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MCMC法
1.
MCMC法 2018/12/10 東京工業大学 工学院 経営工学系
3年 松井諒生 1
2.
目次 • 統計モデル俯瞰図 …p3 •
MCMC法 …p4 • マルコフ連鎖 …p5~ • マルコフ連鎖-定常分布 …p7~ • モンテカルロ法 …p10 • 統計モデルのベイズ化 …p11~ • 統計モデルのベイズ化-事後分布 …p17~ • MCMC法-メトロポリス法 …p20 • MCMC法-メトロポリス法-アルゴリズム …p21~ • MCMC法-メトロポリス法-実験 …p24 • MCMC法-ギブスサンプリング …p25 • MCMC法-ギブスサンプリング-実験 …p26~ • MCMC法-まとめ …p32 2
3.
今回 3
4.
MCMC=Marcov chain Monte
Carlo method マルコフ連鎖モンテカルロ法 • 解析的に特定できない関数の近似曲線を求める方法の一つ。 • マルコフ連鎖とモンテカルロ法を組み合わせたモデル。 • 統計モデルにおいては尤度関数を求め、パラメータの事後分布 とする際に用いる。 具体的な手法の前にまずはそれぞれの概要について。 4
5.
マルコフ連鎖 • ひとつ前の状態にのみ依存し、一定の確率で状態変化を繰り返 すモデル。確率漸化式であらわされる。 5 n=kn=k-1 n=k+1 𝑎
𝑛 = 𝑝𝑎 𝑛−1 + 𝑞𝑏 𝑛−1 + 𝑟𝑐 𝑛−1 𝑏 𝑛 = 𝑝′𝑎 𝑛−1 + 𝑞′𝑏 𝑛−1 + 𝑟′𝑐 𝑛−1 𝑐 𝑛 = 𝑝"𝑎 𝑛−1 + 𝑞"𝑏 𝑛−1 + 𝑟"𝑐 𝑛−1 𝑐 𝑛 𝑎 𝑘−1 𝑎 𝑘+1 𝑏 𝑘𝑏 𝑘−1 𝑏 𝑘+1 𝑎 𝑘 𝑐 𝑘−1 𝑐 𝑘+1
6.
マルコフ連鎖 このようにも表せる。 6 𝑎 𝑛 =
𝑝𝑎 𝑛−1 + 𝑞𝑏 𝑛−1 + 𝑟𝑐 𝑛−1 𝑏 𝑛 = 𝑝′𝑎 𝑛−1 + 𝑞′𝑏 𝑛−1 + 𝑟′𝑐 𝑛−1 𝑐 𝑛 = 𝑝"𝑎 𝑛−1 + 𝑞"𝑏 𝑛−1 + 𝑟"𝑐 𝑛−1 𝜋 𝑛 = 𝑃𝜋 𝑛−1 𝜋 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑐 𝑛 , 𝑃 = 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝′ 𝑞′ 𝑟′ 𝑝" 𝑞" 𝑟" cb a 𝑝 𝑝′ 𝑝" 𝑞 𝑞′ 𝑞" 𝑟 𝑟′ 𝑟"
7.
マルコフ連鎖-定常分布 定常分布=一度その状態になると、その状態であり続ける分布 つまり、 𝝅 𝒏 =
𝑷𝝅 𝒏 を満たす𝜋 𝑛が定常分布。 ただし、要素の総和は1。 • 全ての点からすべての点に動ける • 周期がない • 定常分布がある この3点が満たされると、極限状態が定常分布に一致する 7 cb a 𝑝 𝑝′ 𝑝" 𝑞 𝑞′ 𝑞" 𝑟 𝑟′ 𝑟"
8.
マルコフ連鎖-定常分布 例題) 8 A B C D E A B C D E A B C D E A B C
D E A 1/2 1/2 0 0 0 B 1/4 1/4 1/2 0 0 C 0 1/4 1/2 1/4 0 D 0 0 1/2 1/4 1/4 E 0 0 0 1/2 1/2 前 後 ・・・ 遷移確率行列
9.
マルコフ連鎖-定常分布 遷移確率行列の転置をPとすると、定常分布𝜋は 𝝅 = 𝜋
𝐴, 𝜋 𝐵, 𝜋 𝐶, 𝜋 𝐷, 𝜋 𝐸 𝑇 として、 𝜋 = 𝑃𝜋 が成り立つから、これを解いて、 𝜋 = 1 4 8 4 1 𝑘 𝜋の要素の総和は1だからk=1/18となり、定常分布𝜋が求められる。 3条件を満たすので、これが極限状態の分布に一致する。 9
10.
