2 estimación

UNIDAD

2 Estimación
OBJETIVO EDUCACIONAL

Al término de esta unidad el alumno:
Aplicará los fundamentos de la teoría de estimación en problemas que
requieran el cálculo del tamaño de la muestra, con los diferentes
intervalos de confianza de la media, proporción y varianza.
Determinará el tamaño de la muestra representativa.

Introducción
La teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos con los cuales se pueden
realizar generalizaciones acerca de una población. La tendencia actual es distinguir entre el
método clásico para estimar un parámetro poblacional, por medio del cual las inferencias se
basan en la información obtenida de una muestra aleatoria seleccionada de la población, y el
método bayesiano, el cual utiliza el conocimiento subjetivo previo acerca de la distribución de
probabilidad con los parámetros desconocidos, junto con la información proporcionada por los
datos muestrales. La inferencia estadística puede dividirse en dos áreas principales: estimación
y pruebas de hipótesis.

Necesidad de la Estimación
Las fábricas a menudo deben evaluar las características de desempeño de un producto tomando
en cuenta aspectos como la resistencia promedio, el peso o el tiempo de vida. Las grandes
tiendas de departamentos deben predecir la demanda de diversos artículos. Así, la estimación
comprende: la valoración de inventarios, la estimación de costos de proyectos, la evaluación de
nuevas fuentes energéticas, la predicción del desempeño en el trabajo y la estimación de
tiempos estándar de tareas asignadas.

13

SPC Nivel Intermedio ____________________________________________________________________________

Características de un buen estimador. Propiedades de los Estimadores

Un estimador es una regla que establece cómo calcular una estimación basada en las
mediciones contenidas en una muestra.

Estimador Insesgado. Un estadístico es un estimador insesgado del parámetro, sí E ( ˆ )

Eficiencia Relativa. Si se consideran todos los estimadores insesgados posibles de algún
parámetro , aquel con la varianza más pequeña es el estimador más eficiente.

Estimador Consistente. El estimador insesgado ˆ para es un estimador consistente de
si limn E( ˆ ) y límn V ( ˆ ) 0

Estimador suficiente. Sea X 1 , X 2 ,  , X n una muestra aleatoria de una distribución de
probabilidad con un parámetro desconocido . Se dice que el estadístico
U g( X 1 , X 2 , X n ) es suficiente para sí la distribución condicional de X 1 , X 2 ,  , X n
dado U no depende de .

2.1 Estimación de medias

Intervalo de confianza para , conociendo . Si x es la media de una muestra aleatoria de
2
tamaño n de una población con varianza conocida , el intervalo de confianza del (1 ) 100%
para es

x z / 2 x z / 2
n n
donde z /2 es el valor de z a la derecha del cual se tiene un área de /2

Teorema 2.1 Sí se utiliza x como una estimación de , se puede tener una confianza del

(1 )100% de que el error no excederá de E z /2 / n

(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el
2
tamaño de la muestra es n z /2 /E

14 José Armando Rodríguez Romo

_____________________________________________________________________________________ Estimación

Intervalo de confianza para , con desconocida ( n 30 ). Si x y s son la media y la
desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con
2
varianza desconocida , el intervalo de confianza del (1 )100% para es

s s
x z / 2 x z / 2
n n


Intervalo de confianza para , con desconocida ( n < 30 ). Si x y s son la media y la
desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con
2
varianza desconocida , el intervalo de confianza del (1 )100% para es
s s
x t / 2 ,v x t / 2 ,v
n n
donde t /2,v es el valor de t con v = n – 1 grados de libertad, a la derecha del cual se tiene un
área de /2

