Tugas ini membahas konduksi panas pada silinder dengan sumber panas nuklir. Diberikan persamaan kesetimbangan energi dan hukum Fourier untuk menentukan distribusi suhu pada bahan bakar dan cladding silinder. Didapatkan persamaan distribusi suhu yang bergantung pada radius, konduktivitas termal, dan sumber panas nuklir.

1. Tugas Kelompok Proses Transfer 4
Konduksi panas dengan sumber panas nuklir

2. Kesetimbangan energy untuk kulit silinder dengan tebal ∆r
 Energy panas masuk pada r
𝑞 𝑟
(𝐹)
|
𝑟
. 4𝜋𝑟2
= (4𝜋𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
)|
𝑟
 Energy panas keluar pada r+∆r
𝑞 𝑟
(𝐹)
|
𝑟+Δ𝑟
. 4𝜋(𝑟 + Δ𝑟)2
= (4𝜋𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
)|
𝑟+Δ𝑟
 Energi panas diproduksi
(4𝜋𝑟2
Δ𝑟)𝑆 𝑛 = 0
Energy panas masuk pada r + Energi panas keluar pada r+∆r + energy panas diproduksi = 0
(4𝜋𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
)|
𝑟
− (4𝜋𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
)|
𝑟+Δ𝑟
+ (4𝜋𝑟2
Δ𝑟)𝑆 𝑛 = 0
Dibagi 4π∆r, maka…
(4𝜋𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
)|
𝑟
− (4𝜋𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
)|
𝑟+Δ𝑟
+ (4𝜋𝑟2
Δ𝑟)𝑆 𝑛
4π∆r
= 0
𝑟2
Δ𝑟
𝑞 𝑟
(𝐹)
|
𝑟
−
𝑟2
Δ𝑟
𝑞 𝑟
(𝐹)
|
𝑟+Δ𝑟
+ 𝑟2
𝑆 𝑛 = 0
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
) = 𝑆 𝑛0 [1 + 𝑏 (
𝑟
𝑅(𝐹)
)
2
] 𝑟2
Diasumsikan untuk cladding
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐶)
) = 0

3. Integralkan kedua persamaan tersebut sbb…
 Untuk bahan bakar nuklir
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
) = 𝑆 𝑛0 [1 + 𝑏 (
𝑟
𝑅(𝐹)
)
2
] 𝑟2
𝑑(𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
) = 𝑆 𝑛0 [1 + 𝑏 (
𝑟
𝑅(𝐹)
)
2
] 𝑟2
𝑑𝑟
∫ 𝑑(𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐹)
) = ∫ 𝑆 𝑛0 [1 + 𝑏 (
𝑟
𝑅(𝐹)
)
2
] 𝑟2
𝑑𝑟
𝑞 𝑟
(𝐹)
= 𝑆 𝑛0 [
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
] +
𝐶1
(𝐹)
𝑟2
 Untuk Cladding
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐶)
) = 0
∫
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐶)
) = ∫ 0
𝑟2
𝑞 𝑟
(𝐶)
= 𝐶1
(𝐶)
𝑞 𝑟
(𝐶)
=
𝐶1
(𝐶)
𝑟2
Kondisi batas :
B.C. 1 r=0 dan 𝑞 𝑟
(𝐹)
= 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎
B.C. 2 𝑟 = 𝑅(𝐹)
dan 𝑞 𝑟
(𝐹)
= 𝑞 𝑟
(𝐶)

4. Untuk 𝑞 𝑟
(𝐹)
jika r=0 maka C1=0, oleh karena itu
𝑞 𝑟
(𝐹)
= 𝑆 𝑛0 [
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
]
Untuk mendapatkan persamaan 𝑞 𝑟
(𝐶)
jika 𝑟 = 𝑅(𝐹)
; 𝑞 𝑟
(𝐹)
= 𝑞 𝑟
(𝐶)
dan 𝑞 𝑟
(𝐹)
=
𝑆 𝑛0 [
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
]
Maka persamaan yang didapatkan adalah sbb …..
𝑞 𝑟
(𝐶)
= 𝑆 𝑛0 [
1
3
+
𝑏
5
]
𝑅(𝐹)3
𝑟2
Dengan di dapatkannya 2 persamaan maka diperlukan subtitusikan dengan Hukum Fourier
(Lihat table B.2-7 by Bird)
 Persamaan Hukum Fourier
𝑞 𝑟 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑟
Persamaan 1
𝑞 𝑟 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑟
−𝑘(𝐹)
𝑑𝑇(𝐹)
𝑑𝑟
= 𝑆 𝑛0 [
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
]
𝑑𝑇(𝐹)
𝑑𝑟
= −
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐹)
[
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
]
𝑑𝑇(𝐹)
= −
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐹)
[
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
] 𝑑𝑟
∫ 𝑑𝑇(𝐹)
= ∫ −
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐹)
[
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
] 𝑑𝑟

