1. Calculo II
Sumatorias, integrales definidas, cálculo
de áreas, métodos numéricos,
sumatorias e integrales dobles,
Interpolación.
Universidad Nacional Del Callao

2. Calculo II 2012
1
Índice
1) Sumatorias 2
 Definición
 Propiedades
 Fórmulas de sumatoria
 Ejemplo
2) Calculo de la integral definida mediante sumatorias 9
 Definición
 Propiedades de la integral definida
 Ejemplos
3) Calculo de Áreas por sumatorias 17
 Introducción
 Partición de un intervalo
 Refinamiento de una partición
 Área de una región plana por sumatorias de rectángulos
4) Métodos numéricos para calcular integrales definidas 35
 Método del rectángulo 35
 Método del trapecio 37
 Método de Simpson 40
 Integración por series de Taylor 51
5) Sumatorias dobles 58
 Definición
 Integral doble sobre un rectángulo
 Integral doble como volumen
 Propiedades
 Ejercicios
6) Calculo de integrales dobles por sumatorias dobles 63
 Definición
 Integral doble sobre un rectángulo
 Integral doble como volumen
 Propiedades
 Ejercicios
7) Calculo de integrales por interpolación 72
 Introducción
 Interpolación de Lagrange
 Interpolación de Hermite
 Interpolación de trazadores cúbicos

3. Calculo II 2012
2
SUMATORIAS
1.-DEFINICION
Consideremos “m” y “n” dos números naturales tal que m ≤ n, y “f” una función definida para cada
i Є N donde m ≤ i ≤ n, luego la notación  
n
i m
f i

 , nos representa la suma de los términos; f(m);
f(m+1); f(m+2); …; f(n); es decir:
         1 2 ...
n
i m
f i f m f m f m f n

      
Donde “i” es el índice o variable, “m” es el límite inferior y “n” el límite superior.
Particularmente: a la suma de los n números a1, a2, …, an , representaremos por la notación:
1 2
1
...
n
i n
i
a a a a

   
En la sumatoria  
n
i m
f i

 , existen (n-m+1) términos los cuales son f(m), f(m+1), f(m+2), …, f(m+(n-
m))
2.-PROPIEDADES
Siendo f,g funciones definidas  i Є Z, k contante.
a)
1
n
i
k kn


DEMOSTRACION:
1
... (" " )
n
i
k k k k n veces kn

    
b) ( 1)
n
i m
k n m k

  
DEMOSTRACION:
1
... (" 1" ) ( 1)
n
i
k k k k n m veces n m k

        
c)    
1 1
n n
i i
kf i k f i
 
 

4. Calculo II 2012
3
DEMOSTRACION:
               
1 1
1 2 ... ( 1 2 ... )
n n
i i
k f i kf kf kf n k f f f n k f i
 
        
d)        
1 1 1
( )
n n n
i i i
f i g i f i g i
  
    
DEMOSTRACION:
               
               
1
1 1
( ) ( 1 1 ) ( 2 2 )... ( )
( 1 2 ... ) ( 1 2 ... )
n
i
n n
i i
f i g i f g f g f n g n
f f f n g g g n f i g i

 
      
       

 
e)    
b b c
i a i a c
f i f i c

  
  
DEMOSTRACION:
         
       
 
1 2 ...
( ) ( 1) ( 2) ... ( )
b
i a
b c
i a c
f i f a f a f a f b
f a c c f a c c f a c c f b c c
f i c


 
      
              
 


f)    
b b c
i a i a c
f i f i c

  
  
DEMOSTRACION:
         
       
 
1 2 ...
( ) ( 1) ( 2) ... ( )
b
i a
b c
i a c
f i f a f a f a f b
f a c c f a c c f a c c f b c c
f i c


 
      
              
 


g)        
1
( 1 ) 0
n
i
f i f i f n f

    1ra Regla Telescópica

5. Calculo II 2012
4
DEMOSTRACION:
       
               
   
1 1 1
( 1 ) 1
( 1 2 ... 1 ) ( 0 1 ... 2 1 )
0
n n n
i i i
f i f i f i f i
f f f n f n f f f n f n
f n f
  
    
            
 
  
h)        ( 1 ) 1
n
i k
f i f i f n f k

     1ra Regla Telescópica Generalizada
DEMOSTRACION:
       
               
   
( 1 ) 1
( 1 ... 1 ) ( 1 ... 2 1 )
1
n n n
i k i k i k
f i f i f i f i
f k f k f n f n f k f k f n f n
f n f k
  
    
              
  
  
i)            
1
( 1 1 ) 1 1 0
n
i
f i f i f n f n f f

        2da Regla Telescópica
DEMOSTRACION:
       
               
       
1 1 1
( 1 1 ) 1 1
( 2 3 ... 1 ) ( 0 1 ... 2 1 )
1 1 0
n n n
i i i
f i f i f i f i
f f f n f n f f f n f n
f n f n f f
  
      
            
    
  
j)            ( 1 1 ) 1 1
n
i k
f i f i f n f n f k f k

         2da Regla Telescópica
Generalizada
DEMOSTRACION:
       
               
       
( 1 1 ) 1 1
( 1 2 ... 1 ) ( 1 ... 2 1 )
1 1
n n n
i k i k i k
f i f i f i f i
f k f k f n f n f k f k f n f n
f n f n f k f k
  
      
               
     
  

6. Calculo II 2012
5
3.-FORMULAS DE LA SUMATORIA
a)
1
( 1)
2
n
i
n n
i



DEMOSTRACION:
Aplicando la regla telescópica
      
2 2
1
1 0
n
i
i i f n f

    , donde 2
( ) ( 1)f i i 
    
 
2 22
1
2 2 2
1
2
1 1
2
1
2
1
1
1 1 1
2 1 2
2 1 2
2 2
2
( 1)
2
n
i
n
i
n n
i i
n
i
n
i
n
i
i i n
i i i n n
i n n
i n n n
i n n
n n
i


 



    
    
  
  
 




 



b)
  2
1
1 2 1
6
n
i
n n n
i

 

DEMOSTRACION:
      
3 3
1
1 0
n
i
i i f n f

    , donde 3
( ) ( 1)f i i 
    
   
 
   
     
 
3 33
1
33 2 3
1
32
1 1 1
32
1
32
1
1
1 1 1
3 3 1 1 1
3 3 1 1 1
3
3 1 1 1
2
3
3 1 1 1
2
( 1) 2 1
6
n
i
n
i
n n n
i i i
n
i
n
i
n
i
i i n
i i i i n
i i n
i n n n n
i n n n n
n n n
i


  



    
      
    
     
      
 
 


  




7. Calculo II 2012
6
c)
 
22
3
1
1
4
n
i
n n
i



DEMOSTRACION:
      
4 4
1
1 0
n
i
i i f n f

    , donde 4
( ) ( 1)f i i 
    
   
 
    
    
    
4 44
1
44 3 2 4
1
43 2
1 1 1 1
43
1
43
1
43
1
3
1
1 1 1
4 6 4 1 1 1
4 6 4 1 1 1
6 4
4 1 2 1 ( 1) 1 1
6 2
3 1 2 1 2 ( 1) 1 1
3 1 ( 1) 2 ( 1) 1 2 1
n
i
n
i
n n n n
i i i i
n
i
n
i
n
i
i
i i n
i i i i i n
i i i n
i n n n n n n n
i n n n n n n n
i n n n n n n n
i


   




    
       
     
        
        
        


   



 
22
1
4
n
n n 

d)
  3 2
4
1
1 6 9 1
30
n
i
n n n n n
i

   

DEMOSTRACION:
      
5 5
1
1 0
n
i
i i f n f

    , donde 5
( ) ( 1)f i i 
    
   
 
    
    
5 55
1
55 4 3 2 5
1
54 3 2
1 1 1 1 1
54 2 2
1
4 2 2
1
1 1 1
5 10 10 5 1 1 1
5 10 10 5 1 1 1
10 10 5
5 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 1
4 6 2
5 5 5
5 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1
2 3 2
n
i
n
i
n n n n n
i i i i i
n
i
n
i
i i n
i i i i i i n
i i i i n
i n n n n n n n n n
i n n n n n n n n n


    


    
        
      
          
         


    


    
   
  
5
54 2 2
1
2 3 2
4 4 3
1
3 2
4
1
1
5 5 5
5 1 ( 1) 1 2 1 ( 1)
2 3 2
3 6 9 1
5 1 [ ] 1 [ ]
2 6 6 6
1 6 9 1
30
n
i
n
i
n
i
i n n n n n n n n
n n n n n
i n n n n n
n n n n n
i




        
  
      
   





8. Calculo II 2012
7
e) Si r≠1,
1
1
.
1
nn
i
i
r
ar a
r




DEMOSTRACION:
0 2 2
1
( ... ) (1 ... )
1 1
. .
1 1
n
i n n
i
n n
ar a r r r r a r r r
r r
a a
r r

         
 
 
 

f) Si r=1,
1
.
n
i
i
ar n a


Cuyo resultado se encuentra demostrado en la propiedad 1.
4.-EJEMPLOS
a) Calcular la suma de los n primeros términos de: 1.6+2.7+3.8+4.9+…
Solución:
Observando los términos de la suma nos damos cuenta que el término general es ai=i(i+5);
por lo tanto, la suma se expresa como:
   
    
2
1 1
2
1 1
3 2
5 5
5
1 2 1 1
5
6 2
9 8
3
n n
i i
n n
i i
i i i i
i i
n n n n n
n n n
 
 
  
 
   
   
 
 

 
 
b) Calcular
  1
1
2 1 2 1
n
i i i  

Solución:
Expresando en fracciones parciales:
  
  
1 (2 1) (2 1)
2 1 2 1 2 1 2 1 (2 1)(2 1)
1 2 2
2 1 2 1 (2 1)(2 1)
A B A i B i
i i i i i i
A A Bi B
i i i i
  
  
     
  

   

9. Calculo II 2012
8
 1 2 2 ( )i A B A B    (por identidad de polinomios)
2 2 0
1
A B
A B
 
 
Entonces,
1 1
,
2 2
A B  
Reemplazando en la sumatoria:
1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 12 2( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
n n n
i i ii i i i i i  
     
     
  
Por la 1ra Regla Telescópica:
   
1
0
2
f n f     , donde  
1
2 1
f i
i


1 1 1 1 1 2
1 1 ( )
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1
n n
n n n n
   
               
c) Calcular
   2 2 2
1
1
log 2 .log 2
n
i i
i a a



Solución:
         
       
     
2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2 2
1
1 1
2 .log 2 . 2 2 .log 2log 2 .log 2
1 1 1 1
2 2 2 1log 2 2log 2
1 1 1 1 1 1
( ) 1 .
1 1 1log 4 log 4 log 4
n n
i i
i i a aa a
n n
i ia a
n
ia a a
i i
i i i i
n
i i n n

 
 



 
 
 
        
 
 

d) Calcular 2
1
n
i
i
sen ax


Solución:
 
2 2 4 6 2
1
2 2 4 2 2
2
2 2 2
2
...
1 ...
1
(1 )
1
n
i n
i
n
n
n
sen ax sen ax sen ax sen ax sen ax
sen ax sen ax sen ax sen ax
sen ax
sen ax tg ax sen ax
sen ax


    
    
 
   
 


10. Calculo II 2012
9
CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA MEDIANTE SUMATORIA
Sea D el conjunto de todas las particiones posibles del intervalo ,a b . Si f es una función
acotada sobre ,a b  entonces existen números m y M tal que:
 ( ) , ,m f x M x a b   
Se sabe que la siguiente desigualdad se cumple
  ( , ) ( , ) ( )m b a L f P U f P M b a    
Para toda partición P en D, esto asegura que el conjunto numérico  ( , ) /L f P P D es acotado
superiormente y el conjunto  ( , ) /U f P P D es acotado inferiormente, luego el conjunto
 ( , ) /L f P P D tiene un supremo (la mayor cota inferior) y  ( , ) /U f P P D tiene un ínfimo
(mínima cota superior) con estos valores supremo e ínfimo daremos la siguiente definición:
1. DEFINICION:
Si f es una función acotada en ,a b , al número sup  ( , ) /L f P P D se llama integral inferior
de f en ,a b  y se indica.
 ( ) sup ( , ) /
b
a
f x dx L f P P D  = integral inferior de f desde a hasta b.
Al número inferior  ( , ) /U f P P D se llama integral superior de f en ,a b y se indica
 ( ) inf ( , ) /
b
a
f x dx U f P P D  = integral superior de f desde a hasta b.
En muchas aplicaciones del Cálculo integral es preferible definir la integración como una
sumatoria. De hecho, el Cálculo integral se inventó con el fin de calcular el área de las superficies
limitadas por curvas, suponiéndose la superficie dividida en “un número infinito de partes
infinitamente pequeñas que se llama elementos, siendo la suma de las áreas de todos estos
elementos el área buscada”. Históricamente, el signo integral no es otra cosa que la “S” larga,
empleada por los primeros autores para indicar la palabra suma.
Esta nueva definición, que se desarrollara en el presente informe, es de importancia fundamental,
y es indispensable comprender a fondo lo que se quiere decir, para que podamos aplicar el Cálculo
integral a los problemas prácticos.
A. Teorema fundamental del Cálculo integral:
Si ( )x es la derivada de ( )f x , se sabe que el valor de la integral definida
( ) ( ) ( )
b
a
x dx f b f a   ………. (1)