Ejemplo 1 Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de una
marca de pintura látex:
3.4 2.5 4.8 2.9 3.6
2.8 3.3 5.6 3.7 2.8
4.4 4.0 5.2 3.0 4.8
Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal,
encuentre un intervalo de confianza del 99% para el tiempo promedio de secado de esta marca
de pintura látex.
Solución
n
xi
i 1 3.4 2.5 4.8  4.8
La media muestral de los datos es x 3.7867
n 15

n n 2
2
x i xi
i 1 i 1 228.28 (56.8 ) 2
y su desviación estándar s 0.9709
n 1 14

José Armando Rodríguez Romo 15


De la Tabla T.3 del apéndice encontramos el valor de t 0.995 , 14 2.98 , entonces un intervalo de

confianza del 99% para la media está dado por
s s
x t / 2 ,v x t / 2 ,v
n n

0.9709 0.9709
3.7867 2.98 3.7867 2.98
15 15
que se reduce a
3.0396 4.5337

EJERCICIOS 2.1
1. Un fabricante produce focos que tienen un b) ¿Qué se puede afirmar con un 98% de
promedio de vida con distribución confianza acerca del posible tamaño
aproximadamente normal y una desviación del error si se estima que la estatura
estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 promedio de todos los estudiantes es
focos tiene una vida promedio de 780 174.5 centímetros?
horas, encuentre un intervalo de confianza 4. Una muestra aleatoria de 100 propietarios
del 96% para la media poblacional de todos de automóvil indica que, en el estado de
los focos que produce esta empresa. Virginia, un automóvil recorre un
2. Una máquina de refrescos está ajustada de promedio de 23500 kilómetros por año
tal manera que la cantidad de líquido con una desviación estándar de 3900
despachada se distribuye kilómetros.
aproximadamente en forma normal con a) Determine un intervalo de confianza del
una desviación estándar igual que 0.15 99% para la cantidad promedio de
decilitros. Encuentre un intervalo de kilómetros que un automóvil recorre
confianza del 95% para la media de todos anualmente en Virginia.
los refrescos que sirve esta máquina si una
muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un b) ¿Qué se puede afirmar con una
contenido promedio de 2.25 decilitros. confianza del 99% respecto al posible
tamaño del error si se estima que la
3. Las estaturas de una muestra aleatoria de cantidad promedio de kilómetros
50 estudiantes mostraron una medía de recorridos por los propietarios de
174.5 centímetros y una desviación vehículos en Virginia es de 23500
estándar de 6.9 centímetros. kilómetros al año?
a) Determine un intervalo de confianza del 5. ¿Qué tan grande se requiere que sea una
98% para la estatura promedio de muestra en el ejercicio 1 si se desea tener
todos los estudiantes. una confianza del 96% de que la media


_____________________________________________________________________________________ Estimación

muestral esté dentro de las 10 horas del gramos. Suponiendo que los contenidos de
promedio real? azúcar están distribuidos normalmente,
determine un intervalo de confianza del 95%
6. ¿Qué tan grande se requiere que sea una
para el contenido promedio de azúcar de
muestra en el ejercicio 2 si se desea tener
porciones sencillas de dicho cereal.
una confianza del 95% de que la media
muestral estará dentro de 0.09 decilitros 10. Una máquina produce piezas metálicas de
del promedio real? forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas
cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99,
7. Un experto en eficiencia desea determinar
0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre
el tiempo promedio que toma el hacer tres
un intervalo de confianza del 99% para el
perforaciones en una cierta pieza metálica.
diámetro promedio de piezas de esta máquina,
¿Qué tan grande se requiere que sea la
si supone una distribución aproximadamente
muestra si se necesita una confianza del
normal.
95% de que su media muestral estará
dentro de 15 segundos del promedio real? 11. Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una
Asuma que, por estudios previos se sabe marca determinada tiene un contenido
que = 40 segundos. promedio de nicotina de 2.6 miligramos y
una desviación estándar de 0.9 miligramos.
8. Un investigador de la Universidad UCLA afirma
Determine un intervalo del 99% de
que el ciclo de vida de los ratones puede
confianza para el contenido promedio real
prolongarse hasta en 25% cuando las calorías
de nicotina de esta marca de cigarros en
en su alimentación se reducen
particular, asumiendo que la distribución
aproximadamente un 40% desde el momento
de los contenidos de nicotina son
en que se les desteta. Las dietas con
aproximadamente normales.
restricciones son enriquecidas a niveles
normales con vitaminas y proteínas. 12. Se toma una muestra aleatoria de 12
Suponiendo que, por estudios previos, se sabe agujas de tejer en un estudio de la dureza
que = 5.8 meses, ¿cuántos ratones deben Rockwell de la cabeza las agujas. Se
incluirse en la muestra si se desea tener una realizan las mediciones de la dureza para
confianza del 99% de que el ciclo promedio de cada una de las 12 piezas, de lo que se
vida de la muestra estará dentro de los 2 meses obtiene un valor promedio de 48.50 con
del promedio poblacional para todos los ra- una desviación estándar de 1.5.
tones sujetos a esta dieta reducida? Suponiendo que las mediciones están
normalmente distribuidas, determine un
9. El consumo regular de cereales preendulzados
intervalo de confianza del 90% para la
contribuye a la caída de los dientes,
dureza Rockwell promedio.
enfermedades del corazón y otros procesos
degenerativos de acuerdo con estudios del Dr. 13. Una muestra aleatoria de 12 alumnas
W. H. Bowen del National Institutes of Health graduadas de una escuela secretarial
(Instituto Nacional de Salud) y el. Dr. J. Yudbcn. mecanografío un promedio de 79.3
profesor de nutrici6n y dietética en la palabras por minuto con una desviación
Universidad de Londres. En una muestra alea- estándar de 7.8 palabras por minuto.
toria de 20 porciones sencillas de un cereal el Suponiendo una distribución normal para
contenido promedio de azúcar fue de 11.3 la cantidad de palabras mecanografiadas
gramos con una desviación estándar de 2.45 por minuto, encuentre un intervalo de



