FUNCIONES

1. FUNCIONES
ELEMENTALES
Tema 9
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

2. FUNCIÓN CÚBICA
Tema 9.3 * 1º BCS
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

3. FUNCIÓN CÚBICA
• Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces
podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así:
• f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d
• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a
un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en
forma de “S”.
• La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte
de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es
que su forma de expresión algebraica es un polinomio.
• Para representarla de forma gráfica, por ahora, estudiaremos de ella
principalmente los puntos de corte con los ejes y el signo de la función.
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

4. • Sea y = x3
• Tabla de valores
• x y
• -3 -27
• -2 -8
• -1 -1
• 0 0
• 1 1
• 2 8
• 3 27
y
27
8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
Como se ve al unir los puntos que
hemos llevado al gráfico, lo que se
forma es una curva en forma de “S”.
-8
-27
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4

5. Dominio, imagen y simetría.
• DOMINIO
• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d
• Todo valor de x tiene su correspondiente imagen.
• El dominio de f(x) será: Dom f(x) = R
• RECORRIDO
• La imagen de una función cúbica, al igual que el dominio es R
• Se designa así: Img f(x) = R
• SIMETRÍA IMPAR
• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d
• Veamos si hay simetría impar:
• f(-x) = a.(-x)3 + b.(-x)2 + c.(-x) + d
• f(-x) = - a.x3 + b.x2 – c.x + d
• Luego - f(-x) = a.x3 - b.x2 + c.x - d
• En las funciones cúbicas habrá simetría IMPAR si b=d=0
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

6. Cortes con los ejes
• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d
• CORTES CON EL EJE Y
• Cortará al eje de ordenadas, Y, cuando x=0
• Luego: y = a.03 + b.02 + c.0 + d = d
• El punto de corte será: Pc = (0, d)
• CORTES CON EL EJE X
• Cortará al eje de las x cuando y=0
• Luego: 0=a.x3 + b.x2 + c.x + d  Ecuación de
tercer grado.
Pc Pc Pc
• Las tres raíces de la ecuación, si existen, serán
los puntos de corte de la función con el eje de
las x.
• Al menos habrá una raíz real, y por tanto un
punto de corte.
• Cortes: Pc = (x1, 0), Pc = (x2, 0), Pc = (x3, 0)
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6
V
Pc
X
Y

7. • Ejemplo 1
•
• Sea la función: f(x) = x3 –3x + 2
• Cortes con ejes de coordenadas:
• Con OY: f(0) = 2  Pc(0,2)
• Con OX: 0 = x3 –3x + 2
• Factorizando por Ruffini:
• f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1)
• Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0)
• Signo de la función (intervalos):
• En (-oo, -2)  f(-3)=-27+9+2 =-16 < 0
• En (-2, 1)  f(0) = 0 – 0 +2 =2 > 0
• En (1, +oo)  f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 > 0
• Y ya podemos hacer un esbozo de la función.
Pc Pc
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7
Pc

8. • Ejemplo 2
•
• Sea la función f(x) = - x3 + 4x
• Cortes con ejes de coordenadas:
• Con OY: f(0) = 0  Pc(0,0)
• Con OX: 0 = - x3 + 4x
• Factorizando el polinomio:
• f(x) = – x (x2 – 4) = – x.(x + 2)(x – 2)
• Pc(0,0) , Pc(-2, 0), Pc(2, 0)
• Signo de la función (intervalos):
• En (-oo, -2)  f(-3)= -(-27)-12 = 15 > 0
• En (-2, 0)  f(-1) = -(-1) – 4 = -3 < 0
• En (0, 2)  f(1) = -1 + 4 = 3 > 0
• En (2, +oo)  f(3) = - 27 + 12 = -15 < 0
• Y ya podemos hacer un esbozo de la
función.
Pc Pc Pc
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

9. • Ejemplo 3
•
• Sea la función: f(x) = 8 – x3
• Cortes con ejes de coordenadas:
• Con OY: f(0) = 8  Pc(0,8)
• Con OX: 0 = 8 – x3
• Factorizando por Ruffini:
• f(x) = (x – 2).(– x2 – 2.x – 4)
• Pc(2, 0)
• Signo de la función (intervalos):
• En (-oo, 2)  f(0) = 8 > 0 POSITIVO
• En (2, +oo)  f(3) = 8 – 27 = – 19 < 0 NEGATIVO
• Y ya podemos hacer un esbozo de la función.
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9
Pc
Pc

10. FUNCIÓN POLINÓMICA
• EJEMPLO DE FUNCIÓN POLINÓMICA DE ORDEN CUATRO
• Representar la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2
• CORTES CON LOS EJES
• Puntos de corte con los ejes.
• Con OY  x = 0  y = 0  Pc (0,0)
• Con OX  y = 0  (1/4).x4 – 2.x2 = 0
• Sacando factor común a x2
• x2 [ (1/4).x 2 – 2 ] = 0
• x2 = 0  x=0  Pc(0, 0)
• (1/4).x 2 – 2 = 0  x 2 = 8  x = ± 2√2
• Luego los otros dos puntos de corte son: Pc ( - 2√2 , 0) y Pc ( + 2√2, 0)
• Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden.
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10

11. Signo Ejemplo de la función
1
• Tenemos la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2
• Factorizada queda:
• y = (1/4).x2.(x2 – 8)
• y = (1/4).x2.(x – √8)(x + √8)
• y = (1/4).x2.(x – 2√2)(x + 2√2)
• Se halla el signo de cada factor:
- oo – 2√2 0 2√2
+oo
( x + 2√2 )
(1/4).x2
( x – 2√2 )
- + + +
+ + + +
- - - +
f(x) + - - +
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11

12. Tendencia y Simetría
• TENDENCIA O RAMAS ASINTÓTICAS
• Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(- oo)4 – 2.(- oo)2 = + oo
• x  - oo
• Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(oo)4 – 2.(oo)2 = + oo
• x  + oo
• SIMETRÍAS
• f ( - x) = (1/4).(-x)4 – 2.(-x)2 = (1/4).x4 – 2.x2
• Vemos que presenta simetría par, pues f (x) = f ( - x)
• Al tener simetría par (es función par) No puede tener simetría impar.
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12

13. y
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
• Sea la función:
• y = (1/4).x4 – 2.x2
• Tabla de valores
• x y
• -3 2
• -2√2 0
• -2 - 4
• -1 -1,75
• 0 0
• 1 -1,75
• 2 - 4
• 2√2 0
• 3 2
@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13