11. Calculo II 2012
10
Dada el área de la superficie limitada por la curva ( )y x  , el eje de las x y las ordenadas
correspondientes a x a y x b .
Ahora bien, a propósito de esta área hagamos la siguiente construcción. Dividamos el
intervalos desde x a hasta x b en un número “n” de partes iguales, tracemos las
ordenadas en los puntos de división y completemos los rectángulos trazando líneas
horizontales por las extremidades de las ordenadas, como se indica en la figura (1). Es
evidente que la suma de las áreas de estos “n” rectángulos (el área sombreada) es un valor
aproximado del área que consideramos. Además es también evidente que el límite de la
suma de las áreas de estos rectángulos, cuando se aumenta indefinidamente su número
“n”, será igual al área bajo la curva.
Ahora efectuamos la siguiente construcción más general. Dividimos el intervalo en “n”
partes, que no serán necesariamente iguales, y levantemos ordenadas en los puntos de
división. Elijamos de cualquier modo un punto dentro de cada parte,
Figura (1) Figura (2)
Levantemos ordenadas en estos puntos y tracemos por sus extremidades líneas
horizontales de manera de formar rectángulos, como se indica en la figura (2). Entonces,
como antes, la suma de las áreas de estos “n” rectángulos (el área sombreada) es igual,
aproximadamente, al área bajo la curva; y el límite de esta suma cuando “n” tiende al
infinito y cada parte tiende a cero es, precisamente, el área bajo la curva. De estas
consideraciones vemos que la integral definida (1) puede mirarse como el límite de una
suma. Ahora formulemos este resultado.
Figura (3)
 Designemos las longitudes de las divisiones sucesivas por
1 2 3, , ,..., .nx x x x   
 Designemos las abscisas de los puntos elegidos en cada una de las divisiones por

12. Calculo II 2012
11
1 2 3, , ,..., .nx x x x
Entonces las ordenadas de las curvas en esos puntos son
1 2 3( ), ( ), ( ),..., ( ).nx x x x   
 Las áreas de los rectángulos sucesivos son, evidentemente,
1 1 2 2 3 3( ) , ( ) , ( ) ,..., ( ) .n nx x x x x x x x       
 Por tanto, el área bajo la curva es igual a
1 1 2 2 3 3lim[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ].n n
n
x x x x x x x x

           
Pero según (1) el área bajo la curva = ( ) .
b
a
x dx
Luego,
(A) 1 1 2 2 3 3( ) lim[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ].
b
n na n
x dx x x x x x x x x

          
Esta igualdad se ha deducido sirviéndonos de la noción de área.
La intuición nos ha ayudado en establecer el resultado. Ahora consideremos (A)
simplemente como un teorema de Análisis matemático, que se puede formular como
sigue:
Teorema Fundamental del Cálculo integral.- Sea ( )x una función continua en el intervalo
desde x a hasta x b . Dividiéndose este intervalo en “n” subintervalos cuyas
longitudes son 1 2, ,..., ,nx x x   y elijándose puntos, uno en cada subintervalo, que
tengan las abscisas 1, 2,..., ,x x xn respectivamente. Considere la suma
(2) 1 1 2 2
1
( ) ( ) ... ( ) ( ) .
n
n n i i
i
x x x x x x x x

           
Entonces, el valor límite de esta suma cuando “n” tiende al infinito, y cada subintervalo
tiende a cero, es igual al valor de la integral definida
( ) .
b
a
x dx
La igualdad (A) se puede abreviarse como sigue:
(3)
1
( ) lim ( ) .
nb
i ia n
i
x dx x x


   
La importancia de este teorema resulta del hecho que si podemos calcular, por
integración, una magnitud que sea el límite de una suma de la forma (2).
Puede observarse que cada término de la suma (2) es una expresión diferencial, puesto
que las longitudes 1 2, ,..., ,nx x x   tienden a cero. Además, cada termino se llama en
elemento de la magnitud que se trata de calcular.
La siguiente regla será muy útil en la aplicación de este teorema a los problemas prácticos.

13. Calculo II 2012
12
B. Regla para Aplicar el teorema Fundamental:
PRIMER PASO: se divide la magnitud buscada en partes semejantes de manera que sea
claro que el resultado deseado se encuentra tomando el límite de una suma de esas
partes.
SEGUNDO PASO: para las magnitudes de estas partes se hallan expresiones tales que su
suma sea de la forma (2).
TERCER PASO: elegidos los limites apropiados, x a y x b , se aplica el teorema
fundamental.
1
lim ( ) ( )
n b
i i an
i
x x x dx


     y se integra.
C. Propiedades de la Integral Definida
 Si ‘f’ y ‘g’ son integrables en ,a b y ‘c’ es una constante, entonces:
( ) ( )
b b
a a
cf x dx c f x dx 
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx    
 Si x está definido para x=a, entonces:
( ) 0
a
a
f x dx 
 Si f es integrable en ,a b , entonces:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx  
 Propiedad de aditividad del valor: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos
por a, b y c entonces
( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx   
 Si en el intervalo [a,b] la función f es mayor o igual que la función g, entonces:
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
 Si ( ) 0f x  , x  ,a b ,entonces:
( ) 0
b
a
f x dx 

14. Calculo II 2012
13
 Si  0 ( ), ,f x x a b  
0 ( )
b
a
f x dx 
 Si en el intervalo ,a b  la función ‘f’ es mayor que la función ‘g’, entonces:
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
 Si  ( ) 0, ,f x x a b   , entonces:
( ) 0
b
a
f x dx 
 Si  0 ( ), ,f x x a b   , entonces:
0 ( )
b
a
f x dx 
 Si f es una función par sobre ,a b ,  ( ) ( ), ,f x f x x a b    , y ,a b es un intervalo
simétrico respecto del origen, entonces:
0
( ) 2 ( )
b b
a
f x dx f x dx 
 Si f es una función impar sobre ,a b ,  ( ) ( ), ,f x f x x a b     ,y ,a b es un intervalo
simétrico respecto al origen, entonces:
( ) 0
b
a
f x dx 
 ( ) ( )
b
b k
a k
a
f x dx f x k dx


  
 Si f es una función continua en el intervalo ,a entonces:

0 0
( ) ( )
a a
f x dx f a x dx  

15. Calculo II 2012
14
Ejemplo 1:
Halle:
1
3
2
x dx
 que se muestra en la figura4
Figura4
Como
3
( )f x x es continua en el intervalo [-2,1] sabemos que es integrable.
Dividimos el intervalo en ‘n’ subintervalos de igual longitud
1 ( 3
i
b a
x
n n n
  
   
Y para el cálculo de la integral consideremos el extremo derecho de cada intervalo
3
2i
i
t
n
  
2 3
1
3 3
2 32
1 1 1
3 3 3 36 54 27
lim ( ) lim ( 2 ) lim ( 8 )
n n n
i i
n n n
i i i
i i i i
x dx f t x
n n n n n n   
  
           
2 2
1
3
2 32
3 36 ( 1) 54 ( 1)(2 1) 27 ( 1)
lim [ 8 ]
2 6 4n
n n n n n n n
x dx n
n n n n 
   
    
1
3
2 22
54 81 27 81 81 81 81 15
lim[ ] 24
4 2 4 4 4n
x dx
n n n n n 
             
1
3
2
15
4
x dx

 
Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales
definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.
Ejemplo 2:
Hallar el área limitada (A) limitada por la gráfica f(x)=x+1 en el intervalo [0,4].
Solución:
Dado que a=0 y b=4, se tiene que la longitud de cada subintervalo es:
4 0 4
x
n n

  
Sustituyendo en la siguiente formula

16. Calculo II 2012
15
1
lim ( ).
n
n
k
b a b a
A f a k
n n

 
 
Se tiene:
1 1
4 4 4 4
lim (0 ). lim ( )
n n
n n
k k
A f k f
n n n n 
 
   
1 1 1 1
4 4 4 4
lim ( 1) 1
n n n n
n
k k k k
k
f k
n n n n
   
 
    
 
   
2
1
4 4 ( 1) 16 ( 1)
lim 4
2 2
n
n
k
n n n n
n
n n n

        
         
      

1 1
lim 8 1 4 8lim 1 4 8 4 12
n nn n 
    
            
    
Por lo tanto, A=12u²
Figura5
Grafica realizada en Logger Pro 3.2.1 Español (figura5)
Ejemplo 3:
Hallar:  
2
3
1
3x x dx

 
Como
3
( ) 3f x x x   es continua en el intervalo [-1,2] sabemos que es integrable.
Dividimos el intervalo en ‘n’ subintervalos de igual longitud
( 3
i
b a
x
n n n
  
   
Y para el cálculo de la integral consideremos el extremo derecho de cada intervalo
3
i
i
t
n
 
 
3
2
3 3 2
3 2
1 1 1
3 3 3 3 27 27 12
3 lim ( ) lim ( ) 1 3 lim ( 1)
n n n
n n n
i i i
i i i
x x dx f ti xi i i
n n n n nn n   
  
  
               
  
  
 
2 2
2
3
3 2
3 27 ( 1) 12 ( 1) 27 ( 1)(2 1)
3 lim [ ]
24 6n
n n n n n n n
x x dx n
n nn n 
   
     
 
2
3 27 1 9 1 1 1 57
3 lim3[ 1 1 2 6 1 1]
4 2 4n
x x dx
n n n n 
      
                
      


17. Calculo II 2012
16
Ejemplo 4:
Calcular el área de la región sombreada acotada por la curva,
2
2
, 3
( )
6 , 3
x x
f x
x x x
 
 
 
el eje X y
las rectas x=1, x=7. De la figura6
Figura6
Calcularemos el R:
3 1 2
x
n n

  
2i
ti
n

2
2
2
2 2 4 4
1 1 1f i i i i
n n n n
   
         
   
2
2
1
4 4 2
lim 1
n
n
i
i i
n nn

 
   
 

2 3
2 8 ( 1) 8 ( 1)(2 1)
lim[ ]
2 6n
n n n n n n
n n n
  
  
1 4 1 1 26
lim[2 4 1 1 2 ]
3 3n n n n
    
          
    
Calcularemos el R1:
6 3 3
x
n n

  
3
3
i
ti
n
 
2
2
2
3 2 2 9
3 6 1 1 9f i i i i
n n n n
     
            
     
entonces se tiene:
2
2
2 3
1 1
9 3 1
lim 9 27lim
n n
n n
i i
i
i
n nn n 
 
  
     
   
 

18. Calculo II 2012
17
1 ( 1)(2 1) 1 1 1
lim[1 ] lim[1 (1 ) 2 ] 18
3 6 6n n
n n n
n n 
   
       
 
Entonces el área de la región sombreada será R+R1 lo que igual a
80
3
Ejemplo 5:
Hallar
1
0
( )senh x dx
Como ( ) ( )f x senh x es continua en el intervalo [0,1] sabemos que es integrable.
Dividimos el intervalo en ‘n’ subintervalos de igual longitud 1 1b a
xi
n n n
  
   
Y para el cálculo de la integral consideremos el extremo derecho de cada intervalo
i
ti
n

( )
i
senh
n

1
1
lim ( )
n
n
i
i
senh
n n

 
1 1 1
cosh( 1) cosh( ) cosh 1
1
lim
1
2 ( )
n
n n
n n n
n
senh
n

 
    
  
 
  
1 1
cosh(1 ) cosh(1) cosh 1
2cosh(1) 2
lim cosh(1) 1
1 2
( )
2
1
n
n n
senh
n
n

 
 
 
    
    
 
 
 
 
  

19. Calculo II 2012
18
CÁLCULO DE ÁREAS USANDO SUMATORIAS
1.-INTRODUCCIÓN
En este capítulo desarrollaremos el cálculo de áreas de regiones planas usando aproximaciones
mediante la sumatoria de áreas de rectángulos, para lo cual es necesario hacer uso de algunos
conocimientos previos al tema, los cuales se desarrollará a continuación.
2.-Partición de un intervalo
Dado un intervalo cerrado  ,a b de ℝ, se llama partición de  ,a b a cualquier conjunto finito
 0 1, ,..., nP x x x de puntos de  ,a b tal qué 0 1 ... na x x x b     .Se denotará por  ,P a b
al conjunto detodas las particiones de  ,a b .
Entonces podemos decir que  1,k kx x es, para 1, 2, . . . ,k n , el sub intervalo k-ésimo de la
partición y llamamos amplitud del sub intervalo a :
1k k kx x x   
(Propiedad 1)
Se llama diámetro de la partición a la mayor de las amplitudes, es decir:
 1 2max , ,..., nP x x x    , 1, 2, . . . ,k n .
(Propiedad 2)
3.-Refinamiento de una partición:
Dado una partición de  ,a b esta se puede hacer más fina usando puntos. Si 1P se obtiene de P
añadiendo por lo menos un punto, entonces 1P P .
Al número  1max / 1,2,...,i iP x x i n   le llamamos norma o diámetro de3 la partición P y
que es la mayor de las longitudes i x (Propiedad 3).
Ejemplo 1:
Para el intervalo  0,4 los siguientes conjuntos representan particiones:
 
 
 
 
1
2
3
4
0,1,2,3,4
0,1,3/ 2,4
0,2,5 / 2,3,7 / 2,4
0,2 / 3,1,3/ 2,2,5 / 2,4
P
P
P
P




Siendo 4P un refinamiento de 1P .
Ejemplo 2:
Dado un intervalo  0,4 y la partición  0,2,5/ 2,3,7 / 2,4P  hallar la norma de la partición P .

