Or seminar2011final

Python を用いた
お気楽最適化とその実践

久保幹雄

Why Python?
• モジュールを読み込め
ば何でもできる！
• 最適化もできる！
import gurobipy (MIP)
import scop2 (CP)
• import optseq2
(Scheduling)
• 空を飛ぶことも！？
import antigravity ?

http://www.logopt.com/
mikiokubo/ に 20 分の入門ビデオ
http://xkcd.com/353 /

Python をお薦めする訳
• キーワード（覚えるべき予約後）が 30 程度と少
ない．
• 字下げの強要で，誰でも読みやすいプログラム
• 短時間で開発可能（行数が短く，モジュール豊
富）
• 変数の宣言必要なし
• インタープリタ（コンパイルする必要なし；並列
用コンパイラもついている）
• メモリ管理も必要なし
• 多くのプラットフォームで動作（ Windows, Mac,
Linux)
• オブジェクト指向（すべてがオブジェクト）

Python 1 ページ解説
複合型
– リスト：任意の要素から成る順序型
A=[ 　 ]
これだけで，スタック，キュー，連結リスト，ソー
ト
A.append(5), a=A.pop(), A.remove(“6”), A.sort()

– 辞書：キーと値の組から構成されるマップ型
D= { }
Hash 関数と同じ．何でも辞書で高速に保管できる！
D[(1,2)] =6, D[“Hello”]=“ こんにちは”
反復
for i in [1,2,5,6]: for key in D:
print i*2 print key,D[key]

How to solve hard optimization
problems quickly by Python
Metaheuristics
MIP solver Gurobi Python Source Codes
Developed by: Developed by:
Zonghao Gu, Me & J. Pedro Pedroso 　
Edward Rothberg ，
Robert Bixby
VS.
?
+

Free academic license
+ Python Interface

MIP, CP, Scheduling Solvers
• 混合整数計画 (MIP) ソルバー : Gurobi
• 制約計画 (CP) ソルバー : SCOP (Solver for
COnstraint Programming)
• スケジューリング問題に特化したソルバー :
OptSeq II

モデリング ( 定式化）のコツ
使い分けのコツ

「新時代の最適化 -Python 言語を用いた
最適化入門 - 」近代科学社（執筆中）参照

混合整数計画とは
Mixed Integer Programming (MIP)
• 変数（ Variables ）
x : 実数，整数， 0-1 整数変数
（ Binary ）
• 制約（ Constraints)
線形 or ( 凸 ) 二次制約

minimize c’x+x’Qx ( 目的関数 )
subject to Ax=b ( 制約 )

Gurobi 入門 (1)
• モデルオブジェクトの生成
model = Model("Wine Blending")

Gurobi 入門 (2)
• 変数オブジェクトの追加
x1 = model.addVar(name="x1")

• モデルの更新
( 制約を追加する前には必須．
怠惰な更新 (lazy update); 高速化のための仕
様． )
model.update()

Gurobi 入門 (3)
• 目的関数の設定
model.setObjective(15*x1 + 18*x2 + 30*x3,
GRB.MAXIMIZE)
• 制約の追加
model.addConstr(2*x1 + x2 + x3 <= 60)
model.addConstr(x1 + 2*x2 + x3 <= 60)
model.addConstr(x3 <= 30)
• 最適化
model.optimize()

リストを用いたモデル化
• 変数オブジェクトをリストに追加
x=[ 　 ]
for i in range(1,4):
var=model.addVar(name=“x[%s]”%i)
x.append(var)
• 制約 “ x1 + x2 + x3 <= 2” の追加
model.addConstr( sum(x) <= 2 ) or
model.addConstr( quicksum(x) <= 2 )

X[1] X[2] X[3] ・・・

辞書を用いたモデル化 (1)
• 辞書（ Dictionary ）は，ワインの種類
（“ Dry”, “Medium”, “Sweet”) をキーとし，
変数オブジェクトを値とした写像型
x={ }
x[“Dry”]= model.addVar(name=“Dry”)
x[“Medium”]= model.addVar(name=“Medium”)
x[“Sweet”]= model.addVar(name=“Sweet”)
値
キー
写 “ ニーハオ”
“Hello”,
Variable Object
“Dry 　
Wine”

辞書を用いたモデル化 (2)
• 制約 “ 2 x1 + x2 + x3 <= 30” の追加
model.addConstr( 2*x[“Dry”]+ x[“Medium”]
+x[“Sweet”] <=30 )

Blends, Profit =
multidict({"Dry":15, "Medium":18, "Sweet":30})
multidict

=> Blends=["Dry", "Medium“, "Sweet“]
Profit[“Dry”]=15, Profit[“Medium”]=18, ...

