Mais conteúdo relacionado
Semelhante a ndwave3.pdf (20)
ndwave3.pdf
- 1. 球面平均法(続き:技術的な補題の準備)
Corollary 6 で導いた Euler–Poisson–Darboux 方程式
∂2
t Mu(t, r, x) −
[
∂2
r +
n − 1
r
∂r
]
Mu(t, r, x) = 0, (t, r, x) ∈ R × R × Rn
を解くため,低階項を消す変換を施す.そのために以下の補題を準備する.
Lemma 7
k ≥ 1 かつ ϕ ∈ Ck+1
(R) ならば,
∂2
r
(
1
r
∂r
)k−1
[
r2k−1
ϕ(r)
]
=
(
1
r
∂r
)k
[
r2k
ϕ′
(r)
]
.
奏理音ムイ(Vtuber) 1 / 5
- 2. 証明
k = 1 のときは
∂2
r [rϕ(r)] = 2ϕ′
(r) + rϕ′′
(r),
(
1
r
∂r
)
[
r2
ϕ′
(r)
]
=
1
r
[2rϕ′
(r) + r2
ϕ′′
(r)] = 2ϕ′
(r) + rϕ′′
(r)
より成立.k のとき成立すると仮定すると,
∂2
r
(
1
r
∂r
)k
[
r2k+1
ϕ(r)
]
= ∂2
r
(
1
r
∂r
)k−1
[
r2k−1
{(2k + 1)ϕ(r) + rϕ′
(r)}
]
=
(
1
r
∂r
)k [
r2k
{(2k + 1)ϕ(r) + rϕ′
(r)}
′
]
=
(
1
r
∂r
)k
1
r
[
(2k + 2)r2k+1
ϕ′
(r) + r2k+2
ϕ′′
(r)
]
=
(
1
r
∂r
)k+1
[
r2k+2
ϕ′
(r)
]
となり,k + 1 のときも成立する.
奏理音ムイ(Vtuber) 2 / 5
- 3. k ≥ 1 に対し作用素 Tk を次で定義する.
Tk ϕ(r) =
(
1
r
∂r
)k−1
[
r2k−1
ϕ(r)
]
.
Lemma 8
k ≥ 1 かつ ϕ ∈ Ck+1
(R) ならば,
∂2
r Tk ϕ(r) = Tk
[(
∂2
r +
2k
r
∂r
)
ϕ(r)
]
および,ある定数 c0, . . . , ck−1 が存在して
Tk ϕ(r) =
k−1
∑
j=0
cj rj+1
ϕ(j)
(r)
が成立する.特に,j = 0 の項の ϕ(r) の係数 c0r は次で与えられる.
c0r =
(
1
r
∂r
)k−1
r2k−1
= (2k − 1)!!r.
奏理音ムイ(Vtuber) 3 / 5
- 4. 証明
まず Lemma 7 から,
∂2
r Tk ϕ(r) = ∂2
r
(
1
r
∂r
)k−1
[
r2k−1
ϕ(r)
]
=
(
1
r
∂r
)k
[
r2k
ϕ′
(r)
]
=
(
1
r
∂r
)k−1
[
r2k−1
ϕ′′
(r) + 2kr2k−2
ϕ′
(r)
]
=
(
1
r
∂r
)k−1 [
r2k−1
(
∂2
r +
2k
r
∂r
)
ϕ(r)
]
= Tk
[(
∂2
r +
2k
r
∂r
)
ϕ(r)
]
.
これで前半の主張が示された.
奏理音ムイ(Vtuber) 4 / 5
- 5. 次に,Tk の定義
Tk ϕ(r) =
(
1
r
∂r
)k−1
[
r2k−1
ϕ(r)
]
から,ϕ(r) には最大 k − 1 回の微分がかかることがわかる.そして j 階導関数
ϕ(j)
(r) の係数として現れる r の次数は,
(係数の方に k − 1 − j 回の微分がかかる
ため)
(2k − 1) − (k − 1) − (k − 1 − j) = j + 1
となる.したがって Tk ϕ(r) は
Tk ϕ(r) =
k−1
∑
j=0
cj rj+1
ϕ(j)
(r)
という形に表される.特に j = 0 の項の係数は,
(Tk のすべての微分が r2k−1
の
方にかかって出てくる項であるから)
c0r =
(
1
r
∂r
)k−1
r2k−1
= (2k − 1)!!r
となる.これで後半の主張が示された.
奏理音ムイ(Vtuber) 5 / 5