20. Calculo II 2012
19
Calculamos las longitudes de i x :
1
2
3
4
5
2 0 2
5 1
2
2 2
5 1
3
2 2
7 1
3
2 2
7 1
4
2 2
x
x
x
x
x
   
   
   
   
   
Luego, nos damos cuenta que la norma de la partición P es: 2P  .
4.-Área de una región plana por sumatoria de rectángulos
“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva se inscriben y circunscriben
rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par
que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y
circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”´(Isaac Newton).
i. Sumas inferiores y sumas superiores
Consideremos una región plana acotada por la gráfica de una función  y f x continua y no
negativa (ver fig. 1) la región está limitada por el eje x y las rectas ,x a x b  .
Fig. 1
Para aproximar su área comenzamos dividiendo el intervalo  ,a b en sub intervalos, cada uno de
longitud
b a
x
n

  (Propiedad 4),(ver fig. 2), sus puntos terminales son:
       1 2 ...a x a x a x a n x           
(Propiedad 5)

21. Calculo II 2012
20
Fig. 2
Por ser f continua, el teorema de los valores extremos verifica asegura la existencia de un mínimo
y de un máximo de  f x en cada sub intervalo.
 f m =valor mínimo de  f x en el i-esimo sub intervalo.
 f M = valor máximo de  f x en el i-esimo sub intervalo.
Ejemplo 3:
Calcular las sumas inferiores y superiores para la región limitada por la gráfica de   2
f x x y el
eje  .
Solución:
a) El primer paso es realizar la partición del intervalo  0,2 en sub intervalos, cada uno de
longitud.
2 0 2b a
x
n n n
 
   
Como f es creciente en el intervalo  0,2 , en cada sub intervalo el valor mínimo de f
ocurre en el punto terminal de la izquierda y el máximo en el punto terminal de la
derecha.
b) El segundo paso es calcular los puntos terminales en ambos lados:
Puntos terminales izquierdos:  
 2 12
0 1i
i
m i
n n
 
    
 
Puntos terminales derechos:  
2 2
0i
i
M i
n n
 
   
 
c) El tercer paso es usar los valores de ambos lados.
*Usando los de la izquierda, tenemos la siguiente suma inferior:

22. Calculo II 2012
21
   
 
1 1
2 1 2n n
i
i i
i
s n f m x f
n n 
  
     
  
 
 
2
1
2 1 2n
i
i
n n
   
    
  

 
2
2
3
1
8
2 1
n
i
i i
n
 
    

2
3
1 1 1
8
2 1
n n n
i i i
i i
n   
 
   
 
  
    
3
1 2 1 18
2
6 2
n n n n n
n
n
     
    
   
 3 2
3
4
2 3
3
n n n
n
  
2
8 4 4
3 3n n
  
* Usando los de la derecha, tenemos la siguiente suma superior:
   
1 1
2 2n n
i
i i
i
S n f M x f
n n 
  
       
 
2
1
2 2n
i
i
n n
   
      

2
2
3
1
8n
i
i
n
 
   

  
3
1 2 18
6
n n n
n
  
  
 
 3 2
3
4
2 3
3
n n n
n
  
2
8 4 4
3 3n n
  
La conclusión que se puede rescatar de este ejemplo es que se observa claramente algunas
propiedades de las sumas inferiores y superiores.
a. Para cualquier valor de n la suma inferior es menor o igual que la suma superior.
   2 2
8 4 4 8 4 4
3 3 3 3
s n S n
n n n n
      
(Propiedad 6)

23. Calculo II 2012
22
b. La diferencia entre estas disminuye conforme n crece. De hecho, si tomamos el límite
n , tanto las sumas inferiores como las sumas superiores tienden a
8
3
.
  2
8 4 4 8
lim lim
3 3 3n n
s n
n n 
 
    
 
Límite de las sumas inferiores
  2
8 4 4 8
lim lim
3 3 3n n
S n
n n 
 
    
 
Límite de las sumas superiores
ii. Límite de las sumas inferiores y superiores
Sea f contínua y no negativa en un intervalo  ,a b . Los límites cuando n   , de las sumas
inferiores y de las sumas superiores son idénticos .Es decir:
   
1
lim lim
n
i
n n
i
s n f m x
 

 
 
1
lim
n
i
n
i
f M x


 
 
1
lim
n
n
i
S n


 
(Propiedad 7)
Con
b a
x
n
 
   
 
donde    ,i if m f M son los valores mínimo y máximo de f en el
i ésimo sub intervalo.
Ahora supongamos que estamos interesados en calcular el área que esta debajo de una curva
 y f x en el intervalo cerrado  ,a b (para facilitar el ejemplo, consideremos que f es
positiva). Una forma sencilla de aproximar dicha área es dividir el intervalo  ,a b en pequeños sub
intervalos y sumar las áreas de los rectángulos que tienen como base los sub intervalos y como
altura tienen el valor de la función f en un punto de dicho sub intervalo.
Nota: cuanto más pequeña sea la base de los rectángulos mejor será la aproximación.
iii. Definición de áreas mediante rectángulos
Sea f una función continua no negativa en el intervalo ,a b .El área de la región limitada por la
gráfica de f ,el eje x a y x b es la siguiente:
1i i ix c x    
1
lim
n
i
n
i
A f c x


 

24. Calculo II 2012
23
1i i ix c x  
(Propiedad 8)
Donde
b a
x
n
 
   
 
(ver fig. 3).
Fig. 3
 La aproximación para calcular el área de este tipo de regiones se puede hallar usando una
serie de rectángulos inscritos.
Si A es el área de la región pedida, se cumple que :
 
1
n
i i
i
A f c x

  Aproximación por defecto
 
1
lim
n
i i
n
i
A f c x


  Valor exacto
 En forma similar se puede aproximar el área por exceso , usando la serie de rectángulos
circunscritos.
 
1
n
i i
i
A f c x

  Aproximación por exceso (Propiedad 8)
 
1
lim
n
i i
n
i
A f c x


  Valor exceso (Propiedad 9)
5.-EJEMPLOS:
1. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de
3
4
2
y x  al eje X , y a las rectas
0x  , 4x 
3
( ) 4
2
y f x x    Donde  0,4x
Primero calculamos la partición del intervalo  0,4
4 0 4
x
n n

   
4
x
n
 

25. Calculo II 2012
24
Luego calculamos el punto terminal ( )ic
ic a i x  
4 4
0ic i i
n n
  
Como:
3
( ) 4
2
f x x 
3 4
( ) ( ) 4
2
i
i
f c
n
  
6
( ) 4if c i
n
 
Ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
1
lim ( )
n
i
n
i
Area f c x


 
 
2
1 1
2 2
1 1
2
6 4 24 16
lim 4 lim
24 124 16 16
lim lim
2
1
lim 12 1 16
28
n n
n n
i i
n n
n n
i i
n
A i i
n n n n
n n n
A i
n n n n
A
n
A u
 
 
 
 

   
      
   
  
     
   
  
    
  

 
 
2. Hallar el área de la región A comprendida entre 2
y x , 2
4 3y x 
f(x)=x^2
f(x)=4-3x^2
Relleno 1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
a
f(x)=3x/4+4
Relleno 1
x=4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
A

26. Calculo II 2012
25
2 2 2
( ) (4 3 ) 4 4y f x x x x       Donde  1,1x 
Primero calculamos:
1 ( 1) 2
x
n n
 
  
Ahora: ic a i x   
2
1ic i
n
  
Y como: 2
( ) 4 4f x x   2 2
2
2 16 16
( ) 4 4( 1)if c i i i
n n n
     
Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
1
lim ( )
n
i
n
i
Area f c x


 
2
2
1
2
3 2
1
2
3 2
1 1
3 2
2
16 16 2
lim ( )
32 32
lim ( )
32 32
lim
32 ( 1)(2 1) 32 ( 1)
lim
6 2
16 1 1 1
lim (1 )(2 ) 16(1 )
3
16
3
n
n
i
n
n
i
n n
n
i i
n
n
A i i
n n n
A i i
n n
A i i
n n
n n n n n
A
n n
A
n n n
A u





 


  
  
 
   
 
   
    
 
       



 
3. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de 2 3
6y x x x   al eje  y a las
rectas 1, 3x x  
f(x)=6x+x^2-x^3
Relleno 1
x=-1; y<0 and y>-4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
a

27. Calculo II 2012
26
2 3
( ) 6y f x x x x     Donde  1,3x 
Primero calculamos:
3 ( 1) 4
x
n n
 
  
Ahora: ic a i x   
4
1ic i
n
  
Y como: 2 3
( ) 6f x x x x  
2 3 3 2
3 2
4 4 4 64 64 4
( ) 6( 1) ( 1) ( 1) 4if c i i i i i i
n n n n n n
          
Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
1
lim ( )
n
i
n
i
Area f c x


 
3 2 3 2
3 2 4 3 2
1 1 1 1 1
2 2
4 3 2
64 64 4 4 256 256 16 16
lim ( 4) lim[ ]
256 ( 1) 256 ( 1)(2 1) 16 ( 1) 16
lim[ ]
4 6 2
1 128 1 1 1
lim[ 64(1 ) (1 )(2 ) 8(1 ) 16]
3
n n n n n
n n
i i i i i
n
n
A i i i i i i
n n n n n n n n
n n n n n n n n
A
n n n n
A
n n n n
 
    


         
   
    
        
    
240
3
A u
4. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de 3y x al eje  y a las rectas
0, 4x x 
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
A
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
x
y
a
X

28. Calculo II 2012
27
Para hacerlo más fácil elevamos al cuadrado a la función y tomamos como variable independiente
a y es decir:
2
( )
9
y
f y  y como vemos en el grafico #2 la región está limitada entre las curvas
2
( )
9
y
f y  , ( ) 4g y  y las rectas 0, 6y y 
Por ende mí ( ) [ ( ) ( )]i i if c g c f c 
Primero calculamos:
6 0 6
y
n n

  
Ahora:
6
0ic a i x i
n
    
Y como:
2
( )
9
y
f y  y ( ) 4g y   2
2
4
( ) 4, ( )i ig c f c i
n
 
Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
1
lim [ ( ) ( )]
n
i i
n
i
Area g c f c y


  
2
2
1
2
3
1 1
3
2
4 6
lim [4 ]
24 24
lim[ ]
24 24 ( 1)(2 1)
lim[ ]
6
1 1
lim[24 4(1 )(2 )]
16
n
n
i
n n
n
i i
n
n
A i
n n
A i
n n
n n n n
A
n n
A
n n
A u



 


 
 
 
 
   


 
5. Dada la región A acotada por la curvas
2
( 4)
4
x
y

 ,
2
( 4)
4
x
y

 ,
2
( 4)
4
x
y

  ,
2
( 4)
4
x
y

  hallar su área.
=((x-4)^2)/4
eno 1
=((x+4)^2)/4
eno 2
=-((x-4)^2)/4
eno 3
=-((x+4)^2)/4
eno 4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
a1 a2
a3a4
a=a1+a2+a3+a4
Y

29. Calculo II 2012
28
Si observamos la gráfica podemos percibir que existe simetría a los ejes y al origen de
coordenadas, entonces encontramos el área de una región y la multiplicamos por cuatro.
2
( 4)
( )
4
x
y f x

   Donde [0,4]x
Primero calculamos:
4 0 4
x
n n

  
Ahora:
4
0ic a i x i
n
    
Y como:
2
( 4)
( )
4
x
f x

 
2
2
2
4
( 4)
4 8
( ) 4
4
i
i
nf c i i
n n

   
Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
2
1
4 4lim ( )
n
i
n
i
Area A f c x


  
2 2
2 3 2
1 1 1 1
3 2
4 8 4 16 32 16
4lim ( 4) 4lim[ ]
16 ( 1)(2 1) 32 ( 1) 16 8 1 1 1
4lim[ ] 4lim[ (1 )(2 ) 16(1 ) 16]
6 2 3
n n n n
n n
i i i i
n n
A i i i i
n n n n n n
n n n n n n
A
n n n n n n
 