confianza del 95% para el número 15. Se registraron las siguientes mediciones
promedio de palabras mecanografiadas del tiempo de secado, en horas, de una
por todas las graduadas de esta escuela. marca de pintura látex:
14. Una muestra aleatoria de 25 cigarros de 3.4 2.5 4.8 2.9 3.6
una marca determinada tiene un 2.8 3.3 5.6 3.7 2.8
contenido promedio de nicotina de 1.3 4.4 4.0 5.2 3.0 4.8
miligramos y una desviación estándar de
Suponiendo que las mediciones
0.17 miligramos. Encuentre los límites de
representan una muestra aleatoria de una
confianza del 95% para el contenido
población normal, encuentre los límites de
promedio contenidos de nicotina para esta
confianza del 99% para la media
marca de cigarros, suponiendo que las
poblacional de los tiempos de secado.
mediciones están normalmente
distribuidas.
2.2 Estimación proporciones, P, (muestras grandes). Si ˆ
p x / n , es la proporción de éxitos
ˆ
en una muestra aleatoria de tamaño n, y q 1 ˆ , un intervalo de confianza aproximado del
p

(1 ) 100% para el parámetro binomial P es:

ˆq
pˆ ˆq
pˆ
ˆ z
p /2 P ˆ z
p /2
n n


Teorema 2.3 Sí se utiliza ˆ como una estimación de P, se puede tener una confianza del
p

(1 )100% de que el error E no excederá de z /2 ˆ q / n.
pˆ

Teorema 2.4 Sí se utiliza ˆ
p como una estimación de P, se puede tener una confianza del

(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando
el tamaño de la muestra es

2 2
z 1 z
n / 2 ˆˆ
pq si no se tiene ˆ entonces
p nmax / 2
E 4 E

Ejemplo 2 En una muestra aleatoria de de n 500 familias que tienen televisores en la ciudad
de Hamilton, Canadá, se encuentra que x 340 están suscritas a HBO. a) Encuentre un
intervalo de confianza del 95% para la proporción real de familias en esta ciudad que están


________________________________________________________________________ Estimación de Parámetros

suscritas a HBO; b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si queremos tener el 95%
de confianza de que nuestra estimación de P esté dentro de 0.02?

Solución

a) Dado que se tienen una muestras aleatorias grande ( n 500 ), de una población grande,

utilizaremos el caso 4; con x ˆ
340 , p 340 y 1 0.95 .
500

ˆq
pˆ ˆq
pˆ
4) Intervalo de confianza para P (muestras grandes). ˆ
p z /2 P ˆ
p z /2
n n

Sustituyendo los valores de las muestras y el valor de z /2 1.96 obtenido de la Tabla 1 del

apéndice para un área a la izquierda de 0.9750

(0.68)(0.32) (0.68)(0.32)
0.68 1.96 P 0.68 1.96
500 500

encontramos

0.64 P 0.72

b) Tratando las 500 familias como una muestra preliminar que proporciona una estimación

