Ensayo sobre el modelo matemático del flujo compresible isotérmico

1. Escuela de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo
Universidad de Carabobo (Venezuela) 1
ENSAYO DEL FLUJO DE RAYLEIGH Y FLUJO ISOTERMICO:
Resumen
Para complementar el estudio de flujos
compresibles en ductos, se presentan modelos
matemáticos analíticos, partiendo de la
consideración de flujo isotermo con fricción,
valido para conductos largos, como los
gaseoductos de gas natural. Extendiendo dicho
estudio hasta conductos de un flujo
compresible con intercambio de calor en
condiciones reversibles, de manera de
satisfacer la primera y segunda ley de la
termodinámica y aproximar los resultados de
manera eficiente para llegar a diferenciar este
tipo de flujo en aplicaciones importantes como
el caso de combustión, reacciones química y
nuclear.
Palabras Claves: Condiciones reversibles,
Flujo isotermo, fricción y Rayleigh.
Si se tiene el siguiente montaje:
Figura 1. Esquema de flujo de Rayleigh
En el cual se quiere estudiar los efectos que
causa la transferencia de calor de un flujo
compresible el cual tiene condiciones de flujo
estacionario unidimensional sin rozamiento de
un gas ideal con calores específicos constantes a
través de un volumen de control finito. Se
pueden obtener expresiones analíticas de las
propiedades si se analiza dicho volumen de
control, como se muestra a continuación:
Ecuación de continuidad: con la suposición de
que se tiene un flujo estacionario y que el flujo
es uniforme en cada sección transversal durante
todo el proceso, se puede obtener la siguiente
ecuación:
Y aplicando las suposiciones ya comentadas se
obtiene:
Ecuación cantidad de movimiento: tomando en
cuenta la suposición que el flujo es estacionario
y que , y también que no existe
rozamiento entre el flujo y el conducto, entonces
por la ecuación fundamental:
Y aplicando las suposiciones propuestas, queda:
Primera ley de la termodinámica: teniendo las
siguientes suposiciones que el flujo es
estacionario y que no existe trabajo en el
proceso, aplicando la ecuación fundamental:
Suponiendo que los efectos de la gravedad son
despreciables y que no existe trabajo
suministrado al sistema y que:
Volumen de
Control
Estado
Inicial
(1)
Estado
(2)

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Realizando operaciones analíticas y aplicando
las suposiciones a la ecuación fundamental, se
obtiene la expresión:
Segunda ley de la termodinámica: para este
caso no es aplicable la ecuación fundamental:
Porque se necesitaría conocer la temperatura en
toda el área del fluido, y que la rapidez de
transferencia de calor puede cambiar
drásticamente entre enfriamiento y
calentamiento, por lo tanto esta expresión no se
podrá utilizar para cálculos de entropía, y por lo
tanto asumiendo un gas ideal que mantiene
constante los calores específicos, se tiene que:
Y a su vez esta expresión se puede utilizar
también como:
Ecuación de estado: la ecuación de estado para
un gas ideal será:
También teniendo la ecuación para gases ideales:
Ahora bien analizando la cantidad de posibles
soluciones en el estado 2, del montaje y
conociendo todas las condiciones en el estado 1,
matemáticamente se concluye que existe un
número infinito de posibles estados que
satisfacen un determinado estado 1. Tomando
este conjunto infinito de estado y graficando
dichos valores en un diagrama de temperatura
respecto a cambios de estrategia, se obtiene una
gráfica que se conoce como línea de Rayleigh.
Figura 2. Esquema de la línea de Rayleigh
Esta grafica tiene características importantes que
se utilizan para calcular cuando se estudian
flujos con transferencia de calor y otras
suposiciones (flujos de Rayleigh):
En el punto donde la temperatura es máxima el
valor del número de Mach para un gas ideal se
puede conocer por
Siendo k una constante que es específica de cada
gas.
En el punto donde la entropía es máxima el
número de Mach es igual a uno.
Independientemente del número de Mach del
estado inicial, si se agrega calor al sistema el
estado final del flujo cambia hacia la derecha
sobre la línea de Rayleigh, y mientras se extrae
calor el estado del flujo cambia hacia la
izquierda sobre la misma línea.
El número de Mach en el brazo superior de la
curva tiene valores de flujos subsónicos (
) y se incrementa a medida que cambia el
estado del flujo hacia la derecha sobre la curva,