   
 
     
  
        
   
264
3
A u
6. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de 2 4
1 2y x x   al eje  , al eje Υ, y
a la recta 1x 
1+x^2+2x^4
no 1
y<4 and y>0
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
y
a

30. Calculo II 2012
29
2 4
( ) 1y f x x x     Donde [0,1]x
Primero calculamos:
1 0 1
x
n n

  
Ahora:
1
0ic a i x i
n
    
Y como: 2 4
( ) 1f x x x   
2 4
( ) 1 2i
i i
f c
n n
   
     
   
Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
1
lim ( )
n
i
n
i
Area f c x


 
2 4
1
2 4
2 4
1
3 2
3 5
2 3
1
lim 1 2
1
lim 2
1 1 ( 1)(2 1) 2 ( 1)(6 9 1)
lim
6 30
1 1 1 1 1 9 1 1
lim 1 1 2 1 6
6 15
n
n
i
n
n
i
n
n
i i
A
n n n
i i
A
n n n
n n n n n n n n n
A
n n n
A
n n n n n n






    
      
     
 
   
 
      
   
 
     
             
     


226
15
A u
 
 
 

7. Dada la región A acotada por las curva  
2
2
, 2
4 , 2
x x
f x
x x x
 
 
 
,el eje  y las rectas
1, 6x x  , calcular su área.
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
a1
a2
a3

31. Calculo II 2012
30
Según la gráfica: 1 2 3A A A A  
a) Si 2
2x y x  
Primero calculamos:
2 1 1
x
n n

  
Ahora:
1
1ic a i x
n
    
Y como:   2
f x x   
2
1i
i
f c
n
 
  
 
1
1
lim ( )
n
i
n
i
A f c x


 
   
2 2
1 3 2
1 1
1 3 2
2
1
1 1 2
lim 1 lim
1 (2 1) 2 11
lim
6 2
7
3
n n
n n
i i
n
i i i
A
n n n n n
n n n n nn
A
n n n
A u
 
 

  
      
   
   
   
 

 
b) Si 2
2 4x y x x   
Primero calculamos:
4 2 2
x
n n

   Ahora:
2
2ic a i x i
n
    
Y como:        
2
2 2 2
4 4 2 2i i i
i i
f x f c c c
n n
   
         
   
2
1
lim ( )
n
i
n
i
A f c x


 
  
2 2
2 3
1 1
2 3
2
2
2 2 2 8 8
lim 4 2 2 lim
8 1 2 18 4 1 1
lim lim 8 1 2
6 3
16
3
n n
n n
i i
n n
i i i
A
n n n n n
n n nn
A
n n n n
A u
 
 
 
      
           
       
      
          
    

 
c) Como 3A está debajo del eje  , se toma su valor absoluto.
Primero calculamos:
6 4 2
x
n n

  
Ahora:
2
4ic a i x i
n
    

32. Calculo II 2012
31
Y como:        
2
2 2 2
4 4 4 4i i i
i i
f x f c c c
n n
   
         
   
3
1
lim ( )
n
i
n
i
A f c x


 
    
2
3
1
2
3 2 3
1
2
3 2 3
1 1
3 2 3
2
3
2 2 2
lim 4 4 4
16 8
lim
16 8
lim
16 1 8 1 2 1
lim
2 6
32
3
n
n
i
n
n
i
n n
n
i i
n
i i
A
n n n
i i
A
n n
i i
A
n n
n n n n n
A
n n
A u





 

    
       
     
 
   
 
 
  
 
   
  
 



 
Entonces el área pedida es:
1 2 3
2
7 16 32
3 3 3
55
3
A A A A
A u
     

8. Calcular el área de la región A limitada por las gráficas : 2
x
y e , al eje  y las rectas
0, 1x x 
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
A

33. Calculo II 2012
32
2
( )
x
y f x e   Donde  0,1x
Primero calculamos:
1 0 1
x
n n

  
Ahora: ic a i x   
1 1
0ic i i
n n
  
Y como: 2
( )
x
f x e 2
( )
i
n
if c e
Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
1
lim ( )
n
i
n
i
Area f c x


 
Por propiedad telescópica de la sumatoria:
   
1
2 2
1
0
i in
n n
i
e e f n f


 
   
 

1 1 1
2 2 2 2
1
1
i nn
n n n n
i
e e e e


   
     
   

1 1
2 2
2
1
1 2
1
1
1
n
in
n
i n
e e
e
n
e n

 
 
 
 
 
 

1 1
2 2
2
1
1 2
1
lim lim
1
n
in
n
n n
i n
e e
i
A e
n
e n
 

 
 
  
 
 
 

Si
1
, 0z n z
n
    
1
2 2
/2 0
2
1
2 lim
2
1
z
zz
e e
z
A
e

 
 
 
 
 
 

34. Calculo II 2012
33
Aplicando la regla de L´Hospital:
0
lim 1
1
z
zz
ze
e


Aplicamos esta igualdad a nuestra ecuación:
2
1 1
22 2
/2 0
2
2
2 1 lim 2 1
1
z
zz
z
e
A e e u
e

 
           
     
 
9. Calcular el área de la región bajo la gráfica de  cosy x en ,
2 2
  
  
 ( ) cosy f x x   Donde ,
2 2
x
  
   
Primero calculamos:
( )
2 2x
n n
 
 
  
Ahora: ic a i x   
2
ic i
n
 
  
Y como:  ( ) cosf x x ( ) cos
2
if c i
n
  
   
 
cos(x)
no 1
-4π/5 -7π/10 -3π/5 -π/2 -2π/5 -3π/10 -π/5 -π/10 π/10 π/5 3π/10 2π/5 π/2 3π/5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
x
y

35. Calculo II 2012
34
Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada
1
lim ( )
n
i
n
i
Area f c x


 
1
lim cos
2
n
n
i
A i
n n
  


 
   
 

Donde  cos
2
i sen i
n n
     
     
   
y por telescópica obtenemos:
 
 
1 cos cos cos 1
lim
2
1 cos cos cos 1
lim
2
n
n
n
n
n n n
A
n
sen
n
n
n
n n n
A
sen
n
n
  


  




     
        
     
  
    
 
 
             
        
  
  
 
  
21 1 1 1
2
2
A u
  
 

36. Calculo II 2012
35
METODOS NUMERICOS PARA CALCULAR INTEGRALES DEFINIDAS
1.-Metodo Rectángulo
Si una función ƒ es continua en el intervalo *ɑ,Ƅ+ , entonces ƒ es integrable en [ɑ,Ƅ+ . Sin
embargo, de la proposición ya mencionada son sumamente generales, no se tiene garantía
de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda
encontrar la antiderivada de una función ƒ(x) cualquiera, necesariamente para obtener la
integral definida. Para poder calcular estas dichas integrales se usa una de las técnicas
básicas que permiten resolver dicha situación, a través de la denominada “INTEGRACION
APROXIMADA, POR EL METODO DE LOS RECTANGULOS”.
Método Rectangular: consiste en dividir el área que se desea encontrar en n sub-áreas en
forma de rectángulos. Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las
siguientes variables:
n : Numero de sub-áreas en las cuales se divide el área a calcular
 ó dx: Ancho o base de cada sub-área
li ó a : límite inferior definido para el cálculo del área
ls ó b : límite superior definido para el cálculo del área
Integración numérica de una función por el método de rectángulos:
La integral definida entre los puntos a y b de una función continua y acotada ƒ(x) representa el
área comprendida debajo de esa función. En ocasiones es necesario calcular integrales (áreas) de
modo numérico, es decir, sin conocer la integral explicita de la función ƒ(x). Existen varios posibles
métodos para calcular esta área. Quizás el más sencillo sea sustituir el área por un conjunto de n
sub-áreas donde cada sub-área semeja un pequeño rectángulo elemental de base dx = (b-a)/n y
altura h, el área seria:
Figura (1)

37. Calculo II 2012
36
De la Figura (1)
Área=h*  donde h es el valor de la función calculada en el punto medio del área, ósea
 / 2f a dx y  ó dx es el ancho definido para dicha sub-área. Nótese que entre más grande
es dx entonces mayor será el área que se quita y pone al área real que se desea calcular (área
colocada entre la función y las línea azul y área quitada entre la función y la línea roja). Si se toma
li como límite inferior definido para el cálculo de la integral entonces el punto sobre el eje x para el
cálculo de h será:
/ 2li x  .
Teniendo en cuenta lo anterior el área será:
* ( / 2)area x f li dx   .
Si el área que se desea calcular se divide entre n sub-áreas, donde cada una de ellas representa un
pequeño rectángulo, entonces el área total será:
Área de primer rectángulo:
1 1 1* *A h dx h x  
Donde 1h será la función evaluada en la mitad de la sección del primer rectángulo, se podría decir
entonces en términos generales que 1h es igual a la función evaluada en
1x , 1 1( )h f x
Teniendo en cuenta la anterior se deduce que 1 ( / 2)x li dx  y por lo tanto el área de ese
primer rectángulo será:
1 1* ( ) * ( )
2
x
A x f x x f li

    
Del mismo modo se puede Decir que el área del segundo rectángulo es:
2 2/ ( ) * ( 3* )
2
x
A x f x x f li

    
Área del tercer rectángulo es:
3 3* ( ) * ( 5* )
2
x
A x f x x f li

    
Área del i-esimo rectángulo es:
* ( ) * ( (2* 1) )
2
i i
x
A x f x x f li i

     

38. Calculo II 2012
37
Área total que será la sumatoria de todas las áreas parciales y quedara así:
1
( ) * ( (2* 1)* )
2
ls n
t
ili
x
A f x dx x f li i


     (1)
La representación gráfica de esta forma de aproximar la integral se presenta en la Fig.2. Resulta
que si n se hace muy grande ( dx muy pequeño) el error Sera pequeño.
2.- Método del trapecio
A menudo es necesario evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada
explicita, o cuya antiderivada no es fácil de obtener, por eso el método para obtener una integral
definida simple recibe el nombre de cuadratura numérica y emplea una suma de tipo:
1
( )
n
i i
i
f c x


La regla del trapecio nos da se aplica cuando el f(x) es una función continua en [a, b] la integral
definida está dada por:
0
1
( ) lim ( )
nb
i ia x
i
f x dx f c x
 

 
Para aproximar la medida del área de una región, usaremos trapecios en vez de rectángulos, para
este caso también usaremos particiones regulares y evaluaremos la funciones en los puntos cuyas
distancias sean las mismas
Figura 2

39. Calculo II 2012
38
En la integral definida  
b
a
f x dx , al intervalo [a, b] dividiremos en n sub-intervalos es entonces
que; X1 = a , X2 =a + ∆x , ………. , Xn = b :
Luego la integral definida  
b
a
f x dx expresaremos como la suma de n integrales definidas:
         
1 2 1
1 2 1
.....
b X X Xn X
a a X Xn Xn
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

 
        
La integral  
1X
a
f x dx , da la medida del área de la región acotada por las rectas X=a, X=X1 y la
porción de la curva 1PoP . Luego a la integral definida  
1X
a
f x dx , se la puede aproximar por la
medida del trapecio formado por las rectas X=a, X=X1, 1PoP y el eje X donde la medida de este
trapecio es:
   
1
1
2
f Xo f X x   
Teniendo en cuenta que las demás integrales se pueden aproximar la medida del área de un
trapecio; entonces para la n-esima integral se tiene:
     1
1
1
2
Xi
Xi
f X dx f Xi f Xi X

     

40. Calculo II 2012
39
Por lo tanto para la integral definida  
b
a
f x dx , se tiene:
           2 1 2 2 .... 2 1
2
b
a
X
f x dx f Xo f X f X f Xn f Xn

        
Esta sería la regla del trapecio:
Una integral definida por la regla del trapecio tiene las siguientes características:
 Exactitud
 Error
2.1.- Exactitud.- la exactitud de una integral definida por la regla del trapecio se obtiene cuando ∆X
se aproxima a cero (∆X0) y n crece sin límite, el límite de la aproximación por la regla del
trapecio es el valor exacto de la integral definida; es decir:
         
     
     
1
0 0 0
1
1
1 2 ....
2
1
2
1
lim lim lim
2
n
i
n
x x x
i
T f X f X f Xn X f Xo f Xn X
T f Xi X f a f b X
T f Xi X f a f b X

     

             
      
      


Por lo tanto la exactitud queda definido como:
 0
lim
b
ax
f x dx
 
 
2.2.- Error.- Al aplicar la ley de los trapecios es posible que se cometan errores, que denotaremos
por “ε” y que pueden ser hallados mediante la siguiente condición:
Sea f una función continua en el intervalo [a,b+ y que, f‘ , f‘‘ existen en *a,b+:
Si:
 
b
T a
f x dx T  
Donde T es el valor aproximado de  
b
a
f x dx , que se encontró mediante la Regla del Trapecio,
entonces existe un número “ŋ” en *a, b+ tal que:
    