辞書を用いたワイン製造モデル
(1)
Blends, Profit =
multidict({"Dry":15, "Medium":18, "Sweet":30})
multidict

=> Blends=["Dry", "Medium“, "Sweet“] List of Keys
Profit[“Dry”]=15, Profit[“Medium”]=18, ...

Grapes, Inventory =
multidict({"Alfrocheiro":60, "Baga":60, "Castelao":30})

Use = { ("Alfrocheiro","Dry"):2, ("Alfrocheiro","Medium"):1,
("Alfrocheiro","Sweet"):1, ("Baga","Dry"):1, ....
}

辞書を用いたワイン製造モデル (2)
x = {}
for j in Blends:
x[j] = model.addVar(vtype="C", name="x[%s]"%j)
model.update()

model.setObjective(quicksum(Profit[j]*x[j] for j in Blends),
GRB.MAXIMIZE)
for i in Grapes:
model.addConstr(quicksum(Use[i,j]*x[j] for j in Blends)
<= Inventory[i], name="use[%s]"%i)

model.optimize()

k-median 問題
• min-sum 型の施設配置問題
• 顧客数 n=200 ，施設数 k=20
（顧客上から選択）
• Euclid 距離，座標は一様ランダム

定式化

弱い定式化

Python での実装（ 1 ）
from gurobipy import * #gurobipy モジュールの読み込み

# k-median ソルバーの関数
def solve(n,k,cost):
model=Model(“median”) # モデルオブジェクトの生成
y={} # 変数を表す辞書の準備
x={}

キー値
“Hanako”, 写像 “127cm”
(1,2) 変数オブジェクト

Python での実装（２）
for j in range(n):
　　　 y[j]=model.addVar(obj=0,vtype=“B”,name="y"+str(j))
　　　 for i in range(n): 　
x[i,j]=model.addVar(obj=cost[i,j],
vtype=“B”,name="x"+str(i)+str(j))
model.update()

Python での実装（３）
for i in range(n):
L=LinExpr() # 線形表現オブジェクト L を空で
作成
for j in range(n):
L.addTerms(1,x[i,j]) # 線形表現オブジェクトに項を追
加
　　　 model.addConstr(lhs=L,sense= " = ",
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
rhs=1,name="Demand"+str(i))

線形表現（ Linear Express ）クラス LinExpr

Python での実装（４）
中略
model.optimize() # 最適化実行
print “Opt.value=”,model.ObjVal # 目的関数値
edge=[] # 選ばれた枝 (i,j) のリスト
for (i,j) in x: # 変数 x の辞書を反復
if x[i,j].X==1: #x[i,j] の解が 1 なら
edge.append((i,j)) # リスト edge に (i,j) を追
加
return edge

Python での実装（５）
import networkx as NX #networkX モジュールの読み込み

import matplotlib.pyplot as P # 描画の準備
P.ion()
G = NX.Graph() # グラフオブジェクト G の生成
G.add_nodes_from(range(n)) # 点の追加
for (i,j) in edge: # グラフに枝を追加
G.add_edge(i,j)
NX.draw(G) # 描画

弱い定式化での結果
n=200,k=20
Optimize a model with 401 Rows, 40200 Columns and 80400
NonZeros
中略
Explored 1445 nodes (63581 simplex iterations) in 67.08 seconds
Thread count was 2 (of 2 available processors)
Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 1.0180195861e+01, best bound 1.0179189780e+01,
gap 0.0099%
Opt.value= 10.1801958607

上界と下界の変化
18

16

14
Obj. Func . Va lue

12

10

8

6

4

2

0
0 10 20 30 40 50 60 70

CPU

強い定式化での結果
NonZeros
中略
( 分枝しないで終了！）
Thread count was 2 (of 2 available processors)
Best objective 1.0180195861e+01, best bound 1.0180195861e+01,
gap 0.0%
Opt.value= 10.1801958607

知見
• Big M を用いない強い定式化が望まし
い．
• この程度の式なら，必要な式のみを切
除平面として追加するような小細工は
必要なし．

（ただし，式の数が増え退化するので
，大規模なＬＰを高速に解けるソル
バーが前提）

k-center 問題
• min-max 型の施設配置問題
• 施設は顧客上から選択
• Euclid 距離，座標は一様ランダム

Which is the solution of the k-center problem?