ˆ
p 340 0.68 , y E 0.02 Entonces, por el teorema 2.4
500

2 2
z 1 z
Teorema 2.4 n / 2 ˆˆ
p nmax / 2
E 4 E

Sustituyendo

2
1.96
n (0.68)(0.32) 2090 Familias
0.02



EJERCICIOS 2.2
1.a) Se selecciona una muestra aleatoria de experimentales se realiza con el nuevo
200 votantes y se encuentra que 114 sistema y 34 de ellos tienen éxito.
respaldan un convenio de anexión. a) Determine un intervalo de confianza de
Encuentre el intervalo de confianza del 95% para P.
96% para la fracción de la población de
b) ¿Consideraría usted que el nuevo
votantes que favorece el convenio.
sistema es mejor?
b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza
6. Un especialista en genética está
de 96% acerca de la posible magnitud
interesado en la proporción de hombres
del error si se estima que la fracción de
africanos que presentan un desorden
votantes que favorecen el convenio de
sanguíneo leve. En una muestra aleatoria
anexión es 0.57?
de 100 de ellos. se encontró que 24
2.a) Se selecciona una muestra aleatoria de presentaban dicho desorden.
500 fumadores de cigarro y se
a) Calcule un intervalo de confianza de 99%
encuentra que 86 de ellos prefieren la
para la proporción de hombres
marca X. Encuentre el intervalo de
africanos que tienen este desorden
confianza de 90% para la fracción de la
sanguíneo.
población de fumadores que prefieren
la marca X. b) ¿Qué se puede afirmar con una
b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% acerca de la posible
confianza de 90% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la
magnitud del error si se estima que la proporción de personas con este
fracción de fumadores que prefieren la desorden sanguíneo es 0.24?
marca X es 0.1721? 7.a) De acuerdo con un informe que se
3. En una muestra aleatoria de 1000 casas en publicó en el Roanoke Times & Wor/d.
una determinada ciudad, se encuentra News, el 20 de agosto de 1981,
que 228 de ellas tiene calefacción de aproximadamente 2/3 de los 1600 adul-
petróleo. Encuentre el intervalo de tos investigados por teléfono dijeron que
confianza de 99% para la proporción de piensan que el programa espacial es una
hogares en esta ciudad que tiene este tipo buena inversión del país. Encuentre un
de calefacción. intervalo de confianza del 95% para la
4. Calcule un intervalo de confianza del 98% proporción de adultos en los Estados
para la proporción de artículos Unidos que piensa que el programa
defectuosos en un proceso cuando se espacial es Una buena inversión para el
encuentra que en una muestra de tamaño país.
100, ocho tienen fallas. b) ¿Qué se puede afirmar con una
5. Se está considerando un nuevo sistema de confianza del 95% acerca de la posible
lanzamiento de cohetes para el magnitud del error si se estima que la
despliegue de cohetes pequeños de corto proporción de estos adultos que
alcance. El sistema actual tiene una P = consideran al programa espacial como
0.8 como probabilidad de un lanzamiento una buena inversión es 2/3?
exitoso. Una muestra de 40 lanzamientos 8. El artículo de periódico al que se hizo


