Práctica Análisis económicas (72)

Análisis
Matemático
CIENCIAS ECONÓMICAS
Trabajos Prácticos
2013

1
PRACTICA 0
PRELIMINARES
Ejercicio 1.- Calcular
a)
2 1 3 2 1 1 7
2 5.
3 6 5 3 5 2 3
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
b)
4 1 1 2 3
: : 1 .
3 2 3 5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c)
12 2
1 1
2 2
3 3
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
d)
1
22
1 1 7
5 1 :
7 7 8
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Ejercicio 2.- En cada caso, decidir si los dos números racionales son iguales
1 3
y
2 6
;
4 16
y
3 9
;
2 4
y
3 6
−
−
;
2
7 y
14
; 3 2
10 y
1000
−
;
1
2
52 y
3 3
2
+
Ejercicio 3.-
a) Escribir el número decimal correspondiente a:
1
4
;
7
20
;
8
25
;
425
6250
b) Hallar un número decimal que aproxime a
1
9
;
3
7
;
11
6
;
37
15

2
c) Decidir si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas
( ≅ significa "aproximadamente igual")
3
0,187
16
= ;
3
0,1875
16
= ;
3
0,18
16
≅ ;
49 7
36 6
=
1
0,3
3
= ; 5 2,2= ; 5 2,23≅ ;
49
0,167
36
=
d) Hallar tres números que tengan raíz cuadrada entera.
e) Hallar tres números que tengan raíz cúbica entera.
Ejercicio 4.-
a) Decidir cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas
33 50
2 3
< ;
80 4
99 5
< ;
9
5
2
− < − :
4 5
5 4
− > − ;
3 1875
16 10000
>
b) Ordenar en forma creciente
8
9
− ; 3 ; 1 ; 5 ;
1
3
; 1− ;
9
8
− ; 3− ; 0,001 ; 0,001
c) ¿Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes de la
mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero?
Ejercicio 5.- Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales
a) 9.25 y 9. 25 yab a b (a , 0b ≥ )
8 y 2. 2
1 5
y
55
b) 9 16 y 9 16+ + ya b a b+ + (a , 0b ≥ )
100 36 y 100 36− − ya b a b− − ( 0a b≥ ≥ )
c) ( )
2 2 2
ya b a b+ + ( )
2 2 2
y 2a b a ab b+ + +
( )
2 2 2
5 3 y 5 3+ + ( )
2 2 2
5 3 y 5 3− −
( )
2 2 2
ya b a b− − ( )
2 2 2
y 2a b a ab b− − +
d)
1 1 1
y
4 3 4 3
+
+
1 1 1
y ( , , 0)a b a b
a b a b
+ + ≠
+
5 8
y 8
5
+ 5 8 8
y 1
5 5
+
+
y ( 0 )
a b
b a
a
+
≠ y 1 ( 0 )
a b b
a
a a
+
+ ≠

3
Ejercicio 6.- Desarrollar
a) ( )
2
3x − = ; ( )( )3 2x x− + = ; ( )( )x y x y− + =
b) Escribir como producto de dos factores ( ( )( )= )
2
36a − , 4
81a − , 2
7x x− , 4 2
4 4a a+ + , 2
10 25x x− + − , 3 2
9x x+
Ejercicio 7.- Resolver las siguientes ecuaciones
5 13x + = 3 2 5x + = − 6 4
2
x
− = 5 1 2 15x x+ = − + 1 3x x+ = −
6
1 5
x
+ =
6
5
1x
=
+
2 3
3
4
x
x
−
= −
+
2 1 4 3
1 3
x x− +
=
−
2 2
3 3 2x x x x− = + +
2
12 4
3
4 1
x
x
x
−
=
−
1
0
2
x
x
+
=
2 2
2 1 5 3x x
−
=
− +
5 1 3
2 42 3 6xx x
x
−
− =
++ +
Ejercicio 8.-
a) Calcular
( )
4
2− , 4
2− ,
0
1
5
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
3
2
3
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ( )
2
0,02 , 2
3−
, ( )
3
2
−
− ,
2
3
4
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
1/ 2
4
9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
3
1
10
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
1/ 2
9
4
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
27
8
3 −
, 2
4 , ( )
2
4− , 3/ 4
16−
b) Resolver y simplificar
2/ 73 4
1 1
7 7
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
,
16 4
3 3
:
2 2
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
, ( )
1/ 2
5/ 2 7 / 2
5 5 , ( )
3/ 24 / 5
32
−
⎡ ⎤−
⎣ ⎦
,
2 5 4 7
3 9 2
a a a a
a a a a
−
−
, 1/ 2 1/ 3 6
( )a a−
Ejercicio 9.-
a) Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a un rectángulo
de base x y altura y .
♣ El rectángulo es un cuadrado.
♣ La base es el triple de la altura.

4
♣ La base excede en cuatro unidades a la altura.
♣ La altura es
4
7
de la base.
♣ El rectángulo tiene 28 cm de perímetro.
♣ La diagonal del rectángulo mide 13 cm.
♣ El área del rectángulo es 100 cm 2
.
b) Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente:
I Cinco menos que el doble de un número A ( )
2
a b−
II Cinco menos el doble de un número B 2 5a −
III La diferencia de dos cuadrados C
2
a b+
IV El cuadrado de una diferencia D 2 2
a b−
V La mitad de una suma de dos números E 5 2a−
Ejercicio 10.-
a) María tiene cuarenta y seis años y Juan, doce; ¿dentro de cuántos años la edad de
María será el triple de la edad de Juan?
b) Una salsa de tomate se ofrece en dos tipos de envase, lata y tetrabrick. Las
dimensiones de la lata son de 6cm de diámetro en la base y 11cm de altura, las del
tetrabrick son 7cm y 4cm en los lados de la base y 12cm de altura. ¿Cuál de los
dos envases tiene mayor capacidad?
c) Un automóvil 0km cuesta $18000 . Si se desvaloriza a razón de un 10% anual,
¿cuál será el valor del mismo dentro de dos años?
d) El costo de una mercadería es de $15 . ¿Cuál debe ser el precio de lista para que,
en una promoción en la que se ofrece un 10% de descuento sobre el precio de lista, el
comerciante gane un 20% sobre el costo?
e) Una empresa se dedica a la compra y venta de inmuebles. Cierto día la empresa
vende dos propiedades, cada una de ellas en $120000 . Se sabe que con la primera
propiedad ganó un 20% de lo invertido al adquirirla, en tanto que con la segunda,
perdió un 20% de lo invertido. ¿Cuál es la ganancia o pérdida neta para la empresa
por la compraventa de las dos propiedades?

5
PRACTICA 1
NUMEROS REALES
Ejercicio 1.- Representar en la recta real los siguientes números reales
a) 0 ; 1 ; 2 ;
2
5
;
3
2
; 2
b) 0 ; 1 ; 2− ; 3− ; 3 ; 3 ;
1
3
;
1
3
;
1
4
− ;
1
4
−
Ejercicio 2.- Representar en la recta real los siguientes subconjuntos de
a) [ ] { }5,3 / 5 3x x− = ∈ − ≤ ≤ b) ( ) { }, 1 / 1x x−∞ − = ∈ < −
c) { }/ 2 6n n∈ ≤ < d)
1 1 1 1 1
1, , , , , ,
2 3 4
/ n
n n
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
∈ = … …⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Ejercicio 3.- Representar en la recta numérica
a) Todos los números reales mayores que 3− .
b) Todos los números reales menores o iguales que 4 .
c) Todos los números reales mayores que 2 y menores o iguales que
9
2
.
d) Los intervalos
( )1,4 ; [ )2,3− ; ( ]0,5 ;
1
3,
2
⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎣ ⎦
( )8, 2− − ; ( ]8, 1− − ;
5
,
4
⎡ ⎞
+∞⎟⎢⎣ ⎠
;
5
,
4
⎛ ⎞
+∞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
e) Las uniones de intervalos
( ) ( ]3,1 0.4− ∪ ; [ ] [ )2, 1 1,3− − ∪ − ; [ ] ( )2,3 0,5∪ ; ( ) ( )8,1 3,8− ∪
f) Las intersecciones de intervalos
( ) ( ]3,1 0.4− ∩ ; [ ] [ )2, 1 1,3− − ∩ − ; [ ] ( )2,3 0,5∩ ; ( ) ( )8,1 3,8− ∩

6
Ejercicio 4.- Decidir cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo
( ),2−∞
2− ; 2 : 2 1− ;
7
1
4
− ; 3
9 : 3
27− ;
5
1
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejercicio 5.- Representar en la recta numérica y escribir como intervalo o unió n de
intervalos
a)
1
{ 2/x
x
⎧ ⎫
∈ <⎨ ⎬
⎩ ⎭
b)
3
/ 4x
x
⎧ ⎫
∈ >⎨ ⎬
⎩ ⎭
c)
2
/ 3 1x
x
⎧ ⎫
∈ − < −⎨ ⎬
⎩ ⎭
d)
1 64
/x
x x
⎧ ⎫
∈ ≥⎨ ⎬
⎩ ⎭
e) { }2
/8x x x∈ < f)
5
/ 1 0x
x
⎧ ⎫
∈ − + >⎨ ⎬
⎩ ⎭
g)
6
/ 1
4
x
x
⎧ ⎫
∈ > −⎨ ⎬
−⎩ ⎭
h)
4
/ 2
2
x
x
⎧ ⎫
∈ < −⎨ ⎬
+⎩ ⎭
i)
3 2
/ 1
4
x
x
x
+⎧ ⎫
∈ <⎨ ⎬
+⎩ ⎭
j)
3 2
/ 0
1 1
x
x x
⎧ ⎫
∈ + >⎨ ⎬
− +⎩ ⎭
Definición:
El valor absoluto de un número real a es
si 0
si 0
a a
a
a a
≥⎧
= ⎨
− <⎩
Ejercicio 6.-
a) Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos
{ }/ | | 5A x x= ∈ = { }/ | | 0B x x= ∈ =
{ }/ | | 1C x x= ∈ = − { }/ | 4 | 2D x x= ∈ − =
{ }/ | 2 1| 3E x x= ∈ + = { }/ | 5 4 | 0F x x= ∈ − =

7
b) Escribir como intervalo o unió n de intervalos y representar en la recta numérica los
siguientes conjuntos
{ }/ | 1| 3G x x= ∈ − < { }/ | 2 | 4H x x= ∈ + >
{ }/3 1| 8I x x= ∈ − > { }/ |8 3| 5J x x= ∈ + <
c) Expresar los siguientes conjuntos en la forma { R / | | }x x a r∈ − < o bien
{ R / | | }x x a r∈ − > según corresponda, para valores de a y r adecuados.
i) Los reales que distan del 0 en menos de 2 .
ii) Los reales que distan del 1− en más de 1 .
iii) Los reales que distan de 1/ 2− en menos de 0,2 .
iv) ( )5,3−
v) ( ) ( ),2 4,−∞ ∪ +∞
Ejercicio 7.- Hallar valores de a y b tales que a b a b+ < + .
Definición:
Un conjunto A ⊂ se dice acotado superiormente si existe un número real c tal
que para todo a A∈ : a c≤ . Decimos que c es cota superior de A .
Definición:
Sea RA ⊂ un conjunto no vacío acotado superiormente. El número real s se
llama supremo de A si cumple con las dos condiciones siguientes:
1S ) s es cota superior de A .
2S ) Si c es cota superior de A entonces s c≤ .
Es decir s es la menor de las cotas superiores de A .
Ejercicio 8.- Dados los siguientes conjuntos de números reales
a) Decidir cuáles están acotados superiormente.
b) Dar varias cotas superiores.

