1. Apuntes sobre la integral indefinida.
1.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA.
La integración es la operación inversa de la derivación.
Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F’(x)=f(x).
Nota: La primitiva de una función no es única; por ejemplo, si f(x)=3x2
, entonces F1(x)=x3
,
F2(x)=x3
+2,............etc, son primitivas de f(x).
Propiedad: Si F1(x) y F2(x) son primitivas de una misma función f(x), entonces se diferencian
en una constante; o sea, F1(x)-F2(x)=cte.
Demostración:
.)()())((
0))(''(0)(')(')()(')('
2121
212121
xctexFxFxctexFF
xxFFxxFxFxxfxFxF
∀=−⇒∀=−⇒
∀=−⇒∀=−⇒∀==
Pues bien, acabamos de ver que si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces
admite infinitas primitivas, cuyas expresiones serán F(x)+K, siendo K una constante arbitraria.
Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de f(x) y se le denota
mediante ∫ .)( dxxf
Por ejemplo: ∫ += Kxdxx 32
3 , siendo K una constante arbitraria.
Si existe la integral indefinida de una función, se dice que ésta es integrable.
2.- PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN.
Las dos propiedades más importantes de la integración son las siguientes:
1) La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia)
de las integrales de dichas funciones. O sea,
[ ]∫ ∫ ∫+=+ .)()()()( dxxgdxxfdxxgxf
Demostración: Por un lado [ ]( ) )()(')()( xgxfdxxgxf +=+∫ .
Por otro lado,
( ) ( ) ( ) ).()(')(')(')()( xgxfdxxgdxxfdxxgdxxf +=+=+ ∫∫∫ ∫ csqd.
Igual se demuestra con la diferencia.
2) La integral del producto de un número por una función es igual al producto del
número por la integral de dicha función. O sea, ∫ ∫⋅=⋅ .)()( dxxfadxxfa
Demostración: Análoga a la anterior.
La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado método de descomposición en el
que como principio conviene descomponer el integrando lo más posible, aplicando las
propiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo de constantes, sumar y restar
una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo número.
Ejemplo: Kxxdx
x
xdxdx
x
xdxdx
x
xx
+⋅−⋅=⋅−⋅=−=
−
∫ ∫∫ ∫∫ ln7
2
11
72
2
177 2
2
3
Integrales indefinidas. Pág 1 de 6.

2. Apuntes sobre la integral indefinida.
3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS.
TIPOS
FORMAS
Simples Compuestas
1. Potencial (n≠-1) K
n
x
dxx
n
n
+
+
=∫
+
1
1
2. Logarítmico Kxdx
x
+=∫ ln
1
3. Exponencial
K
a
a
dxa
Kedxe
x
x
xx
+=
+=
∫
∫
ln
4. Seno Kxdxx +−=∫ cossen
5. Coseno Kxdxx +=∫ sencos
6. Tangente Kxtanxdx +=∫ secln
7. Cotangente Kxanxdx +=∫ senlncot
8. Secante Ktanxdxx +=∫
2
sec
9. Cosecante Kxandxxec +−=∫ cotcos 2
10. Arco seno Kxarcdx
x
+=
−
∫ sen
1
1
2
11. Arco tangente Kxtanarcdx
x
+=
+∫ 2
1
1
12. Arco secante Kxarcdx
xx
+=
−⋅
∫ sec
1
1
2
Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y conviene saber.
Son las siguientes:
dx
cbxax
nmx
edx
cbxax
dx
xa∫ ∫ ∫ ++
+
+++ 2222
1
,
1
Ejemplos:
1) .
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
4
1
4
1
2222
K
x
atandx
x
dx
x
dx
x
dx
x
+





⋅=






+
⋅=






+
⋅
=
+
=
+ ∫∫∫∫
2)
K
x
atandx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx
+
+
⋅⋅=
++
⋅
=
++
=
+++
=
++
∫
∫∫∫
2
12
2
1
2
1
2)12(
2
2
1
2)12(
1
2144
1
344
1
2
222
3)
tangentearcotiponeperianotipo
dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
−
=
++
−
++
+
=
++
−+
=
++
−
∫∫∫∫ 13
8
13
32
13
832
13
52
2222
Integrales indefinidas. Pág 2 de 6.

