Презентация второго вебинара по решению систем логических уравнений. Универсальный метод решения систем однородных логических уравнений, предложенный в пособии Авдошин С. М., Ахметсафина Р. З., Максименкова О. В. Информатика: Логика и алгоритмы. Эффективные методы решения задач: Пособие для самостоятельной подготовки. М., СПб. : Просвещение, 2013.

1. Метод решения систем однородных
логических уравнений
(22.11.2016)
Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель
департамента программной инженерии факультета
компьютерных наук НИУ ВШЭ
© Максименкова О.В., ДПИ ФКН НИУ ВШЭ 1

2. Напоминание: задача поиска количества
путей в многодольном графе
• K – количество одинаковых двудольных графов, составляющих
многодольный граф;
• Q – количество вершин в каждой доле;
• F0 – единичная вектор-строка размерности Q;
• FK – вектор-строка размерности Q, элементами которой
являются количества путей из первой доли в каждую вершину K-
ой доли.
• I – единичный вектор-столбец размерности Q;
• R – общее количество путей из всех вершин первой доли
многодольного графа во все вершины K-й доли.
• Тогда можно записать: 𝑅=𝐹0×𝑀 𝐾×𝐼
• Или в виде рекуррентной формулы
𝐹𝑖=𝐹𝑖−1×𝑀, 𝑖=1,2,…,𝐾
𝑅=𝐹 𝐾×𝐼
2© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

3. Пример 1 (1)
3© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

4. Пример 1 (2)
• Перепишем в принятых нами обозначениях:
𝑥1 + 𝑥2 ∙ 𝑥3 = 1
𝑥2 + 𝑥3 ∙ 𝑥4 = 1
…
𝑥7 + 𝑥8 ∙ 𝑥9 = 1
𝑥8 + 𝑥9 ∙ 𝑥10 = 1
• Заметим, что все уравнения в системе имеют одинаковую
структуру:
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 ∙ 𝑥𝑖+2 = 1
4© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
Эта пара входит в (i+1)-е уравнение

5. Пример 1 (3)
• Последовательно решаем уравнения, то есть узнаем число
решений первого уравнения, затем второго и так далее…
• Построим таблицу истинности для первого уравнения:
5© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
x1 x2 x3 x2x3 x1+x2x3
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
Сколько решений у первого уравнения?
Напишите в чате

6. Пример 1 (4)
• Теперь посмотрим одновременно на первое и второе
уравнения:
𝑥1 + 𝑥2 ∙ 𝑥3 = 1
𝑥2 + 𝑥3 ∙ 𝑥4 = 1
6© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
x1 x2 x3 x2x3 x1+x2x3
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
x1, x2
x2, x3
00 01 10 11
00 01 10 11
Ищем связь между парами x1,x2 и x2,x3

7. Пример 1 (5)
• Чему соответствует число рёбер этого двудольного графа?
7© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
x1, x2
x2, x3
00 01 10 11
00 01 10 11
Напишите в чате

8. Пример 1 (6)
• Добавим связи между парами x2,x3 и x3,x4
8© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
x1, x2
x2, x3
00 01 10 11
00 01 10 11
x3, x4 00 01 10 11
Это соответствует добавлению ещё одного уравнения в систему.

9. Пример 1 (7)
• Получили многодольный граф, в котором связи между долями
имеют одинаковую структуру
9© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
x1, x2
x2, x3
00 01 10 11
00 01 10 11
𝑀 =
0 0 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
Мы помним, что общее количество путей в K-ую долю определяется 𝑅=𝐹0×𝑀 𝐾×𝐼

10. Пример 1 (8)
𝑅 𝐾 = 1 1 1 1 ×
0 0 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
𝐾
×
1
1
1
1
• В виде рекуррентной формулы это можно записать
𝐹𝑖=𝐹𝑖−1×𝑀, 𝑖=1,2,…,𝐾
• 𝐹𝑖 – вектор-строка размера 4, состоящая из количеств путей в
соответствующую вершину i-ой доли многодольного графа из
всех вершин первой доли: 𝐹𝑖 = 𝑓00
𝑖
𝑓01
𝑖
𝑓10
𝑖
𝑓11
𝑖
• Как вычислить общее количество путей из первой доли в i-ю?
𝑅i=𝐹i×𝐼
𝑅𝑖 = 𝑓00
𝑖
+𝑓01
𝑖
+𝑓10
𝑖
+𝑓11
𝑖
10© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

