Eiler number

1. Расширенные лекции
МАТ. АНАЛИЗ
Параграф 2
Число e.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА e. ДРУГИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СХОДЯЩИЕСЯ
К e. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ. ЗАМЕЧАНИЯ ПО
НАХОЖДЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ, СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.
На самом деле, есть не так много математических констант, знакомых всем
и каждому вне зависимости от основного рода деятельности. Собственно говоря,
их всего две: e и π. Впрочем, как бы иронично это не звучало, факт существования
такого числа - это единственный общеизвестный факт про число e. Фраза "ну, это
сумма ряда обратных факториалов..."моментально превращает вас в студента,
учителя или преподавателя (зависит от возраста). Поэтому не стоит рушить
стереотипы и все-таки разобраться, что же такое число e.
I.
Определение
Поскольку мы не ставим своей целью сыграть в игру "а мы ничего не самом деле не
знаем то перейдем сразу к определению:
Опр.
lim
n→∞
1+
n
1
n
(1)
= e.
Поэтому доказывать существование этого предела мы не будем (это не так сложно
провести, пользуясь теоремой Вейерштрасса). Более того, на лекциях вводилось две
1 n+1
1 n
. Для них доказывалось
последовательности: собственно en = 1 + n и yn = 1 + n
следующие утверждения:
(2)
lim en = lim yn = e
n→∞
1+
n→∞
n
1
n
<e<
1+
1
n
n+1
(3)
Опять же не будем усложнять наши итак не всегда очевидные доказательства.
Поэтому для первого равенства:
lim
n→∞
1
1+
n
n+1
= lim
n→∞
= lim
n→∞
1
1+
n
1
1+
n
n
× 1+
1
n
n
× lim
n→∞
1+
=
1
n
= e × 1 = e = lim
n→∞
1+
1
n
n
. (4)
Более того, на семинарах доказывалось то, что {yn } ↓. Также вполне очевидно, что
{en } ↑. Поэтому по теореме Вейерштрасса получаем sup en = e = inf yn , что означает
не только неравенство 3, но и более сильное высказывание:
∀ n, k ∈ N : en < e < yk .
II.
(5)
Число e как сумма ряда
Эта формула тоже доказывалась на семинарах, а именно:
Th
1
1
1
1
+ + + ... +
+ ... =
0! 1! 2!
n!
1
∞
n=0
1
= e.
n!
(6)

2. Расширенные лекции
МАТ. АНАЛИЗ
Параграф 2
Докажем, пользуясь леммой о двух миллиционерах и предельным переходом в
неравенствах.
За основу примем нашу ранее введенную последовательность en . Прежде всего,
пользуясь биномом Ньютона раскроем в ней скобки:
1
1+
n
n
n
n−k
=
1
·
k=0
1
n
k
n
1
n
=1+
· +
·
1
n
2
1
n
2
+ ... +
n
·
n
1
n
=
n 1 n · (n − 1) 1
1
n · (n − 1) . . . · 2 · 1 1
1
· +
· 2 + ... +
· n < 2 + + ... +
(7)
1 n
2!
n
n!
n
2!
n!
∞
1
Это значит, что en <
n=0 n! = tn . С другой стороны, оборвем разложение по
биному Ньютона на k-ом слагаемом и назовем эту сумму sk . Поскольку мы оборвали
сумму, равную en , то sk < en . Если перейти к пределу n → ∞, то lim sk = lim tk , а
n→∞
n→∞
lim en = e. Отсюда по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем, что
n→∞
sk < e ⇐⇒ tn < e. В итоге, e < tn < e ⇒ по лемме о двух миллиционерах:
=1+
∞
n=0
1
= e.
n!
(8)
Итак, сходимость ряда доказана. Приведенное доказательство является классическим и может быть найдено в любой книге по математическому анализу. Для этой
теоремы есть сущетсвенное расширение, полезное в некоторых случаях:
1
1
1
θ
1
+ + + ... +
+
= e, где 0 < θ < 1
(9)
0! 1! 2!
n! n · n!
(Доказать этот факт очень просто. На самом деле, с учетом монотонности ряда это
1
1
1
1
1
утверждение равносильно такому неравенству: 0! + 1! + 2! + . . . + n! > e − n·n! , доказываемущемуся по индукции).
III.
Методы подсчета и приближения
Поскольку мы привели уже два метода получения числа e, хотелось бы узнать какой
метод приближения лучше (в частности, это интересно в плане вычисления константы
на компьютере). Итак, есть метод вычисления через предел и через сумму ряда. Оказывается, что ряд сходится к e гораздо быстрее, чем предел (красивая картинка по
этому поводу есть в листике номер 5 лектора).
В то же время, как и для любого другого ирационального числа, для числа e
существует приближение, приводимое через цепные дроби, например:
1
e=2+
(10)
1
1+
2
2+
3+
3
...
или, что сходится быстрее:
e+1
=2+
e−1
1
(11)
1
6+
10 +
1
14 +
2
1
...

3. Расширенные лекции
МАТ. АНАЛИЗ
Параграф 2
Впрочем, здесь важно упомянуть следующий факт: мера ирациональности числа e
равна 2, что значит, что оно хорошо приближаемо рациональными числами (если
это предложение вам ничего не сказало, не расстраивайтесь, это отдельный огромный разговор, который, в частности, очень здорово приведен в книге "Математический
дивертисмент").
IV.
Особенности подсчета пределов, связанных с e
В этом пункте докажем следующие утверждения:
n
1
1+
n+α
lim
n→∞
lim
n→∞
1+
= e, где α ∈ R
(12)
n
k
n
= ek , где k ∈ N0
(13)
Докажем первое утверждение. Пусть α ∈ N0 . Обозначим t = n + α. Тогда:
lim
n→∞
1
1+
n+α
n
= lim
t→∞
t−α
1
1+
t
1 t
t
1+
= lim
1
1+
t
t→∞
=
1
· ... · 1 +
t
α раз
t
+1
t
1
1
= lim 1 +
t→∞ 1 · 1 · . . . · 1
t→∞
t
= lim
t
= e (14)
α раз
n
n
1
< 1 + n+α < 1 +
Теперь, пусть α ∈ R. Заметим, что 1 + n+1 α
лемме о двух миллиционерах означает то, что требуется доказать.
Для второго утверждения:
lim
n→∞
1+
1
n
n
= e ⇒ lim
n→∞
1+
1
n
n·k
= ek ⇔ lim
n→∞
1+
k
k·n
1
n+ α
n
, что по
n·k
= ek
(15)
m
k
= ek , что является как раз
Обозначим n · k = m. Тогда мы получили: lim 1 + m
m→∞
тем, что нужно доказать.
Заметим, что число k в нашей формуле является именно натуральным, хотя доказательство не так сложно расширить на множество целых чисел. Для этого найдем
следующий предел:
lim
n→∞
1
1−
n
n
= lim
n→∞
n−1
n
n
= lim
n→∞
n
1
n
n−1
=
= lim
n→∞
1
lim 1 +
n→∞
1
1+
n
1
n−1
n
1
n−1
=
=
1
lim 1 +
n→∞
1 n
n
=
1
(16)
e
Собственно говоря, это все, что хотелось бы рассказать о числе e в плане пределов
последовательностей.
ВСЕХ НЕ ПЕРЕРЕШАЕШЬ!
3