8
c) Encontrar, si existe, la menor cota superior, es decir, el supremo.
( )0,7A = NB = { }1,9;1,99;1,999;C = …
{ }/ | 1| 2D x x= ∈ − < { }/ | 3 2 | 4E x x= ∈ + >
9
/ 3
| 2 |
F x
x
⎧ ⎫
= ∈ >⎨ ⎬
⎩ ⎭
( )0,G = +∞
( ),5H = −∞ ( )
7
0,1 3,
2
I
⎛ ⎞
= ∪⎜ ⎟
⎝ ⎠
Definición:
Un conjunto RA ⊂ se dice acotado inferiormente si existe un número real d tal
que para todo a A∈ : d a≤ . Decimos que d es cota inferior de A .
Definición:
Sea RA ⊂ un conjunto no vacío acotado inferiormente. El número real i se llama
ínfimo de A si cumple con las dos condiciones siguientes:
1I ) i es cota inferior de A .
2I ) Si d es cota inferior de A entonces d i≤ .
Es decir i es la mayor de las cotas inferiores de A .
Ejercicio 9.- Para los conjuntos del ejercicio anterior
a) Decidir cuáles está n acotados inferiormente.
b) Dar varias cotas inferiores.
c) Encontrar, si existe, la mayor de las cotas inferiores, es decir, el ínfimo.
Ejercicio 10.- Hallar, cuando exista, el supremo y el ínfimo de los conjuntos de los
ejercicios 3 y 5.
Ejercicio 11.- Escribir como intervalo o unió n de intervalos y hallar, cuando exista, el
supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos:
{ }/ 2 1| 5A x x= ∈ − < { }/ | 4 | 1B x x= ∈ + <
{ }/3 6 | 9C x x= ∈ − > { }/ 2 | 6D x x= ∈ + >

9
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Escribir el conjunto
2
/ 0 1 1
3 1
A x
x
⎧ ⎫
= ∈ < − <⎨ ⎬
+⎩ ⎭
como intervalo o unión
de intervalos.
Ejercicio 2.- Escribir el conjunto
1 2 1
/
3
x
A x
x x
+⎧ ⎫
= ∈ <⎨ ⎬
⎩ ⎭
como intervalo o unión de
intervalos y hallar, si existen, el supremo y el ínfimo.
Ejercicio 3.- En cada uno de los siguientes problemas marcar la única respuesta
correcta
a) Si { R / | 1| 4}A x x= ∈ + ≤ , entonces
□ sup( ) 3A = e inf( ) 5A = − □ sup( ) 1A = y A no tiene ínfimo
□ sup( ) 3A = y A no tiene ínfimo □ sup( ) 1A = e inf( ) 3A = −
b) Una cota inferior de { }/5 4 2 1A x x x= ∈ + ≥ − es
□
5
3
− □
5
3
□ 1− □0
c) El conjunto
3
/ 2A x
x
⎧ ⎫
= ∈ > −⎨ ⎬
⎩ ⎭
es igual a
□ ( )
3
, 0,
2
⎛ ⎞
−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
□
3 3
,0 0,
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
□
3
,0 (0, )
2
⎛ ⎞
− ∪ +∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
□ ( ),0 (0, )−∞ ∪ +∞
d) El ínfimo del conjunto { R / | 3 2 | 1}A x x= ∈ − < es igual a
□ 1− □
1
3
− □
1
3
□1

10
PRACTICA 2
FUNCIONES
Ejercicio 1.- Representar en el plano los puntos
( )2,0A = ; ( )0, 2B = − ;
1
3,
2
C
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
; ( )4,1D = −
( )3, 3E = − ; ( )2,1F = ; ( )1, 2G = − − ; ( )1,2H = −
Ejercicio 2.- Representar en el plano todos los puntos que tienen
a) abscisa 3− .
b) ordenada
1
2
.
c) abscisa de módulo 4 .
d) ordenada mayor que 5− .
e) abscisa y ordenada iguales.
f) abscisa y ordenada menores que 0 .
g) ordenada mayor o igual que 1 y abscisa menor que 4 .
h) ordenada entre 1− y 1 y abscisa entre 4− y 4 .
Ejercicio 3.- Sea ( ) 2 3f x x= +
a) Calcular (5)f , (0)f , ( 2)f − .
b) Trazar el gráfico de la función.
c) Hallar analítica y gráficamente los x tales que
i) ( ) 0f x = ii) ( ) 1f x = − iii) ( ) 5f x =
d) Trazar la recta de ecuación 2 3y x= + . Decidir cuáles de los siguientes puntos
pertenecen a dicha recta:
( )0,1 ; ( 1,1)− ; (1,5) ;
1
,4
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejercicio 4.- Trazar los gráficos de las siguientes funciones lineales en un mismo
sistema de coordenadas cartesianas
a) ( ) 3f x x= , ( ) 5g x x= , ( )
2
3
h x x=
b) ( ) 2f x x= , ( ) 2g x x= −
c) ( ) 4f x x= , ( ) 4 2g x x= + , ( ) 4 3h x x= −

11
Ejercicio 5.-
a) Encontrar, en cada caso, una función lineal que satisfaga
i) (1) 4f = , ( 3) 2f − = ii) ( 1) 5f − = , (85) 5f =
b) Calcular la pendiente de cada una de las rectas que son gráficos de las funciones
lineales del inciso anterior.
Ejercicio 6.-
a) Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por P , siendo
i) ( )2,3P = − , 2m = ii) ( )1,5P = , 0m =
iii) ( )3, 4P = − , 1m = − iv)
1 3
( , )
5 5
P = − ,
1
2
m = −
b) Encontrar la pendiente de la recta que pasa por P y Q siendo
i) ( )1,2P = , ( )4,3Q = − ii) ( )5,8P = , ( )6,8Q = −
iii) ( )0,2P = , ( )1,4Q = iv) ( )1,2P = , ( )1,4Q = −
Ejercicio 7.-
a) Hallar el valor de a para que la recta de ecuación 5y ax= + pase por el punto
( )1,4 .
b) Hallar el valor de b para que la recta de ecuación 2y x b= − + pase por el punto
( )3,1 .−
Ejercicio 8.-
a) ¿Existe una función lineal que responda a la siguiente tabla de valores?
( )
1 2
1/ 2 1/3
1 4/3
x f x
−
−
b) Completar la siguiente tabla de valores sabiendo que ( )y f x= es lineal.
( )
1 2
1/ 2 1/3
4/3
1
x f x
−
−

12
Ejercicio 9.- A partir de los siguientes gráficos
a) Escribir la función lineal correspondiente a cada recta.
b) Determinar el valor de la pendiente.
i) ii) iii)
y
x
-1
1
x
y
0
2
x
y
-3
0
iv) v) vi)
y
x
2
0 1
y
x
1
-1
y
-3
1
x
Ejercicio 10.- Dada la recta que pasa por ( )3,2 y ( )4,a
a) ¿Para qué valor de a la pendiente vale 8?
b) ¿Para qué valor de a la recta corta el eje y en el punto ( )0,3 ?
c) ¿Para qué valor de a la recta pasa por el punto ( )2,9 ?
d) Para los valores hallados en los incisos anteriores, calcular en qué punto las rectas
cortan el eje .x
Ejercicio 11.- Dados los siguientes pares de funciones lineales f y g , determinar
gráfica y analíticamente el conjunto { }/ ( ) ( )A x f x g x= ∈ ≥
a) i) ( ) 3 2f x x= + , ( ) 2 1g x x= −
ii) ( ) 2 1f x x= − + , ( ) 4 1g x x= +
iii) ( ) 7 1f x x= − , ( ) 4g x x= − −

13
b) Hallar, si existen, el supremo y el ínfimo de A en cada caso
i) ( ) 4 1f x x= − − , ( ) 2 3g x x= −
ii) ( ) 2 1f x x= − , ( ) 2 5g x x= −
iii) ( ) 3f x = , ( ) 5 2g x x= − −
c) Determinar cuáles de las funciones f y g de los incisos anteriores son crecientes
y cuáles decrecientes. Determinar cuál crece más rápidamente y cuál decrece más
rápidamente.
Ejercicio 12.- Graficar las siguientes funciones
a) ( )
4
x
f x = b) ( ) 2 1f x x= −
c) ( ) 3f x x= + d) ( ) 5f x x= −
Ejercicio 13.- Dadas las siguientes funciones f y g , determinar gráfica y
analíticamente el conjunto { R / ( ) ( )}A x f x g x= ∈ ≥
a) ( ) 3f x = , ( ) 1g x x= − b) ( )f x x= , ( ) 3g x x= +
Ejercicio 14.- Supongamos que la demanda semanal de un producto es de
100unidades cuando el precio es de $58 por unidad y de 200 unidades con precio de
$51 cada una.
a) Determinar la función demanda ( )p D x= , suponiendo que es lineal.
b) Calcular (75)D . ¿Qué representa?
Ejercicio 15.- Un fabricante de zapatos está dispuesto a colocar en el mercado
50(miles de pares) cuando el precio es $35por par y 75 cuando su precio es de $50.
a) Obtener la función de oferta ( )p q= O , suponiendo que el precio p y la cantidad q
tienen una relación lineal, y graficarla.
b) Se ha podido determinar que la ecuación de demanda de su producto es
1
( ) 38
2
p D q q= = − + .
Hallar la cantidad de pares de zapatos que debe fabricar para que la oferta coincida con
la demanda (cantidad de equilibrio). ¿Cuál es el precio (precio de equilibrio) del par de
zapatos para esta cantidad?
c) En un mismo sistema de coordenadas graficar las funciones de oferta y de demanda
e interpretar geométricamente el punto de equilibrio ( cantidad , precio ).

14
Ejercicio 16.- Una empresa vende un producto a $65 por unidad. Los costos
variables por unidad en concepto de materiales y mano de obra ascienden a $37 . Los
costos fijos mensuales ascienden a $10000 .
a) Encontrar la función de costo total ( )y C x= expresada en términos de x , número
de unidades producidas y vendidas.
b) Encontrar la función de ingreso total ( ) ( )y I x xD x= = expresada en términos de x .
c) Encontrar la función de utilidad (utilidad=ingreso total-costo total) ¿Qué utilidad se
obtiene si las ventas son de 2000 unidades?
d) ¿Cuántas unidades se deben vender para tener una utilidad mayor que $60000 ?
Ejercicio 17.- En cada caso, trazar el gráfico de la función cuadrática y hallar las
coordenadas del vértice de la parábola que representa
i) 2
( ) 3f x x= ii) 2
( ) 4f x x= + iii) 21
( ) 3
3
f x x= −
iv) 2
( ) 2 3f x x x= − + v) 2
( ) 2f x x= − vi) 2
( ) 2f x x= − +
vii) 21
( ) 1
3
f x x= − − viii) 2
( ) 2 7f x x x= − − −
Ejercicio 18.- Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad, intervalos de
crecimiento y de decrecimiento, el máximo o mínimo de las funciones cuadráticas cuyos
gráficos figuran a continuación:
i) ii)
51 3
-2
x
y
x
y
2 5-1
1
iii) iv)

15
x
y
1
3
y
x
1
Ejercicio 19.- En las funciones del ejercicio 17
a) Determinar intervalos donde la función es creciente e intervalos donde es
decreciente
b) ¿Cómo se comporta ( )f x cuando x tiende a más y a menos infinito?
c) Determinar los valores máximos o mínimos y los valores de la variable donde alcanza
tales extremos.
Ejercicio 20.- Dada 2
( ) 2 3 1f x x x= − + hallar los x tales que
a) ( ) 1f x = b) ( ) 6f x = c) ( ) 2f x = −
d) ( ) 3 9f x x= + e) 2
( ) 4 7f x x x= − + f) ( ) 3 9f x x= − +
Ejercicio 21.- Hallar, si existen, el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos
( ){ R / 2 0}A x x x= ∈ − < ( )( ){ R / 3 1 0}B x x x= ∈ − + >
2
{ R / 2 0}C x x x= ∈ + − < 2 2
{ R / 2 8 2 7}D x x x x= ∈ − ≤ − +
Ejercicio 22.- Cuando se produce una cantidad x (en miles de toneladas) de una
cierta mercadería dos productores reciben un beneficio mensual (en miles de pesos) de
2
1( ) 8 3g x x x= − + − , 2 ( ) 2 10g x x= − .
a) Graficar ambas funciones de ganancia.
b) ¿Cuántas toneladas debe producir cada productor para obtener la misma ganancia?
c) ¿Para qué producción las ganancias obtenidas por el primer productor cuadruplican
las del segundo?
Ejercicio 23.- La función de demanda para el producto de un fabricante es
( ) 1200 3p D q q= = − , donde p es el precio (en pesos) por unidad cuando se tiene una
demanda semanal de q unidades.
a) Expresar los ingresos totales ( )I I q= ( ingresos totales pq= ) en función de la
demanda. Hacer un gráfico de tal función.

16
b) Calcular el nivel de producción semanal que maximiza los ingresos totales del
fabricante y determinar el ingreso máximo.
Ejercicio 24.- Representar gráficamente, en forma aproximada, las siguientes
funciones polinómicas
i) 3
( ) 2f x x= ii) 3
( ) 2 1f x x= − iii) ( )
3
( ) 2 1f x x= −
iv) 4
( ) 2f x x= v) 4
( ) 2 1f x x= − vi) ( )
4
( ) 2 1f x x= −
Ejercicio 25.- Hallar el dominio de f y hacer un gráfico aproximado. Analizar en cada
caso su comportamiento en el infinito
a)
1
( )f x
x
= − b)
4
( )
1
f x
x
=
−
c)
1
( )f x
x
= d) 2
1
( )f x
x
=
Ejercicio 26.- Hallar el dominio de las siguientes funciones
a)
5
( )
3
f x
x
=
−
b)
2
( )
4
f x
x
=
+
c)
1
( )
2
f x
x
=
−
d)
3 5
( )
2 1
x
f x
x
−
=
+
e) 2
2
( )
4
x
f x
x
=
−
f) 2
1
( )
2
f x
x x
=
− + +
g) 2
2
( )
4 8 3
f x
x x
=
− +
h) 2
3
( )
2
f x
x x
=
− +
i)
2
2
6
( )
9
x
f x
x
=
−

17
PRACTICA 3
COMPOSICION DE FUNCIONES
Ejercicio 1.- Calcular f g y g f indicando el dominio en cada caso
a) ( ) 2 1f x x= + , ( ) 3 4g x x= +
b) ( ) 3 2f x x= + , ( ) 2
g x x=
c)
3 1
( )
2 4
x
f x
x
+
=
−
, ( ) 3
g x x=
d)
2 1
( )
4
x
f x
x
+
=
−
, ( )
2
g x
x
=
Ejercicio 2.-
a) La función ( ) 1,8 32f x x= + expresa la temperatura en grados Fahrenheit conocida la
misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel arde aproximadamente a 451 F°
(¿leyó la novela de Ray Bradbury?), ¿a cuántos grados Celsius tendrá que exponer
esta práctica para quemarla?
b) Dar la función que permite, dada una temperatura cualquiera en grados Fahrenheit,
obtener la misma en grados Celsius.
Ejercicio 3.- Hallar el dominio y representar gráficamente las siguientes funciones
a) ( )f x x= b) ( ) 1f x x= − c) ( )
1
2
f x x= +
d) ( ) 1f x x= − e) ( ) 3
f x x= f) ( ) 3
1f x x= −
Ejercicio 4.- Hallar los x que verifican
a) 2
9x = b) 5x = c) 2 8 4
3
x + =
d) 3 7 5x + = e) ( )
2
1 4
3
x − = f) 2
3 5 6x+ + =
Ejercicio 5.- Calcular y dar el dominio de 1
f −
a) :f → , ( ) 2 3f x x= − b) { }: 2f − → ,
1
( )
2
f x
x
=
−
c) { }: 0f − → ,
3
( )f x
x
= d) { }: 1f − − → ,
2 1
( )
1
x
f x
x
−
=
+
e) :f → , 3
( ) 1f x x= + f) :f → , 2
( ) 3f x x= +
g) [ ): 5,f − +∞ → , ( ) 5f x x= + h) :f → , ( ) 2 5
3
f x x= −