11. Пример 1 (9)
• Посмотрим на матричные вычисления для системы из трёх
уравнений:
𝐹1 = 𝐹0 × 𝑀 = 1 1 1 1 ×
0 0 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
= 1 1 1 2
𝐹2 = 𝐹1 × 𝑀 = 1 1 1 2 ×
0 0 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
= 1 1 2 3
𝐹3 = 𝐹2 × 𝑀 = 1 1 2 3 ×
0 0 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
= 2 2 3 4
Чему равно количество решений?
11© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
Напишите в чате

12. Пример 1 (10)
• Вернёмся к нашему графу и запишем количество путей через
рекуррентные формулы:
• Как вычислить общее количество решений для системы из i
уравнений?
12© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
xi-1, xi
xi, xi+1
00 01 10 11
00 01 10 11
𝑓00
𝑖
= 𝑓10
𝑖−1
𝑓01
𝑖
= 𝑓10
𝑖−1
𝑓10
𝑖
= 𝑓11
𝑖−1
𝑓11
𝑖
= 𝑓01
𝑖−1
+ 𝑓11
𝑖−1
Напишите в чате

13. Пример 1 (11)
• Для наглядности построим таблицу вычислений
13© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
𝑓00
𝑖
= 𝑓10
𝑖−1
𝑓01
𝑖
= 𝑓10
𝑖−1
𝑓10
𝑖
= 𝑓11
𝑖−1
𝑓11
𝑖
= 𝑓01
𝑖−1
+ 𝑓11
𝑖−1
Кол-во
ур-ий
пары 𝒇 𝟎𝟎
𝒊
𝒇 𝟎𝟏
𝒊
𝒇 𝟏𝟎
𝒊
𝒇 𝟏𝟏
𝒊 𝑹𝒊
0 x1, x2 0 1 1 1
1 x2, x3 1 1 1 2 5
2 x3, x4 1 1 2 3 7
3 x4, x5 2 2 3 4 11
4 x5, x6 3 3 4 6 16
5 x6, x7 4 4 6 9 23
6 x7, x8 6 6 9 13 34
7 x8, x9 9 9 13 19 50
8 x9, x10 13 13 19 28 73
Ответ

14. Алгоритм решения системы однородных
логических уравнений (1)
1. Замена переменных (если возможна).
2. Переписать уравнение однородной системы в общем виде.
3. Преобразовать выражение в левой части уравнения (при
необходимости).
4. Привести уравнение к логическому выражению равному
единице (при необходимости)
5. Записать два соседних уравнения в общем виде
• выделить множество общих переменных для двух соседних уравнений
6. В общем виде построить таблицу истинности логического
выражения из левой части уравнения.
7. По таблице истинности определить связь между всеми
возможными комбинациями элементов множеств, полученных
в п.5
© Максименкова О.В., ДПИ ФКН НИУ ВШЭ 14

15. Алгоритм решения системы однородных
логических уравнений (2)
8. Представить таблицу истинности в виде двудольного графа так,
чтобы одному решению соответствовало ровно одно ребро.
• Множества вершин первой и второй долей графа должны совпадать.
• Вершины представляют собой все наборы значений, которые могут
принимать выделенные общие переменные
9. Определить зависимость количества решений для системы i
уравнений от количества решений системы (i-1) уравнений.
10. Найти количество решений системы уравнений одним из
способов:
• Построением таблицы последовательного решения систем i-уравнений, i =
1,2,…,K.
• Умножением векторов и матриц для определения количества путей в
многодольном графе, составленном из однородных двудольных.
11. Перейти к исходным переменным, если была замена
переменных, и найти количество решений для исходной системы
уравнений.
15© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

16. Пример использования алгоритма (1)
16© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

17. Пример использования алгоритма (2)
• Переписать уравнение однородной системы в общем виде.
𝑥2𝑖−1 ≡ 𝑥2𝑖 + 𝑥2𝑖−1 ≡ 𝑥2𝑖+1 ∙ 𝑥2𝑖 ≡ 𝑥2𝑖+1 = 1
• Записать два соседних уравнения в общем виде
• выделить множество общих переменных для двух соседних уравнений
𝑥2𝑖−1 ≡ 𝑥2𝑖 + 𝑥2𝑖−1 ≡ 𝑥2𝑖+1 ∙ 𝑥2𝑖 ≡ 𝑥2𝑖+1 = 1
𝑥2𝑖+1 ≡ 𝑥2𝑖+2 + 𝑥2𝑖+1 ≡ 𝑥2𝑖+3 ∙ 𝑥2𝑖+2 ≡ 𝑥2𝑖+3 = 1
• В (i+1)-м уравнении записана переменная x2i+1 на месте переменной x2i-1 i-
го уравнения, следовательно надо найти связь между этими двумя
переменными
Сколько общих переменных в соседних уравнениях?
17© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
Напишите в чате