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mientras que en el brazo inferior de la curva el
número de Mach corresponde para flujos
supersónicos ( ) y el mismo disminuye
conforme el estado del flujo cambia hacia la
derecha sobre la curva.
Variación en las propiedades del flujo:
Cabe destacar que la dirección del cambio de
entropía siempre está determinando por la
transferencia de calor, la entropía aumentará
cuando se agregue calor al sistema, mientras que
cuando existe enfriamiento la entropía
disminuirá.
También según la primera ley de la
termodinámica el calentamiento del flujo
produce un aumento en la entropía de
estancamiento mientras que la misma disminuye
cuando existe un enfriamiento en el sistema. Al
igual ocurre con la temperatura de estancamiento
debido a la relación:
Realizando un análisis para ambas condiciones
de adición y substracción de calor en la gráfica,
se obtiene que ocurre un fenómeno inesperado
en el internado cuando el número de Mach se
encuentra en un intervalo entre
, donde al calentar produce que
la temperatura del flujo disminuya, mientras que
si se enfría el sistema produce que esta
temperatura incremente.
La línea de Rayleigh también establece que para
se obtiene la máxima transferencia de
calor posible sin que el flujo caiga en
condiciones de ahogamiento. Así mismo al
grafico de Rayleigh establece que para flujos
subsónicos la presión decae con el
calentamiento, mientras que para el caso de
flujos en condiciones supersónicas la presión se
incrementa con el calentamiento. Al conocer las
variaciones de presión del flujo también se
pueden obtener las variaciones de la velocidad
empleando la ecuación de cantidad de
movimiento y de esta
forma obtener que el comportamiento de la
presión con respecto al de la velocidad tiene que
ser opuesto. Con respecto a la presión de
estancamiento local en condiciones isentrópicas,
el valor de esta siempre disminuirá en procesos
de calentamiento. Por lo tanto para flujos en
condiciones supersónicas si se agrega la misma
cantidad de energía, manteniendo la misma
variación de temperatura de estancamiento, se
obtiene un mayor cambio en la presión de
estancamiento debido a que este se presenta a
una temperatura menor, obteniéndose así un
incremento de entropía mayor, dando como
resultado un ahorro considerable de energía si se
quiere obtener para flujos supersónicos una
variación mayor de entropía en el sistema.
También tiene importancia el fenómeno de
bloqueo que se produce cuando el flujo de
Rayleigh con número de Mach menor que uno,
es calentado hasta velocidades supersónicas y
continuas siendo calentado. Este proceso de
calentamiento no hará que el flujo siga
acelerándose después del punto de Mach igual a
1 sobre la línea de Rayleigh, por lo tanto ocurrirá
el fenómeno de flujo ahogado donde lo único
que se logra al continuar el calentamiento es la
variación de los puntos críticos, así como
también se lograra variar las velocidades del
estado inicial debido a que se está logrando un
cambio en la densidad por lo tanto, como la
sección de la tubería se mantiene constante, los
efectos de la adición de calor serán reflejados en
las variaciones de velocidad de ambos estados.
Choque normal:
La línea de Rayleigh tiene una característica
importante en el fenómeno de choque en una
tubería, y es que cuando dicha línea se intercepta
con la línea de Fanno, siendo ambas líneas
correspondientes a un mismo volumen de
control, se puede determinar con una alta