18
Ejercicio 6.- Una empresa calcula que el costo de producción de x unidades de un
artículo de consumo, es igual, medido en pesos, a ( ) 300 50C x x= + . Calcular a partir
de cuántas unidades producidas, el costo de producción supera los $10000 .
Ejercicio 7.- La función de demanda de x unidades de un artículo medida en pesos
es igual a ( ) 3600 5p D x x= = − , 0 ≤ x ≤ 720. Calcular para qué valores de la
producción la demanda supera los $15.
Ejercicio 8.- Graficar las siguientes funciones y hallar su imagen. Analizar en cada
caso su comportamiento en el infinito
a) 1( ) 2x
f x e= − b) 2
2 ( ) x
f x e −
=
c) 2
3( ) x
f x e− +
= d) 2
4 ( ) 4x
f x e− +
= +
Ejercicio 9.- Calcular el dominio de las siguientes funciones, graficarlas y hallar su
imagen. Analizar en cada caso su comportamiento en el infinito
a) ( )1( ) lng x x= − b) ( )2 ( ) 1 lng x x= +
c) ( )3( ) ln 1g x x= − d) 2
4 ( ) ln( )g x x=
Ejercicio 10.- Dadas las funciones
2
1( ) x
f x e= 1
2 ( ) x
f x e −
= 2
3( ) x
f x e −
=
4
2
( ) lnf x
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )5 ( ) ln 1f x x= + ( )6 ( ) 2lnf x x= −
a) Decidir cuál de los siguientes gráficos corresponde a cada una de ellas.
b) En cada caso dar la fórmula y el gráfico de la correspondiente función inversa.
i) ii) iii)
x
y
0
1
1
y
-1 0 x
y
0 x2
iv) v) vi)

19
y
x0 2
1
y
x
0
1
y
0
x
-1
Ejercicio 11.- Para las siguientes funciones, hallar el dominio, los ceros y los conjuntos
de positividad y negatividad
a) 1( ) ln( 1)f x x= − b) 2
2 ( ) ln( 2)f x x= −
c) 3( ) ln( ) 3f x x= + d) 4 ( ) ln(4 2 )f x x= −
Ejercicio 12.- Hallar los x que verifican
a) 5
1x
e +
= b) 2 1
3 15x
e −
= c) ( )ln 3 0x − =
d) 2 8 2
3
x + = e) 1
3 27x+
= f) 2 1
3
3
x+
=
Ejercicio 13.- Hallar 1
( )f x−
e indicar su dominio
a) 4 3
( ) 1 2 x
f x e +
= + b) ( ) ln(3 6)f x x= + c)
2 5
7
( )
3
x
e
f x
+
−
=
d) ( ) 4ln(5 2) 1f x x= − + e) 3
( ) 1 5 x
f x e −
= + f) ( )2
( ) 3 ln 2 1f x x= − −
Ejercicio 14.- Un capital C se deposita en un banco durante t meses a un interés
del %r mensual (con capitalización mensual) produciendo un monto
( ) 1
100
t
r
M t C
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
a) ¿A cuánto ascenderá un capital de $100000 al 0,4% mensual durante dos años?
b) ¿Y al cabo de cinco años y cinco meses?
c) ¿Cuánto debería invertirse para ganar $100000 en 3 años al 0,3% mensual?
d) ¿En cuánto tiempo se triplicará el capital al 5% mensual (con capitalización
mensual)?
Ejercicio 15.- Si la función exponencial ( )( ) 3000 1,25
x
M x = se interpreta como un
interés compuesto
a) ¿Cuál es el capital inicial?
b) ¿Cuál es el interés?

20
Ejercicio 16.- El número de habitantes de la República Argentina podrí a estimarse
aproximadamente mediante la fórmula 0,01
( ) 37 t
N t e= millones de habitantes, donde la
variable t indica el número de años transcurridos a partir del año 2004. Siguiendo esta
hipó tesis
a) ¿Cuántos habitantes habrá en el año 2010?
b) ¿Cuándo habrá más de 50 millones de habitantes?
c) ¿Cuándo se duplicará el número de habitantes del año 2004?
Ejercicio 18.- La función de demanda de un producto viene dada por
1
( ) 250 x
p x e− +
= =D . ¿Qué cantidad se espera vender para un precio de $50 la unidad?
Ejercicio 19.- La función de demanda para un producto es 2 0,1
( ) 4 x
p x e −
= =D .
a) Graficar aproximadamente esta función.
b) Expresar x en función de p .
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Escribir los siguientes conjuntos como intervalo o unió n de intervalos y
hallar, si existen, supremo e ínfimo de los mismos.
4
/ 3A x x
x
⎧ ⎫
= ∈ < −⎨ ⎬
⎩ ⎭
1 5
/ 1B x x
x x
⎧ ⎫
= ∈ > + −⎨ ⎬
⎩ ⎭
{ }2
/ 6 6C x x x= ∈ − ≤ +
1
/ 2D x x
x
⎧ ⎫
= ∈ < +⎨ ⎬
⎩ ⎭
{ }/ 1 | |E x x x= ∈ + ≥ { }/ | 3 1| | 2F x x x= ∈ + ≥ −
{ }/ ln(2 3) 0G x x= ∈ − > { }/ 2 4H x x= ∈ − <
3 1
/ 3
1
x
I x
x
−⎧ ⎫
= ∈ <⎨ ⎬
+⎩ ⎭
{ }1
/ ( ) 6J x f x−
= ∈ < , donde ( ) 2 4f x x= +
Ejercicio 2.- Un capital de $10000 se invierte a interés compuesto anual (con
capitalización anual) del 6% ¿Cuánto tardará en obtenerse un monto de $15000 ?
Ejercicio 3.- El conjunto de positividad de una función cuadrática es el intervalo ( )1,3 ,
¿cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento?

21
Ejercicio 4.- Graficar la función
| | si 3 5
( )
2 5 si 3 ó 5
x x
f x
x x x
− ≤ ≤⎧
= ⎨
− < − >⎩
Hallar, si existen, el supremo y el ínfimo de { }/ ( ) 2x f x∈ ≤ .
Ejercicio 5.- La función de demanda de un producto está dada por ( )
a
p q
q
= =D , y la
función de oferta por ( ) 3 60p q q= = −O ( p indica precio y q cantidad de unidades).
Determinar el valor de a∈ sabiendo que el precio de equilibrio es $15 .
Ejercicio 6.- Hallar el valor de a∈ si se sabe que sup 7A = , donde
{ }/ | 2 1|A x x a= ∈ + ≤
Ejercicio 7.- En cada uno de los problemas siguientes, marcar la única afirmación
correcta
a) La ecuación de oferta de cierto producto es 3
( ) 8 50q
p q e= = +O . Entonces la
cantidad ofertada q en función del precio p es
□
1 50
ln
3 8
p −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
□
ln( ) 50
3
8
p −
□
ln( ) ln(50)
8
p −
□
50
83
p
e
−
b) La curva de oferta es ( ) 1p q q= = +O y la de demanda es
400
( )
1
p q
q
= =
+
D
( q = número de unidades, p = precio). Entonces el mercado está en equilibrio cuando
□ 19q = y 20p = □ 21q = y 22p =
□ 20q = y 21p = □ 399q = y 400p =
c) La función ( ) ln(5 9)f x x= − es positiva para x en el intervalo
□( )1,2 □( )3,5 □( )0,+∞ □( )1,0−
d) El dominio natural de ( ) ln(2 4)f x x= − es
□ ( )2,+∞ □( ),2 (2, )−∞ ∪ +∞ □( )0,+∞ □( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
e) El vértice de la parábola de ecuación ( )
2
2 5y x= − + es el punto
□( )2,5 □( )2, 5− □( )2, 5− − □( )2,5−

22
PRACTICA 4
LIMITES Y CONTINUIDAD
Ejercicio 1.- A partir de los siguientes gráficos determinar, si existen, lim ( )
x
f x
→+∞
, y
lim ( )
x
f x
→−∞
i) ii)
y
x
0
y
x
0
3
iii) iv)
y
x
0
2
-2
y
x
v) vi)
y
x0
y
x0
Ejercicio 2.- Calcular los siguientes límites
a)
2
lim
x x→+∞
b)
10000
lim
x x→+∞
c)
5
lim 1
x x→+∞
−
d) lim
5x
x
x→+∞ +
e)
3
lim
2 1x
x
x→+∞ +
f)
3
lim
2 1x
x
x→+∞
− +
−

23
g)
3
lim 5
1x x→+∞
+
−
h)
2
2
3
lim
5x
x
x→+∞
−
−
i)
2
2
3 2
lim
2 11x
x x
x→+∞
+ +
+
j)
2
3 2
lim
1000x
x x
x→+∞
+ +
k) 2
1
lim
3 2x
x
x x→+∞
+
+ +
l)
2
2
1000
lim
1x
x
x→+∞ +
m)
( )( )
2
1 2 1
lim
1x
x x
x→+∞
+ −
+
n)
3
4 3
3 1
lim
2 2 1x
x x
x x→+∞
+ +
+ +
o) 2
3 2 3 1
lim
2 35x
x x
xx x→+∞
− −
−
++
a) ( )7 5
lim 10 3
x
x x
→+∞
− + b) ( )7 5
lim 10 3
x
x x
→−∞
− +
c)
2 3
2
2 3 4 1
lim
5 4x
x x x
x→+∞
+ − −
+
d)
2 3
2
2 3 4 1
lim
5 4x
x x x
x→−∞
+ − −
+
e)
2
3
(2 3)( 2 5)
lim
1x
x x x
x→−∞
+ − +
−
f)
2
3
4 2 1
lim
3 6x
x x
x x→−∞
− + −
+ −
g)
2 2
2 5 7 5
lim
3 1x
x x x
x x→+∞
− + +
+
+ +
h) 2
1
lim
3 2x
x
x x→+∞
+
+ +
a)
3
2
2
lim
1x
x
x→+∞
+
−
b)
5
lim
1 4x
x
x→+∞
−
+
c)
2
2
1
lim
3 2x
x
x→+∞
−
−
d)
2
1
lim
5
4x
x
x
→+∞
+
+
e)
2
4 1
lim
5 3x
x x
x→+∞
+ −
+
f)
3
4 1
lim
5 3x
x x
x→+∞
+ −
+
g)
2
lim
x
x
x x x→+∞
−
− +
h)
2
9 6
lim
5 1x
x x
x→+∞
+ +
−
i)
2
3
9 2 4
lim
8 2 5
3x
x
x
→+∞
− −
+ +
a) ( )5 6
lim
x
x x x
→+∞
− + b) ( )2
lim 2
x
x x x
→+∞
+ − + c) ( )2
lim 2
x
x x x
→+∞
+ − −
d) ( )2
lim 1
x
x x
→+∞
− + e)
3
1
lim
5x
x x
x→+∞
+ −
+
f) ( )2 2
lim 1 3
x
x x x
→+∞
+ − − +
g) ( )lim ( 4)( 10)
x
x x x
→+∞
+ + − h)
1
2 3
lim
2 5
x
xx
+
→+∞
−
+
i)
1
2 3
lim
2 5
x
xx
+
→−∞
−
+
j)
1
1
3
2
lim
1
5
2
x
xx
+
→+∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
k)
2
lim
5 1
x
x
x
x→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
l) lim
x
x
x→−∞

24
Ejercicio 6.- Dados los siguientes gráficos, determinar los límites que se indican en
cada caso.
a)
2
lim ( )
x
f x
−→−
,
2
lim ( )
x
f x
+→−
, lim ( )
x
f x
→−∞
, lim ( )
x
f x
→+∞
b)
0
lim ( )
x
f x
−→
,
0
lim ( )
x
f x
+→
, lim ( )
x
f x
→−∞
y
x0-2
1
y
x0
c)
0
lim ( )
x
f x
+→
,
0
lim ( )
x
f x
−→
d)
2
lim ( )
x
f x
−→−
,
2
lim ( )
x
f x
+→−
, lim ( )
x
f x
→−∞
,
lim ( )
x
f x
→+∞
y
x0
y
x0-2 2
1
-1
a)
5
40
2
lim
x
x
x→
−
b)
3 2
3 20
2
lim
2 3x
x x
x x→
−
+
c) 2
0
4
lim
9x
x x
x x x+→
+
+ +
d)
2
4
2 1
lim
2 8x
x x
x−→
+ +
−
e)
2
3
2 3
lim
4 12x
x x
x→
− −
−
f)
2
2
2 2 4
lim
5 10x
x x
x→−
+ −
+
g)
2 3
22
1 2
lim
2 2x
x x x
x x x→
− + −
−
− −
h)
0
9 3
lim
16 4x
x
x→
+ −
+ −
i)
0
1 1
lim
x
x x
x→
− − +