2''1
12
T b a f X    

41. Calculo II 2012
40
3.- Método de Simpson
Otro método para aproximar el valor de una integral definida es proporcionado por la regla de
Simpson también conocida con el nombre de regla parabólica. Para una partición dada del
intervalo cerrado [a,b], la regla de Simpson usualmente da una aproximación mejor que la regla
trapecial. Sin embargo, la regla de Simpson requiere más esfuerzo para ser aplicada. En la regla
trapecial los puntos sucesivos en la gráfica de )(xfy  son conectados por segmentos de líneas
rectas, mientras que en la regla de Simpson los puntos se conectan por segmentos de parábolas.
La regla de Simpson se divide en dos:
3.1.-Regla de Simpson 1/3
Como ya mencionamos anteriormente la regla de Simpson nos da una aproximación mejor que
la regla del trapecio ya que al utilizarla nos da un resultado con menor error, pero antes de
desarrollar la regla de Simpson es necesario conocer y demostrar el siguiente teorema.
3.1.1.-Teorema 1: Si ),,( 000 yxP ),( 111 yxP y ),( 222 yxP son tres puntos no colineales en la
parábola que tiene la ecuación CBxAxy  2
, donde ,00 y ,01 y ,02 y hxx  01
y hxx 202  , entonces la medida del área de la región acotada por la parábola , el eje x y
las rectas 01 xx  y 12 xx  está dada por:
)4(
3
1
210 yyyh  ………….…(1)
DEMOSTRACIÓN: La parábola cuya ecuación es CBxAxy  2
tiene un eje vertical (ver
Fig. 1)
Fig. 1: parábola acotada
),( 00 yx
0P
),( 11 yx
1P
),( 22 yx
2P
h h
x
y

42. Calculo II 2012
41
La figura muestra la región acotada por la parábola, el eje x y las rectas 01 xx  y 12 xx  .
Ya que 0P , 1P y 2P son puntos en la parábola, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la
parábola. Así cuando reemplazamos 1x por hx 0 y 2x por hx 20  tenemos:
CBxAxy  0
2
00
ChxBhhxxAChxBhxAy  )()2()()( 0
2
0
2
00
2
01
ChxBhhxxAChxBhxAy  )2()44()2()2( 0
2
0
2
00
2
02
Por lo tanto:
ChxBhhxxAyyy 6)66()8126(4 0
2
0
2
0210  ……....(2)
Si S (en unidades cuadradas) es el área de la región acotada por la parábola, entonces S puede
ser calculada por el límite de una suma de Riemann, de la siguiente manera:
xCBAS
n
i
ii
x
 

1
2
0
)(lim 
Aplicamos el límite:



hx
x
dxCBxAxS
2
20
0
)(
hx
x
CxBxAxS
2
23
0
0
2
1
3
1





)
2
1
3
1
()2()2(
2
1
)2(
3
1
0
2
0
3
00
2
0
3
0 CxBxAxhxChxhxAS 
 ChxBhhxxAhS 6)66()8126(
3
1
0
2
0
2
0  …….…(3)
Reemplazando (2) en (3) se tiene:
 210 4
3
1
yyyhS 
Con esta última ecuación queda demostrado el Teorema 1.

43. Calculo II 2012
42
Ahora desarrollaremos la regla de Simpson.
Sea una función f continua en el intervalo cerrado [a,b]. Consideramos una partición regular del
intervalo [a,b] de 2n subintervalos (2n se usa en lugar de n porque queremos que sea un número
par de subintervalos ). La longitud de cada subintervalo está dada por
n
ab
x
2
)( 
 . Denotemos a
los puntos en la curva que tienen estos puntos de la partición como abscisas por ),,( 000 yxP
),( 111 yxP ,..., ),( 222 nnn yxP ; ver Fig. 2 donde 0)( xf para toda x en [a,b].
Fig. 2
Aproximamos el segmento de la curva )(xfy  de 0P a 2P por el segmento de la parábola con
su eje vertical a través de 0P , 1P y 2P . Entonces por el Teorema 1 la medida del área por la región
acotada por esta parábola, el eje x y las rectas 0xx  y 2xx  con xh  , esta dad por:
 210 4
3
1
yyyx  o  )()(4)(
3
1
210 xfxfxfx 
En forma análoga aproximamos el segmento de la curva )(xfy  de 2P a 4P por el segmento de
la parábola con su eje vertical a través de 2P , 3P y 4P . La medida del área de la región acotada
por esta parábola, en el eje x y las rectas 2xx  y 4xx  esta dad por:
 432 4
3
1
yyyx  o  )()(4)(
3
1
432 xfxfxfx 
y
x
0P
1P
2P
3P 4P
22 nP
5P
12 nP nP2
)(xfy 
0xa  1x 2x 3x 4x 5x 22 nx 12 nx bx n 2
............................
............................

44. Calculo II 2012
43
Este procedimiento se continúa hasta que tengamos n regiones y la medida del área de la última
región está dada por:
 nnn yyyx 21222 4
3
1
  o  )()(4)(
3
1
21222 nnn xfxfxfx  
La suma de las medidas de las áreas de estas regiones aproxima la medida del área de la región
acotada por la curva cuya ecuación es )(xfy  el eje x y las rectas ax  y bx  . La medida
del área de la región está dada por la integral definida 
b
a
xf )( dx. Así tenemos como una
aproximación de la integral definida.
     )()(4)(
3
1
...)()(4)(
3
1
)()(4)(
3
1
21222432210 nnn xfxfxfxxfxfxfxxfxfxfx  
Agrupando todas las funciones se tiene:
 )()(4)(2.....)(2)(4)(2)(4)(
3
1
)( 2122243210 nnn
b
a
xfxfxfxfxfxfxfxfxdxxf  
La cual se le denomina regla de Simpson 1/3 por el factor x
3
1
Dónde:
n
ab
x
2


Anteriormente quedo demostrado que la regla de Simpson es un método más preciso que otros,
pero eso no quiere decir que no tenga un error de aproximación.
El siguiente teorema que se demuestra en el cálculo avanzado, da un método para determinar el
error al aplicar la regla de Simpson denotado por: s
3.1.2.-Teorema 2: Sea la función f continua en el intervalo cerrado  ba, , y yfff '''
,'',' iv
f
existe en  ba, . Si
s
b
a
s Rdxxf   )(
Donde sR es el valor aproximado de 
b
a
dxxf )( que se encontró por la regla de Simpson,
entonces existe algún número n en  ba, tal que
   4
)(
180
1
xnfab iv
s 

45. Calculo II 2012
44
OBSERVACIÓN: Cuando )(xf sea un polinomio de tercer grado o menos, entonces 0)( xf iv
por lo tanto 0s , lo que ocasionará utilizar la siguiente fórmula práctica:








 )()
2
(4)(
6
)( bf
ba
faf
ab
dxxf
b
a
A continuación veremos algunos ejemplos de integración numérica utilizando la regla de Simpson.
Ejemplo 1: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral 
1
0
2
dxex
con 42 n
y dar el resultado con cuatro cifras decimales.
Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:
1.4626
1
0
2
 dxex
SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos
 
4
1
01
4
1
x
2
)( x
exf  , ,00 x
4
0
i
xixxi 
  )1.....()()(4)(2)(4)(
12
1
43210
1
0
2
xfxfxfxfxfdxex

i) Realizamos nuestra tabla de valores
Tabla 1
i ix )( ixf k )( ixfk 
0 0 1 1 1
1 0.25 1.0644 4 4.2576
2 0.5 1.2840 2 2.568
3 0.75 1.7550 4 7.02
4 1 2.7182 1 2.7182
suma 17.5638

46. Calculo II 2012
45
ii) Reemplazamos en (1)
  4636.117.5638
12
11
0
2
 dxex
Ejemplo 2: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral 
2
1
3
dxex x
con
42 n y dar el resultado con cuatro cifras decimales.
Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:
3763.1
1
0
3
 dxex x
SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos
 
4
1
01
4
1
x
x
exxf 3
)( 
,00 x
4
0
i
xixxi 
  )2.....()()(4)(2)(4)(
12
1
43210
1
0
3
xfxfxfxfxfdxex x

i) Realizamos nuestra tabla de valores
Tabla 2
i ix )( ixf k )( ixfk 
0 0 0 1 0
1 0.25 0.8088 4 3.2352
2 0.5 1.3085 2 2.617
3 0.75 1.9234 4 7.6936
4 1 2.7182 1 2.7182
suma 16.264

47. Calculo II 2012
46
ii) Reemplazamos en (2)
  3553.116.264
12
11
0
2
 dxex
Ejemplo 3: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral  
2
1 3
1 x
dx
con
42 n y dar el resultado con cuatro cifras decimales.
Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:
4925.0
1
2
1 3


 x
dx
SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos
 
4
1
12
4
1
x
3
1
1
)(
x
xf


,10 x
4
10
i
xixxi 
  )3.........()()(4)(2)(4)(
12
1
1
43210
2
1 3
xfxfxfxfxf
x
dx



i) Realizamos nuestra tabla de valores
Tabla 3
i ix )( ixf k )( ixfk 
0 1 0.7071 1 0.7071
1 1.25 0.5819 4 2.3277
2 1.5 0.4781 2 0.9562
3 1.75 0.3965 4 1.5862
4 2 0.3333 1 0.3333
suma 5.9105

48. Calculo II 2012
47
ii) Reemplazamos en (3)
  4925.05.9105
12
1
1
2
1 3


 x
dx
Lo que nos da un valor exacto con cuatro cifras decimales de la integral. Esto sucede porque
)(xf es un polinomio de tercer grado o menor.
Ejemplo 4: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral dx
x
x

3
1 3
.
)ln(
con
42 n y dar el resultado con cuatro cifras decimales.
Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:
4220.0.
)ln(3
1 3
 dx
x
x
SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos
 
2
1
13
4
1
x
3
)ln(
)(
x
x
xf 
,
,10 x
2
10
i
xixxi 
  )4.........()()(4)(2)(4)(
6
1
.
)ln(
43210
3
1 3
xfxfxfxfxfdx
x
x

i) Realizamos nuestra tabla de valores
Tabla 4
i ix )( ixf k )( ixfk 
0 1 0.0000 1 0.0000
1 1.5 0.2207 4 0.8828
2 2 0.2451 2 0.4901
3 2.5 0.2318 4 0.9272
4 3 0.2114 1 0.2114
suma 2.5116

49. Calculo II 2012
48
ii) Reemplazamos en (4)
  4186.05116.2
6
1
.
)ln(3
1 3
 dx
x
x
Ejemplo 5: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral  
1
0 2
1 x
dx
con 42 n
y dar el resultado con seis cifras decimales. Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con
seis decimales es:
881373.0
1
1
0 2


 x
dx
SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos
 
4
1
01
4
1
x
2
1
1
)(
x
xf


,00 x
4
0
i
xixxi 
  )5.........()()(4)(2)(4)(
12
1
1
43210
1
0 2


 xfxfxfxfxf
x
dx
i) Realizamos nuestra tabla de valores
Tabla 5
i ix )( ixf k )( ixfk 
0 0 1 1 1
1 0.25 0.970142 4 3.880570
2 0.5 0.894427 2 1.788854
3 0.75 0.800000 4 3.200000
4 1 0.707106 1 0.707106
suma 10.576531

50. Calculo II 2012
49
ii) Reemplazamos en (5)
  881377.0576531.10
12
1
1
1
0 2


 x
dx
iii) Calculamos el error de la regla de Simpson s
   4
)(
180
1
xnfab iv
s 
,)1(105)(
1
1
)( 2
9
24
2



 xxxf
x
xf iv
Como  1;0x
3)0( iv
f , 01646.1)1( iv
f
Para: 5
4
1051041.6
4
1
)3)(1(
180
1
,0 






 sEn
  5
4
1020587.2
4
1
01646.1)1(
180
1
,1 






 sEn
00002.000006.0  sE
Ejemplo 6: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral  
1
01 x
dx
con 42 n y
dar el resultado con cinco cifras decimales. Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con
cinco decimales es:
69314.0
1
1
0

 x
dx
SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos
 
4
1
01
4
1
x
x
xf


1
1
)(
,00 x
4
0
i
xixxi 
  )6.........()()(4)(2)(4)(
12
1
1
43210
1
0
xfxfxfxfxf
x
dx



51. Calculo II 2012
50
i) Realizamos nuestra tabla de valores
Tabla 6
i ix )( ixf k )( ixfk 
0 0 1.00000 1 1.00000
1 0.25 0.80000 4 3.20000
2 0.5 0.66667 2 1.33333
3 0.75 0.57143 4 2.28571
4 1 0.50000 1 0.50000
suma 8.31905
ii) Reemplazamos en (6)
  69325.031905.8
12
1
1
1
0

 x
dx
iii) Calculamos el error de la regla de Simpson s
   4
)(
180
1
xnfab iv
s 
  ,x(x)f
x
f(x) iv 6
1120
1
1 