________________________________________________________________________ Estimación de Parámetros

referencia en el ejercicio 7, 32% de los estará dentro del 1% del porcentaje real
1600 adultos interrogados dijeron que el 13. De acuerdo con el doctor Memory Elvin-
programa espacial de los Estados Unidos Lewis, jefe del departamento de
debe hacer hincapié en la exploración microbiología de la Washington
científica. ¿Qué tan grande se requiere University School Dental Medicine en San
que sea la muestra de adultos si se desea Luis, un par de tasas diarias de té,
tener una confianza de 95% de que el proporciona suficiente flúor para evitar la
porcentaje estimado estará dentro del caída de los dientes. A las personas a las
2% del porcentaje real? que no les gusta el té y viven en áreas
9. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en carentes de flúor deben pedir a las
el ejercicio 1 si se desea obtener una autoridades locales que consideren la
confianza de 96% de que la proporción posibilidad de tratar sus aguas con flúor.
muestral estará dentro del 0.02 de la ¿Qué tan grande debe ser una muestra
fracción real de la población de votantes? para estimar el porcentaje de ciudadanos
10. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en un cierto pueblo que están a favor de
en el ejercicio 3 si se desea tener una que sus aguas se traten con flúor si se
confianza del 99% de que la proporción desea tener una confianza de al menos
muestral estará dentro del 0.05 de la 99% de que la estimación estará dentro
proporción real de hogares en esta ciudad del 1 % del porcentaje real?
que utilizan calefacción de petróleo? 14. Se realiza un estudio para estimar la
11. ¿Qué tan grande debe ser una muestra proporción de residentes en una ciudad y
en el ejercicio 4 si se desea tener una en sus suburbios que están a favor de la
confianza del 98% de que la proporción construcción de una planta de energía
muestral estará dentro del 0.05 de la nuclear. ¿Qué tan grande debe ser una
proporción real de partes defectuosas? muestra si se requiere una confianza al
12. Se realiza un estudio para estimar el menos del 95% de que la estimación
porcentaje de ciudadanos de un pueblo estará dentro del 0.04 de la proporción
que están a favor de que su agua se trate real de residentes de esta ciudad y sus
con flúor. ¿Qué tan grande debe ser una suburbios que están a favor de la
muestra si se desea tener una confianza al construcción de la planta de energía
menos del 95% de que la estimación nuclear?



2
2.3 Estimación de varianzas, . Si es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de
una población normal, un intervalo de confianza del (1 )100% para es:

( n 1 )s 2 2 ( n 1 )s 2
2 2
1 / 2 ,v / 2 ,v

2 2 2
donde 1 / 2, v y / 2, v son valores de con v = n – 1 grados de libertad, con

áreas de 1 /2 y / 2 , respectivamente, a la izquierda.

Ejemplo 3. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus baterías duran, en
promedio, 3 años con una variancia de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de
2
1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años determine un intervalo de confianza del 95% para e
2
indique si es válida la afirmación del fabricante de que 1 . Suponga que la población
de las duraciones de las baterías se distribuye aproximadamente en forma normal.

Solución
n
xi
i 1 1.9 2.4 3.0 4.2
La media muestral de los datos es x 3.000
n 15
2
n n
2
x i xi
i 1 i 1 228.28 ( 15 )2
y su desviación estándar s 0.902774
n 1 4

2 2
De la Tabla T.2 del apéndice encontramos el valor de 0.025 , 4 0.484 y 0.975 , 4 11.14 ,
2
entonces un intervalo de confianza del 95% para la varianza, está dado por

( n 1 )s 2 2 ( n 1 )s 2
2 2
1 / 2 ,v / 2 ,v

( 5 1 )( 0.902774 )2 2 ( 5 1 )( 0.902774 )2
11.14 0.484
que se reduce a
2
0.29255 6.72972

0.540882 2.59417


_____________________________________________________________________________________ Estimación

Determinación del tamaño de muestra

i. Basado en la media de la Población

(1 )100% de que el error no excederá de una cantidad específica E cuando el tamaño de la
2
muestra es n z /2 /E

ii. Basado en la proporción de la Población

Teorema 3.4 Sí se utiliza ˆ
p como una estimación de P, se puede tener una confianza del

