6 – y6 =
129. 1 x3 + 8
= 130. x3 - 1 =
8
27
64
70. 5x2 + 11x + 2 = 71. 3a2 + 10ab + 7b2 =
72. 4x2 + 7x + 3 = 73. 4h2 + 5h + 1 =
74. 5 + 7b + 2b2 = 75. 7x2 - 15x + 2 =
76. 5c2 + 11cd + 2d2 = 77. 2x2 + 5x - 12 =
78. 6x2 + 7x - 5 = 79. 6a2 + 23ab - 4b2 =
C. APLIQUEMOS LO APRENDIDO
Resuelve de la práctica 4 los ejercicios 1, 6, 8 y 9. Y la práctica 10 de las páginas 119 y
126 respectivamente, del texto GLIFOS 8°. Procesos matemáticos.
D. PARA SABER MAS
REFORCEMOS LO APRENDIDO
Resolver el ejercicio 106 sobre la miscelánea de los casos de factorización. ejercicios
pares página 171 y 172. del texto de baldor.
PROFUNDICEMOS
LA LÓGICA. Es la forma correcta de llegar a la respuesta equivocada pero sintiéndote
contento contigo mismo.
LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El director de una prisión llama a tres de sus presos,
les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada
uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color
de la suya será puesto en libertad».
Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de
los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros
dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad?

14. CABALLOS. El caballo de Mac es más oscuro que el de Smith, pero más rápido y más
viejo que el de Jack, que es aún más lento que el de Willy, que es más joven que el de
Mac, que es más viejo que el de Smith, que es más claro que el de Willy, aunque el de
Jack es más lento y más oscuro que el de Smith. ¿Cuál es el más viejo, cuál el más
lento y cuál el más claro?
El cuadrado que se ve abajo, ha sido dividido en 4 cuadrantes de igual tamaño, que se
han denominado “A”, “B”, “C” y “D”, de acuerdo con lo ilustrado en la figura
A continuación, se le plantearán 4 desafíos para que usted resuelva.
 Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “A”, de modo que
resulten dos (2) piezas de igual tamaño
 Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “B”, de modo que
resulten tres (3) piezas de igual tamaño
 Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “C”, de modo que
resulten cuatro (4) piezas de igual tamaño
 Mentalmente, divida el área BLANCA del cuadrante “D”, de modo que
resulten siete (7) piezas de igual tamaño.

15. BIBLIOGARAFIA:
 BALDOR, Aurelio. Algebra elemental. México. Publicaciones cultural.
2002.
 DÍAZ, C. Faberth Alberto. Y otros. NUEVO PENSAMIENTO MATEMATICO.
8° Libros y libros S. A. 2005.
 URIBE, CÁLAD. Julio Alberto. Y otro. MATEMATICA EXPERIMENTAL. 8°.
 www.sector matemática. Cl/educmedia. htm
Elaboró: Jerson Andrés Parra
Nombre______________________________________________ Grado_______
Heteroevaluación
50% Coevaluación 25 % Autoevaluación 25%
Def/
tiva.
Recu
p/ció
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1.
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