定式化
最大距離を最小化

1.2

1

0.8
Obj. Fun. Va lue

0.6

0.4

0.2

0
0 50 100 150 200 250 300 350 400

CPU Time

100 顧客， 10 施設　（ k-median は 200 施設， 20 顧客で 3 秒）

k- 被覆問題としての定式化
被覆されない顧客数最小化

被覆されなければ１の変数

距離が θ 以下のとき
1 のパラメータ

k- 被覆問題 +Binary Search

顧客・施設間の距離の上限 UB ，下限
LB
while UB – LB >ε:
θ= (UB+LB)/2
if k- 被覆問題の最適値が 0 then
UB = θ
else
LB = θ

知見
• Min-max 型の目的関数は MIP ソルバーでは解
きにくい（双対ギャップが大きい；上界も下
界も悪いので，途中で止めても悪い解！）．
• 例： Job shop スケジューリングの最大完了時
刻（メイクスパン）最小化 => スケジューリ
ング問題に特化したソルバーの方が良い！
• k- 被覆問題を用いた二分探索だとある程度
min-max 型の目的関数を回避できる．
• min-max 型の問題は，制約計画としてモデル
化して，上限を制約として扱うと良い．

巡回セールスマン問題（ＴＳ
Ｐ）
• すべての点をちょうど１回通る最短巡
回路
• 切除平面法で 85,900 点の実際問題（対
称ＴＳＰ）の最適解

Miller-Tucker-Zemlin の定式化

45
（８０点， Euclid TSP ）
40

強化した式
35

30 でないと．．．
１日まわして
Obj. Func . Va lue

25

Out of Memory!
20

15

10

5

0
0 50 100 150 200 250 300 350 400

C PU

結果
Optimize a model with 6480 Rows, 6400 Columns and 37762 NonZeros
中略
Cutting planes:
Gomory: 62
Implied bound: 470
MIR: 299
Zero half: 34
Best objective 7.4532855108e+00, best bound 7.4525704995e+00, gap 0.0096%
Opt.value= 7.45328551084

単一フロー定式化

多少強化

対称な問題（ DFJ 定式化）

部分巡回路除去制約を追加
線形緩和問題

整数解

連結成分を求めて切除平面を追加

最適解

知見
• 式を持ち上げ操作などで強化すると，高速化
され，大きな問題例が解けるようになる．
　（そのためには多面体論の知識が多少必要な
ので，専門家に相談．ちょっと式をいじるだ
けで劇的に改善する場合もある！）
• 他にも単品種フロー，多品種フロー定式化な
どがある．（下界が強い方が良いとは限らな
い！ LP のサイズと解きやすさ（退化の具
合）を考慮して定式化を選択！）
• 対称な問題なら分枝カット法が良い．

多品目ロットサイズ決定問題
• 段取り費用と在庫費用のトレードオフ
を最適化する多期間生産計画
• 多品目で共通の資源を使う容量制約付
き問題は， MIP ソルバーには難問（と
言われてきた）
• T=30 期， P=24 品目： Trigeiro, Thomas,
McClain （ 1989 年）の最大のベンチ
マーク

ロットサイズ決定問題
標準定式化のフローモデル
生産量 (t)

在庫量 (t-1) 在庫量 (t)
期
t

需要量 (t)
弱い定式化の原因

生産量 (t)≦ 大きな数 “ Large M” × 段取りの有無 (t)
在庫量（ t-1)+ 生産量 (t)= 需要量 (t)+ 在庫量（ t) 0-1 変数

ロットサイズ決定問題
施設配置定式化のフローモデル
s 期に生産して t 期まで在庫される量

期期
s t

需要量 (t)

s 期に生産して t 期まで在庫される量 ≦需要量 (t)× 段取りの有無 (t)