18. Пример использования алгоритма (3)
• В общем виде построить таблицу истинности логического
выражения из левой части уравнения
18© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
𝒙 𝟐𝒊−𝟏 𝒙 𝟐𝒊 𝒙 𝟐𝒊+𝟏 𝒙 𝟐𝒊−𝟏⨁𝒙 𝟐𝒊 𝒙 𝟐𝒊−𝟏⨁𝒙 𝟐𝒊+𝟏 𝒙 𝟐𝒊 ≡ 𝒙 𝟐𝒊+𝟏 𝒙 𝟐𝒊−𝟏⨁𝒙 𝟐𝒊+𝟏 𝒙 𝟐𝒊 ≡ 𝒙 𝟐𝒊+𝟏
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0

19. Пример использования алгоритма (4)
• По таблице истинности определить связь между всеми
возможными комбинациями элементов
• Определяем связь между возможными комбинациями x2i-1 и x2i+1,
учитывая переменную x2i
19© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
x2i-1
x2i
0 1
0 1
x2i+1 0 1
𝒙 𝟐𝒊−𝟏 𝒙 𝟐𝒊 𝒙 𝟐𝒊+𝟏
0 1 0 1 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1
Напишите в чатеСколько долей в этом графе?

20. Пример использования алгоритма (5)
• Определить матрицу графа (перемножим матрицы,
образующих его двудольных графов)
0 1
1 0
×
1 1
1 1
=
1 1
1 1
• Определить зависимость количества решений для системы i
уравнений от количества решений системы (i-1) уравнений.
𝑓0
𝑖
= 𝑓0
𝑖−1
+ 𝑓1
𝑖−1
𝑓1
𝑖
= 𝑓0
𝑖−1
+ 𝑓1
𝑖−1
20© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

21. Пример использования алгоритма (6)
• Найти количество решений системы уравнений:
• Умножением векторов и матриц для определения количества путей в
многодольном графе, составленном из однородных двудольных.
𝑅 𝐾 = 1 1 ×
1 1
1 1
𝐾
×
1
1
• Построением таблицы последовательного решения систем i-уравнений, i
= 1,2,…,K
𝑅𝑖 = 2𝑓0
𝑖−1
+ 2𝑓1
𝑖−1
21© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
Кол-во
ур-ий
Количество
переменных
пары 𝒇 𝟎
𝒊
𝒇 𝟏
𝒊 𝑹𝒊
0 x1 1 1
1 3 x3 2 2 4
2 5 x5 4 4 8
3 7 x7 8 8 16
4 9 x9 16 16 32
Ответ

22. Демо-вариант ЕГЭ 2017 (1)
22© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

23. Демо-вариант ЕГЭ 2017 (2)
Перепишем в выбранных нами обозначениях
𝑥1 → 𝑥2 ∙ 𝑦1 ∙ 𝑦1 → 𝑦2 = 1
𝑥2 → 𝑥3 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑦2 → 𝑦1 = 1
…
𝑥5 → 𝑥6 ∙ 𝑦5 ∙ 𝑦5 → 𝑦6 = 1
𝑥6 → 𝑦6 = 1
23© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

24. Демо-вариант ЕГЭ 2017 (3)
Перепишем систему в общем виде:
𝑥𝑖 → 𝑥𝑖+1 ∙ 𝑦𝑖 ∙ 𝑦𝑖 → 𝑦𝑖+1 = 1, 𝑖 = 1, . . , 5
𝑥6 → 𝑦6 = 1
Пока исключим из рассмотрения шестое уравнение и запишем
два соседних уравнения из первых пяти:
𝑥𝑖−1 → 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖−1 ∙ 𝑦𝑖−1 → 𝑦𝑖 = 1
𝑥𝑖 → 𝑥𝑖+1 ∙ 𝑦𝑖 ∙ 𝑦𝑖 → 𝑦𝑖+1 = 1
Соседние уравнения имеют две общие переменные xi и yi.
24© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

25. Демо-вариант ЕГЭ 2017 (4)
• Найдём связь между парами (xi−1, yi−1) и (xi, yi)
• Для этого построим таблицу истинности (i − 1)-го уравнения
• Будем учитывать свойства импликации и конъюнкции
25© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
A B A→B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
A B A∙B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

26. 26© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
xi-1 yi-1 xi yi xiyi-1 xi-1→xiyi-1 yi-1→yi (xi-1→xiyi-1)(yi-1→yi)
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1