 Como  1;0x
24)0( iv
f ,
4
3
)1( iv
f
Para: 00052.0
4
1
)24)(1(
180
1
,0
4






 sEn
00002.0
4
1
4
3
)1(
180
1
,1
4












 sEn
00002.000052.0  sE

52. Calculo II 2012
51
4.- Integración por series de Taylor
Esta serie permite obtener una muy buena aproximación polifónica de una función en un entorno
de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además la serie permite acotar el error
obtenido mediante dicha estimación. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden
tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido
como el término residual.
Dicha serie es la siguiente:
( )
2'( ) ''( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
1! 2! !
n
n
n
f a f a f a
f x f a x a x a x a R f
n
        
O en forma compacta:
( )
( )
( ) ( ) ( )
!
n
n
n
n o
f a
f x x a R f
n


  
Dónde:
n! : factorial de n.
f (n)
(a) : La n-ésima derivada de f en el punto a.
Rn(f): Residuo.
( 1)
1( )
( ) ( )
( 1)!
n
n
n
f
R f x c
n


 

[ , ]c x 
Demostración de la serie:
La representación en serie de potencias de f(x).
2
0 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )n
nf x a a x c a x c a x c       
La primera derivada:
1 2 1
1 2 3'( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( )n
nf x a a x c a x c na x c 
       
Evaluamos en x=c:
1'( )f c a
La segunda derivada:
1 2 2
2 3 4''( ) 2 3.2 ( ) 4.3 ( ) ... ( 1) ( )n
nf x a a x c a x c n n a x c 
       

53. Calculo II 2012
52
Evaluamos en x=c:
2'( ) 2f c a
La tercera derivada:
1 2 3
3 4 4'''( ) 3.2 4.3.2 ( ) 5.4.3 ( ) ... ( 1)( 2) ( )n
nf x a a x c a x c n n n a x c 
        
Evaluamos en x=c:
3'''( ) 3.2f c a
La cuarta derivada:
1 4
4 4' ( ) 4.3.2 5.4.3.2 ( ) ... ( 1)( 2)( 3) ( )v n
nf x a a x c n n n n a x c 
       
Evaluamos en x=c:
4' ( ) 4.3.2v
f c a
En general:
( )
( ) !n
nf c n a
Despejamos an:
( )
( )
!
n
n
f c
a
n
 …(*)
2
0 1 2
0
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n
n n
n
f x a a x c a x c a x c a x c


          …(**)
Reemplazamos (*) en (**) y nos queda la serie de Taylor centrada en c:
( )
0
( )
( ) ( )
!
n
n
n
f c
f x x c
n


 
Veamos un ejemplo donde nos muestre como la gráfica de la serie se acerca a la función:

54. Calculo II 2012
53
Ejemplo 01:
( ) cos( )f x x , ´( ) s ( )f x en x  , ´´( ) s( )f x co x  , ´´´( ) s ( )f x en x , ´ ( ) s( )v
f x co x ,
( ) s ( )v
f x en x 
Si evaluamos en c=0 para centrar la función en 0:
(0) 1f  , ´(0) 0f  , ´´(0) 1f   , ´´´(0) 0f  , ´ (0) 1v
f  , (0) 0v
f 
Nos quedaría:
0 1 2 3 41 0 1 0 1
cos( ) * * * * * ....
0! 1! 2! 3! 4!
x x x x x x     
( )
0
( )
cos( ) *
!
n
n
n
f o
x x
n


 
Ahora veamos cómo funcionan los polinomios de Taylor:
( )0
0
(0)
cos( ) *
!
n
n
n
f
x x
n
 
( )2
0
(0)
cos( ) *
!
n
n
n
f
x x
n
 

55. Calculo II 2012
54
( )4
0
(0)
cos( ) *
!
n
n
n
f
x x
n
 
( )6
0
(0)
cos( ) *
!
n
n
n
f
x x
n
 
( )8
0
(0)
cos( ) *
!
n
n
n
f
x x
n
 

56. Calculo II 2012
55
( )10
0
(0)
cos( ) *
!
n
n
n
f
x x
n
 
Obs:
 Bueno al hacer la serie de Taylor se nos va a hacer mucha más fácil integrar algunas
funciones que no se puedan integrar con los métodos básicos.
 Como pudimos observar en el primer ejemplo mientras más grande sea la sumatoria más
cerca estaremos de la función.
 Al centrar la función en 0, estamos aplicando la serie de Maclaurin, la cual nos puede ser
útil para encontrar integrales las cuales no podamos sacar primitivamente.
Ahora veamos algunos ejemplos más:
Ejemplo 02:
Evalué la integral utilizando series.
3
x
e dx
Solución:
Primero hallemos la serie para ex
y luego reemplazamos x por x3
.
0
0
0
0
( ) (0) 1
´( ) ´(0) 1
´´( ) ´´(0) 1
´´´( ) ´´´(0) 1
x
x
x
x
f x e f e
f x e f e
f x e f e
f x e f e
   
   
   
   

57. Calculo II 2012
56
Quedaría:
0 1 2 3
0
1 1 1 1
( ) ....
0! 1! 2! 3!
( )
!
n
n
f x x x x x
x
f x
n


    
 
Ahora reemplacemos x por x3
:
3 3
0 0
( )
( )
! !
n n
n n
x x
f x
n n
 
 
  
Integrando:
3
0
( )
!
n
n
x
f x dx dx
n


  
3
3 1
0
( )
(3 1) !
n
x
n
x
f x dx e dx
n n


 

 
Ejemplo 03:
Integrar f(x) = x2
e-x
Solución:
Del ejemplo 1 se sabe que:
0 !
n
x
n
x
e
n


 
Ahora le damos forma:
2 2
2
0 0 0
( ) ( ) ( 1)
! ! !
n n n n
x x
n n n
x x x x
e x e
n n n
  
 
  
  
     
Integrando:
2 3
2
0 0
( 1) ( 1)
:
! ( 3) !
n n n n
x
n n
x x
x e dx dx seria
n n n
  

 
 
 

  

58. Calculo II 2012
57
Ejemplo 04:
Utilice la serie de Taylor para senx en pi/4 para calcular el sen(47°) con una exactitud de 4 cifras
decimales.
Solución:
0 1 2 3
( ) ´( ) ´´( ) ´´´( )
4 4 4 4s ( ) *( ) *( ) *( ) *( ) ...
0! 4 1! 4 2! 4 3! 4
f f f f
en x x x x x
   
   
        
47 1 1
180 4 90
x x     
2 347 1 1 1 1 1 1
s ( ) 2 2 *( ) 2 * ( ) 2 * ( ) ...
180 2 2 90 2 2 90 2 6 90
47 1
s ( ) 2(1 0.03490 0.00061 0.000002 ...)
180 2
en
en
  


    
    
(47 ) 0.73136sen  
Ejemplo 05:
Integrar:
1
0.5
senx
dx
x
Solución:
No puede obtenerse una antiderivada de la integral en términos de funciones elementales. Sin
embargo de la serie Taylor con centro en c=0 para sen(x) se tiene:
3 5 7 9
2 4 6 8
1
1
( ...)
3! 5! 7! 9!
1 ...
3! 5! 7! 9!
senx
senx
x x
senx x x x x
x
x x
senx x x x x
x

     
     
Lo cual es cierto para todo x diferente de 0. Al emplear la integración término a término resulta:
3 5 7 9
1
1
0.50.5
...|
3.3! 5.5! 7.7! 9.9!
senx x x x x
dx x
x
     
=(1-0.0555555+0.0016667-0.0000283+0.0000003)-(0.5-0.0069444+0.0000521-0.0000002)
1
0.5
0.45298
senx
dx
x


59. Calculo II 2012
58
SUMATORIAS DOBLES
1.-DEFINICION
Una sumatoria doble es un caso particular de la suma, en el cual el termino general ak es a su vez
una sumatoria, para cada k. veremos entonces como sumar más de un índice.
Si tenemos la siguiente sumatoria:
0
n
i
i
b

 …(1)
ib A su vez es otra sumatoria, donde:
0
m
i ij
j
b a

  … (2)
De (1) y (2):
0 0
n m
ij
i j
a
 

Dónde: ija podrá depender de ambos índices y los limites inferior y superior de
0
m
ij
j
a

 podrán
depender del índice i.
Para un mejor entendimiento analizaremos los términos usados pero acomodados de la siguiente
manera:
00 01 02 0
10 11 12 1
0 1 2
...
...
.
. . . .
.
...
m
m
n n n nm
a a a a
a a a a
a a a a
Si sumamos los miembros de la primera fila obtendremos: 0
0
m
j
j
a



60. Calculo II 2012
59
Si sumamos los miembros de la segunda fila obtendremos: 1
0
m
j
j
a


Si sumamos los miembros de la n-esima fila obtendremos:
0 0 1 1
n m n m
i j i j
i j i j
a b a b
   
  
   
  
   0
m
nj
j
a


Y si sumamos todas estas sumas obtendremos:
0 0
n m
ij
i j
a
 
 
 
 
 
Análogamente con las columnas obtendremos el siguiente resultado:
0 0
m n
ij
j i
a
 
 
 
 
 
Observamos que los resultados anteriores son iguales:
0 0
n m
ij
i j
a
 
 
 
 
  =
0 0
m n
ij
j i
a
 
 
 
 
 
Notamos entonces que la suma doble es el resultado de sumar cada fila a la vez, obviamente que
también es igual a sumar cada columna a la vez.
Con lo mencionado anteriormente tenemos ya un concepto claro de la definición de sumatoria
doble de las cuales desprenderemos las siguientes propiedades.
2.-PROPIEDADES DE LA SUMATORIA DOBLE
0 0
n m
ij
i j
a
 
 
 
 
  =
0 0
m n
ij
j i
a
 
 
 
 
  ; demostrada anteriormente.
a)
0 0
n m
i j
k nmk
 
 , k R
b)
0 0 0 0
,
n m n m
ij ij
i j i j
ka k a k R
   
  
c)  
0 0 0 0
n m m n
i j j i
i j j i
a b n b m a
   
    
d)
0 0 1 1
n m n m
i j i j
i j i j
a b a b
   
  
   
  
  

61. Calculo II 2012
60
2.1.-DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES DE LA SUMATORIA DOBLE
Demostrar:  
0 0 0 0` `
...
n m n n
i j i im TERMINOS
k k k k mk
   
 
     
 
  
0 ` `
...
m
j m TERMINOS
k k k k mk

    
 
0 0 0 0" " min
...
n m n n
i j i im ter os
k k k k mk
   
 
     
 
  
 
0 " " min
...
n
i m ter os
mk mk mk mk nmk

    
Demostrar:
0 0 0 0
,
n m n m
ij ij
i j i j
ka k a k R
   
  
    
 
0 0
0 0 0 0
0 1 00 01 10 11 20 21
0
00 01 10 11 20 21
0 0
... ... ... ...
... ... ...
m m
ij ij
j j
n m n m
ij ij
i j i j
n
i i im nm
i
n m
nm ij
i j
ka k a
ka k a
k a a a k a a a a a a a
k a a a a a a a k a
 
   

 

 
  
 
            
         
 
  


Demostrar:  
0 0 0 0
n m m n
i j j i
i j j i
a b n b m a
   
    
   
 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
n m n m
i j i j
i j i j
n m n m
i j i j
i j i j
n m n m
i j i j
i j i j
a b a b
a b ma b
ma b m a n b
   
   
   
 
   
 
   
     
   
 
   
 
  
   
   

62. Calculo II 2012
61
Demostrar:
0 0 1 1
n m n m
i j i j
i j i j
a b a b
   
  
   
  
  
0 0 0 0
0 0 0 0
es una constante para la segunda sumatoria
n m n m
i j i j i
i j k j
n m n m
i j i j
i j k j
a b a b a
a b a b
   
   
 
  
 
  
   
  
  
  
EJEMPLOS
1)
 
         
     
             
 
4 2
1 1
4 4
1 1
4 4
1 1
4
1
4 2
1 1
Hallar 2
primero la sumatoria sobre j
2 1 2 2 2 4
2 4 2 6
2 6 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6
2 44
i j
i i
i i
i
i j
i j
i i i i
i i i
i
i j
 
 
 

 
 
 
 
          
          
             
 
  
 
 
 
 

 
2)
 
 
           
 
5 4
1 1
5 5
1 2 3 4
1 1
5
1
5 4
1 1
Hallar .3
operamos sobre j primero
.3 .3 .3 .3 3 9 27 81
120 120 1 120 2 120 3 120 4 120 5
.3 1800
j
i j
i i
i
j
i j
i
i i i i i i i i
i
i
 
 

 
        
      


 



63. Calculo II 2012
62
3)
       
 
 