∑期に生産して t 期まで在庫される量 = 需要量 (t)
s
s ≤t

定式化のサイズと強さの比較
標準定式化施設配置定式化
変数の数 O(n) 変数の数
2
O(n )
制約の数
弱い定式化
弱い定式化強い定式化
O(n) 制約の数
2
追加した
O(n ) = 線形計画緩和が
(S,l) 不等式整数多面体と一致
制約の数 (S,l) 不等式

O(2 n ) 切除平面
切除平面
n: 期数
強い定式化

上界と下界の変化（標準定式
化） 1 32000

1 30000

1 28000

1 26000
Ob j. Fu n c . Va lu e

1 24000

1 22000

1 20000

1 18000

1 16000

1 14000

1 12000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

C PU

1800 秒で最適解；これ以上大きな問題例は無理！

上界と下界の変化（施設配置定式
1 14050
化）
1 14000

1 13950
Ob j. Fu n c . Va l.

1 13900

1 13850

1 13800

1 13750

1 13700

1 13650

1 13600
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

C PU

40 秒で最適解； T=100 でも大丈夫！

知見
• 従来では難問と言われてきたロットサ
イズ決定問題でもある程度までは大丈
夫
• 緩和固定法（ Federgruen, Meissner,Tzur
“Progressive Interval Heuristics for Multi-
Item Capacitated Lot-Sizing Problems”
2007 ）という MIP ベースのメタ解法を
作ってみたが，同時間通常の探索を行
う「打ち切り分枝限定法」の方が良
い！

ビンパッキング問題

8 8
7 7
6 6
5 5 5 5 5 5
4 4 4 4 4 4
3 3

｝
2 2 2 2

9

アイテム j=1,…,n のサイズサイズ B のビン
sj

切断問題

データが離散値をとるビンパッキング問題と同じ

ビンパッキング問題の定式化
ビン j を使うとき１

アイテム i をビン j に入れるとき１

強い定式化の
ための追加式

解の対称性のためあまり大きい問題例は解けない！

切断問題の定式化
初期パターンの線形緩和問題
切断パターンを使用する回数

[4, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 3, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 2, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] 最適双対変数 (1/4,1/3,1/2,1,1,1,1)

初期切断パターン（どのアイテムを何回切断するか）

新しいパターンの生成
ナップサック問題

y=(2, 0, 0, 1, 0, 0, 0) 　　最適値 1.5

列を追加して
再び求解

Python による記述（主問題）
K = len(t) t: 初期パターンのリスト
master = Model("MP")
x = {}
for k in range(K):
x[k] = master.addVar(obj=1, vtype="I", name="x[%d]"%k)
master.update()
orders={}
for i in range(m):
coef = [t[k][i] for k in range(K) if t[k][i] > 0]
var = [x[k] for k in range(K) if t[k][i] > 0]
orders[i] = master.addConstr(LinExpr(coef,var), ">", q[i], name="Order[%d]"%i)
master.update()

Python による記述（列生成）
while 1: knapsack.update()

iter += 1 knapsack.optimize()

relax = master.relax() if knapsack.ObjVal < 1+EPS:

relax.optimize() break

pi = [c.Pi for c in relax.getConstrs()] col = Column()

knapsack = Model("KP") for i in range(m):

knapsack.ModelSense=-1 if t[K][i] > 0:

y = {} col.addTerms(t[K][i], orders[i])

for i in range(m): x[K] = master.addVar(obj=1, vtype="I",

y[i] = knapsack.addVar(obj=pi[i], name="x[%d]"%K, column=col)
ub=q[i], vtype="I", name="y[%d]"%i) master.update()
knapsack.update() K += 1
L = LinExpr(w, [y[i] for i in range(m)]) master.optimize()
knapsack.addConstr(L, "<", B,
ame="width")

列生成法の応用事例
（タンカースケジューリング
問題）
• タンカーのパーティションを考慮した
複雑な実際問題
• 海技研からの委託
• 可能なパターンの列挙，集合被覆問題
による選択を 2 回反復した解法
• 従来法（ CP ）： 9 時間かけて実行不能
• 開発法： 10 分程度で求解

グラフ彩色問題
• 解の対称性
• 点数 n=40 ，彩色数上限 Kmax=10
• ランダムグラフ G(n,p=0.5)
• 彩色数 8 が最適値

Python での実装（１）
from gurobipy import *
model=Model("gcp")
x={}
y={}
for i in range(n):
for k in range(K):
x[i,k]=model.addVar(obj=0, vtype="B",name="x"+str(i)+str(k))
for k in range(K):
y[k]=model.addVar(obj=1,vtype=“B”,name="y"+str(k))
model.update()