25
j)
1
5 3
lim
1x
x x
x→
− − +
−
k)
5
1 2
lim
3 10x
x
x x→
− −
− +
l)
1
0
3 2
lim
4 3
x
x
x
x
−
→
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Ejercicio 8.- Hallar el valor de a para que
2
0
1 1
lim 2
x
x ax
x→
+ + −
= .
Ejercicio 9.- Teniendo en cuenta que
1
lim 1
x
x
e
x→∞
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
calcular
a) lim 1
x
x
a
x→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
, a∈ b)
2 3
5
lim
2
x
x
x
x
+
→∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
c)
3 1
4
lim
6
x
x
x
x
+
→∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
d)
33 5
3 2
lim
3 1
x
x
x
x
−
→∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
e)
2 32
2
4
lim
6
x
x
x
x
+
→∞
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
f)
2
5
lim
2
x
x
x
x→∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Ejercicio 10.- Teniendo en cuenta que ( )
1/
0
lim 1
x
x
x e
→
+ = calcular
a) ( )
2 /
0
lim 1 3
x
x
x
→
+ , a∈ b) ( )
1/
2
0
lim 1
x
x
x
→
+ c)
31/
0
2 2
lim
3 2
x
x
x
x→
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
d) ( )
21/
0
lim 1 2
x
x
x
+→
+ e)
5/
0
1
lim
1
x
x
x
x→
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
f)
2 /
0
3 5
lim
3 4
x
x
x
x→
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
g) ( )
3/ 1
1
lim 2
x
x
x
+
→−
+
Ejercicio 11.- Localizar las asíntotas de las siguientes funciones y situar la gráfica
respecto de ellas.
a)
2 3
( )
5
x
f x
x
+
=
−
b)
8 4
( )
2 6
x
f x
x
−
=
+
c)
2
2
5 1
( )
1
x x
f x
x
− +
=
−
,
d)
2
2
2 4 6
( )
6
x x
f x
x x
+ −
=
− −
e)
( )( )
2
4
( ) 5
1 2
x
f x
x x
−
= +
+ −
f)
2
2
6
( )
4 36
x x
f x
x
− −
=
−
,
g)
1
( )
| 1|
f x
x
=
+
h) 3
( ) x
f x e −
= i) 1/
( ) x
f x e=
j) ( )2
( ) ln 4f x x= − k) ( )( ) ln 1f x x= − l) ( )( ) ln 4 7f x x= −
Ejercicio 12.- Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas y hacer un gráfico
aproximado de las siguientes funciones
1
1
( )
1
f x
x
=
−
2
3
( )
2
f x
x
−
=
+
3
3
( )
2
x
f x
x
+
=
−
4
4 5
( )
3
x
f x
x
+
=
+
Ejercicio 13.- Comprobar las siguientes identidades sabiendo que, en todos los casos,
a es un número real fijo.
a)
( )
2
0
lim 2
h
a h a
a
h→
+ −
= b)
0
1
lim
2h
a h a
h a→
+ −
=

26
Ejercicio 14.- La función de demanda de un producto viene dada por la fórmula
1000
( )
5
p f q
q
= =
+
. Calcular a cuánto tiende el ingreso ( pq= ) cuando la producción
crece a más infinito.
Ejercicio 15.- Hallar las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de las
funciones
2
2
3 2 1
( )
2 2
x x
f x
x
− −
=
−
1
( ) ln 1f x
x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
( )
9
x
f x
x
−
=
−
1 2
( )
2 8
x
f x
x x
+ −
=
− +
Definición:
Se dice que una función f es continua en el punto de abscisa x a= si
lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= . En caso contrario se dice que x a= es un punto de discontinuidad de
la función f .
Ejercicio 16.- Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
Decidir en cada caso si es posible redefinir la función en dichos puntos para que resulte
continua.
a)
1 si 1
( )
2 si 1
x x
f x
x
− ≥⎧
= ⎨
<⎩
b)
2
si 2
( ) 6 si 2
2 si 2
x x
f x x
x x
⎧ <
⎪
= =⎨
⎪ + >⎩
c)
si 0
( )
2 3 si 0
x
e x
f x
x x
⎧ <
= ⎨
+ >⎩
d)
2 2
si 2
2 4( )
3
1 si 2
8
x
x
xf x
x x
⎧ −
>⎪⎪ − += ⎨
⎪ − ≤
⎪⎩
Ejercicio 17.- Hallar el dominio y determinar los puntos de discontinuidad de las
siguientes funciones, decidiendo en cada caso si es posible redefinir la función en
dichos puntos para que resulte continua.
a)
2
( )
4
x
f x
x
−
=
−
b)
3 1
( )
8
x
f x
x
− +
=
−
c)
( )
2
2
9
( )
3
x
f x
x
−
=
−
d)
3 4
( )
5
x
f x
x
− +
=
−
Ejercicio 18.- Dadas las siguientes funciones hallar, en cada caso, el valor de a para
que f resulte continua en el punto indicado
a)
2
2 4 3 si 1
( )
5 si 1
x x x
f x
a x x
⎧ − + <
⎪
= ⎨
⎪ − ≥⎩
en 1x =

27
b)
1/
2 si 0
( )
3 si 0
x
a x
f x
x x
⎧ + <
⎪
= ⎨
⎪− + ≥⎩
en 0x =
c)
2
2
2 3 2
si 2
2
( )
5 si 2
x x
x
x
f x
x ax x
⎧ + −
> −⎪
+⎪⎪
= ⎨
⎪ + + ≤ −
⎪
⎪⎩
en 2x = −
d)
ln(1 6 )
2 si 0
( )
3( 1) si 0
x
x
x
f x
a x x
+
⎧
>⎪
⎪
= ⎨
⎪ + + ≤
⎪⎩
en 0x =
Ejercicio 19.- Hallar Rk ∈ para que la función resulte continua
a)
( )
( )
ln 3 si 4
( )
2 1 si 4
x k x
f x
k x x
− + >⎧⎪
= ⎨
+ + ≤⎪⎩
, b) 2
4 si 1
( )
2 si 1
kx x
f x
k x x
− >⎧
= ⎨
− ≤⎩
Teorema de Bolzano
Si f es una función continua en el intervalo [ , ]a b y además ( )f a y ( )f b tienen
distinto signo, entonces existe al menos un valor ( , )c a b∈ tal que ( ) 0f c = .
Consecuencias
1. Si f es una función continua en el intervalo [ , ]a b y no tiene ningún cero en el
intervalo ( , )a b , entonces f no cambia de signo en dicho intervalo.
2. Si f es una función continua en el intervalo [ , ]a b y α y β (con a bα β< < < ) son
dos ceros consecutivos de f , entonces ( , )α β es o bien un intervalo de positividad, o
bien un intervalo de negatividad de f .
Ejercicio 20.- Sea 3
( ) 3 1f x x x= − + . Probar que
a) f tiene un cero en el intervalo (1,2) .
b) f tiene un cero en el intervalo (1,5; 1,6) .
c) f tiene un cero en el intervalo (1,53; 1,54) .
Ejercicio 21.- Hallar los ceros de la función f y determinar los intervalos de
positividad y de negatividad
a) ( ) (3 2)(4 1)( 5)f x x x x= − + − b)
1
( ) (2 2)(3 )
4
f x x x x= + −
c) 2
( ) 3( 2)( 10 22)f x x x x= − − + d) ( )( )2 2
( ) 5 2 1f x x x x= − + +

28
e) ( )3 29
( ) 2
4
f x x x x x
⎛ ⎞
= − − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
f) 3
( ) 8f x x= −
g) 4
( ) 16f x x= − h) 6 3
( ) 3 2f x x x= − +
i) 3
( ) x
f x e −
= j) 5 3
( ) x x
f x e e= −
k) ( ) ln(2 5)f x x= + l) 2
( ) 1 x
f x e −
= −
Ejercicio 22.-
a) Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de un polinomio P cuyos únicos
ceros son 1 y 1− , si se sabe que ( 2) 2P − = , (0) 1P = − , (2) 3P = .
b) Sea f una función polinómica tal que (6) 8f = , (2) 2f = − , (4) 3f = , (0) 1f = y sus
únicas raíces son 1, 3, y 5. Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de f .
Ejercicio 23.- Sea :f → una función continua que corta al eje x en tres puntos
(únicamente) y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2 3 4
( )f x 5− 1
2
−
3
2
1− 3− 3
2
−
2
a) Para cada uno de los ceros de f , hallar un intervalo de amplitud 1 que lo contenga.
b) Determinar, si es posible, el signo de f en cada uno de los siguientes intervalos
( )2, 1− − , ( )1,2 , ( )1,3 , ( ), 2−∞ − , ( )2,+∞ , ( ), 1−∞ − .
c) Hacer un gráfico aproximado de f usando los datos obtenidos en a) y b).
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Calcular lim ( 2)( 5)
x
x x x
→+∞
− + −
Ejercicio 2.- Se sabe que ( )
lim 0f x
x
e
→+∞
= . ¿Cuál es el
( )
1
lim
2
f x
x→+∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
?
a)
2
3
lim
5
x
x→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b)
2 1
lim
2
x
x
x
x→+∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
c)
2
2
2
1
lim
2
x
x
x
x→∞
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
d) ( )
3/ 2
2
lim 3
x
x
x
−
→
−

29
Ejercicio 4.- Hallar el dominio y las ecuaciones de las asíntotas horizontales y
verticales de las siguientes funciones
a) ( )
2
1 5
1
x
f x
x
+ +
=
+
b) ( )
2
2
3 2
1
x x
f x
x
− +
=
−
c) ( )
1
ln(3 )f x
x
= − d) ( ) 1/
1 2 x
f x e= +
Ejercicio 5.- Hallar el valor de Rk ∈ de modo que
1
4
x = − sea asíntota de la función
4 5
( )
3
x
f x
kx
−
=
+
. Para el valor de k obtenido hallar las ecuaciones de todas las asíntotas
de f justificando con los cálculos correspondientes.
Ejercicio 6.- De una función cuadrática ( )P x se sabe que lim ( )
x
P x
→+∞
= −∞ y que 2−
y 5 son los ceros de ( )P x . Hallar el conjunto de negatividad de ( )P x .
Ejercicio 7.- Hallar el valor de a , sabiendo que
2
lim .
1
ax
x
x
e
x→∞
+⎛ ⎞
=⎜ ⎟
−⎝ ⎠
a) ( ) ( )2
lim ln 3 1 2ln 5
x
x x
→+∞
+ − −
b) ( ) ( )2 2
1
lim ln 1 ln 4 5
x
x x x
+→
− − + −
Ejercicio 9.- En cada problema, marcar la única opción correcta
a) El
1
0
lim2ln(1 )x
x
x
→
+ es igual a
□ 2 □ 12 □ 1 □
1
3
b) El
6
2
lim 1
x
x x→+∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
es igual a
□ 1− □ 12
e □ 3
e □ 6
e
c) Las ecuaciones de todas las asíntotas de
2
2 6 4
( )
( 3)( 1)
x x
f x
x x
+ +
=
− +
son
□ 3x = □ 1x = − , 2y = □ 1x = − , 0y = □ 3x = , 2y = 3x = , 1y = −
d) La función
2
2 3
( )
5 1
x x
f x
x
+ −
=
−
es positiva en el intervalo
□ ( )2,− +∞ □ (5,7) □ ( ), 3−∞ − □ ( )3,1−
e) El conjunto de negatividad de 2
( ) ln( 3)f x x= − es
□ ( )2,2− □ ( 3, 3)− □ ( )0,1 □ ( ) ( )2, 3 3,2− − ∪
f) f es una función polinómica de grado 3 , (5) 1f = − , (3) 2f = , (7) 5f = ,
( 4) 6f − = − . Entonces puede afirmarse que no hay un cero en el intervalo
□ ( )6, 4− − □( 4,7)− □ ( )0,10 □ ( )4,+∞

30
PRACTICA 5
DERIVADAS
Definición:
Si f es una función y x un punto de su dominio se define la derivada de f en x
como
0
( ) ( )
( ) lim'
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=
cuando este límite existe.
Ejercicio 1.- Usando la definición comprobar las siguientes fórmulas de derivación
a) ( )'mx b m+ = b) 2
( )' 2ax ax= c) ( )
' 1
2
x
x
=
d) 2
'
1 1
x x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
e) ( )
' 1
ln x
x
= f) ( )
'x x
e e=
Ejercicio 2.- Calcular la derivada de las siguientes funciones
a) 1( ) 2 5f x x= + 2 ( ) 3 1f x x= − +
2
3 ( ) 5 2f x x x= + + 2
4 ( ) 3 2f x x x= −
5
1
( )f x x
x
= + 6
1
( ) 4 3f x x
x
= −
b) ( ) 3 2
1 4 7 5 2f x x x x= − + + ( ) 5 4 3 2
2
1 1 1
1
7 3 4
f x x x x x x= + + − + −
( )
3 3
2 4
3 4 2f x x x= + ( ) 4
3 2
4
1
2f x x
x
= +
( ) 1 3
5 2 4f x x x− −
= + ( )6 2 4
1 3 2
7f x
x x x
= + −
c) ( ) ( )( )2
1 2 3 4f x x x x= + − ( ) ( )( )2 2
2 4 2 3 5 2f x x x x x= + − − +
( ) ( )3 2
3
3
4 6f x x x x
x
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )( ) 4
4
5
3 1 2f x x x x
x
⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )( )2
5 3 2 1x
f x x x e= − + ( ) ( )6
3
5 2 4lnf x x x
x
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) 3 3
7
5
2f x x x x
x
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )8 3 2lnx
f x e x= +
( ) 3
9 4 2x
f x e x= + ( )10
1 3
2lnf x x
xx
= + −