4. Ensayo del análisis de flujos compresibles en ductos de sección constante y con transferencia de calor
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exactitud los puntos en los cuales se producirá
una onda de choque normal en el flujo.
Figura 3. Diagrama de intercepción entre las
líneas de Rayleigh y Fanno para un mismo flujo
El choque normal en un flujo solo puede ocurrir
en condiciones supersónicas lo cual corresponde
con el grafico anterior donde se establece que el
punto antes del choque se denomina con el
índice X, mientras para un estado después del
choque se denomina con el índice Y. En el
grafico se observa que el salto ocurre desde la
zona supersónica hasta la zona subsónica.
Flujo isotermo con fricción: conductos largos
Para flujos en conductos largos, el estado del gas
se aproxima más a un flujo isotermo. Se
considera la siguiente relación para este estudio.
La integración de la relación entre el número de
Mach y el coeficiente de fricción da
Esta relación proporciona el resultado interesante
de que no se hace cero en el punto sónico,
sino en , para
Gasto másico para una caída de presión dada
Un interesante subproducto del análisis isotermo
es la relación explicita entre las caída de presión
y el flujo másico en el conducto
De esta manera para el flujo isotérmico tenemos
una expresión explicita para el gasto másico e
función de la caída de presiones, sin necesidad
de números de Mach o tablas
Aplicación de la línea de Rayleigh para
problema de flujos con rozamiento despreciable:
Aire a 250 K y 1,0 bar se mueve a 100
m/s hacia la entrada de una cámara de
combustión (de sección transversal constante
Fig.1), hasta llegar a un receptor. Si el calor
añadido durante el proceso de combustión es 300
kJ/kg.
Determine:
1. La temperatura, presión, y número de
Mach de salida, para el caso subsónico.
2. Que tanto calor pude ser adicionado sin
cambiar las condiciones de entrada de la
cámara de combustión? (Suponga
M2=1).
3. Con el calor añadido en la pregunta 2,
cual es la nueva temperatura de
estancamiento en el estado 2.
4. Ahora se añade suficiente combustible
para que la temperatura de
estancamiento de salida aumente ahora
hasta 1500 K. Asuma también que la
presión en el receptor es muy baja.
Como cree usted que cambia el sistema?

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5. Con las condiciones anteriores, describa
el flujo de aire tanto cualitativa como
cuantitativamente.
6. Con las condiciones anteriores, haga una
representación en un diagrama T-S.
Donde se muestre la(s) línea(s) de
Rayleigh.
.
Solución:
1Obtenemos el número de Mach a la
entrada de la cámara de combustión
utilizando la temperatura y la velocidad,
ambas dadas en esa etapa.
De la tabla de flujo isentroprico
utilizando se tiene que:
De la cual se puede obtener que:
De la tabla de flujo de Rayleigh, con el
número de mach se obtiene que:
M
0.3156 0.3763 0.4427 2.106
Luego, por conservación de la energía:
En (2), →
Entrando en la tabla de flujo de Rayleigh
con , ese valor corresponde con un
numero de mach de: M2=0,5985 (subsónico), y
, .
Entonces el estado de salida es:
De la misma forma:

6. Ensayo del análisis de flujos compresibles en ductos de sección constante y con transferencia de calor
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1Dado que M2 = 1. Esto implica que:
De la ecuación de energía:
Pero para la máxima adición de calor
Donde M = 1.
Por lo tanto
Ya que al inicio se agregaron 300 kJ/kg,
y el nuevo calor calculado es 424 kJ/kg. Se
pueden agregar otros 124 kJ/kg al flujo antes de
que se estrangule térmicamente.
A) La nueva temperatura de
estancamiento en el estado 2 será.
D, E)
En este caso =1500 K > 578 K.
Ya que el flujo original de aire no puede
alojar tal cantidad de calor ( =1500 K > 578
K). Algo tiene que cambiar en el sistema para
soportar la cantidad de calor añadido. En otras
palabras no puede permanecer en la misma
línea de Rayleigh.
Recuérdese que el estado aguas arriba
siempre se puede comunicar con
los estados intermedios en un flujo subsónico por
medio de ondas de presión.
Detectando la adición de calor aguas
abajo, por encima de la temperatura critica. El
flujo se desacelera desde el la parte libre hasta la
entrada. Por lo que tendría q haber un derrame
antes de la zona de entrada. :
Con un flujo másico menor en la cámara
de combustión, el flujo se mueve a un número de
Rayleigh diferente con un valor menor de flujo
másico por unidad de área (Ṁ/A).
Ya que la presión en el receptor
(contrapresión - Pb) es muy baja, se puede
asumir que el flujo está estancado en el estado 2,
es decir; M2=1.
Con M2=1, podemos concluir que:
esto conduce a
Con la relación de temperaturas
obtenidas , nos referimos a la tabla de
Rayleigh y obtenemos:
Entonces el flujo se desacelera desde
hasta en la
entrada.
Ahora con entrando en la tabla de
flujo isentrópico se obtiene:
El estado de entrada será:
y como sabemos
que

