2. Es una ecuación que relaciona variables dependientes, sus
derivadas y variables independientes.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
,
𝑑2ℎ
𝑑𝑡2 , … .
𝑑 𝑛ℎ
𝑑𝑡 𝑛
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
-2x
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = 𝑡 + 1
y‘= 𝑥 + 𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES
EJEMPLO
3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Son las
que presentan una sola variable dependiente e
independiente.
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): Son las que
presentan 2 o más variables dependientes e
independientes.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 -
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1𝑦‘‘−𝑦‘=1
𝑑2 𝑥
𝑑𝑦2 -
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2 = 1+t-y
4. ORDEN
El orden de una ecuación diferencial esta
dado por la mayor derivada presente.
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥4 -
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦4 = 3𝑥7+1𝑦‘= -
𝑦
𝑥
Primer Orden Cuarto Orden
Linealidad Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si tiene la
forma:
𝑎 𝑛 𝑋 . 𝑦(𝑛) + 𝑎 𝑛−1(x). 𝑦(𝑛−1)+... 𝑎1(x). 𝑦‘+𝑎0(x).y=g(x)
Una ecuación diferencial ordinaria no es lineal si tiene la forma
anterior.
(𝑥2
+1) y.y‘- (y‘)2
= 1
5. Campos Direccionales
Implícita: f(y‘,y,x)=0
Ejemplo:
Explícita: y‘(x)=f(y(x),x)
Ejemplo:
y‘-x-y=0y‘=x+y
Solución de una Ecuación Diferencial:
Una función y=d(x) es una solución de una E.D.O. de
orden “n” en un intervalo I, si sus “n” derivadas existen
en el intervalo I y al reemplazarlas en las E.D. se
obtiene una identidad.
𝒚 =
𝟏
𝒙
𝑦‘= −
1
𝑥2
𝑦‘‘=
1
𝑥3
𝑦‘‘= 𝑦3
𝒚‘ =
𝟏
𝒙
𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝑦‘‘= 𝑦3
en (- ∞,0) o (0+ ∞)
X=(- ∞,0) u (0+ ∞)
X=(- ∞,0) u (0+ ∞)
6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘, … 𝑦(𝑛)) = 0 Forma General EDO orden “n”
𝑦 𝑛
𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘,…𝑦 𝑛−1
Forma Normal EDO
orden “n”
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=f( x, y) Forma Normal
EDO Primer
orden
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2=f( x, y, 𝑦‘)
Forma Normal
EDO Segundo
orden
N( x, y).dy=-M( x, y))dx
M( x, y).dx+ N(x,y)dy=0
Forma
Diferencial EDO
Primer Orden
7. Problemas con Valores Iniciales (PVI)
Consiste en encontrar una solución particular y (x) que cumple ciertas condiciones dadas:
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟:
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘,𝑦‘‘, … 𝑦 𝑛−1 )
Sujeto a:
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦‘(𝑥0) = 𝑦1,𝑦‘‘(𝑥0) = 𝑦2, … 𝑦 𝑛−1
(𝑥0) = 𝑦 𝑛−1
Procedimiento:
1.- Encontrar la solución n- paramétrica.
2.- Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros.
3.- Escribir la solución particular.
8. Ejemplo:
X(o)=300 ; x‘(0)=0
X=(0) t +
𝟏
𝟐
(-9,8) 𝑡2+300 ----- Solución Particular
X(5)=
𝟏
𝟐
(-9,8). (5)2
+300
F= m . g ; x(0)=300
a=g ; x‘(0)=0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 = g ;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= g.t+𝐶1
X=
𝟏
𝟐
. g . 𝑡2 + 𝐶1. t + 𝐶2 ----- Solución General
0=g(0) + 𝐶1
𝐶1=0
300=
𝟏
𝟐
. g. (0)2 + 𝐶1 (0) + 𝐶2
𝐶2= 300 ; (𝑉0)
X=
𝟏
𝟐
. g. 𝑡2
+ (0) t + 300
X =
𝟏
𝟐
g . 𝑡2 + 300 --- Solución Particular
X(5)=
𝟏
𝟐
(-9,8). (5)2 + 300
X(5)= 177,5 m.
9. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
Dada la E.D.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= f x, y , si f x, y
Se puede separar en dos factores g(x) y h(y), entonces se habla de una E.D. de variables separables.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇 𝒙, 𝒚 −−−− −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒈 𝒙 . 𝒉(𝒙)
(1+x) . dy - y . dx =0
(1+x) dy = y. dx
∫
𝒅𝒚
𝒚
= ∫
𝒅𝒙
(𝟏+𝒙)
lnIyI= ln(1+x) + 𝐶1
𝑒ln I 𝑦I= 𝑒ln (1+x)+ 𝐶1
IyI= 𝑒ln (1+x) . 𝑒 𝐶1
IyI= I1+xI . 𝐶2
Y=C (1+x) ----- Solución General
14. Ecuaciones Diferenciales Exactas
En matemáticas, una ecuación
diferencial exacta es una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden
que se presenta de la forma:
Una Ecuación Diferencial M( x, y).dy=0,
es exacta si existe una función f( x, y)=0,
tal que
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=M(x , y) y
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=N( x, y)
Criterio de Exactitud:
Una E.D. exacta cumple que:
𝒅𝑴
𝒅𝒚
=
𝒅𝑵
𝒅𝒙
17. Variación de la constante
Procedimiento
1.- Escribir E.D. en su forma estándar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 =f(x)
2.- Resolver la E.D. homogénea por variables separables
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦=0
Y=f( C , x) ---- Solución Homogénea
3.- Tomar C como C(x), derivar “y” y reemplazar en 2.
4.- Despejar C(x) y reemplazar en 2.
29. Ecuaciones de Orden Superior
Existencia y unicidad de problemas con valores iniciales (n-esimo orden)
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I, entonces existe una solución y(x)
Ejercicio:
3𝑦´´´ + 5𝑦´´ − 𝑦´ + 7𝑦 = 0
𝑦 1 = 0 𝑦´
1 = 0 𝑦´´
1 = 0
Solución trivial y=0
∴ 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I y 𝑎 𝑛 𝑥 ≠ 0 en todo el intervalo I.
Entonces existe una única solución y(x).
30. Problemas con valores de frontera
Las condiciones se especifican en distintos puntos
Resolver:
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 y= g(x)
Sujeto a:
𝛼1 𝑦(𝑎) + 𝛽1 𝑦´
𝑎 = 𝛿1
𝛼2 𝑦(𝑏) + 𝛽2 𝑦´
𝑏 = 𝛿2
Condiciones Generales en la frontera
31. Ejercicio
Dada la solución general 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥2
1
𝑥𝑦´´
− 𝑦´
= 0
a) Demostrar que (1) es solución de (2)
𝑦´
= 0 + 2𝑥𝐶2
𝑦´´ = 2𝐶2
𝑥 𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0
2𝑥𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0
0=0
b) Determinar la solución para el PVF con y(o)=1 , 𝑦´
1 = 6
𝑦(0)=1 𝑦´
1 = 6
1=𝐶1 + 𝐶2 0 6=0 + 2(1)𝐶2
1=𝐶1 6=2𝐶2
𝐶2= 3
𝑦 = 1 + 3𝑥2
32. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 y= 0 𝐿 𝑦 = 0
Principio de superposición
Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦 𝑛 soluciones de una ED homogénea definida en un intervalo I. Cualquier combinación lineal de ellas,
también es solución
𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2+𝐶3 𝑦3+…+𝐶 𝑛 𝑦 𝑛
Donde 𝐶𝑖, i= 1,2,3,n; son constantes
35. Solución General Ecuación No Homogénea
Sea 𝑦𝑝 solución de (1) y 𝑦1 + 𝑦2, … , 𝑦 𝑛 un conjunto fundamental de solución de (2). Entonces la solución general de (1)
es:
𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛+𝑌𝑝
Sol. Homogénea complementaria
Sol. General Sol. Particular
1) Resolver la Ec.homogénea asociada
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛
2) Encontrar una solución particular de (1)
3) La solución general
𝑦 𝑔 = 𝑌𝑐+𝑌𝑝
36. Reducción de orden
Dada:
𝑎2 𝑥𝑦´´ + 𝑎1(𝑥)𝑦´+𝑎0 𝑥=0/𝑎2 𝑥
Si 𝑦1 es solución particular de (1)
Entonces se puede definir otra solución particular linealmente independiente , 𝑐𝑜𝑚𝑜:
𝑌2 = 𝑌1
𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑌1
2 dx
𝑦´´ + 𝑃(𝑥)𝑦´+𝑎0 𝑦=0
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2
Forma estándar
Solución General
37. Hallar la solución general de:
𝑥2 𝑦`` − 3𝑥𝑦` + 4𝑦 = 0
Donde 𝑦1 = 𝑥2 es una solución particular
𝑦``
−
3
𝑥
𝑦`
+ 4
𝑦
𝑥2
= 0
𝑌2 = 𝑥2
𝑒−
−3
𝑥
𝑑𝑥
(𝑥2)2
dx
𝑌2 = 𝑥2
𝑥+3
𝑥4
dx
𝑌2 = 𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
𝑦𝑐 = 𝑥2lnIxI
y= 𝑐1 𝑥2 + 𝑐2 𝑥2lnIxI Solución General