31
d) ( )
2
1 3
5
4
x x
f x
x x
+
=
−
( )2
2 1
2 1
x
f x
x
+
=
−
( )3
3 1
4 2
x
f x
x
−
=
+
( )
4
4 2
2 1
x x
f x
x
− +
=
+
( )5
ln
2 1x
x x
f x
xe
+
=
+
( )
3 2
6
2
3ln
xx x
f x e
x x
+
=
−
( )7
3
(ln 2 )
1
x
x
x
f x x e
e x
= + +
+
( )
3
8
2
ln
1
4
x
x x
f x
e
x
=
+
+
Ejercicio 3.- Calcular la derivada de las siguientes funciones
( ) ( )
5
1 2 1f x x= + ( ) ( )
1002
2 3f x x x= − ( ) 2
3 4 1f x x x= + +
( ) ( )
32
4 2 2f x x x
−
= + + ( )5 2
1
1
f x
x
=
−
( ) 36 4
1
f x
x x
=
+
( ) 7
7
x
f x e−
= ( )
2 3
8
x x
f x e +
= ( )
2 3
9
x
x
f x e
+
=
( ) 2 1
10
x
f x e +
= ( ) ( )4
11 ln 2f x x x= + ( ) ( )3
12 ln 2 1f x x= −
( )13
1
ln
1
x
f x
x
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
( ) ( )
32
14 ln 1f x x= + ( )
2
15 2
4 9
x
f x
x x
=
+ +
( ) 2 5
16 3x x
f x e e−
= + ( ) 2 3 1
17
x
f x x e −
= ( )
1
2
18
1x
f x x e
x
= +
( )19
ln x
f x
x
= ( ) ( ) ( )20 2 ln 2 4f x x x= − −
Ejercicio 4.- Calcular la derivada de
( ) ( )
2 3
1 5 1
x
f x x
+
= + ( )
2 4
2
x x
f x x +
= ( ) 3
3
x
f x x=
( )
2
4
xe
f x x
−
= ( )5
1
1
x
f x
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )6 ln
x
f x x=
( ) ln
7
x
f x x= ( ) ( )
2 42
8 3
x
f x x x
+
= − ( ) 2
9 5 x
f x =
Ejercicio 5.- Para las siguientes funciones hallar la ecuación de la recta tangente al
gráfico de f en el punto de abscisa 0x x=
a) 2
( ) 3 2f x x x= − + + , 0 1x = b) ( ) 4 1f x x= + , 0 2x =
c)
3 4
( )
x
f x
x
+
= , 0 4x = d)
2 9
( ) ( 5) x
f x x e −
= − , 0 3x =
e) ( ) ln(3 7)f x x= + , 0 2x = − f) ( )
2
( ) 2
x
f x x= + , 0 1x = −

32
Ejercicio 6.- Sea 2
( ) ln( 2)f x bx= + . Hallar el valor de b para que la recta tangente al
gráfico de f en el punto de abscisa 1x = tenga pendiente igual a
1
2
.
Ejercicio 7.- Dada 2
( ) ln( 60)f x x= − , hallar todos los 0x pertenecientes al dominio de
f tales que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en 0 0( , ( )x f x es igual a
4 .
Ejercicio 8.- Trazar el gráfico de una función continua :(0,10) Rf → que se ajuste a
los datos de la siguiente tabla
x 2 4 6 8
( )f x 1 5 2 1−
( )f x′ 3 0 2− 1
Aplicaciones: Función de Costo Marginal
En Economía la palabra marginal se utiliza para indicar derivada. Por ejemplo, si ( )C x
es la función de costo, el costo marginal es ( )C x′ .
Ejercicio 9.- Una empresa calcula que el costo de producción de x unidades de
cierto artículo de consumo está dado por ( ) 2
200 0,05 0,001C x x x= + + .
a) Hallar el costo y el costo marginal por producir
i) 500 unidades
ii) 1000 unidades
iii)5000 unidades
b) Comparar con los costos por producir una unidad más en cada uno de los casos
anteriores.
Ejercicio 10.- Una empresa encuentra que el costo por producir x litros de un cierto
producto químico está dado por ( )
10
3C x x
x
= + + . Comparar el costo marginal al
producir diez litros con el costo de producir el undécimo litro.
Ejercicio 11.- La demanda de x unidades de cierto artículo de consumo viene dada
por ( ) 12000 2p x x= − . Hallar las funciones de demanda marginal, ingreso total e
ingreso marginal.
Ejercicio 12.- Para las funciones de ingreso total que se dan a continuación hallar el
ingreso marginal, la demanda y la demanda marginal
a) ( ) 2 400R x x x= − b) ( )
3
2
300 2R x x x= −

33
Ejercicio 13.- Una empresa calcula que para vender x unidades de cierta mercancía
el precio por unidad debe ser ( ) 1800 2p x x= − , donde 1 100.x≤ ≤ Suponiendo que el
costo de fabricación de x unidades es ( ) 2
1000 0,01C x x x= + + , hallar
a) La función de ingreso total y de ingreso marginal.
b) La función de ganancia y de ganancia marginal.
Ejercicio 14.- La función de demanda de un producto es
1000
( )
5
p x
x
=
+
.
a) Hallar la función de ingreso marginal y evaluarla en 45x = .
b) ¿Cuál es el ingreso adicional por vender una unidad por encima de 45 unidades?
Ejercicio 15.- Las siguientes funciones representan la función de demanda para cierto
producto, donde p denota el precio por unidad y x las unidades. Encontrar en cada
caso la función de ingreso marginal.
i)
108
( ) 3
2
p x
x
= −
+
ii)
750
( )
50
x
p x
x
+
=
+
Ejercicio 16.- Un fabricante determina que n trabajadores fabricarían un total de x
unidades de un producto por día, donde
2
2
10
( )
19
n
x n
n
=
+
. Si la ecuación de demanda
para el producto es ( )
900
9
p x
x
=
+
, determinar el ingreso marginal cuando 9n = .
Ejercicio 17.- Cuando una empresa vendí a cierta mercancía a 50 pesos por unidad,
había una demanda de 1000 unidades a la semana. Después que el precio aumentó
a 70 pesos, la demanda disminuyó a 800 unidades por semana. Suponiendo que la
función de demanda p es lineal, encontrar la función de ingreso marginal.
Aplicaciones: Elasticidad de la Demanda
Si ( )p q= D es la función de demanda de un producto, se define el coeficiente de
elasticidad η como
( )
( )
q
q q
η ′
=
D
D
.
Se dice que la demanda es
i) elástica, si 1η >
ii) unitaria, si 1η =
iii) inelástica, si 1η <

34
Ejercicio 18.- Calcular la elasticidad de la demanda en los valores indicados, y
determinar si la misma es elástica, unitaria, o inelástica.
a) ( ) 100 5000p x x= = − +D , 10x =
b) 2
1000
( )p x
x
= =D , 19x =
c) /100
( ) 150 x
p x e−
= =D , 100x =
Ejercicio 19.- La función de demanda para el producto de un fabricante es
2
200
6000 10
p
x
=
+
.
a) Calcular la elasticidad de la demanda cuando se producen 20 unidades.
b) Decidir si la misma es elástica, inelástica o unitaria.
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Hallar los valores de a y b para que 2y x= sea la recta tangente al
gráfico de 2
( )f x x ax b= + + en el punto ( )2,4 .
Ejercicio 2.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de ( )f x en el punto de
abscisa 0x , para
a) ( ) ln(6 6)f x x= − , en 0 3x = b) 2 6 2
( ) 6 2x
f x e x−
= + − , en 0 9x =
Ejercicio 3.- Hallar para qué valores de 0x la recta de ecuación 5 12y x= + es
tangente al gráfico de ( ) 3
7 4f x x x= − − en el punto de abscisa 0x x= .
Ejercicio 4.- Las siguientes funciones son funciones de costo de un producto. Hallar la
función de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de 0x .
i) ( ) 700
7000
x
C x e= , 0 350x = ; 0 700x =
ii) ( )
2 6
800
850 4000
x
C x e
+
= + , 0 97x = ; 0 197x =
Ejercicio 5.- La función de demanda de cierto producto es
1
( )
3 100
p x
x
= =
+
D .
Calcular el coeficiente de elasticidad para 100x = , y decidir si para este valor la
demanda es elástica, inelástica o unitaria.
Ejercicio 6.- Si ( ) 5 2500 4q q q= −R es la función de ingreso total cuando hay una
demanda de q unidades de cierto producto, hallar la función de ingreso marginal.

35
Ejercicio 7.- La función de oferta de cierto producto es
2
2
( )
3 4
x
p x
x
= =
+
O . Hallar la
función de oferta marginal.
Ejercicio 8.- La función de demanda de cierto artículo viene dada por
( ) 100 0,4p q q= = −D donde p es el precio por unidad y q la cantidad demandada.
Hallar q para que el ingreso marginal sea igual a 20 .
Ejercicio 9.- Marcar la única opción correcta.
a) Si ( ) 3 5f x x= + y
1
( )
2
g x
x
=
+
, entonces ( ) ( )'g f x vale
□
3
3 5x +
□
3
3 7x +
□ 2
3
(3 7)x
−
+
□3ln(3 7)x +
b) El coeficiente de elasticidad de la demanda 1D es 1 5η = − y el coeficiente de
elasticidad de la demanda 2D es 2 0,3η = − . Entonces
□ 1D es elástica y 2D es elástica
□ 1D es elástica y 2D es inelástica
□ 1D es inelástica y 2D es elástica
□ 1D es inelástica y 2D es inelástica
c) Si ( ) ( )
2
2f x a bx= + + ; ( )0 5f = y ( )
1
0
2
f =′ entonces
□ 1a = ,
1
8
b = □ 3a = ,
1
4
b = □ 3a = ,
1
8
b = □ 1a = ,
1
4
b =
d) La derivada de ( ) x
f x x−
= es ( )f x =′
□ ( )1 lnx
x x−
+ □ 1x
xx −
− □ ( )1 lnx
x x−
− + □ x
x−
e) La pendiente de la recta tangente al gráfico de ( ) 2
ln( 4)f x x= − en el punto de
abscisa 4x = es igual a
□
2
3
□
1
12
□
1
8
□0

36
PRACTICA 6
ESTUDIO DE FUNCIONES
Consecuencias del Teorema del Valor Medio (TVM)
Teorema
Si f es continua en un intervalo cerrado [ , ]a b , derivable en el abierto ( , )a b y
( )' 0f x > en todo el abierto ( , )a b , entonces f es creciente sobre todo el cerrado
[ , ]a b .
Teorema
( )' 0f x < en todo el intervalo abierto ( , )a b , entonces f es decreciente sobre todo el
intervalo cerrado [ , ]a b .
Teorema
( )' 0f x = en todo el intervalo abierto ( , )a b , entonces f es constante sobre todo el
intervalo cerrado [ , ]a b .
Ejercicio 1.- Dados los siguientes gráficos de funciones determinar
a) En qué puntos no existe la derivada de f .
b) El conjunto ( ){ }/ ' 0x f x∈ >
c) El conjunto ( ){ }/ ' 0x f x∈ <
d) El conjunto ( ){ }/ ' 0x f x∈ =
e) Los máximos y mínimos de f .
i) ii) iii)
y
x0-1 1
y
x0-2 2
3
y
x0-2 2

37
iv) v) vi)
y
0 x
y
x0
3
y
x
-2
2
Ejercicio 2.- Para las siguientes funciones, hallar los intervalos de crecimiento, de
decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y hacer un gráfico aproximado
1( ) 2 3f x x= + 2 ( ) 5 2f x x= − + 2
3 ( ) 4f x x x= −
2
4 ( ) 3 2f x x x= + + 3 2
5 ( ) 3 1f x x x= + − 3 2
6 ( ) 2 3 2 1f x x x x= + − +
4 3 2
7 ( ) 8 18 8f x x x x= + + − 6 4
8 ( ) 2 27f x x x= − ( )
23
9 ( ) 6 1f x x x= −
Ejercicio 3.- En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio de f , los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Hacer un gráfico
aproximado de f .
1( ) x
f x xe−
= 5
2 ( ) 2 x
f x xe= 2 2
3 ( ) x
f x x e−
=
2
4 ( ) 3 x
f x xe= 5 ( ) lnf x x x= 6 ( )
ln
x
f x
x
=
( )2
7 ( ) ln 3f x x x= ( )2
8 ( ) lnf x x x= ( ) ( )9 ( ) 2 ln 2 4f x x x= + +
Ejercicio 4.- En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio de f , los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y las asíntotas
verticales y horizontales. Con los datos obtenidos hacer un gráfico aproximado de f .
3
1
48
( )f x x
x
= +
( )
2 2
4
( ) 3 1
3 1
f x x
x
= + −
− +
( )
2
3 2
3 ( ) 8f x x x= −
2
4 ( )
5
x
f x
x
=
+
2
5 ( ) x
f x e−
=
2
6 ( )
1
x
f x
x
=
−
2
7 2
1
( )
4
x
f x
x
−
=
−
8 ( ) ln(3 4)f x x= + 2
9 ( ) ln( 9)f x x= −
Ejercicio 5.- Trazar el gráfico de una función f que satisfaga simultáneamente las
siguientes condiciones y decir para qué puntos f alcanza extremos relativos y decidir
si son máximos o mínimos.