muestra es
2 2
z 1 z
n / 2 ˆˆ
p nmax / 2
E 4 E

iii. Basado en la diferencia entre las medias de la Población

2
z / 2 2 2
muestra es n ( 1 2 )
E



EJERCICIOS 3.8
1. Un fabricante de baterías para automóvil centímetros. Encuentre un intervalo de
asegura que sus baterías duran, en confianza del 99% para el diámetro prome-
promedio, 3 años con una variancia de 1 dio de piezas de esta máquina, si supone
año. Si 5 de estas baterías tienen una distribución aproximadamente
duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años normal. Determine un intervalo de
determine un intervalo de confianza del confianza del 99% para 2.
95% para 2 e indique si es válida la 4. Una muestra aleatoria de 10 barras de
afirmación del fabricante de que 2 1 . chocolate de cierta clase tiene, en
Suponga que la población de las promedio, 230 calorías con una desviación
duraciones de las baterías se distribuye estándar de 15 calorías. Determine un
aproximadamente en forma normal. intervalo de confianza del 99%. Suponga
2. Se obtiene una muestra aleatoria de 20 que la distribución de las calorías es
estudiantes con una media de x 72 y normal.
una variancia de s 2 16 en un examen 5. Se toma una muestra de 12 agujas de tejer
de ubicación de matemáticas. Suponga en un estudio de prueba de dureza por el
que las calificaciones tienen una método de Rockwell para cada una de las
distribución normal y determine un 12, lo que dio un valor promedio de 48.50
intervalo de confianza del 98% para 2 . con una desviación estándar de 1.5.
Suponga que las mediciones se distribuyen
3. Una máquina produce piezas metálicas de de forma normal. Determine un intervalo
forma cilíndrica. Se toma una muestra de de confianza del 90% para .
piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97,
1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03


_____________________________________________________________________________________ Estimación

Formulario de Estimación

1) Intervalo de confianza para , conociendo . x z / 2 x z / 2
n n

s s
2) Intervalo de confianza para , desconocida ( n 30 ). x z / 2 x z / 2
n n

s s
3) Intervalo de confianza para , desconocida ( n < 30 ). x t /2 x t /2
n n

2 2
4) Intervalos de Confianza para la Diferencia de Dos Medias, y
1- 2; conociendo 1 2 .

2 2 2 2
1 2 1 2
( x1 x2 ) z /2 1 2 ( x1 x2 ) z /2
n1 n2 n1 n2

2 2
5) Intervalo de confianza para 1- 2; 1 y 2 desconocidas (n1 y n2 30)

2 2 2 2
s1 s2 s1 s2
( x1 x2 ) z / 2 1 2 ( x1 x2 ) z / 2
n1 n2 n1 n2

2 2
6) Intervalo de confianza para 1- 2; 1 2 pero desconocidas (n1 y n2 < 30)

1 1 1 1
( x1 x2 ) t / 2 ,v sp 1 2 ( x1 x2 ) t / 2 ,v sp
n1 n2 n1 n2

donde sp es la estimación común de la desviación estándar poblacional dada por

2 2
( n1 1 )s1 ( n2 1 )s2
sp ; y v n1 n2 2 gl
n1 n2 2

2 2
7) Intervalo de confianza para 1- 2; 1 2 y desconocidas (n1 y n2 < 30).

2 2 2 2
s1 s2 s1 s2
( x1 x2 ) t / 2 ,v 1 2 ( x1 x2 ) t / 2 ,v
n1 n2 n1 n2



2 2 2
s1 / n1 s2 / n2
donde t /2, v es el valor de t con v
( s1 / n1 )2 /( n1
2
1) ( s2 / n2 )2 /( n2
2
1)

8) Intervalo de confianza para observaciones pareadas ( D = 1 - 2).

sd sd
d t / 2 ,v 1 2 d t / 2 ,v
n n

ˆˆ
pq ˆˆ
pq
9) Intervalo de confianza para P (muestras grandes). ˆ
p z /2 P ˆ
p z /2
n n

10) Intervalo de confianza para P1 P2 (muestras grandes).

ˆ ˆ
p1q1 ˆ ˆ
p2 q2 ˆ ˆ
p1q1 ˆ ˆ
p2 q2
ˆ
( p1 ˆ
p2 ) z / 2 P1 P2 ˆ
( p1 ˆ
p2 ) z / 2
n1 n2 n1 n2

2 ( n 1 )s 2 2 ( n 1 )s 2
11) Intervalo de confianza para . 2 2
1 / 2 ,v / 2 ,v

2 2 2
s1 1 s1
12) Intervalo de confianza para 2
1 / 2
2
2
1
fvv2, 1 / 2
s2 fvv1, 1 / 2
2
2
2
s2 1

2

Determinación del tamaño de muestra

2
z /2
13) Basado en la media de la Población n
E

14) Basado en la proporción de la Población

2 2
z 1 z /2
a) n / 2 ˆˆ
pq si no se tiene ˆ entonces b) nmax
p
E 4 E

2
z / 2 2 2
15) Basado en la diferencia entre las medias de la Población n ( 1 2 )
E


2 estimación

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