Resolucion de la Ecuacion de Oscilacion

1. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
RESPUESTA ESTRUCTURAL ANTE SOLICITACIONES ALAIN OANES YABAR CUADROS
POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
III-3. Solución de la Ecuación Diferencial de Oscilaciones:
Se tiene entonces nuestra ecuación rectora de las oscilaciones; en este caso resolveremos para el
caso de una fuerza externa armónica, dada por:
( )tCosFyk
dt
dy
b
dt
yd
m o2
2
ω⋅=⋅+⋅+⋅
Mencionamos que la solución de esta ecuación consta de dos partes, una solución complementaria y
una solución particular. Tomemos un espacio de tiempo para citar los teoremas fundamentales de las
Ecuaciónes Diferenciales y comprender porque se tiene dos partes en la solución de esta ecuación22
.
Linealidad de las Ecuaciónes Diferenciales
Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tFyta
dt
dy
ta...
dt
yd
ta
dt
yd
ta
dt
yd
ta n1n2n
2n
21n
1n
1n
n
0 =⋅+++++ −−
−
−
−
Para un caso particular de 2n = , entonces se convierte en:
( ) ( ) ( ) ( )tFyta
dt
dy
ta
dt
yd
ta 21n
n
0 =⋅++
La cual es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Si todos los coeficientes n10 a,...,a,a
son constantes, esto es, no dependen de t , la ecuación se llama ecuación diferencial lineal con
coeficientes constantes. Sin embargo, si no todos los coeficientes son constantes, la ecuación se
llama ecuación diferencial lineal con coeficientes variables.
Es conveniente usar los símbolos ...D,D,D 32
para indicar las operaciones de tomar la primera,
segunda, tercera,… derivadas de aquello que les sigue, entonces podemos escribir:
( )tFyaDya...yDayDayDa n1n
2n
2
1n
1
n
0 =⋅+++++ −
−−
Por practicidad, esta ecuación puede escribirse como ( ) FyD =φ
Es fácil mostrar que ( )Dφ es un operador lineal, los resultados se obtienen directamente al
interpretar ambos lados y mostrar que son iguales. Entonces:
( ) ( )xFyD =φ
Teorema Fundamental I
Si ( )xuy = es cualquier solución de la ecuación ( ) ( )xFyD =φ , y ( )xvy = es cualquier
solución de la ecuación complementaria ( ) 0yD =φ , entonces ( ) ( )xvxuy += .
22
Ecuaciónes Diferenciales Aplicadas 3ra.Ed. Murray R. Spiegel - Pag. 167

2. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
Teorema Fundamental II
La solución general ( ) ( )xFyD =φ se puede obtener al encontrar una solución particular py de
esta ecuación y añadirle la solución complementaria cy , la cual es la solución general de
( ) 0yD =φ .
Con lo expuesto podremos decir que la respuesta a nuestra ecuación rectora de oscilación tendrá dos
soluciónes dadas por:
pc yyy +=
Donde y representa la solución final del sistema; cy , la Solución Complementaria y py la
Solución Particular del sistema. Entonces, podemos obtener la solución individual de estos dos
soluciónes haciendo:
0yk
dt
dy
b
dt
yd
my 2
2
c =⋅+⋅+⋅=
Y para la solución particular:
( )tCosFyk
dt
dy
b
dt
yd
my o2
2
p ω⋅=⋅+⋅+⋅=
Entonces quedara por resolver ambas soluciónes para encontrar la solución final de la ecuación.
Solución Complementaria:
Como se expuso, para hallar la solución general de la ecuación, igualaremos esta ecuación a cero,
entonces:
0ykybymo =⋅+⋅+⋅ &&&
Expresado de otra forma:
0ykDbDm 2
o =⋅+⋅+⋅ ,
Despejando m:
0
m
k
D
m
b
D
oo
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
Resolviendo la ecuación cuadrática:
2
m
k
4
m
b
m
b
D
o
2
oo
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
±⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
Acomodando apropiadamente los términos

3. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
o
2
oo m
k
4
m
b
2
1
m
b
2
1
D
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−=
o
2
oo m
k
4
4
1
m
b
4
1
m2
b
D
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
±⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−=
o
2
oo m
k
m2
b
m2
b
D
Como se recordara, se denomino como Radio de Amortiguamiento a
0m2
b
=γ y como Frecuencia
Natural del Sistema
0m
k=ω , elevado al cuadrado
0
2
m
k
=ω . Reemplazando estos términos
para la solución de D se obtendrá:
( ) ( ) ( )22
D ωγγ −±−= o
22
D ωγγ −±−=
Al resolver la Discriminante de esta Ecuación, se obtiene:
"oAmortiguadSub"0
"Critico"0
"oAmortiguadSobre"0
22
22
22
22
−⇒−
⇒=−
−⇒−
→−
p
f
ωγ
ωγ
ωγ
ωγ
En un sistema que oscile con amortiguación critica, la expresión bajo el radical de la ecuación es igual
a cero.
Denominamos Condición Sobre-Amortiguado cuando el coeficiente de amortiguamiento es mayor que
el coeficiente de amortiguación critica, por lo que la expresión bajo el radical será mayor que cero.
Cuando el valor del coeficiente de amortiguación es menor que el valor crítico, lo que ocurre cuando
la expresión bajo el radical de la ecuación es negativa, las raíces de la ecuación son conjugadas
complejas. Veremos la solución de estas ecuaciónes y su interpretación.
Para obtener el valor crítico del Coeficiente de Amortiguamiento, despejaremos de la ecuación (2):
2
m
k
4
m
b
m
b
D
o
2
oo
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
±⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= ,
Resolviendo la discriminante:

4. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
RESPUESTA ESTRUCTURAL ANTE SOLICITACIONES ALAIN OANES YABAR CUADROS
POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
0
m
k
4
m
b
o
2
o
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Igualando y despejando términos:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
o
2
o m
k
4
m
b
Por último el valor del Coeficiente de Amortiguamiento para el cual la discriminante de la ecuación (3)
iguala a cero será:
o0cr m2b ⋅⋅= ω
Este término esta referido anteriormente y se denomina como el amortiguamiento crítico del sistema.

5. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
CONDICIÓN SOBRE AMORTIGUADO
Si la frecuencia de amortiguamiento supera a la frecuencia natural del sistema, el valor bajo el radical
asume valores realeas, cuya solución puede ser desarrollada de la siguiente manera:
022
fωγ −
Al resolver la discriminante, se obtiene:
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−
−+
=− 22
22
22
ωγ
ωγ
ωγ
Se obtienen 2 raíces de signos distintos. La solución viene dado por la forma23
:
mn
n
r3
3
r2
2
r
1 eC...eCeCeCy 321 ⋅⋅⋅
⋅++⋅+⋅+⋅=
Obteniendo las raíces de la ecuación:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−−=
−+−=
=−±−= 22
1
22
122
y
y
y
ωγγ
ωγγ
ωγγ
Reemplazamos las raíces en la forma de la Ecuación Solución:
2222
eCeCy 21
ωγγωγγ −−−−+−
⋅+⋅=
Como el desplazamiento (y), esta en función del tiempo (t), obtenemos la respuesta final:
t)(
2
t)(
1
2
o
22
o
2
eCeC)t(y ⋅−−−⋅−+−
⋅+⋅= ωγγωγγ
23
Ver “Ecuaciónes Diferenciales de Murray Spiegel” pag. 173

6. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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CONDICIÓN CRÍTICA
Se cumple cuando la discriminante alcanza el valor cero o nulo.
022
=− ωγ
Resolviendo, se obtienen 2 raíces iguales:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
+−
=
±−=⇒
=
=−
=−
0
0
r
0D
0
0
2
2
2,1
2
2,1
22
2
2
2
2
γ
γ
γ
ωγ
ωγ
ωγ
Como se obtienen 2 raíces iguales, la forma de la Ecuación Solución esta dada por24
:
t)(
2
t)(
1 etCeCy ⋅−⋅−
⋅⋅+⋅= γγ
Reemplazando las raíces obtenidas en la Ecuación Solución:
t
21 e)tCC()t(y ⋅−
⋅⋅+= γ
24
Ver “Ecuaciónes Diferenciales de Murray Spiegel” pag. 175

7. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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CONDICIÓN SUB-AMORTIGUADO
Cuando el coeficiente de amortiguamiento resulta ser menor que el amortiguamiento crítico, la raíz
presenta resulta menor que la unidad por lo que se obtendrá un valor imaginario i1 =−
022
pωγ −
Para cumplir la condición Sub-Amortiguado el valor de b (Coeficiente de Amortiguamiento del
Sistema) debe ser, matemáticamente, “pequeño”.
Para este caso: ∴22
ωγ p tendríamos que obtener una raíz negativa, por lo que implica la
existencia del imaginario
2222
i γωωγ −⋅=−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅−−−=
⋅−+−=
ir
ir
22
02
22
01
γωγ
γωγ
Por simplificaciones, denominaremos como la Frecuencia del Sistema con Amortiguación a
22
0d γωω −= , con lo que nuestras raíces se expresaran como:
⎩
⎨
⎧
⋅−−=
⋅+−=
ir
ir
d2
d1
ωγ
ωγ
Como se tienen dos raíces, la solución de la ecuación, será:
tr
2
tr
1
21
eCeCy ⋅⋅
⋅+⋅=
Y que si reemplazamos las raíces por su verdadera connotación tendremos:
( )t)(
2
t)(
1
t 2222
eCeCey ⋅⋅−−⋅⋅−⋅−
⋅+⋅⋅= ιγωιγωγ
Nuevamente usaremos
22
0d γωω −= para reducir la sintaxis de la ecuación; factorizando los
elementos en común se obtendrá:
( )i
2
i
1
t dd
eCeCey ⋅−⋅⋅−
⋅+⋅= ωωγ
Hasta aquí, se llego a una ecuación que incluye el uso del número imaginario; sin embargo, ¿como
podemos interpretar o analizar una ecuación que tiene al imaginario en su solución?. Para poder
manipular esta información, conviene expresarla en términos de uso “mas sencillos”.
Para todos los casos donde se presenten ecuaciónes diferenciales que presenten raíces imaginarias
de la forma ibar ⋅±= , su solución será:
( ) ( )( )bxCosBbxSenAey ax
⋅+⋅=
Entonces las raíces de nuestra ecuación son de la forma ir d ⋅±−= ωγ . Aplicando a nuestra
ecuación, obtendremos:

8. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
( ) ( ) ( )( )tCosBtSenAety dd
t
ωωγ
⋅+⋅= −
Para obtener los valores de nuestros coeficientes A y B , haremos uso de las condiciónes iniciales
para ello denominaremos como 0y al valor del desplazamiento en el instante 0t = lo mismo que
para la velocidad 0vdt
)0(dy = . Derivando entonces nuestra ecuación obtendremos:
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )tSenBtCosAetCosBtSenAe
dt
yd
dddd
t
dd
t
ωωωωωωγ γγ
⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−= −−
Por lo que en el instante 0t = , el desplazamiento 0y y la velocidad 0v serán:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) d0
0t
dddd
t
dd
t
0 ABvtSenBtCosAetCosBtSenAev ωγωωωωωωγ γγ
+−=⎯⎯ →⎯−+⋅+⋅−= =−−
Por lo que el valor de A será:
d
00 yv
A
ω
γ ⋅+
=
Reemplazando estos dos coeficientes A y B en nuestra ecuación inicial, obtendremos la solución
de nuestra ecuación igual a:
( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
+⋅= −
tSen
yv
tCosyey d
d
00
d0
t
ω
ω
γ
ωγ
En nuestro caso, al tener dos raíces o soluciónes posibles y al tener el imaginario dentro de la
solución, nos exige el uso de la Ecuación de Euler:
⎩
⎨
⎧
⋅−=
⋅+=⋅
⋅−
)(Sen)(Cose
)(Sen)(Cosie
αια
αιαα
αι
De nuestra ecuación:
t)(
2
t)(
1
t 2222
eCeC(ey ⋅⋅−−⋅⋅−⋅−
⋅+⋅⋅= ιγϖιγϖγ
Hacemos t22
⋅−= γωα
Obtenemos:
)eCeC(ey 21
t ιαιαγ ⋅−⋅⋅−
⋅+⋅⋅=
( ) ( )( ) BytCosBtSenAey 0
0t
dd
t
0 =⎯⎯ →⎯⋅+⋅= =−
ωωγ

9. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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Solución Particular:
Como se menciono para este caso daremos una solución única para la ecuación rectora:
)t(CosFykybym fo ϕω +⋅=⋅+⋅+⋅ &&&
Como el miembro de la derecha de la ecuación rectora, presenta la función coseno, la solución
particular tendrá la forma de funciones trigonometricas expresado por25
:
( ) ( )tCosBtSenAy ffp ωω ⋅+⋅=
Para poder reemplazarla en la ecuación rectora, habrá que obtener la primera y segunda derivada de
la anterior ecuación, entonces se tendrá:
=py ( ) ( )tCosBtSenA ff ωω ⋅+⋅
=py& ( ) ( )tSenBtCosA ffff ωωωω ⋅⋅−⋅⋅
=py&& ( ) ( )tCosBtSenA f
2
ff
2
f ωωωω ⋅⋅−⋅⋅−
Reemplazando en la ecuación rectora se obtiene:
=⋅ pyk ( ) ( )tCoskBtSenkA ff ωω ⋅+⋅
=⋅ pyb & ( ) ( )tCosbAtSenbB ffff ωωωω ⋅+⋅−
=⋅ pym && ( ) ( )tCosmBtSenmA f
2
ff
2
f ωωωω ⋅−⋅−
( ) =⋅ tCosF f0 ω ( ) ( ) ( ) ( )tCosmBbAkBtSenmAbBkA f
2
fff
2
ff ωωωωωω ⋅−++⋅−−
Igualando términos de ambos miembros, obtendremos las dos ecuaciónes siguientes:
( ) ( ) 0tSenmAbBkA f
2
ff =⋅−− ωωω
( ) ( ) ( )tCosFtCosmBbAkB f0f
2
ff ωωωω ⋅=⋅−+
Reagrupando nuestros términos en función de coeficientes ( A y B ), se obtendrá:
( ) 0bBmkA f
2
f =−− ωω
( ) 0f
2
f FbAmkB =+− ωω
En este punto es conveniente expresar los términos en función de nuestros valores dependientes;
para ello recordaremos que
m
k2
0 =ω y que
m2
b=γ o γ2m
b = , se tendrá entonces:
( ) 0B2A0B
m
b
m
k
A f
2
f
2
0f
2
f =−−⎯→⎯=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− γωωωωω
( ) m
FA2Bm
FA
m
b
m
k
B 0
f
2
f
2
0
0
f
2
f =+−⎯→⎯=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− γωωωωω
25
Excluiremos el valor de ϕ por ser irrelevante

10. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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Además recordemos que el radio de frecuencias esta dado por
0
f
ω
ωβ = o lo que es lo mismo
que 0f ωβω ⋅= , nuevamente reemplazando estos valores en la ecuación anterior obtendremos:
( )( ) ( ) 0B21A0B2A f
22
0f
2
0
2
0 =−−⋅⎯→⎯=−− γωβωγωβωω
( )( ) ( ) m
FA21Bm
FA2B 0
f
22
0
0
f
2
0
2
0 =+−⋅⎯→⎯=+− γωβωγωβωω
( ) ( ) 0B21A0B21A
0
2
2
0
f2
=−−⎯→⎯=−−
ω
β
γβ
ω
ω
γβ
( ) ( ) 2
0
0
0
2
2
0
0
2
0
f2
m
F
A21B
m
F
A21B
ωω
β
γβ
ωω
ω
γβ
⋅
=+−⎯→⎯
⋅
=+−
Se aprecia que podemos simplificar aun mas las ecuaciónes usando la igualdad 0ωξγ ⋅= y que
m
k2
0 =ω , reemplazando estos términos obtendremos:
( ) ( ) 0B21A
0
f
0
2
=⋅−−
ω
ω
ωξβ ⎯→⎯ ( ) 0B21A 2
=⋅⋅−− βξβ
( ) ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=⋅+−
m
k
m
F
A21B 0
0
f
0
2
ω
ω
ωξβ
⎯⎯→⎯ ( )
k
F
A21B 02
=⋅⋅+− βξβ
Se tienen entonces dos ecuaciónes con dos incógnitas ( A y B ), las cuales resolviendo se obtiene
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅= 2
1
2
BA
β
ξβ
y que reemplazando en nuestra segunda ecuación se obtendrá:
( )
k
F
1
2
B21B 0
2
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+−
β
ξβ
ξββ , por lo que:
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−
= 222
2
0
21
1
k
F
B
ξββ
β
y
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
= 222
0
21
2
k
F
A
ξββ
ξβ
Por último reemplazaremos estos dos valores iniciales en la respuesta de nuestra ecuación inicial:
( ) ( )tCosBtSenAy ffp ωω ⋅+⋅=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )tCos
21
1
k
F
tSen
21
2
k
F
y f222
2
0
f222
0
p ω
ξββ
β
ω
ξββ
ξβ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
=
Factorizando los términos comunes se obtendrá:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )tCos1tSen2
21
1
k
F
y f
2
f222
0
p ωβωξβ
ξββ
⋅−+⋅⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
=
Observación: debe notarse que si a los valores de tfω agregamos el ángulo de fase ϕ , lo que se
conseguirá es alterar los signos de la ecuación; es decir que, si por ejemplo, usamos un ángulo de

11. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
fase 90=ϕ , entonces cambiaremos la función trigonometrica de ( )ϕω +tSen f por
( )ϕω +tCos f ; lo mismo si para nuestra ecuación rectora se hubiese usado ( )tSen fω en lugar de
( )tCos fω .
Solución Final:
Nuestra ecuación rectora dada por:
( )tCosFyk
dt
dy
b
dt
yd
m o2
2
ω⋅=⋅+⋅+⋅
Presenta una solución final, que según el principio de unicidad, será la suma de la solución
complementaria con la solución particular; esto es:
pc yyy +=
Donde y representa la solución final del sistema; cy , la Solución Complementaria y py la
Solución Particular del sistema.
Se ha determinado que la solución Complementaria viene dado por26
:
( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
+⋅= −
tSen
yv
tCosyey d
d
00
d0
t
c ω
ω
γ
ωγ
Mientras que la solución particular:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )tCos1tSen2
21
1
k
F
y f
2
f222
0
p ωβωξβ
ξββ
⋅−+⋅⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
=
26
Para el caso de Condición Sobreamortiguado o para cuando el coeficiente de amortiguamiento es menor que el coeficiente
de amortiguamiento crítico.

12. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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Solución para la Condición de Resonancia
Se ha resuelto y detérmino la respuesta para la ecuación rectora de oscilaciones en condición de
sobre amortiguamiento bajo la aplicación de una carga armónica con frecuencia de aplicación
diferente a la frecuencia natural del sistema; sin embargo, queda por resolver la condición de
resonancia; es preciso mencionar que, no podemos usar las mismas resoluciónes de las ecuaciónes
diferenciales debido a condiciónes que analizaremos a continuación.
Para que se cumpla la condición de resonancia, el valor de la frecuencia de aplicación de la fuerza
externa, deberá ser la misma que el valor de la frecuencia natural del sistema; es decir, 0f ωω = ,
reemplazando en la ecuación rectora, se tendrá:
)t(CosFykybym 0o ϕω +⋅=⋅+⋅+⋅ &&&
Como se recordara la solución complementaria de nuestro sistema se obtiene igualando el miembro
de la izquierda a cero; es decir:
0ykybym =⋅+⋅+⋅ &&&
El coeficiente de amortiguamiento sera menor que el amortiguamiento crítico (condición sub
amortiguado) por lo que resultará soluciónes con raices imaginarias y como ya se detérmino, la
solución para este tipo de casos resulta ser una funcion trigonometrica dado por la forma:
( ) ( )tCosBtSenAy 00g ωω ⋅+⋅=
Por otro lado para la solución particular del sistema, la cual contiene como respuesta especifica
(miembro de la derecha de la ecuación rectora) ( )ϕω +⋅ tCosF 00 , considerando el valor de
0=ϕ debido simplemente a que se trata del cambio de fase, será de la forma:
( ) ( )tCosbtSenay 00p ωω ⋅+⋅=
Como se aprecia la Solución Particular, ya esta contenida dentro de la Solución Complementaria (por
no decir que se trata de la misma). A diferencia del anterior caso en el que el miembro de la derecha
estuvo dado por ( )ϕω +⋅ tCosF f0 para el cual las frecuencias tanto de aplicación de la fuerza
externa como la natural del sistema no presentaban inclusión en ninguna de sus formas debido a que
0f ωω ≠ . «No caeremos, sin embargo, en la misma trampa como antes porque vemos que la
solución particular asumida ( ) ( )tCosbtSena 00 ωω ⋅+⋅ esta contenida en la solución
complementaria ( ) ( )tCosBtSenA 00 ωω ⋅+⋅ »27
.
Para dar solución a sistemas cuya solución particular esta contenida dentro de la solución
complementaria, procederemos como para el caso de soluciónes con raíces iguales
27
Ver “Ecuaciónes Diferenciales de Murray Spiegel” pag. 197. Murray, también es explicito para la solución de este tipo de
situaciones y especifica los siguientes criterios para su solución:
1. Escriba la solución complementaria
2. Asuma una solución particular correspondiente al lado derecho de la ecuación
a. Para un polinomio de grado n, asuma un polinomio de grado n
b. Para términos Sen(rx), Cos(rx) o sumas o diferencias de tales términos, asuma aSen(rx)+bCos(rx)
c. Para términos con exponencial, asuma un coeficiente a la exponencial
3. Si algunos de los términos asumidos en 2 ocurren en la solución complementaria, debemos multiplicar estos
términos asumidos por una potencia de x suficientemente alta (pero no mas alta) de modo que ninguno de los
términos asumidos aparezca en la solución complementaria.
4. Escriba la forma sumida para la solución particular y evalue los coeficientes, obteniendo asi la solución particular
5. Sume la solución complementaria con la particular para obtener la solución general requerida.

13. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
RESPUESTA ESTRUCTURAL ANTE SOLICITACIONES ALAIN OANES YABAR CUADROS
POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
( )( )tr
21
1
etCCy ⋅+= ; es decir, tendremos que agregar un término que multiplique la variable
inicial, se tendrá entonces que la solución particular en este caso estará dado por28
:
( ) ( )tSentAtCostAy 0201p ωω ⋅⋅+⋅⋅=
Resolveremos primeramente la solución para el caso de un sistema No Amortiguado; es decir para
cuando el coeficiente de amortiguamiento asume el valor de cero 0b = .
Se tendrá entonces la ecuación dada por:
( )tCosFyk
dt
yd
m 002
2
ω⋅=⋅+
En esta ecuación la frecuencia de aplicación de la fuerza externa iguala a la frecuencia natural del
sistema. La forma de su solución, como se vio anteriormente estará dada por:
( ) ( )tSentAtCostAy 0201p ωω ⋅⋅+⋅⋅=
Obtendremos entonces sus derivadas para reemplazarlos en la ecuación rectora, se tendrá entonces:
t
y t( )
d
d
A1 cos ω t⋅( )⋅ A2 sin ω t⋅( )⋅+ A2 ω⋅ t⋅ cos ω t⋅( )⋅+ A1 ω⋅ t⋅ sin ω t⋅( )⋅−→
2
t
y t( )
d
d
2
2 A2⋅ ω⋅ cos ω t⋅( )⋅ 2 A1⋅ ω⋅ sin ω t⋅( )⋅− A1 ω
2
⋅ t⋅ cos ω t⋅( )⋅− A2 ω
2
⋅ t⋅ sin ω t⋅( )⋅−→
Agrupando adecuadamente en coeficientes de Seno y Coseno, se obtiene:
=py ( )tCostA1 ω⋅⋅ ( )tSentA2 ω⋅⋅+
( ) =ty
dt
d
( ) ( )tCostAA 21 ωω ⋅+ ( ) ( )tSentAA 12 ωω ⋅−+
( ) =ty
dt
d
2
2
( ) ( )tCostAA2 2
12 ωωω ⋅− ( ) ( )tSentAA2 2
21 ωωω ⋅−−+
Para reemplazar en la ecuación planteada ( )tCosFyk
dt
yd
m 02
2
ω⋅=⋅+ , deberemos sumar la
segunda derivada de la solución multiplicada por la masa con la solución multiplicada por la rigidez;
es decir:
⎯⎯→⎯ ×
k =py ( )tCostA1 ω⋅⋅ ( )tSentA2 ω⋅⋅+
⎯⎯→⎯ ×
m ( ) =ty
dt
d
2
2
( ) ( )tCostAA2 2
12 ωωω ⋅− ( ) ( )tSentAA2 2
21 ωωω ⋅−−+
Se obtendrá entonces:
=⋅ pyk ( )tCostAk 1 ω⋅⋅⋅ ( )tSentAk 2 ω⋅⋅⋅+
( ) =⋅ ty
dt
d
m 2
2
( ) ( )tCostAA2m 2
12 ωωω ⋅− ( ) ( )tSentAA2m 2
21 ωωω ⋅−−+
( ) =⋅ tCosF0 ω
( )( )tAA2mtkA 2
121 ωω −+
( )tCos ω⋅
( )( )tAA2mtkA 2
212 ωω −−++
( )tSen ω⋅
28
Ecuaciónes Diferenciales 4ta. Ed. -- Nagle – Saff – Zinder – Pag. 223

14. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
RESPUESTA ESTRUCTURAL ANTE SOLICITACIONES ALAIN OANES YABAR CUADROS
POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
De esto último, podemos obtener que:
( )tAA2mtkAF 2
1210 ωω −+=
Para poder resolver el valor de nuestros coeficientes 1A y 2A partiremos con la condición que la
velocidad al inicio del desplazamiento es cero; es decir, para 0t = entonces la ( ) 0ty
dt
d
= . Si
reemplazamos esto último en nuestra derivada ya obtenida, tendremos:
( ) =ty
dt
d
( ) ( )tCostAA 21 ωω ⋅+ ( ) ( )tSentAA 12 ωω ⋅−+
( )tAA0 21 ω+= , siendo condición inicial que 0t = , obtendremos que 0A1 =
Para obtener el valor de 2A , bastara con reemplazar el valor de 0A1 = en la ecuación
( )tAA2mtkAF 2
1210 ωω −+= y considerar que el desplazamiento al inicio es cero; es decir,
( ) 00y = , se obtendrá entonces que ω20 mA2F = , de aquí despejamos 2A :
ω⋅
=
m2
F
A 0
2
Reemplazando estos dos valores 0A1 = y
ω⋅
=
m2
F
A 0
2 en la forma de solución
( ) ( )tSentAtCostAy 21p ωω ⋅⋅+⋅⋅= que se planteo al inicio, se obtendrá29
:
( )tSent
m2
F
y 0
p ω
ω
⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
= o también ( )tSent
bcr
F
y 0
p ω⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Trazaremos una grafica de resultados para interpretar mejor esta ecuación
0 2 4 6 8 10
0.4−
0.2−
0
0.2
0.4
yp t( )
t
Como se aprecia en la grafica, el valor del desplazamiento se incrementa gradual y exponencialmente
hacia el infinito ovbiamente sin ningun amortiguamiento actuando en contra de este movimiento. Se
hace necesario entonces desarrollar la solución para la condición de resonancia cuando se presenta
un valor del coeficiente de amortiguamiento.
Con la comprobación de esta solución, podemos resolver nuestro sistema para el caso en el que se
considera un valor para el coeficiente de amortiguamiento. En este caso se plantea la ecuación como:
)t(CosFykybym o ϕω +⋅=⋅+⋅+⋅ &&&
29
Puede comprobarse el resultado obtenido en Ecuaciónes Diferenciales 4ta. Ed. -- Nagle – Saff – Zinder – Pag. 223.
También se menciona en Dynamics of Structure 3ra. Ed. Ray W. Clough y Joseph Penzien pag. 43 Ecuación 3-38

15. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
RESPUESTA ESTRUCTURAL ANTE SOLICITACIONES ALAIN OANES YABAR CUADROS
POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
Podemos suprimir el valor del ángulo de fase y reescribir la ecuación en la forma:
( )tCosFyk
dt
dy
b
dt
yd
m 02
2
ω⋅=⋅+⋅+⋅
Como se hizo para la anterior solución, plantearemos la solución particular a esta ecuación de la
forma:
( ) ( )tSentAtCostAy 21p ωω ⋅⋅+⋅⋅=
Para reemplazar los valores en la ecuación principal, obtendremos sus derivadas, se tendrá
entonces:
t
y t( )
d
d
A1 cos ω t⋅( )⋅ A2 sin ω t⋅( )⋅+ A2 ω⋅ t⋅ cos ω t⋅( )⋅+ A1 ω⋅ t⋅ sin ω t⋅( )⋅−→
2
t
y t( )
d
d
2
2 A2⋅ ω⋅ cos ω t⋅( )⋅ 2 A1⋅ ω⋅ sin ω t⋅( )⋅− A1 ω
2
⋅ t⋅ cos ω t⋅( )⋅− A2 ω
2
⋅ t⋅ sin ω t⋅( )⋅−→
Agrupando adecuadamente en coeficientes de Seno y Coseno, se obtiene:
=py ( )tCostA1 ω⋅⋅ ( )tSentA2 ω⋅⋅+
( ) =ty
dt
d
( ) ( )tCostAA 21 ωω ⋅+ ( ) ( )tSentAA 12 ωω ⋅−+
( ) =ty
dt
d
2
2
( ) ( )tCostAA2 2
12 ωωω ⋅− ( ) ( )tSentAA2 2
21 ωωω ⋅−−+
Para reemplazar en la ecuación planteada ( )tCosFyk
dt
dy
b
dt
yd
m 02
2
ω⋅=⋅++ , deberemos
sumar la segunda derivada de la solución multiplicada por la masa con la primera derivada del
desplazamiento multiplicada al coeficiente de amortiguamiento y la solución multiplicada por la
rigidez; es decir:
⎯⎯→⎯ ×
k =py ( )tCostA1 ω⋅⋅ ( )tSentA2 ω⋅⋅+
⎯⎯→⎯ ×
b ( ) =ty
dt
d
( ) ( )tCostAA 21 ωω ⋅+ ( ) ( )tSentAA 12 ωω ⋅−+
⎯⎯→⎯ ×
m ( ) =ty
dt
d
2
2
( ) ( )tCostAA2 2
12 ωωω ⋅− ( ) ( )tSentAA2 2
21 ωωω ⋅−−+
Se obtendrá entonces:
=⋅ pyk ( )tCostkA1 ω⋅ ( )tSentkA2 ω⋅+
( ) =ty
dt
d
b ( ) ( )tCostAAb 21 ωω ⋅+ ( ) ( )tSentAAb 12 ωω ⋅−+
( ) =ty
dt
d
m 2
2
( ) ( )tCostAA2m 2
12 ωωω ⋅− ( ) ( )tSentAA2m 2
21 ωωω ⋅−−+
( ) =⋅ tCosF0 ω
( )tCostkA1 ω⋅
( ) ( )tCostAAb 21 ωω ⋅++
( ) ( )tCostAA2m 2
12 ωωω ⋅−+
( )tSentkA2 ω⋅+
( ) ( )tSentAAb 12 ωω ⋅−+
( ) ( )tSentAA2m 2
21 ωωω ⋅−−+

16. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
RESPUESTA ESTRUCTURAL ANTE SOLICITACIONES ALAIN OANES YABAR CUADROS
POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
De aquí obtenemos que:
( ) ( ) 0
2
12211 FtAA2mtAAbtkA =−+++ ωωω
Para poder resolver el valor de nuestras condiciónes partiremos con la condición que la velocidad al
inicio del desplazamiento es cero; es decir, para 0t = entonces la ( ) 0ty
dt
d
= . Si
reemplazamos esto último en nuestra derivada ya obtenida, tendremos:
( ) =ty
dt
d
( ) ( )tCostAA 21 ωω ⋅+ ( ) ( )tSentAAb 12 ωω ⋅−+
( )tAA0 21 ω+= , siendo condición inicial que 0t = , obtendremos que 0A1 =
Reemplazando en nuestra ecuación que contiene las dos condiciónes iniciales
( ) ( ) 0
2
12211 FtAA2mtAAbtkA =−+++ ωωω , todos los términos que contengan 1A se
anularan, por lo que obtenemos ( )ωωωω m2btAFmA2tbA 2022 +→=+ . Aquí es
necesario mencionar que si consideramos una solución para el valor de
( )ωω m2bt
FA 0
2 += ,
notaremos que el valor del tiempo predomina sobre el denominar del miembro de la derecha, por lo
que este valor impedira que la respuesta denote un comportamiento exponencialmente creciente
propio de una solución en condición de resonancia por lo que como se impuso por condición inicial
que 0t = entonces 0bt =ω con lo que el valor de 2A quedara como
ωm2
FA 0
2 = que
viene a ser el mismo valor que se obtuvo cuando se dio solución para el caso que el amortiguamiento
sea cero 0b = . Se deja este punto de analisis para su particular interpretación; sin embargo para
efectos del desarrollo de nuestra solución, analisaremos ambos casos; es decir, para cuando por
condición inicial el valor del tiempo no sea cero tt = y por otro lado cuando el tiempo sea cero
0t = ; en otras palabras para cuando
( )ωω m2bt
FA 0
2 += el cual incluye el valor de t
inmerso en el denominador del miembro de la derecha y por otra parte para cuando
ωm2
FA 0
2 = .
Para nuestro primer caso, recordaremos que ωm2bcr = , tendremos entonces
( )bcrbtAF 20 += ω ; sabemos que el radio de amortiguamiento viene dado por la ecuación
bcr
b=ξ o
ξ
bbcr = , el cual reemplazando en nuestra anterior ecuación se obtendrá que
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ += ξω bbtAF 20 ; despejando 2A se obtiene
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
=
ξω 1tb
F
A 0
2 que puede también ser
expresado como
( )1t
b
F
A 0
2
+
=
ξω
ξ
y resulta que
ξ
bbcr = por el valor de 2A quedara como:
( )1tbcr
F
A 0
2
+
=
ξω

17. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
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POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
10− 5− 0 5
2−
1−
0
1
2
yp t( )
t
Resulta interesante también saber que el valor de 2A puede ser expresado en función de la
frecuencia de amortiguamiento γ . La solución de 2A viene dado por
ωω m2tb
F
A 0
2
+
= ,
recordemos que la frecuencia de amortiguamiento viene dado por
m2
b=γ o lo que es lo mismo
m2b γ= ; reemplazando esto para obtener el valor de 2A , se obtiene
( )1tm2
F
A 0
2
+
=
γω
,
además se tiene que ωm2bcr = por lo que nuestro valor de 2A puede ser expresado como:
( )1tbcr
F
A 0
2
+
=
γ
De esta ultima ecuación y comparando con el resultado obtenido para 2A podemos deducir que la
frecuencia de amortiguamiento γ puede también ser expresado como el producto del radio de
amortiguamiento y la frecuencia natural del sistema; es decir, ξωγ = .
Reemplazando en nuestra ecuación solución ( ) ( )tSentAtCostAy 21p ωω ⋅⋅+⋅⋅= , siendo
0A1 = obtenemos:
( )
( )tSent
1tbcr
F
y 0
p ω
ξω
⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
= o
( )
( )tSent
1tbcr
F
y 0
p ω
γ
⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
Si trazamos una grafica representativa de esta solución particular obtenida, en el cual consideramos
un valor para el tiempo que afecta al denominador, se obtiene:
0 10 20 30 40
1−
0
1
yc t( )
yp t( )
t
Notaremos que una vez que el sistema termina con la respuesta trasitoria, la respuesta permanente
no presenta un comportamiento de cremiento exponencial característica propia del comportamiento
para una condición de resonancia como se vio para la solución haciendo 0b = ; sino por el
contrario, una vez que la respuesta transitoria termina, este asume un comportamiento periodico cuya
amplitud maxima puede ser calculada y se mantiene constante indefinidamente.
Resultará interesante ver incluso que ocurre cuando el valor del tiempo toma valores negativos; es
decir cuando 0t p

18. CAPITULO III : VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
RESPUESTA ESTRUCTURAL ANTE SOLICITACIONES ALAIN OANES YABAR CUADROS
POR EFECTOS DE RESONANCIA EN EDIFICACIONES
Como se expuso, es necesario entonces, hacer uso de la condición para cuando 0t = haciendo
que el valor de
ωm2
FA 0
2 = que definimos como nuestro segundo caso de analisis.
Reemplazando entonces en nuestra ecuación solución
( ) ( )tSentAtCostAy 21p ωω ⋅⋅+⋅⋅= , siendo 0A1 = obtenemos:
( )tSent
m2
F
y 0
p ω
ω
⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
= o ( )tSent
bcr
F
y 0
p ω⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Siendo esta ecuación la misma que se obtuvo para cuando se igualo el coeficiente de
amortiguamiento igual a cero pero que sin embargo cumple con el comportamiento de resonancia del
sistema. Obtaremos por esa solución como la solución particular del sistema por cumplir las
condiciónes necesarias de dicho comportamiento.
Como se explico anteriormente, los valores dependientes tales como el amortiguamiento crítico bcr ,
la frecuencia de amortiguamiento γ , el radio de amortiguamiento ξ , etc., son valores indicadores
que muestran el comportamiento de la respuesta no deben ser considerados como valores de
influencia en la respuesta estructural; es imposible la modificación de estos sin antes modificar los
valores independientes, por lo que siempre nuestra respuesta estará sujeto a la variación de nuestros
valores independientes que son la masa m , la rigidez k , el coeficiente de amortiguamiento b , la
fuerza externa 0F y la frecuencia de la fuerza externa fω . En el siguiente capitulo abordaremos el
análisis e interpretación de los resultados cuando se varían los valores independientes; ahí veremos
como nuestros valores dependientes son indicadores de la forma y variación de la respuesta
oscilatoria.
Por último, la solución final del sistema estará dado por la suma de la solución complementaria y la
solución particular. Se tiene ya resuelto la solución complementaria dada por:
( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅+
+⋅= −
tSen
yV
tCosyey d
d
00
d0
t
c ω
ω
γ
ωγ
Donde
22
d ωγω −= viene a ser la Frecuencia del Sistema con Amortiguación. Por otra
parte se ha determinado que la solución particular esta dado por:
( )tSent
bcr
F
y 0
p ω⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Entonces la solución final para la Condición de Resonancia estará dada por:
pc yyy +=
( ) ( ) ( )tSent
bcr
F
tSen
yv
tCosyey 0
d
d
00
d0
t
ωω
ω
γ
ωγ
⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅+
+⋅= −