38
a)
1) ( )' 0f x > en (3,8) .
2) ( )' 0f x < en ( ) ( ),1 1,3 (8, )−∞ ∪ ∪ +∞ .
3) ( ) ( )' 3 ' 8 0f f= = .
4) f tiene una asíntota vertical en 1x = .
5) La recta 4y = − es asíntota horizontal en +∞ .
6) La recta 2y = es asíntota horizontal en −∞ .
b)
1) { }Dom( ) 0f = −
2) ( )' 0f x > en ( ) ( )2,0 2,− ∪ +∞ .
3) ( )' 0f x < en ( ) ( ), 2 0,2−∞ − ∪ .
4) ( )' 0f x = en 2x = − y en 2x = .
5) f tiene una asíntota vertical en 0x = .
6) f no tiene asíntotas horizontales.
Ejercicio 6.- Probar que la ecuación
a) 3
1 2 ln(3 1)x x− − + 0= , ( 0x ≥ ) tiene exactamente una solución positiva.
b)
24
3 2 0x
e−
− + = tiene exactamente dos raíces en el intervalo [ ]1,1− .
Ejercicio 7.- Estudiar la función dada en el intervalo indicado: Hallar los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos y absolutos
a) 2
( ) 6f x x x= − + en [ ]1,4
b)
2
3
( )f x x= en [ ]1,8−

39
c)
5
3 2
( ) ( 1)f x x x= − en [ ]1,1−
d) 3 2
( ) 6 2f x x x= − + en [ ]3,2−
e) 2
4 12 , 5 2
( )
, 2 1
x x
f x
x x
+ − ≤ ≤ −⎧
= ⎨
− < ≤⎩
en [ ]5,1−
Ejercicio 8.- Sea [ ]: 0,6f → una función derivable tal que el gráfico de su derivada
( )'f x es el que se muestra
51
x
y
0 6
y = f ' (x)
a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
b) Ubicar los máximos y mínimos locales de f .
Ejercicio 9.- Una empresa calcula que para vender x unidades de cierta mercancía
el precio por unidad debe ser ( ) 1800 2p x x= − donde 1 100x≤ ≤ . Suponiendo que el
costo de fabricación de x unidades es 2
( ) 100 0,01C x x x= + + , hallar
a) La función de ingreso total.
b) La función de ganancia.
c) El número de unidades para el cual la ganancia es máxima.
d) La ganancia máxima.
Ejercicio 10.- La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es
( ) 400 2p x x= − y la función de costo es 2
( ) 0,2 4 400C x x x= + + , donde x es el
número de unidades.

40
a) Determinar el nivel de producción en el que se maximizan las ganancias.
b) Determinar el precio en el que ocurren las ganancias máximas.
c) Determinar las ganancias máximas.
d) Si el gobierno fija un impuesto de $22 por unidad, ¿cuál es el nuevo precio para la
maximización de las ganancias?
e) Si el gobierno impone una cuota por licencia de $100 al fabricante, como un
gravamen fijo independiente de cuál sea la producción, demostrar que el precio y la
producción que maximizan las ganancias no varían. Verificar que las ganancias
disminuirán.
Ejercicio 11.- Un fabricante planea colocar un cerco en un á rea rectangular de
almacenamiento de 2
10800m adyacente a un edificio, utilizando a éste como uno de
los lados del á rea que se debe cercar. La reja que corre paralela al edificio queda
frente a una carretera y costará $3 por cada metro instalado, en tanto que la reja para
los otros dos lados cuesta $2 por metro instalado.
a) Encontrar la cantidad de cada tipo de reja para que los costos totales sean mínimos.
b) ¿Cuál es el costo mínimo?
Ejercicio 12.- Para las siguientes funciones, hallar los intervalos de concavidad, de
convexidad y los puntos de inflexión
1( ) 2 3f x x= + 2
2 ( ) 4f x x x= − 2
3 ( ) 4f x x x= − +
3 2
4 ( ) 6 4 1f x x x x= − + − 4 3 2
5 ( ) 2 12 23 6f x x x x x= − + − + 5
6 ( )
3
f x x=
7
ln
( )
x
f x
x
= 2
8 ( ) x
f x xe=
2
9 ( )
1
x
f x
x
=
+
Ejercicio 13.- Trazar el gráfico de una función continua f que satisfaga
simultáneamente las siguientes condiciones
a) 1) ( 2) 2f − =
2) ( )' 2 1f − =
3) ( ){ }/ ' 0x f x∈ > =

41
4) ( ) ( ){ / '' 0} , 2x f x∈ < = −∞ −
5) ( ) ( ){ / '' 0} 2,x f x∈ > = − +∞
b) 1) (3) 2f =
2) ( ){ } ( )/ ' 0 ,3x f x∈ < = −∞
3) ( ){ }/ ' 0 (3, )x f x∈ > = +∞
4) ( ) { }{ / ' 0} 3x f x∈ < = −
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Hallar a∈ para que el valor mínimo de la función ( ) 2
2f x x x a= + +
sea igual a 8 .
Ejercicio 2.- Hallar a y b para que ( ) 2
f x x ax b= + + tenga un mínimo en ( )3, 1− .
Ejercicio 3.- Hallar a , b , c y d para que la función ( ) 3 2
f x ax bx cx d= + + + tenga
máximo en ( )2, 4− − y mínimo en ( )1, 6− − .
Ejercicio 4.- Sea :[0, )f +∞ → continua en [0, )+∞ y derivable en ( )0,+∞ tal que
el gráfico de su derivada ( ): 0, Rf +∞ →′ es
x
y = f ' ( x )
y
3 6 80
a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
b) Decidir, justificando la respuesta, si los puntos 0x = , 3x = , 6x = y 8x = son
extremos locales de f .
Ejercicio 5.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los

42
extremos relativos de las funciones
a) ( )
( )
2
4 3
3 4
x
f x
x
−
=
−
b) ( ) 2
3
8
f x
x
=
−
Ejercicio 6.- La función de ingreso por las ventas de q unidades de un producto es
( ) 6 600 2q q q= −R
a) Hallar qué cantidad hay que vender para que el ingreso sea máximo.
b) Decir para qué valores de q el ingreso es creciente.
Ejercicio 7.-
a) Hallar el valor de a∈ para que la función ( ) ( )1
2 1a x
f x e x+
= + + tenga un extremo
relativo en 0 1x = − .
b) Para el valor hallado de a , decidir si este extremo es un máximo o un mínimo.
Justificar.
Ejercicio 8.- La ecuación de demanda correspondiente a cierto producto es
( ) 465 2p q q= = −D y la función de costo es ( ) 2
0,3 5 400p q q q= = + +C , siendo p el
precio y q la cantidad de unidades. Determinar el precio para el cual las ganancias por
ventas de ese producto son máximas.
Ejercicio 9.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
extremos relativos, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de
inflexión de ( ) 3 2
4 .x
f x xe −
=
Ejercicio 10.- El gráfico dado corresponde a '( )f x , la función derivada de ( )f x .
y
x
-1 3
y = f ' ( x )
a) Dar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento y las abscisas de los extremos
relativos de ( )f x .
b) Decir si dichos extremos son máximos o mínimos.

43
Ejercicio 11.- Marcar la única opción correcta
a) El máximo absoluto de ( ) 3
3f x x x= − para [0,2]x∈ se alcanza en x =
? 1 ? 0 ? 2 ? 1−
b) La función ( )
2x
f x e−
= es cóncava hacia arriba en el intervalo
( ) ( )
1
? 0,1 ? ( 2, 1) ? 1,0 ? 0,
2
⎛ ⎞
− − − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
c) La ganancia marginal es ( ) ( )2
100 x
x x e′
= −G . Entonces la ganancia es decreciente
en el intervalo
( ) ( ) ( )? 0,10 ? (5,20) ? 10,30 ? 7,40
d) La cantidad de raíces de la ecuación 5 3
15 4 0x x− + = es
? 3 ? 1 ? 2 ? 0
e) Si ( ) 3x
f x xe= entonces ( )f x es creciente en
( )
1 1
? , ? ( , 1) ? , ? 1,
3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−∞ − −∞ − − +∞ − +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f) La función derivada de ( )f x es
2( 1)( 1)
( )
x x
f x
x
− +
=′ . Entonces ( )f x tiene
? Un máximo en 1 y un máximo en 1 ? Un máximo en 1 y un mínimo en 1
? Un mínimo en 1 y un máximo en 1 ? Un mínimo en 1 y un mínimo en 1
− −
− −
g) La recta tangente al gráfico de ( )f x en 0 2x = es 3 1y x= − , entonces ( )2f es
( )? 3 ? 1 ? 5 ? Los datos no alcanzan para calcular 2f−

44
PRACTICA 7
REGLA DE L'HÔPITAL
a)
2
3 23
2 5 3
lim
2 2 3x
x x
x x x→
− −
− − −
b)
3 2
3 22
3 4
lim
7 16 12x
x x
x x x→
− +
− + −
c)
3 2
3 22
3 4
lim
2 8x
x x
x x x→
− +
+ − −
d) 24
2 1 1
lim
5 4x
x x
x x→
+ − +
− +
e)
( )
22
5 2 2
lim
2
3
x
x
x→−
+ +
+
f)
2
20
2 1
lim
x
x
e x
x→
− −
g)
1
ln
lim
1x
x
x→ −
h) 11
ln 1
lim
2xx
x x
e x−→
− +
+ −
a) 3
0
ln
lim
x
x
x+→
b) 2
lim
2 4
x
x
e
x x→+∞ + +
c)
ln
lim xx
x
e→+∞
d)
2 4 2
2
6
lim
5 10
x
x
xe x
x
−
→
+ −
−
e)
0
lim
x→
( )ln 3 1
5 4 2
x
x
+
+ −
f)
( )2 2
2
ln 1
lim
1x
x x
x x→∞
− +
+ +
Ejercicio 3.- Determinar si la función { }: 0f − → dada por ( )
( )2
2
ln 4 1
3
x
f x
x
+
=
tiene una asíntota vertical en 0x = .
Ejercicio 4.- Calcular a∈ de modo que
2 3
30
3
lim 3
x
x
x x xe
ax
−
→
− −
=
Ejercicio 5.- Hallar las asíntotas de ( )
( )
5
ln 4
x
f x
x
−
=
−
( )4x >
Ejercicio 6.- Hallar a∈ para que f sea continua en 0 0x =
( )2
ln 5 2 1
, si 0( ) 4
, si 0
x x
xf x x
a x
⎧ + +
⎪ ≠= ⎨
⎪ =⎩

45
EJERCICIOS SURTIDOS
2
2 42
ln( 3 3)
lim
1xx
x x
e −→
− +
−
( )0
4 4
lim
ln 1 2
x
x
e x
x→
+ −
+
Ejercicio 3.- Calcular ( )' 5f si ( )
5
3 2
, si 5
5
2 , si 5
x
e x
x
f x x
x
−
⎧ − +
≠⎪
= −⎨
⎪ =⎩
Ejercicio 4.- Sea :f → definida como ( )
( )
2
1
, si 0
, si 0
ax
a e
xf x x
a x
⎧ −
⎪ ≠= ⎨
⎪ =⎩
Hallar a∈ para que ( )' 0 4f = −
Ejercicio 5.- Hallar Ra∈ de manera que ( )
3 2 3
, si 0
7 , si 0
ax
e x
x
f x x
x
⎧ + −
≠⎪
= ⎨
⎪ =⎩
sea continua
en 0x = .
Ejercicio 6.- Hallar todos los Ra∈ que verifican
2 1 3
21
3 2 2
lim 13
1
a a
x
x x x
x
−
→
+ − −
=
−
Ejercicio 7.- Estudiar las siguientes funciones: Hallar dominio, ecuaciones de las
asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos y mínimos relativos,
intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y hacer un gráfico
aproximado
( )1
x
e
f x
x
−
=
( )2
3 9
x
x
f x
e
−
=

46
Ejercicio 8.- Hallar dominio, ecuaciones de las asíntotas, intervalos de crecimiento y
de decrecimiento, máximos y mínimos relativos y hacer un gráfico aproximado de
h f g= donde ( ) lnf x x= y ( ) 2
1g x x= − .
a) El
( )
0
2ln 1 6
lim
x
x
x→
+
es igual a
□ 3 □6 □1 □
1
2
b) El
5
20
5 1
lim
4
x
x
e x
x→
− −
−
es igual a
□0 □
25
2
□
5
2
□
1
2
c) Las ecuaciones de todas las asíntotas de ( )
( )( )
2
3 9 6
5 1
x x
f x
x x
+ +
=
− +
son
□ 5x = ; 1x = − □ 5x = ; 1x = − ; 3y =
□ 1x = − ; 0y = □ 5x = ; 3y =

47
PRACTICA 8
INTEGRALES
Ejercicio 1.-
a) Hallar una función ( )g x tal que
i) ( )' 5g x = ii) ( )' 4g x x= iii) ( ) 2
' 2g x x=
iv) ( ) 2
' 5 4 2g x x x= − + v) ( )' n
g x x= vi) ( )
1
33
'g x x x= +
vii) ( )
1
'
2
g x
x
= viii) ( )' n
g x x= ix) ( )' x
g x e=
b) ¿Es única la respuesta en cada caso?
Ejercicio 2.- Hallar g sabiendo que
a) ( )' 5g x = y ( )0 1g = b) ( )' 4g x x= y ( )2 0g − =
c) ( ) 2
' 5 4 2g x x x= − + y ( )1 2g = − d) ( )' x
g x e= y ( )0 5g =
Ejercicio 3.- Calcular las siguientes integrales indefinidas
a) 8dx∫ b) 3x dx∫ c) 4 3x dx+∫
d) 2
3 2 1x x dx+ +∫ e) 4
x dx∫ f) 5
3x dx∫
g) 3 2
5 7 3 2x x x dx− + −∫ h)
11
32
3x x dx
−
+∫ i) 3
2
x dx
x
−∫
j) 2 3
3 2
dx
x x
+∫ k) 2 21
( )x dx
x
+∫ l)
2
8 3 x
x e dx
x
− +∫
Ejercicio 4.- Aplicar el método de sustitución al cálculo de la siguientes integrales
indefinidas
a) 7
(3 1)x dx+∫ b)
( )
3
1
2 4
dx
x− +∫ c)
1
5 3
dx
x +∫
d) 4 2x dx+∫ e) 3
1 x dx−∫ f)
1
3 4
dx
x +∫
g) 2
1 2
x
dx
x+∫ h) ( )
1
22
3x x dx+∫ i)
2
32
( 1)( 2 5)x x x dx
−
+ + +∫
j) ( ) 2
1 2x x x dx+ +∫ k)
2 x
dx
x
+
∫ l)
3 1
3 1
x
e
dx
x
+
+∫
m)
32 1x
x e dx− +
∫ n) 1
lnx x dx−
∫ o)
2
ln x
dx
x∫

