fracciones parciales y transformadar de laplace

1. REPASO DE FRACCIONES PARCIALES.
Las fracciones parciales se aplican en la transformada inversa para poder utilizar
la Tabla de Transformada de Laplace
Daremos un repaso de las fracciones parciales donde trataremos como una
función de s, y no como de x, ya que es como se trata en la Transformada de
Laplace, donde se define la Transformada de Laplace en función de s:
Los casos se presentan son:
Caso 1: Factores lineal no repetida
𝑓(𝑠)
(𝑎𝑠+𝑏)(𝑐𝑠+𝑑)
=
𝐴
𝑎𝑠+𝑏
+
𝐵
𝑐𝑠+𝑑
Caso 2: Factores lineal no repetidos
𝑓(𝑠)
(𝑎𝑠+𝑏)³
=
𝐴
(𝑎𝑠+𝑏)
+
𝐵
(𝑎𝑠+𝑏)²
+
𝐶
(𝑎𝑠+𝑏)³
Caso 3: Factores cuadráticos no repetidos
𝑝(𝑠)
(𝑎𝑠2+𝑏𝑠+𝑐)(𝑑𝑠+𝑒)
=
𝐴𝑠+𝐵
(𝑎𝑠2+𝑏𝑠+𝑐)
+
𝐶
(𝑑𝑠+𝑒)
Caso 4: Factores cuadráticos repetidos
𝑝(𝑠)
(𝑎𝑠2+𝑏𝑠+𝑐)2(𝑑𝑠+𝑒)
=
𝐴𝑠+𝐵
(𝑎𝑠2+𝑏𝑠+𝑐)
+
𝐶𝑠+𝐷
(𝑎𝑠2+𝑏𝑠+𝑐)
+
𝐸
(𝑑𝑠−𝑒)
Donde tenemos que s es la variable o sea que f(x) = f(s) y que p(x)= p(s)

2. EJEMPLOS RESUELTO
1. Aplicar fracciones parciales a:
Solución:
Aplicamos el caso 2 y tendremos que:
4𝑠
(𝑠−2)(𝑠2+4)
=
𝐴
𝑠−2
+
𝐵𝑠+𝐶
𝑠2+4
Donde tendremos que: 4s = A (s²+4) + (Bs+C) (s-2)
Operamos y nos queda: 4s = (A+B) s² + (-2B+C) s+(4A-2C)
Donde igualando las pote3ncias de s tendremos:
Potencias de s² es: A + B=0
Potencia de s es: -2B + C=4
Termino. Independiente es: 4A - 2C=0
Resolviendo el sistema de ecuaciones que nos dio, tenemos como
solución:
A=1. B= -1. C=2.
Y la fracción nos queda como:
=

3. 2. Descomponer en fracciones simples:
7𝑠 + 1
𝑠2 − 𝑠 − 2
Solucion:
Se factoriza el denominador y queda:
7𝑠 + 1
(𝑠 − 2)(𝑠 + 1)
Aplicamos caso 1 de fracciones parciales
7𝑠 + 1
(𝑠 − 2)(𝑠 + 1)
=
𝐴
(𝑠 − 2)
+
𝐵
(𝑠 + 1)
7𝑠 + 1 = 𝐴( 𝑠 + 1) + 𝐵(𝑠 − 2).
7𝑠 + 1 = ( 𝐴 + 𝐵) 𝑠 + 𝐴 − 2𝐵).
𝐴 + 𝐵 = 7.
𝐴 − 2𝐵 = 1.
Resolviendo el sistema de ecuación tendremos:
𝐴 = 5 𝐵 = 2.
Por lo tanto la solución es:
7𝑠 + 1
𝑠2 − 𝑠 − 2
=
5
(𝑠 − 2)
+
2
(𝑠 + 1)

4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición
Sea f una función definida para t ≥ 0. La transformada de Laplace se
define como sigue:
Se dice que la Transformada de Laplace existe si la integral anterior
converge, en caso contrario se dice que la transformada de Laplace
no existe.
Por lo general, para denotar la función que se desea trasformar se
usan letras minúsculas y la letra mayúscula corresponde a su
trasformada. De esta manera tendremos:
Ejemplo de Calculo de transformada por definicion
1 Ejemplo

5. 2 Ejemplo
Considere la función constante f (t) = 1. Tenemos que su trasformada
es:
Siempre que la integral converja, es decir siempre que s > 0. En caso
contrario, s < 0, la integral diverge.
Sea g(t)=t. Su trasformada de Laplace viene dada por
Al integrar por partes y sabiendo que te-st tiende a 0 cuando t tiende a
infinito y s > 0, junto con el ejemplo anterior tenemos que:
Transformada de Laplace inversa:
Después de calcular la Transformada de Laplace. Que es la transformada directa,
se puede calcular la función de t de esa transformada que seria la transformada
inversa F(t)
ℒ(f(t)) = F(s) = Transformada de Laplace
𝐿−1
(𝐹( 𝑠)) = Transformada de Laplace inversa

6. TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
f(t) F(s)
1 1
𝑠
t 1
𝑠²
𝑡 𝑛
n=0, 1,2…
n!
𝑠 𝑛+1 s>0
𝑒 𝑎𝑡 1
𝑠−𝑎
s>a
Sen(at) 𝑎
𝑠2+𝑎²
s>0
Cos(at 𝑠
𝑠2+𝑎²
s>0
Senh(at) 𝑎
𝑠2−𝑎²
s> lal
Cosh(at) 𝑠
𝑠2−𝑎²
s> lal
F´(t) sf(s)-F(0)
F´´(t) s²f(s)-sf´(0)-f(0)
∫ 𝑓( 𝑢) 𝑑𝑢
𝑡
0
𝑓(𝑠)
𝑠
F´ (t)= derivada de f(t) con respeto a t
F´´ (t) = derivada 2da de f(t) con respecto a t

7. LA Transformada de Laplace de la derivada enésima es
f(n)
son continuas para t ≥ 0 y son de orden exponencial y f(n)(t) es
continua por partes para t ≥ 0, entonces
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑛)
(t)= la derivada enésima de f(t)
EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMADA DE LAPLACE
HALLAR LA TRANSFORMADA
1)
2)

8. 3)
4)

9. Transformada inversa

10. Hallar la Tranformada inversa
5) L-1
6) L-1
7) L-1

11. 8) L-1
, y
L-1
= L-1 L-1 L-1
=

12. 9) L-1
L-1
= L-1 L-1

15. ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES
(TRANSFORMADA):
1) ,
L
L-1 L-1

16. 2. si:
L
L-1 L-1