Python での実装（２）
for i in range(n):
L=LinExpr()
for k in range(K):
L.addTerms(1,x[i,k])
　　　 model.addConstr(lhs=L,sense= " = ",rhs=1,name="const"+str(i))
中略
model.optimize()
print "Opt.value=",model.ObjVal
for v in model.getVars():
if v.X>0.001:
print v.VarName,v.X

上界と下界の変化（原定式
化）
12
点数 n=40 ，彩色数上限 Kmax=10
10
Obj. Func . Value

8

6

4

2

0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400

CPU Time

定式化の改良
対称性の除去（番号の小さい方の色を優先して使う！）

特殊順序集合（ SOS: Special Ordered Set ） Type 1 （いずれか
１つの変数が正になることの宣言）の追加

model.addSOS(1, 変数リス
ト)

上界と下界の変化（対称性除
12
去）
10
Obj. Func . Va lue

8

6

4

2

0
0 50 1 00 1 50 200 250 300 350 400 450

CPU
MIPFocus=2 （最適性保証優先）で 67 秒， MIPFocus=3 （下界優先）で

上界と下界の変化（ +SOS ）
12

10
Obj. Func . Va l.

8

6

4

2

0
0 5 10 15 20 25

CPU
NonZerosExplored 109 nodes (58792 simplex iterations) in 22.02 seconds
MIPFocus=2 （最適性保証優先）で 65 秒， MIPFocus=3 （下界優先）
で 126 秒

Fixed-K approach
悪い枝の数を最小化

枝の両端が同じ色（悪い枝）だと 1

Fixed-K Approach +Binary Search
彩色数 K の上界 UB ，下界 LB
while UB – LB >1:
K= [ (UB+LB)/2 ] [ ] : Gauss の記号
if Fixd-K 定式化の最適値が 0 then
UB = K
else
LB = K

Improved Formulation

Fixed-K Approach
+Binary Search

知見
• 解の対称性のある問題は，下界の改善がしに
くいので，分枝限定法では解きにくい（モダ
ンなソルバーは群論などを用いた工夫を入れ
てはいるが，あまり機能しない問題もある）
• 対称性を除く工夫を入れると多少は改善
• SOS （ Special Ordered Set ）制約の宣言は損
はない（ただし，探索手法の変更との相性は
悪い．）
• K を固定すると解きやすくなり，二分探索は
有効

多目的最適化
• 非劣解の集合をどのように生成するか？
（ Gurobi は分枝限定法で見つかった複数の
解を出力）

• 線形和によるスカラー化

• 制約に変換してスライドさせる方法

• 理想点からの距離を最小化する方法

非劣解とスカラー化法
第二目的関数

この領域の解は
A に優越される

スカラー化の A
目的関数の方向

スカラー化が見逃す非劣解

第一目的関数

二目的巡回セールスマン問題に対する制約スライド法の結果

制約スライド法と理想点法の比較

Gurobi Objects
GRBError
Variable
addVar

Model Column

addSOS addConstr
Constraint
SOS

Callbacks LinExpr QuadExpr

Model Object
= Model(“name of model” ）
Methods Attributes
• AddVar • Params
• AddConstr • ObjVal
• optimize • ModelSense
• update • Runtime
• getVars • Status
• relax • SolCount
... ...

Prams
(Parameters to control the optimizer)
• TimeLimit ： limit of the computational time
• MIPGap ： upper bound of the relative error
• MIPFocus ： MIP search strategy
• SolutionNumber ： number of solution
• LPMethod ： solution method of linear optimization
• OutputFlag ： 0=Off ， 1=On
...