モンテカルロ法 独立な確率分布からランダムな数値を与え、シミュ レーションを行う手法。 土井さんの資料「モンテカルロ法解説資料」参照 (SVN>勉強会>アルゴリズム解説資料) 例) 独立に一様分布に従う 𝑥, 𝑦
∈ 0,1 × [0,1]を多数生 成し、𝑥2 + 𝑦2 < 1を満たす個数の割合が円周率の 1/4に近似できる。 10 l = 10000000 x= runif(l) y= runif(l) p = x^2+y^2 pi = 4*sum(p<1)/l print(pi) 3.141686 四角の面積は1 扇型の面積はπ/4 試行回数が多いと近 似がよくなる
11.
統計モデルのベイズ化 新しい概念:「パラメータの事前分布」 今まで(の資料)は推定するパラメータαβは未知な定数であ るとしていた。これは頻度主義統計学の考え方であるが、ベ イズ統計学では推定パラメータが「確率分布を持つ」という 概念を導入する。 ベイズの定理(条件付確率の公式) 𝑝 𝜆 𝑦
= 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝(𝜆) 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝( 𝜆) 11
12.
12 y λ p(y|λ):尤度 𝜉 𝜏 今まではyへの矢印の確 率が最も高い値を推定値 としていた今まで(頻度主義統計学) 統計モデルのベイズ化
13.
13 y p(λ)事前確率 λ p(y|λ)p(λ) 𝜉 𝜏 パラメータにも分布があり、ある確 率によって発生するものとする。 ベイズ統計学 統計モデルのベイズ化
14.
14 y p(λ)事前確率 λ p(y|λ)p(λ) 𝜉 𝜏 モデル上はこの順番によって事象が起 きるが、予測においてはyが起きたとい う事実からパラメータを知りたい。 統計モデルのベイズ化
15.
15 y 𝝀の事後確率 = 赤の矢印 𝒚へ向かう矢印 p(λ)事前確率 λ p(y|λ)p(λ) 𝜉 𝜏 そこで、ベイズの定理によって全 点について事後確率を計算し、事 後分布とする。 統計モデルのベイズ化
16.
16 y λ p(y|λ)p(λ) 𝜉 𝜏 事後確率 統計モデルのベイズ化
17.
統計モデルのベイズ化-事後分布 17 Q.事後分布はどのように求めるか? A.事後分布は事前分布と尤度関数によって決まる。 𝑝 𝜆 𝑦
= 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝(𝜆) 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝( 𝜆) ∝ 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝 𝜆 Q.事前分布はどのように決まるのか? A.無情報事前分布: ベイズ統計学において、事前分布は人の知見や経験を反映さ せるように設定するが、それらの情報がないとき、パラメー タλは(-∞,∞)のどの値も自由に取りうるものとみなす。 事前分布尤度 定数(yへ向かう矢印) 事後分布 (赤の矢印)
18.
18 つまり、λの事前分布は(-∞,∞)の一様分布とする。 (十分大きい値kをとって(-k,k)とする。) よって、事前分布は定数をとるから、 𝑝 𝜆 𝑦
= 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝(𝜆) 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝( 𝜆) ∝ 𝑝 𝑦 𝜆 𝑝 𝜆 ∝ 𝑝(𝑦|𝜆) 尤度 となって、事後分布は尤度に比例することがわかる。 事後分布 統計モデルのベイズ化-事後分布
19.
19 ならば尤度関数を求めて、正規化すれば事後分布が求められる! しかし、パラメータが多いと尤度関数は簡単には求められない。 そこでMCMC法を用いて、尤度関数を近似的に求め、事後分布 を知ることができる。 統計モデルのベイズ化-事後分布
20.
MCMC法-メトロポリス法 メトロポリス法:MCMC法の一つ 極限状態(=定常分布)が尤度関数に比例した分布となるように適当な条 件を与えた遷移確率でマルコフ連鎖をつくり、十分な回数遷移させるこ とで、遷移回数の分布から尤度関数およびパラメータの事後分布を特定 する方法。 つまり、マルコフ連鎖を用いた、乱数シミュレーション。 マルコフ連鎖で推移回数を十分大きくすると、各点への推移数は定常分 布に従うといえる。 20
21.
MCMC法-メトロポリス法-アルゴリズム 21 簡単のため、まずは1変数でのアルゴリズム パラメータλを適度な範囲でk個の数に離散化して𝜆1, 𝜆2, ⋯
, 𝜆 𝑘と し、それらをノードとするマルコフ過程を考える。 1. λの初期値(n=1におけるノード)を選ぶ 2. λを以下の確率で推移させる ・確率𝑝+(𝑚) = 1 2 min 1, 𝐿 𝜆 𝑚+1 𝐿 𝜆 𝑚 で𝑘 = 𝑚 + 1に推移 ・確率𝑝−(𝑚) = 1 2 min 1, 𝐿 𝜆 𝑚−1 𝐿 𝜆 𝑚 で𝑘 = 𝑚 − 1に推移 ・確率𝑝0(𝑚) = 1 − 𝑝+(𝑚) − 𝑝−(𝑚)でk=mに推移 𝜆 𝑘 𝜆3 𝜆2 𝜆1 ⋮ 𝜆 𝑘 𝜆3 𝜆2 𝜆1 ⋮ 𝜆 𝑘 𝜆3 𝜆2 𝜆1 ⋮
22.