3. Apuntes sobre la integral indefinida.
4.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.
Este método es una consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Como su nombre
indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t mediante una nueva función g tal que
x=g(t), para transformar el integrando f(x)dx en otro más sencillo.
De esta manera, dx=g’(t)dt, con lo que quedaría que ∫ ∫ ⋅= dttgtgfdxxf )('))(()( .
En la práctica se suele hacer de la siguiente manera:
Se hace t=u(t), de donde dt=u’(x)dx y se despejan a continuación x y dx, sustituyéndolos en el
integrando.
Si el cambio de variable ha sido bien elegido, la última expresión será más fácil de integrar que
la primera. Una vez calculada ésta, se deshace el cambio y tendremos así la integral pedida.
¿Cuándo es aconsejable utilizar este método?
a) Cuando aparezca en el integrando un producto o un cociente de funciones de modo
que una de ellas “recuerda” a la derivada de la otra.
Ejemplo: .)2()4sen( 2
∫ +⋅+ dxxx
Hacemos el cambio x2
+4x=t y nos quedaría (2x+4)dx=dt. Entonces
Kxx
Ktdttdxxxdxxx
++⋅
−
=+−⋅=⋅=+⋅+⋅=+⋅+ ∫∫∫
)4cos(
2
1
)cos(
2
1
sen
2
1
)2(2)4sen(
2
1
)2()4sen(
2
22
b) Cuando el integrando guarda cierto parecido con una integral inmediata.
Ejemplo: ∫ +
dx
x 94
1
2
Esta integral guarda cierto parecido con ∫ +
dx
x 1
1
2
que es inmediata.
Dividiendo en nuestra integral numerador y denominador por 9 nos queda:
(*)
1
9
4
1
9
1
1
9
4
9
1
94
1
22
2
=
+
=
+
=
+ ∫∫∫ dx
x
dx
x
dx
x
Ahora hacemos el cambio de variable dtdxdtdxtx
2
3
3
2
3
2
=⇒=⇒= , con lo que
K
x
tanarcKttanarcdt
t
dt
t
dt
t
+





⋅=+⋅=
+
⋅=
+
⋅⋅=
+
⋅= ∫∫∫ 3
2
6
1
6
1
1
1
18
3
1
1
2
3
9
1
1
2
3
9
1
(*) 222
c) En algunos casos es necesario comenzar realizando una transformación previa para
después aplicar un cambio de variable.
Ejemplo: ∫ −
+
dx
x
x
1
1
.
(*)sen
11
1
1
1
11
11
1
1
222
+
=
−
+
−
=
−
+
=
+⋅−
+⋅+
=
−
+
∫∫∫∫∫
xarc
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
xx
xx
dx
x
x
Integrales indefinidas. Pág 3 de 6.

4. Apuntes sobre la integral indefinida.
En la segunda integral (*), hacemos el cambio de variable 1-x2
=t, con lo que –2xdx=dt y
entonces .1
22
1
1
2
2
1
(*) 2
2
KxKt
t
dt
t
dt
dx
x
x
+−−=+−=
−
=⋅
−
=
−
−
⋅
−
= ∫∫∫
Por lo tanto, .1sen
1
1 2
Kxxarcdx
x
x
+−−=
−
+
∫
5.- INTEGRACIÓN POR PARTES.
Este método se basa en la derivada de un producto de funciones.
Sean u y v dos funciones de una misma variable independiente. Entonces
∫ ∫ ⋅−⋅=⋅⇒⋅−⋅=⋅⇒⋅+⋅=⋅ duvvudvuduvvuddvuduvdvuvud )()(
Esta fórmula reduce el cálculo de la integral ∫ ⋅dvu al de ∫ ⋅duv .
¿Cuándo es conveniente emplear este método?
a) Cuando aparezca un producto o un cociente de funciones de modo que ninguna de
las derivadas de estas funciones recuerde a la otra.
Ejemplo: ∫ ⋅ dxex x2
Llamamos u=x2
y dv=ex
dx con lo que du=2x·dx y
xx
edxev == ∫ .
Luego ∫ ∫ ∫∫ ⋅−⋅=−==⋅