E.g., : ModelObject.Params.TimeLimit=10

変数追加メソッド addVar の
引数
• lb ( 下限 ) ：規定値 =0
• ub ( 上限 ) ：規定値 =GRB.INFINITY （無限
大）
• obj ( 目的関数の係数 ) ：＝０
• vtype ( 変数の種類 ): GRB.CONTINUOUS （連
続変数； “ C” でも可） , GRB.BINARY （ 2 値
変数；“ B” ） , GRB.INTEGER （整数変
数；“ I” ） , GRB.SEMICONT （ 0 もしくはあ
る範囲内の連続変数；“ S” でも可） ,
GRB.SEMIINT （ 0 もしくはある範囲内の整
数変数；“ N” でも可）
• name ( 名前 ): =“”

制約追加メソッド addConstr の引
数
• ｌ hs （左辺）：線形制約オブジェク
トか定数
• sense （制約の向き）：
GRB.LESS_EQUAL （≦；“ <” でも可） ,
GRB.EQUAL （＝； “ =” でも可） ,
GRB.GREATER_EQUAL （≧；“ >” でも
可）
• rhs （右辺）：線形制約オブジェクトか
定数

モデルのその他の主要メソッ
ド
• optimize( コールバック関数）：最適化実行
• update ：モデルの変更を Gurobi に知らせる
• getVars ：変数オブジェクトを入れたリスト
を得る
• relax ：緩和問題を生成
• computeIIS ：既約不整合部分系（実行不能に
なっている原因の制約と変数； Irreducible
Inconsistent Subsystem ： IIS ）を計算
• addSOS （ 1 or 2, 変数リスト，重み
（ option ））：特殊順序集合（ Special
Ordered Set ： SOS ）を追加

パラメータの設定
書式：
setParam(“ パラメータ名” , 値）
model.Params. パラメータ名 = 値
例：混合整数計画（ MIP ）の相対誤差
（終了条件）；規定値は 10-4
setParam(“MIPGap”,0.0)
model.Params.MIPGap=0.0

よく使うパラメータ
• TimeLimit ：計算時間上限（秒）
• MIPGap ：相対誤差上限（規定値は 10-4 ）
• MIPFocus ： MIP 探索戦略（ 0= バランス ,1=
暫定解改良 ,2= 最適性の保証 ,3= 限界値改
良）
• SolutionNumber ：探索中に発見された解の番
号
• LPMethod ：線形計画の解法（ 0= 主単体， 1=
双対単体， 2= 内点）
• OutputFlag ：出力制御（ 0=Off ， 1=On ）

属性（ attributes ）
書式：
オブジェクト .setAttr(“ 属性名” , 値）
オブジェクト . 属性名 = 値
例：変数 var の目的関数の係数を 100 に
変更
var.setAttr(“Obj”,100)
var.Obj=100

よく使う属性（ 1 ）
• モデル
– ObjVal ：最適目的関数値（最適化後のみ）
– ModelSense ：目的関数の方向（ 1= 最小化， -1= 最
大化）
– Runtime ：計算時間（最後の求解時の）
– Status ：モデルの状態（１から 1 ３まで；
2=OPTIMAL, 3=INFEASIBLE, 4=UNBOUNDED,
9=TIME_LIMIT, 11=INTERRUPTED,
13=SUBOPTIMAL)
– SolCount ：探索で見つかった解の数

よく使う属性（２）
• 変数
– LB ， UB ：下限，上限
– Obj ：目的関数の係数
– Vtype ：変数の種類（“ C”= 連続，“ B”=2 値，“ I”= 整数，“ S” ＝半連続
，“ N”= 半整数
– VarName ：変数名
– X ：解の値
– Xn ：パラメータ SolutionNumber で指定された番号の解の値
– RC ：被約費用（連続最適化のみ）
• 制約
– Sense ：制約の向き（“ <” ，“ >” ，“ =” ）
– RHS ：右辺定数
– ConstrName ：制約名
– Pi ：双対変数（連続最適化のみ）
– Slack ：余裕変数の値

SCOP Objects

addVariable(s) Variable

Model Linear
addConstraint
Quadratic

Alldiff
詳細については http://www.logopt.com/scop/

Model Object
Methods Attributes
• AddVariable(s) • Params
• AddConstraint • variables
• optimize • constraints

Prams
• Target ： target penalty value
• RandomSeed: random seed number

OptSeq Objects

addActivity Attribute
addMode

Model addResource
Mode

Resource
addTemporal

Temporal

詳細については http://www.logopt.com/OptSeq/

Model Object
Methods Attributes
• AddActivity • Params
• AddResource • activities
• AddTemporal • modes
• optimize • resources
• write • temporals

Prams
• Makespan: True= makespan minimization,
False=weighted tardiness minimization
• RandomSeed: random seed number

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