MCMC法-メトロポリス法-アルゴリズム 22 𝜆 𝑚 𝜆
𝑚 𝜆 𝑚−1 𝜆 𝑚+1 尤度 確率 1/2 L(𝜆 𝑚−1 ) 𝐿(𝜆 𝑚) 1/2 − L(𝜆 𝑚−1 ) 𝐿(𝜆 𝑚) m+1かm-1を1/2で選択。 ⇓ ・尤度が大きければ推移 ・尤度が小さければ尤度に従った 確率で推移
23.
MCMC法-メトロポリス法-アルゴリズム 23 𝜆 𝑚 𝜆
𝑚 𝜆 𝑚−1 𝜆 𝑚+1 尤度 確率 1/2 L(𝜆 𝑚+1) 𝐿(𝜆 𝑚) 1 − L(𝜆 𝑚+1 ) 𝐿(𝜆 𝑚) m+1かm-1かを1/2で選択。 ⇓ ・尤度が大きければ推移 ・小さければ尤度に従った確率で推移
24.
24 𝐿 𝜆 ~𝑁(0,1)としてメトロポリス法を実装し、実行した結果が以下 MCMC法-メトロポリス法-実験 λ 試行回数n
確率 平均 E[λ]:-0.097 分散Var[λ]:1.016
25.
MCMC法-ギブスサンプリング • 一般化線形モデルで回帰を行う際は多変数になるが、多変数だとこのままでは推定できない • そこで用いるのがギブスサンプリング 1.実現値yとパラメータβからなる尤度関数L(𝛽1,
𝛽2, ⋯ 𝛽 𝑛)が得られる。 2.初期値𝛽 = (𝛽1 𝛽2 ⋯ 𝛽 𝑛)を決める。 3-1. 𝛽1以外を初期値に固定した尤度関数を𝛽1の確率分布として、それに従う𝛽1 ′ を新たにランダム発生させる。 3-2. 𝛽2以外を𝛽1 ′ , 𝛽3, ⋯ 𝛽 𝑛に固定した関数を𝛽2の確率分布として、それに従う𝛽2 ′ を新たにランダム発生させる。 ⋮ 3-n. 𝛽 𝑛以外を𝛽1 ′ , 𝛽2 ′ , ⋯ 𝛽 𝑛−1 ′ に固定した関数を𝛽 𝑛の確率分布として、それに従う𝛽 𝑛 ′ を新たにランダム発生させる。 4. 3の操作を十分な回数繰り返す。 25
26.
MCMC法-ギブスサンプリング-実験 26 真のモデル:ポアソン分布,y=exp(1+x) をギブスサンプリングで推定 初期値を決める(a=0.5,b=0)
27.
MCMC法-ギブスサンプリング-実験 27 bを固定した尤度関数でaをランダム抽出 aを固定した尤度関数でbをランダム抽出
28.
MCMC法-ギブスサンプリング-実験 28 bを固定した尤度関数でaをランダム抽出 aを固定した尤度関数でbをランダム抽出
29.
MCMC法-ギブスサンプリング-実験 29 bを固定した尤度関数でaをランダム抽出 aを固定した尤度関数でbをランダム抽出
30.
MCMC法-ギブスサンプリング-実験 30 bを固定した尤度関数でaをランダム抽出 aを固定した尤度関数でbをランダム抽出
31.
MCMC法-ギブスサンプリング-実験 31 1000回繰り返した結果
32.
MCMC法-ギブスサンプリング-実験 32 1000回繰り返した結果
33.
MCMC法-まとめ ベイズ統計の考え方「パラメータの事後分布」という概念をモデ ルに組み込みたいが、事後分布は尤度関数に比例することがわ かっている。しかし複雑なモデルになると尤度関数は解析的には 解けないので、マルコフ連鎖の乱数シミュレーションを行うこと で近似的な関数を求め、それを正規化することで事後分布を求め られる。 33
34.
参考文献 データ解析のための統計モデリング入門: 一般化線形モデル・階 層ベイズモデル・MCMC • 著者:
久保拓弥 • 出版社: 岩波書店, シリーズ「確率と情報の科学」 • 編集: 甘利俊一,麻生英樹,伊庭幸人 34
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