48
Ejercicio 5.- Aplicar el método de integración por partes al cálculo de la
siguientes integrales indefinidas
a) ( )
1
22 1x x dx+∫ b) 5
3 (2 1)x x dx−
+∫ c) 3
2 x
xe dx∫
d) ( )2 ln 3x x dx∫ e)
3
52
( 4)x x dx+∫ f) 3
2
5 1
x
dx
x −∫
g) ( 2)lnx x dx+∫ h) 2
( 1) x
x e dx−
+∫ i) ( )
2
2 1 1x x dx− +∫
j) ( )2
3 2 lnx x x dx−∫ k) 2
(2 1)lnx x dx−∫ l) ( )1
lnx x dx−
∫
Ejercicio 6.- Aplicar el método de fracciones simples al cálculo de la siguientes
integrales indefinidas
a)
( )
1
2
dx
x x −∫ b)
( )( )
2 1
2 1
x
dx
x x
−
+ −∫ c) 2
3
9
x
dx
x −∫
d) 2
2
5 6
dx
x x− +∫ e) 2
4
3 4
x
dx
x x
−
+ −∫ f) 2
2
x
dx
x x+ −∫
a) ( )
4
1x x dx−∫ b) 5
2 1x dx+∫ c) ( )ln 2 1x dx+∫
d) ln 2x dx+∫ e)
( ) ( )3 2 ln 3 2
dx
x x+ +∫ f)
( )
4
3
3 2
x
dx
x −
∫
g)
( )
52
3
x
x
e
dx
e+
∫ h)
( )( )2 3
x
x x
e
dx
e e+ +∫ i)
( )( )
1
ln 1 ln
dx
x x x+∫
j) 2
6
1
x
dx
x +∫ k)
1 2
8
x
dx
x
+
∫ l)
2
3
9 15
5 1
x
dx
x x
+
+ +
∫
Ejercicio 8.- Si la función de ingreso marginal es ( ) 2
' 2000 20 3R q q q= − −
a) Hallar la función de ingreso total ( )R q .
b) Hallar la función de demanda.
Ejercicio 9.- En la fabricación de un producto los costos fijos por semana son
$4000 . La función de costos marginales es ( ) ( )5 2
' 10 0,02 25 0,2C q q q−
= − + ,
donde ( )C q es el costo total de fabricar q kilos de un producto por semana.
Calcular el costo de fabricar 10 toneladas en una semana.
Ejercicio 10.- El único fabricante de un producto ha determinado que la función
de ingreso marginal es ( ) 2
' 100 3R x x= − . Calcular la función de demanda.

49
Ejercicio 11.- El costo marginal de producir x unidades de una cierta mercancía
es ( ) 2
'
2 1
x
C x
x
=
+
, y el costo de producir dos unidades es de $2 . ¿Cuánto
cuesta producir 12 unidades?
Ejercicio 12.- La función de demanda marginal es ( )
( )
3
2
2
3
600
'
2 500
x
D x
x
−
=
+
. Hallar
la función de demanda, sabiendo que cuando el precio es de $50 se demandan
10 toneladas.
Ejercicio 13.- La función de demanda marginal de cierto producto es
( )
1
'
4 1200 2
D x
x
−
=
−
. Calcular la función de ingreso total sabiendo que si se
demandan 400 unidades, el ingreso total es $2800 .
Ejercicio 14.- Calcular las siguientes integrales definidas
a)
2
3
2 dx
−
−∫ b)
1
0
2 1x dx+∫ c)
2
2
2
4x dx
−
− +∫
d)
3
3 2
1
2 4x x x dx
−
− − +∫ e)
4
0
2 1x dx+∫ f)
2
1
1
3 2
dx
x −∫
g)
0
3
1x x dx
−
−∫ h)
2
2
0
6 1x x dx+∫ i)
1
2 3
1
4 6x x
e e dx−
−
+∫
j)
12
0
4 lnx x dx∫ k) ( )
2
3
2 1 x
x e dx−
−
− +∫ l)
4
2
1
1
dx
x x+∫
Ejercicio 15.- La función de costo marginal de un fabricante es ( )' 0,6 2C q q= + .
Si la producción es de 80q = unidades por semana, ¿cuánto costará
incrementar la producción a 100 unidades por semana?
Ejercicio 16.- La función de ingreso marginal de un fabricante es ( )
1000
'
10
C x
x
= .
Si R está dado en pesos, obtener el cambio que se produce en los ingresos
totales del fabricante si se aumenta la producción de 40 a 90 unidades.
Ejercicio 17.-
a) Sabiendo que ( )
4
2
2 5f x dx
−
+ =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ calcular ( )
4
2
f x dx
−∫ .
b) Sabiendo que ( )
3
1
4f x dx =∫ , calcular ( )
3
1
5 6f x dx−⎡ ⎤⎣ ⎦∫ .

50
Ejercicio 18.- Establecer mediante integrales el á rea de las regiones
sombreadas
X
f
g
i)
Y
X
(-2,2)
0
f
g
(4,3)
f
g
0
(4,3)
0 X
f
ii)
50
a b c
iii)
iv)
Y
X
Y
Y
f(x)=x
X
Y
0 1 2
2 Y
X
b-b
v) vi)
a
Ejercicio 19.- Calcular el á rea de la región encerrada por las curvas (sug.: hacer
el gráfico)
a) 2
1y x= − ; 1y x= + b) 2
1y x= − ; 1y x= +
c) 3
y x= ; y x= d)
3
y x= ; 0x = ; 1y =
e) x
y e= ; x
y e−
= ; 1x = ; 1x = − f) y x= ; 2y x= − ; 0x =
g) y x= ; 2y x= − ; 0y = h) 3
4y x x= − , y el eje x
Ejercicio 20.- Hallar el á rea de la región comprendida entre la curva 3
4y x x= −
y la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa 1x = −
Ejercicio 21.- Decidir sobre la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
a) El á rea de la región del plano limitada por el gráfico de ( ) 2f x x= − , la recta
4x = y el eje y es ( )
4
0
2x dx−∫ .
b) El á rea de la región del plano limitada por el gráfico de ( ) 2
1f x x= − y el eje
x para 1 3x− ≤ ≤ es
1 3
2 2
1 1
1 1x dx x dx
−
− − + −∫ ∫ .
c) El área encerrada por las curvas 2
4y x= − + e 2y x= − + es ( )
2
2
1
2x x dx
−
− −∫ .

51
Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor o fabricante
Definición:
El excedente del consumidor es el á rea comprendida entre la curva de
demanda ( )p D q= y la recta 0p p= ( ( )0 0p D q= = precio del mercado):
( )( )
0
0
0
q
EC D q p dq= −∫
Definición:
El excedente del productor o fabricante es el á rea comprendida entre la curva
de oferta ( )p O q= y la recta 0p p= ( ( )0 0p O q= precio del mercado):
( )( )
0
0
0
q
EF p O q dq= −∫
Ejercicio 22.- La función de demanda para un producto es ( ) 100 0,05p D q q= = −
, p es el precio por unidad para una demanda de q unidades. La función de
oferta es ( ) 10 0,1p O q q= = + . Determinar
a) El punto de equilibrio.
b) El excedente de los consumidores cuando el mercado está en equilibrio.
c) El excedente de los fabricantes cuando el mercado está en equilibrio.
Ejercicio 23.- La función de demanda para un producto es ( )
12
1
p D x
x
= =
+
. La
función de oferta es ( ) 2p O x x= = + . Calcular el excedente del consumidor y del
productor cuando el mercado está en equilibrio.
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Calcular 2
(2 3)ln( 3 1)x x x dx+ + +∫
Ejercicio 2.- Calcular el excedente del consumidor sabiendo que la función de
demanda es ( ) ( )
2
34500 1 1200p D q q
−
= = + + ( q indica cantidad de unidades, y
p su precio unitario) y que el precio de mercado es $1700 .

52
Ejercicio 3.- Calcular el á rea de la región encerrada por la gráfica de
4
1
y
x
=
−
y
la recta
7
2
x
y
− +
= .
Ejercicio 4.- La demanda marginal de cierto producto es ( ) 2
'
10000
q
D q
q
−
=
−
.
Hallar la función de demanda sabiendo que cuando se demandan 60 unidades,
el precio unitario es $150 .
Ejercicio 5.- Hallar la función de costo sabiendo que el costo marginal es
( ) 2
8
'
9
q
C q
q
=
+
y que cuando se producen 4 unidades, el costo unitario es $45
.
a)
( )( )1 2
dx
x x+ −
∫ b)
2
3
2 49
x
dx
x +
∫
Ejercicio 7.- Hallar el á rea de la región encerrada por los gráficos de las
funciones 3
y x= e 16y x= .
Ejercicio 8.- Sea R la región encerrada por los gráficos de 2 1y x= + ; 0y =
; 24x = . Hallar Ra∈ para que la recta x a= divida a R en dos regiones de
igual á rea.
a)
( )( )
ln
1 ln 2 ln
x dx
x x x+ +∫ b)
( )
2
1
6
x x
x x
e e
dx
e e
−
+ −∫
Ejercicio 10.- El costo marginal de producir x unidades de cierta mercancía es
( )
1
5 4
x
x
=
+
C' , y el costo de producir una unidad es de $0,40 . Encontrar la
función de costo, y lo que cuesta producir 9 unidades.

53
Ejercicio 11.- Hallar el excedente del consumidor de un artículo cuya función de
demanda es ( ) 2
15 45
6 5
q
p q
q q
+
=
+ +
, donde q indica miles de unidades, sabiendo
que en el mercado mil unidades cuestan $5 .
Ejercicio 12.- La función de demanda marginal de un producto es
( )
160
8 36
q
q
=
+
D . Hallar el excedente de los consumidores sabiendo que el precio
de equilibrio es $16 .
a)
( )( )
1
2 4
x
dx
x x
−
+ −∫ b)
( )( )
3
2 2
2 1
x dx
x x+ +∫
a) Si en la integral x
e dx∫ se hace la sustitución u x= , se obtiene
□ u
e du∫ □
u
e
du
u∫ □
1
2
u
e
du
u∫ □ 2 u
ue du∫
b) La función de ingreso marginal de un fabricante es ( ) 2
30000
q
q
=R' , entonces el
cambio que se produce en los ingresos totales cuando aumenta la producción de
100 a 500 unidades es
□ 240 □80 □aproximadamente 96566 □400
c) El á rea encerrada por las curvas 2
9y x= − e 2
9y x= − + es
□
0 3
2 2
3 0
9 9x dx x dx
−
− + − +∫ ∫ □
3 3
2 2
3 3
9 9x dx x dx
− −
− + − −∫ ∫
□
0 3
2 2
3 0
9 9x dx x dx
−
− − − +∫ ∫ □
3 3
2 2
3 3
9 9x dx x dx
− −
− + −∫ ∫
d) Si ( )
3
0
2 5 10f x dx+ =∫ , entonces ( )
3
0
f x dx∫ es igual a
□0 □ 10− □
5
2
□
5
2
−
e) Si la región encerrada por las rectas 2 7y x= + ; 0y = ; 0x = ; 5x = queda
dividida por la recta x a= en dos regiones de igual á rea, entonces a vale
□3 □ 2,5 □ 3,5 □ 10−

54
f) El ingreso marginal por las ventas de determinado producto está dado por
( ) 2 2
2 3
'
3
q
R q
q q e
+
=
+ +
. Si se sabe que el ingreso total es nulo cuando no hay ventas,
entonces el ingreso total ( )R q es igual a
□ ( )ln 2 3q + □ ( )ln 2 3 ln3q + − □ ( )2 2
ln 3q q e+ + □ ( )2 2
ln 3 2q q e+ + −
g) La función de demanda de un producto es ( ) 125 5p D q q= = − ( q indica la
cantidad de unidades) y el punto de equilibrio es ( )49 unidades,$90 . Entonces el
excedente del consumidor es igual a
□
49
0
125 5 qdq−∫ □
90
0
76 5 q dq−∫
□
49
0
5 35q dq−∫ □
49
0
35 5 q dq−∫
h) El área de la región encerrada por las curvas 2y x= ; 6y = ; 0x = es
□
9
0
6 2 x dx−∫ □
6
0
2 x dx∫ ,
□
3
0
6 2 x dx−∫ □
9
0
2 x dx∫

55
PRACTICA 9
SUCESIONES
Ejercicio 1.- Para las siguientes sucesiones, escribir el término 35
a)
1 2 3 4
, , , ,
2 3 4 5
b)
2 3 4 5
, , , ,
3 4 5 6
c) 2, 4, 6, 8,
d) 1,0, 1,1,0 1,− −
e) 1,5,9,13,17,
f)
2 2 2 2
2, , , , ,
3 9 27 81
Ejercicio 2.- Escribir los cinco primeros términos de
a)
2
3
2 1
n
n
a
n
−
=
+
b)
!
n
n
n
a
n
=
c) 1na = ; 1 4n na a+ = + , 1n ≥
d) 1 2a = ; 1
3
n
n
a
a + = , 1n ≥
Ejercicio 3.- Escribir el término general o término enésimo de las sucesiones
a)
1 2 3 4
, , , ,
2 3 4 5
b)
2 3 4 5
, , , ,
3 4 5 6
c) 2, 4, 6, 8,
d) 1na = ; 1 4n na a+ = + , 1n ≥
e) 1 2a = ; 1
3
n
n
a
a + = , 1n ≥

