Quinta entrega de practica para la materia de AMII

1. ANALISIS MATEMATICO II (Ingenier´ıa )
2015
TRABAJO PRACTICO N◦
5: Derivadas Parciales - Diferenciabilidad - Plano tangente
1. Sea f(x, y) = 4 − x2
− 2y2
hallar fx(1, 1) y fy(1, 1). Interpretar gr´aficamente.
2. Determinar usando la definici´on, si las siguientes funciones tienen derivadas parciales en
los puntos indicados:
a) z = |x|y en P = (0, 1), P = (1, 0), P = (−1, 1).
b) f(x, y) =



x sen
1
y
si y = 0
0 si y = 0
en P = (0, 1), P = (1, 0), P = (0, 0).
3. Calcular las derivadas parciales primeras de las siguientes funciones:
a) f(x, y) = arctg (x − 3y2
)
b) f(x, t) =
√
x ln t
4. Verificar en el siguiente ejemplo que la existencia de las derivadas parciales primeras en
(0, 0) no implica la continuidad de la funci´on en dicho punto
f(x, y) =



2xy
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
5. La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa viene dada por
T(x, y) = 500 − 0,6x2
− 1,5y2
donde x e y se miden en metros. Calcular en el punto (2, 3)
el ritmo de cambio de la temperatura con respecto a la distancia recorrida en la placa en
direcci´on x e y.
6. Hallar zxx, zxy, zyx y zyy para la siguiente funci´on z = sen(x − 2y) . ¿Qu´e ocurre con las
derivadas cruzadas? Justifique.
7. Demostrar que si z = xy + sen(x2
+ y2
) entonces yzx − xzy = y2
− x2
8. Hallar z = f(x, y) sabiendo que:
a) fx(x, y) =
x2
+ y2
x
, y que f(1, y) = seny
b) fy(x, y) = (x + 1)3
sen y, y que f(x, π/2) = ex
9. Analizar continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el punto
indicado.
a) f(x, y) = x2
y + sen|y| en P = (1, 1)
1

2. b) f(x, y) = |x||y − 1| en P = (0, 1), P = (1, −1).
c) f(x, y) =



xy2
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en P = (0, 0)
d) f(x, y) =



(x − 1)2
y2
(x − 1)2 + y2
si (x, y) = (1, 0)
0 si (x, y) = (1, 0)
en P = (1, 0)
e) f(x, y) =



2xy
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en P = (0, 0)
(sugerencia: utilizar resultados del ejercicio 4)
10. a) Demostrar que la funci´on f(x, y) = y cos x − xseny es continua y diferenciable en
todo punto (x, y) de R2
.
b) Sea g : R2
→ R una una funci´on continua en (0, 0) y tal que g(0, 0) = 1 y
f(x, y) = (x2
+ y2
)g(x, y). Mostrar que f es diferenciable en (0, 0).
11. Sea
f(x, y) =



(x2
+ y2
)cos
1
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
i) Analizar la diferenciabilidad de la funci´on en su dominio.
ii) Sus derivadas parciales son continuas en todo su dominio?. Justificar.
iii) Las respuestas de los incisos anteriores ¿se contradicen?. Justificar.
12. Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones. En el caso de ser verdadero demostrar
y en caso contario, dar un contraejemplo.
a) Si f continua en (a, b) entonces f es diferenciable en (a, b).
b) La existencia de las derivadas parciales de f en (a, b) implica la diferenciabilidad de
f en (a, b).
c) La diferenciabilidad implica la continuidad de las derivadas parciales.
d) La diferenciabilidad de f en (a, b) implica la existencia de fx(a, b) y fy(a, b).
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3. 13. Sea
f(x, y) =



x2
− xy
x + y
si x = −y
0 si x = −y
i) Determinar el dominio de la funci´on.
ii) Estudiar la diferenciabilidad de la funci´on en los puntos de la forma (x, −x) con
x = 0, en (0, 0) y en (x, y) con x = −y.
Observaci´on: Estamos agrupando los puntos de an´alisis del dominio.
iii) ¿Qu´e puede decir acerca de la diferenciabilidad de f en su dominio?
14. Dado el paraboloide z = 2x2
+y2
hallar la ecuaci´on del plano tangente en el punto (1, 1, 3)
, justificando claramente la existencia. Realizar un gr´afico aproximado.
15. a) Dar la ecuaci´on de un plano
b) Dar la ecuaci´on de un plano horizontal
c) Dar la ecuaci´on del plano tangente a una superficie en un punto (x0, yo, z0)
16. A un estudiante se le pregunt´o cu´al ser´ıa la ecuaci´on del plano tangente a la gr´afica de la
superficie z = x3
− y2
en el punto (2, 3). La respuesta del estudiante fue:
z = 3x2
(x − 2) − 2y(y − 3) − 1. A primera vista, ¿por qu´e es incorrecta la respuesta?.
¿Cu´al es la respuesta correcta?.
17. Para la siguiente funci´on, analizar la existencia de plano tangente en los puntos indicados.
En los puntos en que exista, hallar su ecuaci´on y la ecuaci´on de la recta normal.
a) z = |x − 2||y − 3| en (0, 0, 6) y (2, 3, 0).
b) Determinar el punto de la superficie z = 3 − x2
− y2
+ 6y donde el plano tangente es
horizontal. Represente la superficie y el plano en los puntos hallados.
c) Sea f : R2
→ R diferenciable y tal que x + 2y − z = 0 es la ecuaci´on del plano
tangente a la gr´afica de f en el punto (−1, 2). Hallar f(−1, 2) y f(−1, 2).
18. Sea f(x, y) = x2
y. Si (x, y) cambia del punto (3, −1) a los puntos (2, 96, −0, 95) y
(2, 99, −0, 99), hallar el incremento total, ∆z, y la diferencial total, dz, en cada caso.
Comparar y sacar conclusiones.
19. Una l´amina lisa caliente tiene temperatura T(x, y) en grados cent´ıgrados en el punto
(x, y). Si T(2, 1) = 135, Tx(2, 1) = 16 y Ty(2, 1) = −15, estimar la temperatura en el
punto (2,04, 0,97).
20. Sea un cono de radio r = 10 y altura h = 25, cuyas medidas son tomadas con un error
de 0, 1 cm. Use diferenciales para estimar el m´aximo error posible cuando se calcula el
volumen del cono con dichas medidas. (V = πr2
h/3)
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4. EJERCICIOS OPTATIVOS
21. Sea f(x, y) = |x − 1||2y + 1
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|
a) Determinar el dominio de la funci´on.
b) ¿Es f diferenciable en su dominio? (debe identificar primero los puntos de an´alisis).
22. El largo y el ancho de un rect´angulo miden 30cm y 24cm respectivamente, con un error
en la medici´on de 0.1cm en cada una. Use diferenciales para estimar el error m´aximo al
calcular el ¿´area del rect´angulo.
23. La presi´on, el volumen y la temperatura de un mol de gas ideal est´an relacionadas por
la ecuaci´on PV = 8,31T, donde P se mide en kilopascales , V en litros (L) y T en
grados kelvin (K). Utilice diferenciales para hallar el cambio aproximado en la presi´on si
el volumen aumenta de 12L a 12.3L y la temperatura se reduce de 310K a 305K.
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