 
2
3 4
1 1
2 2 2 2 2 2 2 23 3
2 2 2 2
1 1
22
2 2
Hallar
operando sobre i primero
2 3 4 4 9 16
1 2 3 4 1 2 3 4
operando sobre j
4 11
1 1 1 2
j i
j j
ji
j i
j j j j j j j j
j j j j j j j j
 
 
 
 
 
           
                                       

 

 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
9 1 16 1 1049
7.2 13.762
2251 3 1 4
    
               
4)
 
                             
                             
 
4 5
2
1 2
4 5 4
2 2 2 22
1 2 1
4 4
2 2 2 2
1 1
Hallar 1 .
operando sobre j
1 . 1 . 2 2 1 . 3 3 1 . 4 4 1 . 5 5
1 . 2 2 1 . 3 3 1 . 4 4 1 . 5 5 2 .5 35
ahora sobre i
2 .5 35
i
i j
i i i i i
i j i
i i i i i
i i
i
j j
j j
 
  
 
  
 
               
   
                
  
  
 

 
 
           
 
4
1 2 3 4
1
4 5
2
1 2
2 .5 35 2 .5 35 2 .5 35 2 .5 35
1 . 190
i
i
i j
j j

 
            
 
   
 


5)
  
              
             
          
  
3 9
1 7
3 9 3
1 7 1
3 3
1 1
3
1
3 9
1 7
Hallar 2 1
operando sobre j
2 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1
2 7 1 2 8 1 2 9 1 21 42
operando sobre i
21 42 21 1 42 21 2 42 21 3 42
2 1 252
i j
i j i
i i
i
i j
i j
i j i i i
i i i i
i
i j
 
  
 

 
 
            
           
        
  

 
 



64. Calculo II 2012
63
CALCULO DE LA INTEGRAL DOBLE CON SUMATORIAS DOBLES
1.-DEFINICIÓN
Ahora vamos a estudiar las integrales dobles donde nos ubicaremos en un plano xy
(bidimensional). Lo que sigue ahora es dar una notación nueva .En una sucesión ordinaria [a1],
cada término ha indizado por un entero i. La suma de todos los a desde i=1 hasta i=m se denota
por:
∑
Pero vemos que aparecen 2 índices como por ejemplo:
aij= aij= o aij=
Para eso se nota la notación de doble sumatoria para denotar la suma de todos los términos
indizados. Mediante:
∑ ∑
Representaremos la suma de todos los términos donde i varía desde 1 hasta m y j varias desde
1 hasta n .Por ejemplo:
∑ ∑ =2.5+2. + .5+ =420
Dado que la adición es asociativa y conmutativa, podemos sumar los términos en cualquier orden.
Usualmente se hace:
∑ ∑ = ∑ ∑
Podemos evaluar la expresión de la derecha desarrollando primero respecto de i y luego respecto
de j:
∑ ∑ =∑ ∑ +…+∑
= +
O podemos desarrollar primero respecto de j y luego respecto de i:
∑ ∑ =∑
=( +…+(

65. Calculo II 2012
64
El resultado es el mismo
Por ejemplo, podemos escribir:
∑ ∑ =∑ +∑ ∑ =
Dados que las constantes se pueden sacar como factores de las sumas simples, también se puede
sacar como factores de las sumas dobles, concretamente,
∑ ∑ =α∑ ∑
Además:
∑ ∑ =∑ ∑ +∑ ∑
Las sumas dobles mas fáciles de manejar son aquellas en las cuales cada termino aparece
como un producto de , en la cual cada factor solo lleva un índice. En este caso podemos
expresar la suma doble como un producto de dos sumas simples:
∑ ∑ ∑ )(∑
2.-INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO
Empezamos con una función f continua en un rectángulo
R: a c
Nuestro propósito es definir la integral doble de f sobre R:
∫ ∫ ,

66. Calculo II 2012
65
Luego
(P)= (área de
)+ +
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
En cada rectángulo ,f alcanza su valor mínimo en el punto ( que es el vértice
mas próximo al origen: , =
Luego
(P)= (area de
=
Volvamos ahora a la situación que es general. Como en el caso de una variable, se puede
demostrar que si f es continua, existe un número I y solo uno que satisface la desigualdad.
Para todas las particiones P de R
INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGULO
Sea f una situación continua en un rectángulo cerrado R. El único número I que satisface la
desigualdad.
Para todas las particiones P de R
Se llama integral doble de f sobre R y se designa por
∫ ∫ ,
LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN
Si f es continua y no negativa en un rectángulo R, la ecuación
Z=f(x,y)
Representa una superficie que está por encima de R. En este caso, la integral doble
∫ ∫ ,

67. Calculo II 2012
66
Da el volumen del solido delimitado inferiormente por R y delimitado superiormente por la
superficie z=f(x, y)
Para verlo hay que considerar una partición P de R. Entonces P divide R en subrectángulos y
por tanto divide el solido Ten partes . Dado que contiene un paralelepípedo rectangular de
base y altura debe cumplirse
3.-PROPIEDADES
3.1.- Si f(x,y) es continua en la región R={a x b; g(x) y h(x)}, en la integral iterada doble de
f(x,y) se cumple:
1 1
( , ) ( , ) lim ( , )
b d n m
j i jnR
i ja c
m
f x y dxdy dx f x y dy f x y x y

 

     
Donde (xi , )jy ϵ a la sub-región Rij.
3.2.-Para cada sub-región Rij = {(x,y) / x ϵ [xi-1 , xi], y ϵ [yj-1 , yj]} existe un supremo Mij y un ínfimo mij,
tal que:
Mij = sup {f (x, y) / (x,y) ϵ Rij} ; mij = inf {f(x,y) / (x, y) ϵ Rij}
Además de las suma de todos los productos Mij.∆xi ∆yj Y de todos los productos mij∆xi∆yj, se
obtiene respectivamente:

68. Calculo II 2012
67
1 1
1 1
( )
( )
n m
f ij i j
i j
n m
f ij i j
i j
U P M x y
L P m x y
 
 
  
  


Siendo Uf (P) la suma superior y Lf (p) la suma inferior para la partición P = P1×P2 = {x0, x1,, x2, x3, …x
n}× {y0,y1, y2, y3,…, yn}
3.3.-La función z=f(x,y) es integrable sobre una región R del plano XY, si “f” es acotada sobre R, y si
existe un numero I que satisface:
Lf (P) ≤ I ≤ Uf (P) ; I= ( , )
R
f x y dxdy ; Para toda partición P de R.
3.4.- Para cada una de las subregiones Rij de una partición P de la región R, si *
( if x *
, )jy es un
punto en Rij cualquiera sea la elección de *
( if x *
, )jy en Rij , se tiene que:
* *
1 1
( ) ( , ) ( )
n m
f i j i j f
i j
L P f x y x y U P
 
   
También vale decir:
   * *
1 1
( , ) ( , )
n m
i j i j f fR
i j
f x y dxdy f x y x y U P L P
 
    
4.-EJERCICIOS
1.- Calcular:
7
R
dxdy 
Dónde: R= {(x,y) / x ϵ [1,8], y ϵ [1,6]}

69. Calculo II 2012
68
Solución:
 Para este caso:
Si (x,y) ϵ R, entonces f(x,y) = 7
 Además considérese la partición P1 = {x0=1, x 1,, x 2, x 3, …x n=8} en [1,8], la partición P2 =
{y0=1,y1, y2, y3,…, yn=6} en [1,6] y la partición arbitraria P=P1×P2 en la región R.
 Así mismo en cada sub-región Rij, f(x,y)=7. Por lo que:
Mij = mij = 7
 Luego la suma superior es igual a la suma inferior:
1 1 1 1
( ) ( ) 7 7( )( ) 7(6 1)(8 1) 245
n m m n
f f i j j i
i j i j
U P L P x y y x
   
            
 Finalmente por propiedad:
Uf (P) ≤ ( , )
R
f x y dxdy ≤ Lf(P)
245 ≤ ( , )
R
f x y dxdy ≤ 245
 La integral es igual a:
7
R
dxdy =245
2.-Evaluar :
( , )
R
f x y dxdy

70. Calculo II 2012
69
Si f(x,y) = 8 - xy esta acotado en el rectangulo R de coordenadas (1;1), (1;4), (5;1) y (5;4).
-Solucion :
 Con las particiones [1,5] y [1,4] :
* *
1 1
(8 ) lim ( , )
n m
i j ijnR
i j
m
xy dxdy f x y A

 

  
P1 : xi = 1 + 4i/n , ∆xi = 4/n , i=0 ; 1 ; 2 ; 3… ; n
P2 : yj = 1 + 3j/m , ∆yj =3/m , j=0 ; 1 ; 2 … ; m
Apartir de P1 Y P2 obtenemos P = P1 × P2 ; entonces :
* * 4 3
( ) ( ) 8 8 (1 )(1 )i j i j i j
i j
f x y f x y x y
n m
      
Luego :
Y
Xx0=1 . . . xi-1 xi . . . xn=5
∆xi
ym=4
∆yj
yj
yj-1
y0=1
x0=1 . . . xi-1 xi . . . xn=5
∆Aij

71. Calculo II 2012
70
 * *
1 1
4 3 3 4 3 ( 1) 3 4 9( 1)
( , ) [8 (1 )(1 )] [8 (1 )( )] 24 (1 )(3 )
2 2
m m
i j j
j j
i j i m m m
f x y y m m
n m m n m m n m 
 
              
9( 1) 4 ( 1) 4 9 8( 1) 9 1
[24 (3 )( )] 96 [(3 4.5 )(4 )] 96 [(7.5 )(4 8 )]
2 2 2 2
m n n n
n n
m n n m n m n
  
             
Finalmente, como m y n tienden al infinito :
(8 )
R
xy dxdy =96-(7.5+0)(4+8+0) = 96-90 = 6
3.- Vamos a ver un ejemplo
∫ ∫
Donde R es el rectángulo 1 ,
Solución Con , , , como partición arbitraria de [1,4] y , , , como
partición arbitraria de [1,3] tenemos
={( , }
Como posición arbitraria de R. En cada rectángulo : , , la función
F(x,y)=x+y-2
Alcanza un máximo y un mínimo Luego:
∑ ∑
∑ ∑
Para cada índice i, j:
( )
Esto significa
∑ ∑ ( ) (P)

72. Calculo II 2012
71
La suma doble en este conjunto de desigualdades se puede escribir como
∑ ∑ +∑ ∑ -∑ ∑ ,
La primera suma doble se reduce a
∑ ∑ = ∑ ( ) ∑ )=
La segunda suma doble se reduce a,
∑ ∑ = ∑ ∑ )=
La suma de estos números 15+12-12=15 satisface la desigualdad
(P) (P) para P arbitraria
Luego
∫ ∫

73. Calculo II 2012
72
CALCULO DE INTEGRALES POR INTERPOLACIÓN
1.- INTRODUCCIÓN:
Sabemos que para desarrollar una integral debemos calcular la primitiva de la función pero no
siempre se puede hacer ello, en otros cosos no conocemos la función pero si tenemos datos en
forma de tablas o gráficas. En estos casos necesitamos un método para poder resolver estos
problemas, en este caso estudiaremos a Lagrange y posteriormente como calcular una integral con
este Lagrange.
2.-INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:
Sea ⌊ , ⌋ y {x0, x1,….., xn} n+1 puntos distintos del intervalo [a, b], que llamaremos nodos,
entonces existe un único solo polinomio de grado “n” a lo más Pn (x) tal que:
( ) ( )n i iP x f x Para 0,1,....,i n
Este polinomio se le conoce como “enésimo polinomio interpolante de Lagrange”
0
( ) ( ) ( )
n
n i i
i
P x f x L x

  ,  0,1,2,...,i n
De donde:
( )
n
j
i
i o i j
i j
x x
L x
x x





EJEMPLO 1:
Si queremos utilizar los números (o nodos), x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4 para obtener el segundo
polinomio interpolante para
1
( )f x
x

Primero procedemos a determinar los coeficientes de 0 1 2( ), ( ), ( )L x L x L x :
0
( 2.5)( 4)
( ) ( 6.5) 10
(2 2.5)(2 4)
x x
L x x x
 
   
 
1
( 2)( 4) (24 4 ) 32
( )
(2.5 2)(2.5 4) 3
x x x x
L x
   
 
 
2
( 2)( 2.5) ( 4.5) 5
( )
(4 2)(4 2.5) 3
x x x x
L x
   
 
 
Sabiendo que:
0( ) (2) 0.5f x f  , 1( ) (2.5) 0.4f x f  , 2( ) (4) 0.25f x f 

74. Calculo II 2012
73
Entonces tendríamos:
0
( ) ( ) ( )
n
i i
i
P x f x L x

 
(24 4 ) 32 ( 4.5) 5
( ) 0.5( ( 6.5) 10) 0.4 0.25
3 3
x x x x
P x x x
   
    
Por lo tanto este sería nuestro polinomio interpolante.
2.1.-ERROR DE INTERPOLACION:
Como ya tenemos nuestro polinomio, nos gustaría calcular el valor de la función en cualquier
punto del intervalo [a,b], si el punto que escogemos coincide con alguno de los nodos {x0, x1,…..,
xn} entonces:
( ) ( )n i iP x f x
Sin embargo sí  ,x a b y es distinto a los nodos de interpolación entonces:
( ) ( )n i iP x f x
Es ahí donde se produce un error al que llamaremos error de interpolación denotado:
( 1)
0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1)!
n n
x
n n i
i
f
E x f x P x x x
n


   


La expresión nos permite obtener la cota, para cada  ,x a b
0 ( 1)
( )
( ) ( ) ( )
(
max
1)!
n
i
a x
i
b
n
n
x x
f x P x f
n

 
 

 


EJEMPLO 2:
Suponga que debe preparar una tabla de la función ( ) x
f x e , para  0,1x . Suponga, además,
el número de cifras decimales de cada entrada o valor es de 8d  y que h , el tamaño del paso es
la diferencia entre los valores adyacentes de x . ¿Cuál debe ser el valor de h para que la
interpolación lineal (es decir, el polinomio de grado 1 de Lagrange) arroje un valor absoluto a lo
máximo de
6
10
?
Sean  0,1x , 0 1, ,...., nx x x los números en los que se evalúa f y suponga que j satisface
1j jx x x   .

