Este documento presenta el método de Hardy-Cross para corregir caudales en redes de tuberías. Explica las ecuaciones básicas de conservación de masa y energía involucradas y describe el procedimiento iterativo para corregir los caudales inicialmente supuestos hasta alcanzar el equilibrio hidráulico en cada nodo de la red. Como ejemplo, aplica el método a una red de 6 tuberías y 3 iteraciones para converger a una solución.
1. MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCIÓN DE CAUDALES
Ecuaciones Básicas:
[1]
H H
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
−
1 / 2
Q ⋅ ⋅ ⋅
ij g A
ij
ij
ij
⋅ +
ij
ij
i j
Km
l
d
f
⎠
⎝
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
=
Σ
2
Comentario: Surge de la Ecuación de Energía entre los Nodos i a j ,
despejando la Variable Caudal (Qij). (Se ha despreciado el Valor
Cinético v2/2g).
Donde, la Ecuación de Conservación de la Masa para Cada Nodo, nos dice que:
[2]
0
NT
i
= − Σ=
1
Di
j
ij Q Q
Reemplazando (1) en (2), tenemos:
[3]
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
H H
NTi −
⎛
1 / 2
i j g A Q
l
1
Σ =
2 0
⋅ ⋅ − =
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎟ ⎟
⎠
ij
⋅ +
ij
Km
[Ecuaciones de Cabeza]
Σ
⎝
⎜ ⎜
⎝
j
ij Di
ij
ij
d
f
Este tipo de Ecuaciones, se conocen como Ecuaciones
de Cabeza, las cuales para el análisis de Redes
Cerradas, se conocen (NU-1), debiéndose conocer la al
menos una Cabeza de la Red. Estas Ecuaciones son No
Lineales.
Por otra parte, utilizando la Ec. De Conservación de Energía para un Circuito "Cerrado" cualquiera, tenemos:
[4]
⎛
⋅ + ⋅
' Q
NT i
2
Σ Σ
=
⎜ ⎜
⎝
ij
km f
ij ij
ij
l
d
g A
2
2
j ij
[Ecuaciones de Caudal]
Donde NT'i es el Numero de Tubos que conforman el Circuito Cerrado
y donde el valor de perdidas (por fricción y menores) en la trayectoria
cerrada debe ser igual a cero. Este tipo de Ecuaciones, se conocen con
el Nombre de Ec. de Caudal. En Total se tienen NC Ecuaciones, donde
NC es el numero de circuitos que conforman la Red.
⎞
= ⎟ ⎟
⎠
⋅ ⋅
ij
1
0
Metodología:
1. Definir claramente la Geometría de la Red, identificando en forma coherente los Nodos y los Circuitos (NC).
2. Definir/Suponer los diámetros de las Tuberías que conforman la Red. (Es un Proc. De Comprobación de Diseño).
3. Se definen los circuitos cerrados en cualquier orden. Se debe garantizar que todos los tubos queden incluidos por lo menos en un circuito
4. Suponer los Caudales en cada uno de los Tubos de la Red (Verificando Continuidad en cada Nodo), e ir corrigiendo esta suposición en
cada Iteración. Cuanto mejores sean las suposiciones, mas rápido converge el método.
5. Se estima un error de Caudal por Circuito utilizando la Ec. De Perdidas, de la siguiente manera:
Q + Δ
Q
⎞
⎛
l
Σ Σ ⋅ ⋅
⎜ ⎜
ij ij
ij
km
h hf hm f
= + = ⋅ + 2
ij ij ij ij g A
⎝
ij
d
Σ ( Σ
)
( Σ Σ
)
⎞
⎟ ⎟
⎠
hf +
hm
ij ij
⎛ +
⎜ ⎜
⎝
⋅
Q
Δ = −
hf hm
ij ij
ij
Q
2
( )
⋅ ⎟ ⎟
⎠
2
2 ij
ij
Resolviendo, Despreciando términos pequeños y
Despejando ΔQij, obtenemos:
6. Si en alguna de las tuberías del circuito, existe una Bomba Centrifuga, se debe restar la cabeza generada por esta de las perdidas en la
tubería, antes de hacer el calculo de corrección de caudales.
7. Iterar, hasta que la Convergencia en el Balance de Cabezas, llegue a valores razonablemente cercanos a cero.
2. Ejemplo:
Datos: ΣKm2-3 = 10 (Válvula). υ (m²/sg) = 1.140E-06
ε (m) = 6.00E-05
H1 (mca) = 100
Nota: Los Diámetros se indican en pulgadas y los Q en l/s.
60 40
1 10" 2 6"
3
Desarrollo del Metodo.
500 m
Entrada de Datos (Primer Ciclo).
1. Suponemos los Caudales. (Verificando la Ec. De Continuidad). Verificar signos de acuerdo a sentido acordado.
Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]
Longitud (m) 500.0 400.0 200.0 400.0 200.0 600.0 300.0
Σkm 0.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Caudal (l/s)* 120 50 10 -20 10 -40 -80
*IMPORTANTE: En la suposición inicial de Caudales se debe cumplir continuidad en cada nodo.
CIRCUITO I
Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij
(m) (m3/s) (m/s) (m)
1 a 2 0.2540 0.1200 2.3682 0.015686 8.8270 73.55800
2 a 5 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.25725
5 a 6 0.2032 -0.0400 -1.2335 0.017500 -4.0070 100.17464
6 a 1 0.2540 -0.0800 -1.5788 0.016257 -2.4394 30.49261
Σ = 5.5031 516.48250
ΔQI (m3/s) =
CIRCUITO II
Tuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij
(m) (m3/s) (m/s) (m)
2 a 3 0.1524 0.0500 2.7410 0.017312 21.2295 424.59046
2 a 5 0.1016 -0.004672 -0.5763 0.022743 -0.7579 162.21042
3 a 4 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.25725
5 a 4 0.1524 -0.0200 -1.0964 0.018905 -3.0401 152.00743
Σ = 20.5540 1051.06557
ΔQII (m3/s) =
-0.0053275
-0.0097777
I II
300 m
600 m
400 m
200
400 m
200
40
30
30
10"
4" 4"
6"
8"
5 4
6
5. Solucion Final
R/ En ambos circuitos, el criterio de correcion es pequeno, al igual que la sumatorias de perdidas, por lo cual el proceso
puede parar, ya que se cumple la Ec. De Conservacion de la Energia en cada circuito. Los Resultados Finales son:
Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]
Caudal (l/s) 106.70 36.61 -3.39 -33.39 10.08 -53.30 93.30
Nodo 1 2 3 4 5 6
H (m) 100.00 92.86 81.09 81.45 89.35 96.78