Ejercicios detallados del obj 10 mat i (176) Universidad Nacianal Abierta

1. Capitulo I
Matemática I (176)
Objetivo 10. Efectuar problemas donde estén involucrados o en los que
se apliquen conceptos referentes a las funciones y ax b= + .
Ejercicio 1
La función costo por la producción de cierto artículo es 80000 1500C Q= + .
Determina el beneficio para una producción de 1300 unidades del artículo si
estos son vendidos a un precio Bs. 2350 la unidad.
Solución
Justificación: En este caso haremos uso de la ecuación que nos permiten
calcular el beneficio, a saber:
B Beneficio
B I C I Ingreso
C Costo
=

= − =
 =
Como puedes observar debemos calcular previamente el ingreso y el
costo, para finalmente calcular el beneficio.
La función ingreso está dada por:
PrP ecio unitario del articulo vendido
I P Q
Q Cantidad de articulos vendidos o produccion de articulos
=
= 
=
i
Y la función costo está dada en el ejercicio: 80000 1500C Q= + .
Ahora sustituimos los datos dados en el ejercicio: 1300Q = y 2350P = ,
así:
13 3055002 50 03 00P QI = = =i i
Y el costo
( )1308 00000 1500 80000 1500 80000 1950000 2030000QC = + = + = + =
Finalmente el beneficio será:
3055000 2030000 1025000B I C= − = − =
Respuesta: 1025000B = bolívares.
Ejercicio 2
Las funciones de costo, ingreso y beneficio asociadas a un proceso de
producción de un determinado bien son:
120000 12000C Q= +

2. 17000I Q=
5000 120000B Q= −
a) Representa gráficamente las funciones anteriores en los mismos ejes de
coordenadas
b) Identifica el costo marginal y las coordenadas del punto muerto.
Solución
Justificación:
a) Para representar gráficamente las funciones dadas, debemos
obtener 2 puntos del plano para cada función, porque todas son
líneas rectas.
NOTA: Recuerda que para saber si una función dada es una línea recta,
hay que observar el exponente de la variable independiente, en este caso Q ,
observa:
1
120000 12000C Q Exponente de Q noes u= + →
1
17000I Q Exponente de Q e os un= →
( )1
5000 120000B Q Exponente de Q oes un= −
Y como todos los exponentes son 1, todas son líneas rectas y para
graficarla, basta obtener 2 puntos arbitrarios de cada una de ellas. En toda la
Unidad 1 se trabaja siempre con líneas rectas, que también son llamadas
función afín.
Procedamos pues a calcular 2 puntos de cada función. Para ello le
damos valores arbitrarios a la variable independiente, es decir, Q , por lo
general el primer valor es 0Q = y el otro un valor positivo cualquiera de Q , y
digo valor positivo porque Q SIEMPRE ES POSITIVO. Así podemos dar el
valor 1Q = . Es importante que tengas en cuenta que se tomara el eje de las
abscisas (normalmente eje x) para representar la variable Q y el eje de las
ordenadas (normalmente eje y) a las variables C, I y B, según estemos
graficando Costo, Ingreso y Beneficio respectivamente, es por ello que los
puntos en el plano se representarán:

3. ( )
( )
( )
( )
,
, ,
,
Q C
x y I C
B C


= 


Según sea el caso.
Observa la siguiente tabla donde evaluamos las funciones dadas:
Función Valor de Q Evaluación
Punto del
plano
CosCOSTO to:
120000 12000C Q= +
0 ( )
120000 12000
120000 120 000
120000
C
C
C
Q= +
= +
=
( )
( )
,
0,120000
Q C =
120000 12000C Q= + 0
( )
120000 12000
120000 12000
120000 12000
132000
1
C
C
C
Q
C
= +
= +
= +
=
( )
( )
,
1,132000
Q C =
Ingr I GRESO eso:
17000I Q=
0 ( )
17000
017000
0
I
I
Q
I
=
=
=
( )
( )
,
0,0
Q I =
17000I Q= 1 ( )
17000
17 1000
17000
QI
I
I
=
=
=
( )
( )
,
1,17000
Q I =
Bene BE EFICIO ficio:
5000 120000B Q= −
0 ( )
5000 120000
5000 1200000
120000
B
B
B
Q= −
= −
= −
( )
( )
,
0, 120000
Q B =
−
5000 120000B Q= − 1
( )
5000 120000
5000 120000
5000 120000
115000
1
B
B
Q
B
B
= −
= −
= −
= −
( )
( )
,
1, 115000
Q B =
−
A continuación se presentan las distintas gráficas:

4. b) El costo marginal es la pendiente de la función afín costo, ó, de la
línea recta que representa el costo, se acostumbra denotar este valor
por CMa.
Recuerda que la pendiente de una recta es el coeficiente de la variable
independiente, por ejemplo:
Si comparamos esta ecuación, con la ecuación de costo:
120000 12000C Q= +
Observamos que la variable independiente es Q, y su coeficiente
(destacado en rojo) es 12000, por lo tanto, el costo marginal es:
12000CMa =

5. Las coordenadas del punto muerto se suceden cuando el ingreso es
igual al costo, es decir: I C= , pero para efectos del cálculo, se hace sencillo
igualar a cero la función beneficio, porque:
B I C= −
Y como el punto muerto se consigue igualando el ingreso con el costo
I C= , se tiene que el beneficio para el punto muerto es nulo, ya que:
0B I C= − =
En conclusión, para calcular las coordenadas del punto muerto,
recomiendo que hagas igual cero la función beneficio, en nuestro caso se tiene:
5000 120000 0B Q= − =
Ahora despejamos Q:
5000 120000 0
5000 120000 paso en 120000 negativo a positivo
120000
el 5000 que esta multiplicando paso a dividir
5000
24 se efectuo la division 120000 5000
Q
Q
Q
Q
− =
= →
= →
= → ÷
Recuerdan que nos piden las coordenadas del punto muerto, cuando te
pidan COORDENADAS debes calcular siempre dos valores, en este caso
( ),Q I , como ya tenemos 24Q = ahora calcularemos I , con su ecuación:
17000 17000(24) 408000I Q= = =
Por lo tanto las coordenadas del punto muerto son: ( )24,408000
Es interesante dibujar este punto en la gráfica anterior, observa:

6. Observa que en el punto muerto (punto amarillo) el costo es igual al
ingreso, y la función beneficio se anula, es decir se hace 0, porque en ese
punto la función beneficio corta al eje de las abscisas, en este caso, eje Q .
Respuesta:
a) La representación gráfica de las funciones, costo, ingreso y beneficio en
los mismos ejes de coordenadas es:

7. b) El costo marginal es: 12000CMa = y las coordenadas del punto muerto
son ( )24,408000 .
Ejercicio 3
La ecuación de la oferta de un cierto bien, durante un periodo T es:
1
20
25000
S p= +
Siendo S la cantidad ofrecida en Kg, y p el precio unitario expresado en miles
de bolívares.
Dibuja la curva de la oferta.
Solución
Justificación: Ya explicamos que para graficar esta ecuación, basta con calcular
dos puntos, ¿por qué?, porque esta ecuación es una línea recta, ya que las
variables S y p, están elevadas a la 1, o lo que es lo mismo, no tienen
exponentes distintos de 1, como 2 ó 3 por ejemplo.
Tomaremos 2 valores arbitrarios para p, por supuesto valores sencillos,
por lo general se toma 0p = y 1p = , jamás olvides que los valores de p
siempre son positivos.
Para ( ) ( ) ( )
1
0 20 0 20 0 20 , 0,20
25000
p S p S= → = + = + = → =

8. Para
( ) ( )
1 1 20 25000 1 500001 500001
1 20 1 20 , 1,
25000 25000 25000 25000 25000
p S p S
× +  
= → = + = + = = → =  
 