56
Progresiones aritméticas
Una sucesión 1 2, , , ,na a a se llama progresión aritmética si cada término se obtiene
sumándole al anterior una misma cantidad fija d llamada diferencia. Es decir
2 1a a d= +
3 2a a d= +
1n na a d+ = +
El término general de una progresión aritmética es ( )1 1na a n d= + −
Ejercicio 4.- Decidir cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas
a) 3,7,11,15,19,
b) 25, 20, 15, 10, 5,− − − − −
c)
4 5 6 7 8
, , , , ,
4 4 4 4 4
d)
4 4 4 4 4
, , , , ,
4 5 6 7 8
e) 1 1a = , 1n na a nd+ = +
Ejercicio 5.- El alquiler de una casa de veraneo cuesta: $120 el primer día, y $75
los restantes días.
a) ¿Cuál es el precio de n días de alquiler?
b) Si se pagaron $1845 , ¿de cuántos días fue el alquiler?
Ejercicio 6.- En un contrato, la penalización por demora en el cumplimiento del mismo
por alguna de las partes va en progresión aritmética, de $100 si la demora es de un
día, a $800 si la demora es de 15 días. ¿Cuál es la penalización por 2 días de
demora?
Progresiones geométricas
Una sucesión 1 2, , , ,na a a se llama progresión geométrica si cada término se
obtiene multiplicando el anterior por un número fijo r llamado razón. Es decir:
2 1a a r= , 3 2a a r= , , 1n na a r+ = ,
El término general de una progresión geométrica es 1
1
n
na a r −
=

57
Ejercicio 7.- Decidir cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas
a) 2,4,8,16,32,…
b) 2000,200,20,2,0,2,…
c) 3,6,12,24,42,…
d)
5 5 5 5 5
, , , , ,
3 9 27 81 243
…
e)
5 5 5 5 5
, , , , ,
3 9 27 81 243
− − …
f)
1 1 1 1
1, , , , ,
2 3 4 5
g) 3,6,9,12,15,
h) 1 1a = , 1 2n
n na a+ =
Ejercicio 8.- En una progresión geométrica 1 5a = , 4 135a = . Calcular el término
general na .
Ejercicio 9.- Se toma una hoja de papel de 30 cm de alto por 20 cm de ancho y
0,1mm de espesor.
a) Calcular el á rea de la hoja.
b) Se dobla la hoja por la mitad, ¿Cuál es el á rea y el espesor?
c) Se vuelve a doblar...Si se pudiera doblar 50 veces (hacer la prueba de doblarla más
de 8 veces), ¿con cuál de las siguientes dimensiones sería comparable el espesor
obtenido?
? Grosor de una guía telefónica ( 10 cm )
? Altura de una habitación ( 3 m )
? Altura del monte Everest ( 8880 m )
? Distancia de la Tierra a la Luna ( 350 mil km )
? Distancia de la Tierra al Sol ( 14,4 millones de km )
d) Luego de haber contestado, hallar las sucesiones que dan el á rea y el espesor en
cada doblez. Estimar el á rea y el espesor obtenidos con 50 dobleces.

58
Ejercicio 10.- La población mundial es de unos 6500 millones de habitantes. Se
estima que crece a un ritmo del 2% anual.
a) Escribir la población estimada para los próximos 5 años.
b) Comprobar que se obtiene una progresión geométrica. ¿De qué razón?
c) ¿Cuántos años tardará en duplicarse si se mantiene el mismo ritmo de crecimiento?
Ejercicio 11.- El Banco BXT ofrece el 1% de interés mensual para depósitos de plazo
fijo a 30 días. Si se depositan $3500 y llamamos nM al monto al cabo de n
meses,
a) Calcular i) 1M ii) 5M iii) nM
b) Comprobar que nM es una progresión geométrica.
c) Calcular su razón.
d) ¿Cuántos meses hay que esperar para obtener un monto mayor a $10000?
Ejercicio 12.- ¿Cuál es la tasa de interés mensual de un capital de $5000 ,
capitalizado mensualmente a interés compuesto, si al cabo de 6 meses se obtiene un
monto de $6700 ?
a)
2
2
3 2 1
lim
6 5 4n
n n
n n→∞
− +
+ −
b) 2
4 2
lim
1n
n
n→∞
−
+
c)
3 2
2
3
lim
2 1n
n n
n n→∞
+ +
− −
d)
3
2
4
lim
2n
n
n→∞
+
−
e)
2
3
4 3 1
lim
7 2
3n
n
n
→∞
− −
+ +
f) ( )( )2
lim 3 4
n
n n n
→∞
− + −
g) 2
lim 4
n
n
→∞
+ h)
3 1
lim
2 1n
n
n→∞
+
−
i)
1
4
lim
5
n
n
+
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
j)
2
5
lim
4
n
n
−
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
k)
ln
lim
n
n
n→∞
l)
3 1
lim
2 1
n
n
n
n→∞
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
m)
3
2
lim nn
n n
e→∞
+
n)
1
2 2
lim
2 1
n
n
n
n
−
→∞
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
o)
2
2
2 3
lim 1
n n
n n n
+
→∞
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠

59
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- De una progresión geométrica na se sabe que 3 80a = y que 6 10a = − .
¿Cuánto valen 8a y 2a ?
Ejercicio 2.- Algunos términos de una sucesión son 3
3
8
a = − , 5
27
32
a = − , 8
729
256
a = .
a) ¿Puede tratarse de una progresión geométrica?
b) ¿Y de una progresión aritmética?
2
2
ln
lim
1
n
n
e n
n n→∞
+
+ +
Ejercicio 4.- La sucesión na está en progresión geométrica. Calcular 10a si se sabe
que 4 18a = y 7
9
4
a = . Justificar.
Ejercicio 5.- Marcar la única opción correcta.
a) El lim
lnn
n
n→∞
es igual a
□0 □1 □+∞ □
1
2
b) En una progresión geométrica 4 2a = , 6 4a = y 0r > . Entonces r es igual a
□ 4 □6 □2 □ 2
c) Si
3 2
12
lim 1
1
n
n
a
e
n
−
→∞
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
entonces a es igual a
□ 4 □3 □
1
4
□ 4−

60
PRACTICA 10
SERIES
Ejercicio 1.- Hallar el término general de cada una de las siguientes series
a)
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 4.5
+ + + + b)
1 1 1
1
4 9 16
+ + + +
c)
1 1 1
1
4 9 16
− + − + d)
2 2 2
2 3 4
1
3 5 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e)
3 4 5
5 10 15
+ + + f)
3 4 5
2
2 3 4
− + − + +
g)
1 1
9 3 1
3 9
+ + + + + h)
1 1 1 1
3 6 12 24
+ + + +
i) 2 3
1 x x x+ + + + j)
2 3 4
2
2 4 8
x x x
x+ + + + +
Ejercicio 2.- Le ofrecen el siguiente trato: Durante treinta días consecutivos recibirá
cien mil pesos por día, con la condición de que en el mismo período tendrá que ir
pagando un centavo el primer día, dos el segundo, cuatro el tercero, ocho el cuarto y
así sucesivamente. ¿Acepta el trato?
Ejercicio 3.- Analizar la convergencia y calcular la suma de las siguientes series
a)
0
2
3n
n
∞
=
∑ b)
0
5
6n
n
∞
=
∑ c) ( )
1
4
1
3
n
n
n
∞
=
−∑
d) ( ) 1
0
2
1
3
n
n
n
∞
+
=
−∑ e)
2
1
1
4
5
n
n
n
∞ +
−
=
∑ f)
2
0
4
3
n
n
n
∞ +
=
∑
g)
2
2
0
4
3
n
n
n
∞ +
=
∑ h)
2
2
2
7
3
n
n
n
∞ +
=
∑ i) 1 1
1
3 2
2 5n n
n
∞
− +
=
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
j)
1 2 1
2
1
2 3
4
n n
n
n
∞ + +
=
+
∑ k)
1 2 1
0
3 2
4
n n
n
n
∞ + −
=
+
∑ l)
1 3 1
3 1
1
2 3
4
n n
n
n
∞ + +
+
=
−
∑
Ejercicio 4.- Analizar la convergencia de las siguientes series
a) Utilizando el criterio de comparación o la condición necesaria de convergencia
a)
0
2
1 3n
n
∞
= +∑ b)
1
02 1n
n
n
n
∞∞
=
=
∑
+ ∑
c)
1
0
2
2 3
n
n n
n
n
∞∞
=
=
∑
+ ∑ d)
0
3
3 2
n
n n
n
∞
= −∑

61
b) Aplicando el criterio de D'Alembert
a)
0
4 2
3n
n
n∞
=
+
∑ b)
( )0
3
1 !
n
n n
∞
= +∑ c)
0
2
2 1
n
n n
∞
= +∑ d)
3
0
2( 1)
5n
n
n∞
=
+
∑
c) Aplicando el criterio de la raíz
a)
1
1
n
n n
∞
=
∑ b)
1
1
3n
n
n n
∞ +
=
∑ c)
2
0
1
n
n
n
n
∞
=
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ d)
3
0
2( 1)
5n
n
n∞
=
+
∑
Ejercicio 5.- Estudiar la convergencia de las siguientes series
a) 3 2
0
3 2
2 1n
n
n n n
∞
=
+
+ − +∑ b) 2
0
1
1n
n
n n
∞
=
+
+ +∑ c) 1
0
2
3
n
n
n n
∞
−
=
∑
d)
( )( )
0
1 4
!n
n n
n
∞
=
+ +
∑ e)
1 !
n
n
n
n
∞
=
∑ f)
( )
1
ln 1
n
n
n
n
n
∞
=
+⎡ ⎤⎣ ⎦
∑
Ejercicio 6.- Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas
a) ( ) 3
1
1
1
1
1
n
n n
∞
+
=
−
+
∑ b) ( )
3
3
0
1
1
1
n
n
n
n
∞
=
−
−
+∑ c) ( ) 2
0
3
1
1
n
n
n
n
∞
=
−
+∑
d) ( )
1
ln
1
n
n
n
n
∞
=
−∑ e) ( )
2
3
1
1
1
n
n
n
n
∞
+
=
−
−∑ f) ( )
0
1
6
n
n
n
n∞
=
−∑
Ejercicio 7.- Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias
a)
0
n
n
nx
∞
=
∑ b)
0
( 2)n
n
n x
∞
=
−∑ c)
0 !
n
n
x
n
∞
=
∑
d)
2
0
( 1)
3
n
n
n
n
x
∞
=
−∑ e)
1
3 1
1 3
n
n
n
x
n
∞ +
−
=
∑ f) ( )
0
! 2
n
n
n x
∞
=
+∑
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Estudiar la convergencia de la serie ( )
1
0
4
1
5
n
n
n
n
∞ +
=
−∑ y si es posible hallar su
suma.
Ejercicio 2.- Determinar si la serie
3
3
0
3
5
n
n
n
∞ +
−
=
∑ es convergente y, en caso afirmativo,
calcular su suma.
Ejercicio 3.- Hallar todos los x∈ para los que la serie ( )
3
1
0
2
4
n
n
n
n
n
x
∞∞
=
=
−∑ ∑ es
convergente.

62
Ejercicio 4.- Analizar la convergencia de la serie
1 7 !
n
n
n
n
n
∞
=
∑
Ejercicio 5.- Estudiar la convergencia de la serie
1
3 1
4 3
n
n
n
n
x
n
∞
=
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
∑ para los distintos
valores de x .
Ejercicio 6.- Estudiar la convergencia de la serie ( ) 1
1
2
1
5
n
n
n
n
∞
−
=
−∑ y, si es posible, calcular
su suma.
4
1
3
5n
n
n∞
=
∑
4
2
1
5
6
n
n
n
∞
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
a) El radio de convergencia de la serie
1
n
n
n
a x
∞
=
∑ es 5ρ = . Si 1
1
3n
n
n
S a
∞
=
= ∑ y
2
1
( 6)n
n
n
S a
∞
=
= −∑ , entonces se puede afirmar que
□ 1S converge y 2S diverge □ 1S diverge y 2S diverge
□ 1S converge y 2S converge □ 1S diverge y 2S converge
b) Dadas las series 1
1
2 !n
n
n
n
S
n
∞
=
= ∑ y 2
1
3 !n
n
n
n
S
n
∞
=
= ∑ entonces se verifica que
□ Ambas divergen □ 1S diverge y 2S converge
□ 1S converge y 2S diverge □Ambas convergen
c) Si
1
n
n
S a
∞
=
= ∑ es una serie de términos positivos y 1
lim n
n
n
a
L
a
+
→∞
= , entonces
□ S converge si 1L > □ S diverge si 0 1L≤ <
□ S converge si 0 1L≤ < □ S converge si L = +∞
d) La suma de la serie 1
1
3
4
n
n
n
∞
+
=
∑ es igual a
□ 1 □
3
4
□4 □+∞
e) La serie
1
n
n
a
∞
=
∑ tiene todos los 0na > y lim n
n
a Ln
→∞
= , entonces
□ Si 1L > la serie converge □ Si 0 1L≤ < la serie diverge
□ Si 0 1L≤ < la serie converge □ Si 0L = la serie diverge

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