5. 𝑇(𝐹)
= −
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐹)
∫ [
𝑟
3
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟3
5
] 𝑑𝑟
𝑇(𝐹)
= −
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐹)
[
𝑟2
6
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟4
20
] + 𝐶2
(𝐹)
Persamaan 2
𝑞 𝑟 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑟
−𝑘(𝐶)
𝑑𝑇(𝐶)
𝑑𝑟
= 𝑆 𝑛0 [
1
3
+
𝑏
5
]
𝑅(𝐹)3
𝑟2
𝑑𝑇(𝐶)
𝑑𝑟
= +
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐶)
[
1
3
+
𝑏
5
]
𝑅(𝐹)3
𝑟2
𝑑𝑇(𝐶)
= +
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐶)
[
1
3
+
𝑏
5
]
𝑅(𝐹)3
𝑟2
𝑑𝑟
∫ 𝑑𝑇(𝐶)
= ∫
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐶)
[
1
3
+
𝑏
5
]
𝑅(𝐹)3
𝑟2
𝑑𝑟
𝑇(𝐶)
=
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐶)
[
1
3
+
𝑏
5
] 𝑅(𝐹)3
∫
1
𝑟2
𝑑𝑟
𝑇(𝐶)
=
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐶)
[
1
3
+
𝑏
5
] 𝑅(𝐹)3
1
𝑟
+ 𝐶2
(𝐶)

6. Kondisi batas :
B.C. 3 r = 𝑅(𝐹)
dan 𝑇(𝐹)
= 𝑇(𝐶)
B.C. 4 𝑟 = 𝑅(𝐶)
dan 𝑇(𝐶)
= 𝑇0
Ket : T0 adalah Suhu yang diketahui di luar cladding
 Untuk 𝑇(𝐹)
jika r = 𝑅(𝐹)
; 𝑇(𝐹)
= 𝑇(𝐶)
dan 𝑟 = 𝑅(𝐶)
; 𝑇(𝐶)
= 𝑇0 maka dihasilkan
persamaan sbb
Persamaan 1
𝑇(𝐹)
= −
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐹) [
𝑟2
6
+
𝑏
𝑅(𝐹)2
𝑟4
20
] + 𝐶2
(𝐹)
+
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐶) [
1
3
+
𝑏
5
] 𝑅(𝐹)3 1
𝑟
+ 𝐶2
(𝐶)
𝑇(𝐹)
= −
𝑆 𝑛0 𝑅(𝐹)2
6𝑘(𝐹) {[1 − (
𝑏
𝑅(𝐹))
2
] +
3𝑏
10
[1 − (
𝑏
𝑅(𝐹))
4
]} + 𝐶2
(𝐹)
+
𝑆 𝑛0 𝑅(𝐹)2
3𝑘(𝐶) (1 +
3𝑏
5
) . (1 −
𝑅(𝐹)
𝑅(𝐶)) + 𝑇0
𝑻(𝑭)
− 𝑻 𝟎 =
𝑺 𝒏𝟎 𝑹(𝑭)𝟐
𝟔𝒌(𝑭)
{[𝟏 − (
𝒓
𝑹(𝑭)
)
𝟐
] +
𝟑𝒃
𝟏𝟎
[𝟏 − (
𝒓
𝑹(𝑭)
)
𝟒
]} +
𝑺 𝒏𝟎 𝑹(𝑭)𝟐
𝟑𝒌(𝑪)
(𝟏 +
𝟑𝒃
𝟓
) . (𝟏 −
𝑹(𝑭)
𝑹(𝑪)
)
Persamaan 2
𝑇(𝐶)
=
𝑆 𝑛0
𝑘(𝐶)
[
1
3
+
𝑏
5
] 𝑅(𝐹)3
1
𝑟
+ 𝐶2
(𝐶)
𝑻(𝑪)
− 𝑻 𝟎 =
𝑺 𝒏𝟎 𝑹(𝑭)𝟐
𝟑𝒌(𝑪)
(𝟏 +
𝟑𝒃
𝟓
) (
𝑹(𝑭)
𝒓
−
𝑹(𝑭)
𝑹(𝑪)
)