Recuerda que para graficar siempre se tomara al eje de las abscisas, eje
horizontal, con la variable precio p y al eje de las ordenadas o eje vertical con la
variable oferta S.
Ahora graficamos estos 2 puntos conseguidos en el plano y los unimos
mediante una línea recta:
Respuesta: La representación gráfica de la función oferta:
1
20
25000
S p= + es:

9. Ejercicio 4
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
a. En una economía de mercado, la renta disponible se distribuye en gastos
de consumo y ahorro _____.
b. Si la función de consumo es de la forma: C a bY= + , al valor de la pendiente
b se le conoce como Propensión Media al Consumo ____.
c. La productividad marginal de un factor F, representa el aumento en la
cantidad producida, cuando este factor F se incrementa en una unidad ____.
Solución
Justificación:
a) En este caso debemos manejar la definición de renta disponible, que
bajo el modelo de John Keynes, ciertamente la renta disponible se
distribuye en gastos de consumo y ahorro, por lo tanto esta
afirmación es VERDADERA.

10. b) En este caso debemos manejar la interpretación de la función
consumo: C a bY= + , sabiendo que:
• El valor de la pendiente b representa la PROPENSIÓN
MARGINAL AL CONSUMO
• El valor del cociente
C
Y
representa la PROPENSIÓN MEDIA
AL CONSUMO.
Por lo tanto la afirmación dada es FALSA.
c) En este caso se debe manejar el significado de la relación Q bF= ,
donde la productividad marginal está representada por la pendiente b
que representa el aumento de la cantidad producida, cuando el factor
F se incrementa en una unidad. Por lo tanto esta afirmación es
VERDADERA.
Respuesta:
a. V
b. F
c. V
Ejercicio 5
Considere la función de consumo:
15000 0,85C Y= +
Determine la propensión marginal al consumo, la función de propensión media
al consumo y la función ahorro.
Solución
Justificación:
La propensión marginal al consumo (PMC) es la pendiente de la función
consumo, y tal como se ha explicado en los ejercicios 2 y 4 anteriores, la
pendiente de la función consumo 15000 0,85C Y= + es el coeficiente de la
variable Renta Y, por lo tanto, en este caso la propensión marginal al consumo
es:
0,85PMC =

11. Para conseguir la función de propensión media al consumo PMeC, se
divide la función consumo entre la renta, es decir,
C
Y
, por lo tanto la función de
propensión media al consumo es:
15000 0,85
15000 0,85
15000 0,85
C Y
PMeC
Y Y
Y
PMeC
Y Y
Y
PMeC
Y
+
= =
= +
= +
Y
15000
0,85PMeC
Y
= +
Finalmente para conseguir la función ahorro, se resta la renta el
consumo, es decir: A Y C= − , por lo tanto, en nuestro caso tenemos:
( )15000 0,85
15000 0,85
0,15 15000
A Y C
A Y Y
A Y Y
A Y
= −
= − +
= − −
= −
Respuesta:
• La propensión marginal al consumo (PMC) es 0,85
• La función de propensión media al consumo PMeC es:
15000
0,85PMeC
Y
= +
• La función ahorro es: 0,15 15000A Y= −
Ejercicio 6
Una compañía va a entregar mensualmente 5.000 linternas de bolsillo a un
precio de Bs. 500 la unidad; si el precio unitario es de Bs. 350, ofrece sólo
2.000 unidades. Suponiendo que la ecuación de la oferta es lineal:
a) Obtenga la ecuación de la oferta
b) Dibuje la curva de la oferta
c) Si el precio unitario de las linternas está restringido a tomar valores en el
intervalo [ ]290,75;610,50 , ¿cuáles serán los valores máximo y mínimo de la
cantidad ofrecidos por la compañía?.
Solución
Justificación:

12. a) Como la ecuación de la oferta es lineal, es de la forma S a bp= + y el
ejercicio nos proporciona 2 puntos por donde pasa la ecuación de la oferta,
podemos primero hallar la pendiente b.
Los dos puntos que nos da el ejercicio son:
• Cuando la oferta es 5000S = , el precio es 500p = , esto nos da el
punto ( ) ( )1 1, 5000,500S p = . En este caso, cuando trabajamos con
la ecuación de demanda y oferta en función del precio, se
acostumbra tomar el eje horizontal para la oferta o demanda, y al
eje vertical para representar el precio.
• Cuando la oferta es 2000S = , el precio es 350p = , esto nos da el
punto ( ) ( )2 2, 2000,350S p = .
Estos puntos satisfacen la ecuación de la oferta S a bp= + , por lo tanto:
Para ( ) ( )1 1, 5000,500 5000 500S p S a bp a b= → = + → = +
Para ( ) ( )2 2, 2000,350 2000 350S p S a bp a b= → = + → = +
Hemos llegado a un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
500 5000
350 2000
a b
a b
+ =

+ =
Te recomiendo que resuelvas este sistema de ecuaciones por el método
de reducción, que consiste en restar las 2 ecuaciones, de la siguiente manera:
Ahora resolvemos la última ecuación:
( ) ( )
(0) (150 ) 3
3
0
50
00
500 5
150
000
3000
3000
150
20
2000
b
b
a b b
b
b
a− + − = −
+ =
=
=
=
Para conseguir el valor de a sustituimos el valor de 20b = en cualquiera
de las ecuaciones del sistema de ecuaciones, yo sustituiré en las 2 para que

13. observes que llegamos al mismo resultado, tú puedes hacerlo solo para
cualquiera de las 2.
Para 500 5000a b+ = , sustituimos 20b = y obtenemos:
( )500 5000 500 5000 10000 5000 5000 10000 50020 0
5000
a a a ab
a
+ = → + = → + = → = − = −
= −
Para 350 2000a b+ = , sustituimos 20b = y obtenemos:
( )350 2000 350 2000 7000 2000 2000 7000 5000
5000
20a ab a a
a
+ = → + = → + = → = − = −
= −
Como ya tenemos los dos valores buscados (solución del sistema de
ecuaciones) podemos escribir la ecuación de la oferta, sustituyendo pues,
ambos valores de a y b:
5000 20S p= − +
b) Para graficar esta ecuación, basta con calcular dos puntos, ¿por qué?,
porque esta ecuación es una línea recta, ya que las variables S y p, están
elevadas a la 1, o lo que es lo mismo, no tienen exponentes distintos de 1,
como 2 ó 3 por ejemplo.
Tomaremos 2 valores arbitrarios para p, por supuesto valores sencillos,
por lo general se toma 0p = y 1p = , jamás olvides que los valores de p
siempre son positivos.
Para ( ) ( )
5000
0 0 5000 20 20 5000 250 , 0,250
20
S p p p S p= → = − + → = → = = → =
Para ( )
5001 5001
1 1 5000 20 20 5000 1 , 1,
20 20
S p p p S p
 
= → = − + → = + → = → =  
 
Para graficar se tomara al eje de las abscisas, eje horizontal, con la
variable precio S y al eje de las ordenadas o eje vertical con la variable oferta p.
Ahora graficamos estos 2 puntos conseguidos en el plano y los unimos
mediante una línea recta:

14. c) Como le precio p está restringido al intervalo [ ]290,75;610,50 , y como
observamos la gráfica inmediata anterior, la función es creciente, por lo tanto
el valor mínimo de la oferta se alcanza en 290,75p = y el valor máximo de la
oferta se alcanza en 610,50p = , entonces:
Valor Mínimo:
( )295000 20 5000 20 5000 5815 810,75 5S p S S= − + → = − + → = − + =
Valor Máximo:
( )610,5 500 00 20 5000 20 5000 12210 7210S p S S= − + → = − + → = − + =
Respuesta:
a) La ecuación de la oferta es: 5000 20S p= − + ç
b) La gráfica de la oferta es:

15. c) Oferta Mínima: 815minimoS = , Oferta máxima: max 7210imaS =
Ejercicio 7
Una empresa debe vender un artículo a un precio unitario de Bs. 70000. El
costo fijo de producción es de Bs.3525000 mientras el costo marginal se estima
en Bs. 30000 por unidad. Señala la función de costo entre las opciones
propuestas a continuación:
Solución
Justificación: En este caso, debemos manejar las definiciones de costo fijo y
costo variable, además recordar que la pendiente en la función costo,
representa el costo marginal, es decir:
C CF CV= +
En el ejercicio nos indican que el costo fijo es Bs.3525000, por lo tanto:

16. 3525000CF =
También el ejercicio nos indica el costo marginal: Bs. 30000, que como
sabemos es la pendiente de la recta, y tal como se ha explicado en los
ejercicios anteriores, la pendiente es el coeficiente de la variable independiente,
en este caso, la variable Q, por lo tanto, el costo variables:
30000CV Q=
Sustituyendo en C CF CV= + , se obtiene:
3525000 30000C Q= +
Por lo tanto:
Respuesta: Opción correcta “b”
Ejercicio 8
La ecuación de la oferta de un cierto bien en un período T está dada por la
relación:
5 50 100 0 20 45S p p− − = ≤ ≤
Donde S es la cantidad ofrecida en kilogramos y p el precio unitario en
bolívares. Determina la oferta máxima y la oferta mínima.
Solución
Justificación: Recordando que la ecuación de la oferta es una función
creciente, se tendrá que el valor mínimo de la oferta se alcanza en 20p = y el
valor máximo de la oferta se alcanza en 45p = . Por otro lado, antes de evaluar
la función oferta, debemos despeja S de la ecuación dada:
50 100
5 50 100 0 5 50 100
5
p
S p S p S
+
− − = → = + → =
Entonces:
Valor Mínimo:
( )50 10050 100 1000 100 1100
220
2
5
0
5 5 5
p
S S Kg
++ +
= → = = = =
Valor Máximo:
( )50 10050 100 2250 100 2350
470
4
5
5
5 5 5
p
S S Kg
++ +
= → = = = =
Respuesta:
Oferta Mínima: 220minimoS Kg= y Oferta máxima: max 470imaS Kg=
Ejercicio 9
Responde con una V si los siguientes enunciados son verdaderos o con una F
si son falsos:

17. a. La función beneficio de un bien, en un período T, es la que nos muestra para
cada nivel de producción Q, el ingreso proveniente de la venta. ____
b. La función ingreso de un bien en el período T es la que nos muestra para
cada nivel de producción Q, el beneficio obtenido Q.____
c. La curva de beneficio es la representación gráfica de la función
beneficio.____
Solución
Justificación:
a) En este caso debemos manejar la definición de la función beneficio,
que nos indica que en un período T, muestra para cada nivel de
producción Q, el beneficio obtenido, NO el ingreso obtenido, por lo
tanto la afirmación dada es falsa.
b) En este caso debemos manejar la definición de la función ingreso,
que nos indica que en un período T, muestra para cada nivel de
producción Q, el ingreso obtenido, NO el beneficio obtenido, por lo
tanto la afirmación dada es falsa.
c) Ciertamente, la curva de beneficio es la representación gráfica de la
función beneficio, por lo tanto la afirmación dada es verdadera.
Respuesta:
a) F
b) F
c) V
Ejercicio 10
En el cuadro que se te da al final de los siguientes enunciados están las
posibles respuestas que corresponden a los espacios en blanco de cada uno
de ellos, para que sean enunciados verdaderos. A continuación se te presentan
tres enunciados, los cuales debes completar con alguna (s) palabra (s) dada (s)
en la tabla:
a. __________ cuando la oferta es menor que la demanda.
b. ____________ es el excedente de los ingresos sobre los costos de
producción.
c. __________ aquella situación que una vez alcanzada tiende a persistir.