27. 27© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
xi-1 yi-1 xi yi xiyi-1 xi-1→xiyi-1 yi-1→yi (xi-1→xiyi-1)(yi-1→yi)
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 x
1 0 0 1 0 x
1 0 1 0 0 x
1 0 1 1 0 x
1 1 0 0 0 x
1 1 0 1 0 x
1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1

28. 28© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
xi-1 yi-1 xi yi xiyi-1 xi-1→xiyi-1 yi-1→yi (xi-1→xiyi-1)(yi-1→yi)
0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1 x
0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 x
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 x
1 0 0 1 0 x
1 0 1 0 0 x
1 0 1 1 0 x
1 1 0 0 0 x x
1 1 0 1 0 x
1 1 1 0 1 1 x
1 1 1 1 1 1 1

29. 29© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
xi-1 yi-1 xi yi xiyi-1 xi-1→xiyi-1 yi-1→yi (xi-1→xiyi-1)(yi-1→yi)
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 1 x
0 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 1 x
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 x
1 0 0 1 0 x
1 0 1 0 0 x
1 0 1 1 0 x
1 1 0 0 0 x x
1 1 0 1 0 x
1 1 1 0 1 1 x
1 1 1 1 1 1 1 1

30. Демо-вариант ЕГЭ 2017 (9)
• Определяем связь множества пар (xi−1, yi−1) и (xi, yi) для строк
таблицы, в которых выражение истинно.
30© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
xi−1, yi−1
xi, yi
00 01 10 11
00 01 10 11
xi-1 yi-1 xi yi xiyi-1 xi-1→xiyi-1 yi-1→yi (xi-1→xiyi-1)(yi-1→yi)
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

31. Демо-вариант ЕГЭ 2017 (10)
• Запишем зависимость количества решений в системе с i
уравнениями, от количества решений в системе с (i-1)
уравнениями.
𝑓00
𝑖
= 𝑓00
𝑖−1
𝑓01
𝑖
= 𝑓00
𝑖−1
+ 𝑓01
𝑖−1
𝑓10
𝑖
= 𝑓00
𝑖−1
𝑓11
𝑖
= 𝑓00
𝑖−1
+ 𝑓01
𝑖−1
+ 𝑓11
𝑖−1
Поскольку у нас ещё есть шестое уравнение, то все наборы,
заканчивающиеся на 10 мы исключим из решения, то есть
количество решений системы из i уравнений будет равно:
𝑅𝑖 = 4𝑓00
𝑖
+ 2𝑓01
𝑖
+ 𝑓11
𝑖
31© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

32. Демо-вариант ЕГЭ 2017 (11)
• Строим таблицу для вычислений:
32© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
Количество
уравнений
𝒇 𝟎𝟎
𝒊
𝒇 𝟎𝟏
𝒊
𝒇 𝟏𝟎
𝒊
𝒇 𝟏𝟏
𝒊 𝑹𝒊
0 1 1 0 1
1 1 2 1 3
2 1 3 1 6
3 1 4 1 10
4 1 5 1 15
5 1 6 1 21 28
×+ + +
Ответ
xi−1, yi−1
xi, yi
00 01 10 11
00 01 10 11

33. Демо-вариант ЕГЭ-2017 (12)
• Проверим результаты, подсчётом числа решений в Wolfram
Alpha
• Count[BooleanTable[{(X1[Implies]X2&&Y1)&&(Y1[Imp
lies]Y2)&&(X2[Implies]X3&&Y2)&&(Y2[Implies]Y3)&&
(X3[Implies]X4&&Y3)&&(Y3[Implies]Y4)&&(X4[Impli
es]X5&&Y4)&&(Y4[Implies]Y5)&&(X5[Implies]X6&&Y5)
&&(Y5[Implies]Y6)&&(X6[Implies]Y6)},{X1,X2,X3,X4
,X5,X6,Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6}], {True}]
• Ответ 28
33© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

34. Время вопросов
© Максименкова О.В., ДПИ ФКН НИУ ВШЭ 34

35. Использованная литература
1. Авдошин С. М., Ахметсафина Р. З., Максименкова О. В.
Информатика: Логика и алгоритмы. Эффективные методы
решения задач: Пособие для самостоятельной подготовки.--
М., СПб.: Просвещение, 2013.
2. Авдошин С.М., Ахметсафина Р.З., и др. Информатика и ИКТ:
ЕГЭ: Учебно-справочные материалы (Серия «Итоговый
контроль: ЕГЭ»).– М.; СПб.: Просвещение, 2012. – 295 с.
35© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