Successions 1r Batxillerat

1. Successions

2. Successions
Una successió numèrica és una llista de nombres que es corresponen amb
el conjunt de nombres naturals.
an = f(n) amb n  R
L’expressió d’un terme qualsevol d’una successió en funció del lloc que
ocupa es coneix com a terme general (an) de la successió i permet
calcular-ne qualsevol terme:

3. Successions monòtones
Fita inferior
Successió creixent: si a
n + 1
> a
n
per a qualsevol valor de n.
Successió decreixent: si a
n + 1
< a
n
per a qualsevol valor de n.
Successions monòtones: successions que són creixents o decreixents.
Successions
Fita inferior
Fita superior
Si an ≥ k per a tot valor de n  k és fita inferior o la successió està fitada inferiorment.
Exemple: bn = n3
Si an ≤ k per a tot valor de n  k és fita superior o la successió està fitada superiorment.
Exemple:

4. Límit d’una successió
bn{ }® 0 La successió tendeix a zero, o
lim
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
n-1
= 0 la successió és igual a zero.
Successions
El número l és el límit d’una successió {an} (lim an = l) si la diferència |an– l| és molt petita
per a n prou gran.

5. Successió convergent: té com a límit un nombre real.
Successió divergent: el límit és +∞ o –∞.
Successió oscil·lant: pot tenir o no límit.
Successió creixent
Fita superior límit = la més petita de les fites superiors.
No fita superior límit = + ∞.
Successions
No fita superior límit = + ∞.
Successió decreixent
Fita inferior límit = a la més gran de les fites inferiors.
No fita inferior límit = –∞.

6. Operacions amb successions
Tenint en compte que an = i bn =
Successions
Successió suma
Successió producte

7. Límits de successions convergents
Successions
Si límit de = a i lim = b, es verifica:an{ } bn{ }
lim {a
n
+ b
n
} = a + b. El límit de la suma és la suma de límits.
lim {a
n
– b
n
} = a – b. El límit de la diferència és la diferència de límits.
lim {a
n
· b
n
} = a · b. El límit del producte és el producte de límits.lim {a
n
· b
n
} = a · b. El límit del producte és el producte de límits.
lim { } = si b ≠ 0. El límit del quocient és el quocient dels límits, excepte quan lim b
n
= 0.
an
bn
a
b
Casos especials

8. Si
Límits de successions divergents
Successions

9. Polinomis
Successions
Càlcul de límits
Sempre és +∞ o –∞
Fracció algèbrica de polinomis

10. Els casos que condueixin a expressions del tipus ∞, –∞, 00, ∞0 i 1∞ són
casos d’indeterminació.
De diferències
De potències
Estudiar l’estratègia de resoldre la indeterminació
Successions
Estudiar l’estratègia de resoldre la indeterminació
El nombre e
lim és una indeterminació del tipus 1∞.
1 1
1
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
n