75. Calculo II 2012
74
(2)
1
( )
( ) ( ) ( )( )
2!
j j
f
f x P x x x x x

   
(2)
1
( )
( ) ( ) ( )( )
2!
j j
f
f x P x x x x x

   
Por ser h el tamaño del paso, se deduce que jx jh , 1 ( 1)jx j h   , entonces
(2)
( )
( ) ( ) ( )( ( 1) )
2!
f
f x P x x jh x j h

    
Por tanto,
10 1
max max
1
( ) ( ) ( )( ( 1) )
2 j j
n
x x x
f x P x e x jh x j h


   
    
1
1
( ) ( ) ( )( ( 1) )
2
max
j j
n
x x x
f x P x e x jh x j h
 
    
Al considerar ( ) ( )( ( 1) )g x x jh x j h    para ( 1)jh x j h   y al aplicar los métodos del
cálculo, encontramos que
1
( )( ( 1m )ax )
j jx x x
x jh x j h
 
  
1
1
( )ma (( ) )
2
x
j jx x x
g x g j h
 
 
1
2
( )
4
max
j jx x x
h
g x
 

Entonces el error de la interpolación lineal estaría acotado de la siguiente forma:
2
( ) ( )
8
n
h
f x P x e 
3
1.72 10h 
 
Ya que
(1 0)
n
h

 debe ser un entero, una elección lógica del tamaño del paso es 0.001h  .

76. Calculo II 2012
75
2.2.-CALCULO DE UNA INTEGRAL USANDO LAGRANGE:
Como se mencionó anteriormente hay veces es necesario evaluar una integral definida de una
función que no tiene antiderivada explicita, o cuya antiderivada no es fácil de obtener. El método
básico con el que se aproxima ( )
b
a
f x dx recibe el nombre de cuadratura numérica y emplea una
suma de tipo:
0
( )
n
i i
i
a f x


Para poder aproximar ( )
b
a
f x dx el método de la cuadratura que se presenta se basa en los
polinomios interpolantes.
Primero seleccionamos un conjunto de nodos distintos  0,...., nx x del intervalo  ,a b . Después
integramos el polinomio interpolante de Lagrange.
0
( ) ( ) ( )
n
n i i
i
P x f x L x

 
Y su termino de error en  ,a b para obtener
( 1)
( )
0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1)!
nb b b nn
x
i i i
i ia a a
f
f x dx f x L x dx x x dx
n

 
  

   
( 1)
( )
0
1
( ) ( ) ( ) ( )
( 1)!
b b nn
n
i i i x
i o ia a
f x dx a f x x x f dx
n

 
  

  
Donde ( )x se encuentra en  ,a b para cada x
( )
b
i i
a
a L x dx  Para cada 0,1,.....,i n
Por lo tanto la fórmula de la cuadratura es:
( ) ( )
b n
i i
i oa
f x dx a f x

 

77. Calculo II 2012
76
Con un error: ( 1)
( )
0
1
( ) ( ) ( )
( 1)!
b n
n
i x
ia
E f x x f dx
n


 


EJEMPLO 3: se desea aproximar ( )
b
a
f x dx
Sean 0x a , 1x b , h b a  , usaremos el polinomio lineal de Lagrange:
01
1 0 1
0 1 1 0
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x xx x
P x f x f x
x x x x

 
 
Entonces:
1
0
01
0 1
0 1 1 0
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xb
a x
x xx x
f x dx f x f x dx
x x x x
 
  
  
 
1
0
0 1
1
( ( ))( )( )
2
x
x
f x x x x x dx  
Dado que 0 1( )( )x x x x  no cambia de signo en  0 1,x x , podemos aplicar el teorema del valor
promedio ponderado de las integrales al término de error para poder obtener:
1
0
0 1( ( ))( )( )
x
x
f x x x x x dx  
1
0
0 1( ) ( )( )
x
x
f x x x x dx  
1
0
3
21
0 1( )
3 2
x
x
x xx
f x x x x
 
   
 
3
( )
6
h
f  
En consecuencia:
1
0
22 3
01
0 1
0 1 1 0
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2( ) 2( ) 12
xb
a x
x xx x h
f x dx f x f x f
x x x x

 
   
  

 
3
1 0
0 1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 12
b
a
x x h
f x dx f x f x f 

  
Pero 1 0x x h 
 
3
0 1( ) ( ) ( ) ( )
2 12
b
a
h h
f x dx f x f x f   

78. Calculo II 2012
77
3.-INTERPOLACIÓN DE HERMITE
3.1.-Definición
Sea x0,x1,...,xn, n+1 números distintos en [a,b] y mi un entero no negativo asociado a xi para
i=0,1,...,n. Supónganse que f [a,b] y que m=max0<i<n mi. El polinomio oscilante que aproxima f
es el polinomio P(x) de menor grado tal que
  ( )
k k
i i
k k
d x d fp x
dx dx
 para cada i=0,1,..., n y k=0,1,...,mi .
Nótese que, cuando mi= 1 para cada i=0,1,..., n, se produce una clase de polinomios denominados
polinomios de Hermite. En una función dada f, estos últimos concuerdan con f en x0,x1,...,xn.
Además, como sus primeras derivadas concuerdan con las de f; tendrán la misma “forma” que la
función en (xi, f (xi)), en el sentido de que las líneas tangentes del polinomio coinciden con las de la
función.
3.2.-Teorema
Si f [a,b] y si x0,x1,...,xn [a,b] son distintos, el polinomio único de menor grado que
concuerda con f y f’ en x0,x1,...,xn es el polinomio de Hermite de grado a lo más 2n+1 que está
dado por:
2 1 . ,
0 0
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n j n j j n j
j j
H x f x H x f x H x
 
  
Donde:
       2
, , ,1 2n j j n j j n jH x x x L x L x 
   
Y
   2
, ,
ˆ ( )n j j n jx x x L xH  
Más aún, si f [a,b], entonces para x [a,b]
2 2
(2 2)0
2 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(2 2)!
nn
n
x x x x
f x H x f
n


 
 

; para algún con a< <b.

79. Calculo II 2012
78
Ejemplos:
1) Determinar el polinomio interpolador de Hermite de la función f(x)=cos(x) en el soporte
{0, /2, } para los enteros {2,0,1}
Solución:
Grado del polinomio interpolador:
0
2 2 0 1 5
n
i
i
m n m

      
2 3 4
5 0 1 2 3 4( ) . . . .p x m m x m x m x m x    
5 0
5 1
5 2
2 3 4 5
5 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5
5 0 1 2 3 4 5
5
(0) cos(0) 1
(0) (0) 0
(0) cos(0) 2. 1
( / 2) cos( / 2) .( / 2) .( / 2) .( / 2) .( / 2) .( / 2) 0
( ) cos( ) .( ) .( ) .( ) .( ) .( ) 1
( ) ( )
p m
p sen m
p m
p m m m m m m
p m m m m m m
p sen
      
      
 
  
    
     
       
        
   2 3 4
1 2 3 4 52. .( ) 3. .( ) 4. .( ) 5. .( ) 0m m m m m        
Por sistemas de ecuaciones se tiene:
0
1
2
2
3
3 2
4 4
5 3
5
1
0
1 2
10
2.
5 12
.
2
12
m
m
m
m
m
m






 
 
  
   
  
  
   
  
  
   
  
  
 
Se tiene:
2 2 2
2 3 4 5
5 3 4 5
10 5 12 12
( ) 1 (1/ 2). 2( ). .( ). ( ).
2
p x x x x x
  
  
  
    
2) Utilizar el método de Hermite para hallar un polinomio P(x) de grado 2 que satisfaga:
     1 0, 1 7, 2 10p p p   .
Solución:

80. Calculo II 2012
79
Como existe la derivada del polinomio p(x), quiere decir que el método a utilizar es el de
Hermite (en el caso de que no nos dijeran el método a utilizar), entonces la tabla quedaría
de la forma
X P(x)
1 0
1 0 7
2 10 p[1,2]=10 p[1,1,2]=3
p [1,2]= 10/1
p [1, 1,2]= (10-7)/1 = 3
El polinomio de interpolación quedaría expresado de la forma
     
2
7 1 3 1x x xp    
  2
3 – 4x x xp   Satisface las condiciones de
     1 0, 1 7, 2 10 .p p p  
3) Sea la función: f(x)= , calcúlese el polinomio de interpolación de Hermite de f en x0=1 y
x1=2.
Solución:
Construimos la tabla de diferencias divididas que permite incluir los datos de interpolación
f(1), f’(1), f(2), f’(2), trabajando con dos dígitos decimales:
D.D.1 D.D.2 D.D.3
x0=1 f(1)=0 f’(1)=1 f[1,1,2]=-0.31 f[1,1,2,2]=0.12
x0=1 f(1)=0 f[1,2]=0.69 f[1,2,2]=-0.19
x1=2 f(2)=0.69 f*2,2+= f’(2)=0.5
x1=2 f(2)=0.69
Sea p(x) el polinomio de interpolación buscado, utilizando la formula de Newton
generalizada
              
       
2 2
2 2
1 1,1 – 1 1,1,2 – 1 1,1,2,2 – 1 – 2
1 – 0.31 – 1 0.12 – 1 – 2
p x f f x f x f x x
x x x x
   
  
4) Supongamos que queremos encontrar el polinomio p(x) que satisfice p(x0)=c00, p(xi)=c10 y
p’(x0)=c01.

81. Calculo II 2012
80
Solución:
Puesto que las condiciones son de interpolación de Hermite, con m + 1=2 + 1=3 (2 es el
número de condiciones sobre el nodo x0 y 1 es el número de condiciones sobre el nodo x1),
entonces existe un único polinomio p(x) ∏ que satisface las condiciones dadas.
Consideremos la siguiente tabla de diferencias dividas extensivas:
zi D.D.0 p(zi) D.D.1 D.D.2
z0=x0 c00=p(z0) p[z0,z1]= c01 p[z0,z1 ,z2]= c02
z1=x0 c00=p(z1) p[z1,z2]
z2=x1 c10=p(z2)
Nota: En esta tabla se repite el nodo x tantas veces como condiciones hayan impuestas
sobre ese nodo. Cada uno de los cálculos que aparecen e la tabla se realiza usando la
definición de diferencia dividida con o sin repetición, según sea el caso.
   0. 1 0, 0 0 01p z z p x x p x c    (Definición)
    1 0 10 00
1 2 0 1
1 0 1 0
( ) ( )
, ,
p x p x c c
p z z p x x
x x x x
 
  
 
10 00
01
1 2 0 1 1 0 10 00 01
0 1 2 022
2 0 1 0 1 0 1 0
[ , ] [ , ]
[ , , ]
( )
c c
c
p z z p z z x x c c c
p z z z c
z z x x x x x x


  
    
   
El polinomio
0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) [ ] [ , ]( ) [ , , ]( )( )p x p z p z z x z p z z z x z x z     
Es decir,
2
00 01 0 02 0( ) ( ) ( )p x c c x x c x x    
Satisface las condiciones dadas. En efecto:
00
1 00 01 1 0 02 1 0
1 00 01 1 0 10 00 01 1 0
10
01 02 0 0 01
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ( )]
( )
( ) 2 ( ), ( )
p x c
p x c c x x c x x
p x c c x x c c c x x
p x c
p x c c x x p x c

    
      

    
En conclusión p(x) es el polinomio de interpolación de Hermite para las condiciones dadas.
5) Use el método de diferencias divididas extensivas de Newton para obtener el polinomio
de Hermite que interpola la siguiente tabla:
xi f(xi) f’(xi) f’’(xi)
0 2 3
1 6 7 8