3. Motivación I
Imagine a una persona caminando sobre un paisaje representado por la
gráfica de y = f(x). Su posición horizontal se mide por el valor de x,
muy similar a la posición dada por un mapa de la tierra o por un sistema
de posicionamiento global. Su altitud viene dada por la coordenada y.
Camina hacia la posición horizontal dada por x = p. A medida que se
acerca más y más, nota que su altitud se acerca a L. Si se le pregunta
sobre la altitud de x = p, ella respondería L.
Entonces, ¿qué significa decir que su altitud se acerca a L? Significa que
su altitud se acerca cada vez más a L, excepto por un posible pequeño
error en la precisión. Por ejemplo, supongamos que establecemos una meta
de precisión particular para nuestro viajero: debe acercarse a diez metros
de L. Ella informa que de hecho puede acercarse a diez metros verticales
de L, ya que observa que cuando está dentro de los cincuenta metros
horizontales de p, su altitud es siempre de diez metros o menos de L.
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4. Motivación II
Luego se cambia el objetivo de precisión: ¿puede llegar a un metro ver-
tical? Si. Si se encuentra en cualquier lugar dentro de los siete metros
horizontales de p, entonces su altitud siempre permanece dentro de un
metro del objetivo L. En resumen, decir que la altitud del viajero se acer-
ca a L cuando su posición horizontal se acerca a p, es decir que para cada
objetivo de precisión meta, por pequeña que sea, hay alguna vecindad de
p cuya altitud cumple esa meta de precisión.
De manera informal podemos decir que: El límite de una función f(x)
cuando x se acerca a p es un número L con la siguiente propiedad:
dada cualquier distancia objetivo desde L, hay una distancia desde
p dentro de la cual los valores de f(x) permanecen cerca de la
distancia objetivo.
De hecho, esta declaración explícita se acerca bastante a la definición
formal del límite de una función, con valores en un espacio topológico.
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5. Motivación III
Específicamente, para decir que:
lı́m
x→p f(x) = L
es decir que f(x) se puede hacer tan cerca de L como se desee, haciendo
x lo suficientemente cerca, pero no igual, de p.
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6. Límite I
Definición 1
Dados X ⊆ R, a ∈ X0 y f : X → R. Decimos que L ∈ R es el
límite de f cuando x tiende a a, si para todo ε > 0 existe
δ > 0 tal que para x ∈ X con 0 < |x − a| < δ se tiene que
|f(x) − L| < ε. Y se simboliza como:
lı́m
x→a f(x) = L
a ∈ X0 nos dice que a es un punto de acumulación de X. En particular no
siempre va a suceder que a ∈ X; esto implica que para calcular límites no
es necesario que la función f esté definida en el punto a, lo que realmente
importa es que se pueda estudiar el comportamiento de f en los puntos
de X ”cercanos” a a.
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7. Límite II
Las letras ε y δ pueden entenderse como ”error” y ”distancia”. En estos
términos, el error ε en la medición del valor en el límite se puede hacer
tan pequeño como se desee, reduciendo la distancia δ al punto límite.
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8. Límite III
Teorema 1 - Caracterización por medio de Sucesiones
lı́m
x→a f(x) = L si, y solo si, para toda sucesión {xn}n∈N ⊆ X − {a}
con lı́m
n→∞ xn = a se tiene que lı́m
n→∞ f(xn) = L.
Dms. (=⇒) Supongamos que lı́m
x→a f(x) = L y tomamos una sucesión
xn ∈ X − {a} para todo n ∈ N con lı́m
n→∞ xn = a. Dado ε > 0 arbitrario,
existe δ > 0 tal que para x ∈ X con 0 < |x − a| < δ implica que
|f(x) − L| < ε. Además, existe también N ∈ N tal que si n > N entonces
0 < |xn − a| < δ (pues xn 6= a para todo n). En consecuencia, n > N
implica que |f(xn) − L| < ε, es decir, lı́m
n→∞ f(xn) = L.
(⇐=) Supongamos que para toda sucesión xn ∈ X−{a} tal que lı́m
n→∞ xn =
a implica que lı́m
n→∞ f(xn) = L. Debemos probar que lı́m
x→a f(x) = L, si ne-
gamos esta última afirmación, tendriamos que existe un tal que para
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9. Límite IV
todo n ∈ N obtenemos un xn ∈ X tal que 0 |xn − a| 1
n implica que
|f(xn) − L| ≥ , esto contradice la suposición inicial, lo que completa la
demostración.
Este teorema nos permite usar los resultados obtenidos sobre sucesiones
para calcular límites.
Corolario 1 - Unicidad del Límite
Si lı́m
x→a f(x) = L y lı́m
x→a f(x) = M entonces L = M.
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10. Límite V
Corolario 2 - Operaciones con Límites
Si lı́m
x→a f(x) = L y lı́m
x→a g(x) = M entonces
• lı́m
x→a f(x) ± g(x) = L ± M.
• lı́m
x→a f(x) · g(x) = L · M.
• lı́m
x→a
f(x)
g(x) = L
M , M 6= 0.
• lı́m
x→a |f(x)| = |L|.
• Si lı́m
x→a |f(x)| = 0 y g es acotada en una vecindad de a
entonces lı́m
x→a f(x) · g(x) = 0 .
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11. Límite VI
Proposición 1
Si existe lı́m
x→a f(x) existe entonces f es acotada en una vecindad
de a, esto es, existen δ, M 0 tales que para todo x ∈ X con
0 |x − a| δ se tiene que |f(x)| ≤ M.