*
22
2xdxexevduuvudvdxex xxx

**
2(*) ∫ ⋅⋅= xdxex
. En (**) volvemos a hacer u=x y dv=ex
dx con lo que du=dx y
xx
edxev == ∫ .
∫ +−⋅=−⋅= Keexdxeex xxxx
(**)
Resumiendo, KxxeKeexxedxex xxxxx
+−−⋅=+−⋅⋅−⋅=⋅∫ )12()(2 222
b) A veces, el procedimiento de integración por partes nos conduce a la misma integral
del principio, como en el ejercicio siguiente:
Ejemplo: ∫ ⋅ xdxex
cos
Llamamos u=cosx y dv=ex
dx con lo que du=-senx·dx y
xx
edxev == ∫ .
Luego ( )*
sencos)sen(coscos ∫∫∫ ⋅+⋅=−⋅−⋅=⋅ xdxexedxxexexdxe xxxxx
En (*) volvemos a hacer u=sen x y dv=ex
dx con lo que du=cosx·dx y
xx
edxev == ∫ .
∫ ⋅−= xdxexe xx
cossen(*)
Entonces,
K
xexe
xdxe
Kxexexdxexdxexexexdxe
xx
x
xxxxxxx
+
⋅+⋅
=⋅⇒
+⋅+⋅=⋅⋅⇒⋅−⋅+⋅=⋅
∫
∫∫∫
2
sencos
cos
sencoscos2cossencoscos
c) A veces, es necesario combinar el método de integración por partes con otro.
6.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.
Integrales indefinidas. Pág 4 de 6.

5. Apuntes sobre la integral indefinida.
Las funciones racionales son de la forma
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = donde P(x) y Q(x) son
funciones polinómicas y están definidas en todos los puntos de R menos en aquellos donde se
anula el denominador.
Nota importante: Las integrales de muchas funciones racionales pueden calcularse
directamente; por eso, hay que comprobar primero si el integrando pertenece a alguno de estos
tipos:
a) Forma potencial
b) Forma neperiana
c) Forma arco tangente
d) Forma neperiano-arco tangente
vistos con anterioridad. Si no corresponde a ninguno de estos tipos, lo que haremos será
transformar nuestra función racional en una suma de fracciones que tienen por denominador
polinomios de primer o segundo grado irreducibles (descomposición en fracciones simples).
Estudiaremos solamente el caso en el que todas las raíces del denominador sean reales puesto
que es el único caso que exigen en Selectividad.
El esquema de descomposición en fracciones simples es el siguiente:
.........................................................................
)....(....................
)()(
)....(....................
)(
)(....................
)(
)(
23
2
+
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
triplelinealfactor
px
R
px
Q
px
P
doblelinealfactor
mx
N
mx
M
simpleslinealesfactores
cx
C
bx
B
ax
A
xQ
xP
Para la determinación de las constantes A, B, C,....,M, N,.....,P, Q,.... se hace lo siguiente:
a) Se multiplica la igualdad anterior por Q(x), obteniéndose la igualdad polinómica
P(x)=.............
b) Se dan valores numéricos en ambos miembros, tantos como constantes haya que
determinar. Por comodidad se utilizan las raíces obteniéndose un sistema de
ecuaciones.
c) Se resuelve el sistema y las soluciones obtenidas se sustituyen en las fracciones
simples.
Ejemplo: Vamos a descomponer en fracciones simples la función racional
1
53
)( 23
+−−
+
=
xxx
x
xf
El denominador se descompone como (x+1)·(x-1)2
. Entonces podremos descomponer como
1)1(11
53
)( 223
−
+
−
+
+
=
+−−
+
=
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xf
Multiplicando la igualdad anterior por (x+1)·(x-1)2
resulta 3x+5=A(x-1)2
+B(x+1)+C(x+1)(x-1)
Dando valores:
Para x=1 tenemos 8=2B⇒B=4
Para x=-1 tenemos 2=4A⇒A=1/2
Para x=0 (por ejemplo) tenemos 5=A+B-C⇒C=-1/2
Entonces tenemos que:
1
2
1
)1(
4
1
2
1
1
53
223
−
−
+
−
+
+
=
+−−
+
xxxxxx
x .
Integrales indefinidas. Pág 5 de 6.

6. Apuntes sobre la integral indefinida.
Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma potencial ó
neperiana. En nuestro caso
Kx
x
xdx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
x
+−⋅−
−
−+⋅=
−
−
+
−
+
+
=
+−−
+
∫∫∫∫ 1ln
2
1
1
4
1ln
2
1
1
2
1
)1(
4
1
2
1
1
53
223
Integrales indefinidas. Pág 6 de 6.

7. Apuntes sobre la integral indefinida.
Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma potencial ó
neperiana. En nuestro caso
Kx
x
xdx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
x
+−⋅−
−
−+⋅=
−
−
+
−
+
+
=
+−−
+
∫∫∫∫ 1ln
2
1
1
4
1ln
2
1
1
2
1
)1(
4
1
2
1
1
53
223
Integrales indefinidas. Pág 6 de 6.