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y como sabemos
que
Para determinar la condición de salida:
Con M1=0,1977, en tabla de Rayleigh.
y
Entonces:
Ducto isotérmico
En un ducto de 2 cm de diámetro y 2,4 m de
longitud entra aire a y
. Sí y la presión de salida es
, estime el gasto másico para un
flujo isotermo
Calculando el área
Conclusiones:
En un sistema donde se encuentre un flujo que
cumpla con las condiciones de flujo de Rayleigh,
si se conoce el estado inicial, cualquier estado
posterior que cumpla con las ecuaciones de
conservación de masa, energía y cantidad de
movimiento tendrá un lugar geométrico sobre la
línea de Rayleigh para dicho flujo dado.
Para flujos de Rayleigh en condiciones
supersónicas la adición de calor provocara una
disminución de número de Mach hasta llegar a
un valor de Mach igual a la unidad, mientras que
para flujos subsónicos dicho número de Mach
aumentara con el calentamiento.
Los flujos de Rayleigh en condiciones
supersónicas tienen una ventaja en comparación
con flujos en condiciones subsónicas, y es que
tienen la capacidad de producir una mayor
variación de entropía con el mismo consumo de
energía, y manteniendo la misma variación de
temperatura de estancamiento, se obtiene un
mayor cambio en la presión de estancamiento
debido a que este ocurre a una temperatura
menor, en el caso de flujos sin rozamiento en
condiciones supersónicas, lo cual da un beneficio
importante para procesos de combustión en
donde se aprovecha una mayor variación de
entropía a un menor gasto de energía para que se
logre dicha variación, comparado con el uso de
flujos subsónicos.
El fenómeno de enfriamiento que ocurre en la
región de la grafica entre los valores de Mach
, para flujos subsónicos es
debido al gran incremento de la velocidad en
esta sección lo cual da como un resultado que a
pesar que se sigue adicionando calor al flujo, la
temperatura del mismo disminuye. Este
fenómeno se puede analizar mejor mediante la

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relación , que con un gran
incremento de la temperatura se logra un
enfriamiento del flujo considerable, asumiendo
que se mantiene constante la temperatura de
estancamiento en esta sección de la línea de
Rayleigh.
Conociendo la línea de Rayleigh y conociendo la
línea de Fanno para un mismo fluido en
condiciones particulares es posible determinar el
estado exacto del flujo en el cual ocurrirá el
choque normal en la zona supersónica, lo cual
proporciona una herramienta importante para
flujos en tuberías conociendo estados iniciales.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]Ralph M. Rotty. Introducción a la dinámica
de los gases. Editorial Herrero Hermanos
sucesores, S.A. 1era Edición 1968.
[2]Ralph M. Rotty. Introducción a la dinámica
de los gases. Editorial Herrero Hermanos
sucesores, S.A. 1era Edición 1968.
[3]Yunus, A. Cengel & John, M. Cimbala.
Mecánica de los fluidos. Mac Graw Hill. 1ra
Edición 2006.