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12. Límites Laterales I
Los números reales cumplen la propiedad de tricotomía, es decir, para
cada par de puntos x, y ∈ R se cumple sólo una de las siguentes:
x y o x = y o x y, lo que implica que podemos redefinir el concepto
de punto de acumulación de un conjunto X:
Definición 2
Dados un punto a ∈ R y un conjunto X ⊆ R decimos que a
es un punto de acumulación a derecha (a izquierda) de X
si para todo ε 0 se tiene que X ∩ ]a, a + ε[ 6= ∅ (X ∩
]a − ε, a[ 6= ∅) y se denota por a ∈ X0
+ (a ∈ X0
−), es decir,
a ∈ (X ∩ ]a, +∞[)0
a ∈ (X ∩ ]−∞, a[)0
.
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13. Límites Laterales II
Esto implica que a ∈ X0 si, y solo si, a ∈ X0
+ ∩ X0
−.Esto es , a es un
punto de acumulación (bilateral) si, y solo si, a es un punto de
acumulación a izquierda y a derecha.
Proposición 2
a ∈ X0
+ si, y solo si, existe una sucesión {xn}n∈N ⊆ X ∩ ]a, +∞[
tal que lı́m
n→∞ xn = a. De la misma manera, a ∈ X0
− si, y solo si,
existe una sucesión {xn}n∈N ⊆ X ∩ ]−∞, a[ tal que lı́m
n→∞ xn = a
Dado I ⊆ R un intervalo. Si c ∈ int(I) entonces c ∈ I0
+ ∩ I0
−. Además,
si c es el extremo inferior del intervalo se tiene que c ∈ I0
+ y si c es
el extremo superior del intervalo se tiene que c ∈ I0
−.
Ahora podemos definir:
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14. Límites Laterales III
Definición 3 - Límites Laterales
Sea f : X → R, a, L ∈ R entonces:
• Si a ∈ X0
+ decimos que L es el límite a derecha de f
cuando x tiende a a si para todo ε 0 existe δ 0 tal
que para todo x ∈ X con 0 x − a δ se tiene que
|f(x) − L| ε y se denota lı́m
x→a+ f(x) = L.
• Si a ∈ X0
− decimos que L es el límite a izquierda de f
cuando x tiende a a si para todo ε 0 existe δ 0 tal
que para todo x ∈ X con 0 a − x δ se tiene que
|f(x) − L| ε y se denota lı́m
x→a− f(x) = L.
Es de esperar que:
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15. Límites Laterales IV
Teorema 2
Dado a ∈ X0
+ ∩ X0
− se tiene que: lı́m
x→a f(x) = L si, y solo si,
lı́m
x→a+ f(x) = lı́m
x→a− f(x) = L.
Teorema 3
Sea f : X → R una función monótona acotada. Para todo a ∈ X0
+
y b ∈ X0
− existen lı́m
x→a+ f(x) = L y lı́m
x→b− f(x) = M.
Una función f : I → R donde I es in intervalo es llamada reglada si
si para todo x ∈ I sus límites laterales existen (aunque no sean
iguales).
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16. Límites Infinitos y al Infinito I
Definición 4 - Límite al Infinito
Sea X ⊆ R conjunto no acotado y dada una función f : X → R,
escribimos:
• lı́m
x→+∞
f(x) = L si se cumple que: Para todo ε 0 existe
A 0 tal que para x ∈ X con x A se tiene que
|f(x) − L| ε.
• lı́m
x→−∞
f(x) = L si se cumple que: Para todo ε 0 existe
A 0 tal que para x ∈ X con x −A se tiene que
|f(x) − L| ε.
En este caso la recta horizontal y = L se llama Asíntota Horizontal
de f.
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17. Límites Infinitos y al Infinito II
Definición 5 - Límite Infinito
Sean X ⊆ R, a ∈ X0 y dada una función f : X → R, escribimos:
• lı́m
x→a f(x) = +∞ si se cumple que: Para todo A 0 existe
δ 0 tal que para x ∈ X con 0 |x − a| δ se tiene
que f(x) A.
• lı́m
x→a f(x) = −∞ si se cumple que: Para todo A 0 existe
δ 0 tal que para x ∈ X con 0 |x − a| δ se tiene
que f(x) −A.
En este caso la recta vertical x = a se llama Asíntota Vertical de f.
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18. Límites Infinitos y al Infinito III
Un tipo especial de límite al infinito nos permite definir las Asíntotas
Oblicuas:
Definición 5
Dado X ⊆ R conjunto no acotado y una función f : X → R.
Decimos que la recta y = mx + n con m 6= 0 es una asíntota
oblicua si se cumple que:
• lı́m
x→+∞
f(x)
x
= m.
• lı́m
x→∞ f(x) − mx = n.
Estas asíntotas ayudan a estudiar el comportamiento asintótico de la fun-
ción en valores finitos específicos o en el infinito.
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19. Un par de Teoremas Importantes
Teorema 4
Sean f, g, h : X → R funciones con h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) en
X y a ∈ X0 tales que lı́m
x→a g(x) = lı́m
x→a h(x) = L se tiene que
lı́m
x→a f(x) = L.
Teorema 5
Dadas g : X → Y y f : Y → R con a ∈ X0. Si lı́m
x→a g(x) = b con
g(x) 6= b y lı́m
y→b
f(y) = L entonces lı́m
x→a f(g(x)) = L.
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