18. Cuadro de posibles respuestas
ahorro curva de consumo
costo marginal función de consumo
costo bien
punto de equilibrio consumidor
escasez renta
demanda consumo
curva de ingreso equilibrio
costo variable depreciación
función de costo oferta
curva de oferta costo fijo
beneficio función de ingreso
Solución
Justificación:
a) Si recordamos la situación que nos indica que la oferta es menor que la
demanda, sabremos que estamos hablando de la escasez, y además
observamos que esta alternativa está en la tabla de posibles respuestas,
por lo tanto, podemos completar la primera afirmación así: Escasez es
cuando la oferta es menor que la demanda.
b) Si recordamos la situación en que existe excedente de los ingresos
sobre los costos de producción, sabremos que estamos hablando del
beneficio, y además observamos que esta alternativa está en la tabla de
posibles respuestas, por lo tanto, podemos completar la segunda
afirmación así: Beneficio es el excedente de los ingresos sobre los
costos de producción.
c) Sabemos que en el mercado, cuando se habla de oferta y demanda, la
situación que tiende a persistir es cuando se alcanza el equilibrio entre la
oferta y demanda existente, además esta alternativa se encuentra en el
cuadro de posibles respuestas, por lo tanto, podemos completar la
segunda afirmación así: Equilibrio es aquella situación que una vez
alcanzada tiende a persistir.

19. Respuesta:
a) Escasez es cuando la oferta es menor que la demanda.
b) Beneficio es el excedente de los ingresos sobre los costos de
producción.
c) Equilibrio es aquella situación que una vez alcanzada tiende a persistir.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Si la función costo de producción de un cierto bien viene dada por la relación:
65389,45 1560C Q= +
Determina el costo fijo y el costo variable cuando se producen 7500 unidades
del bien.
Ejercicio 2
Un empleado de una empresa ahorra Bs. 90000 si su renta es de Bs. 950000.
Además por cada bolívar de incremento de su renta aumenta Bs. 0,65. Halle el
nivel de consumo si la renta se incrementa a Bs. 1050500, sabiendo que la
función consumo es 0,65C a Y= + .

20. Ejercicio 3
La ecuación de la demanda de un cierto bien en un período T está dada por la
relación:
10 670 0 20 45S p p+ − = ≤ ≤
donde S es la cantidad demandada en kilogramos y p el precio unitario en
bolívares. Determine la demanda máxima y la demanda mínima.
Ejercicio 4
Una compañía fabrica productos con un costo de 400 bolívares, por unidad y
las vende a 1000 bolívares la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de
120000 bolívares al mes, determine el punto de equilibrio de la empresa.
Ejercicio 5
Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un cierto bien en un período
T están dadas respectivamente por:
4 30 360 0Q p+ − = 4 y 2 12 36 0S p− + =
Calcule el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio.
Ejercicio 6
Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un cierto bien en un período
T están dadas respectivamente por:
4 12 32 0Q p+ − = y 3 60 150 0S p− + =
Obtén el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio.
Ejercicio 7
Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien está
dadas respectivamente por:
3 9 364200Q p− = 3 y 202
Q p
p
−
=
Calcula el punto de equilibrio.
Ejercicio 8
Una empresa ha realizado una revisión de sus ventas observando que en un
determinado artículo, cuando el precio de cada unidad es de Bs. 15 venden
600 unidades y que sus clientes compran 20 artículos más por una rebaja de
Bs. 2 por unidad. Determina la ecuación de la demanda de este artículo
asumiendo que la relación entre la cantidad demandada Q y el precio p es
lineal.

21. Ejercicio 9
Una empresa vende semanalmente 5000 piezas de un producto a un precio de
Bs. 200 la unidad. Mientras que si el precio es de Bs. 100, vende solo 4000
unidades. Determina la ecuación de la oferta de este bien, sabiendo que la
relación entre la oferta S y el precio p es lineal.
Ejercicio 10
Una compañía ha analizado sus ventas y ha encontrado que sus clientes
compran 10 artículos más de sus productos por cada Bs 2,50 de reducción en
el precio unitario. Cuando el precio es de Bs 12,75, la compañía vende 500
unidades. Determina y dibuja la ecuación de la demanda.