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コンピュータ先端ガイド２巻３章勉強会(SVM)
- 2. 1 自己紹介 • 名前：金子 真也（かねこ まさや） • Twitter：@syinari0123 • 出身：巣鴨高校 • 趣味：お散歩, 美味しいもの・美術館巡りなど • やる気だけはなくさないように生きてます
- 3. 2 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 • SVMの応用
- 4. 3 発表を始める前に • 今回の発表は基本的にデータ解析アルゴリズム の話なので数式がかなり多いです… • できる限り抑えるようにしましたが, せっかくの 勉強会なので「ある程度の数式は仕方ない ですかね…」としてスライドを作っています • すみません…
- 5. 4 目次 • パターン識別 ← • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 • SVMの応用
- 6. 5 パターン識別とは 与えられた入力データがどのクラスに属するか を教師あり学習で識別する問題 →正解クラスを適切に出力できる𝑓𝑓 𝒙𝒙𝒊𝒊 を求める 特徴ベクトル 𝒙𝒙𝒊𝒊 識別関数 𝑓𝑓(𝒙𝒙𝒊𝒊) 正解クラス 𝑦𝑦𝒊𝒊 ネコである (クラス１ 𝜔𝜔1) ネコじゃない (クラス２ 𝜔𝜔2) 𝑓𝑓(𝒙𝒙𝒊𝒊) ≥ 𝟎𝟎 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝒊𝒊 ≤ 𝟎𝟎 入力画像 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝑥𝑥𝑖𝑖1 ⋮ 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑑𝑑
- 7. 6 線形パターン識別 識別関数𝑓𝑓 𝒙𝒙𝑖𝑖 として以下のように定める 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝑖𝑖 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 � ≥ 0 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔1) ≤ 0 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔2) →適切に𝒙𝒙𝑖𝑖を識別できるような𝒘𝒘, 𝑤𝑤0を求める (空間を適切に分断する超平面を求める) http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~masato/study/SVM/SVM_1.htm
- 8. 7 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 ← • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 • SVMの応用
- 10. 9 線形から非線形への拡張（２） 非線形関数Φによりデータの非線形変換 𝜙𝜙: 𝒙𝒙 = 𝑥𝑥1, . . , 𝑥𝑥𝑑𝑑 𝑡𝑡 → 𝜙𝜙1 𝒙𝒙 , … , 𝜙𝜙𝐷𝐷 𝒙𝒙 →線形分離可能な分布をするような空間に変換 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝑖𝑖 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝒙𝒙𝑖𝑖) + 𝑤𝑤0 � ≥ 0 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔1) ≤ 0 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔2) https://www1.doshisha.ac.jp/~mjin/R/31/31.html
- 12. 11 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 ← • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 • SVMの応用
- 13. 12 カーネル関数（１） ある関数𝜙𝜙 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝑑𝑑 → 𝑹𝑹𝐷𝐷)があり, ∀𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ 𝑹𝑹𝑑𝑑に対して, 𝑘𝑘 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝜙𝜙 𝒙𝒙 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝒚𝒚) が成立する関数Φが存在する時, 関数kを カーネル関数という. ※カーネル関数が存在するための必要十分条件と してはMercer’s theoremが存在（省略）
- 14. 13 カーネル関数（２） カーネル関数の例 • 線形カーネル 𝑘𝑘 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝑡𝑡 𝒚𝒚 • 多項式カーネル 𝑘𝑘 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝑡𝑡 𝒚𝒚 + 𝑐𝑐 𝑝𝑝 • ガウスカーネル 𝑘𝑘 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = exp(− 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 2𝜎𝜎2 ) • RBFカーネル 𝑘𝑘 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = exp(−𝛾𝛾 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 2)
- 15. 14 カーネル関数（３） カーネル関数を使うとメリットがある 1. D次元ベクトルの内積がd次元ベクトルの関数 で表される(𝐷𝐷 ≫ 𝑑𝑑の時,計算量の削減に) →カーネルトリック 2. 具体的な𝜙𝜙 𝒙𝒙 の形を与える必要がない カーネル法はSVMと相性がかなり良い
- 16. 15 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) ← – 線形SVM – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 • SVMの応用
- 17. 16 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM ← – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 • SVMの応用
- 18. 17 線形SVM • 基本的な考えとしてはパターン識別と同じ • クラスを分類する超平面の候補のうち, 以下の 図で点線間の距離を最大にする境界を求める （マージン最大化） 最先端ガイド２ ３章 図３.８右
- 19. 18 マージン最大化（１） 分類境界から最も近くにある𝒙𝒙𝑖𝑖との距離の最大化 max 𝒘𝒘,𝑤𝑤0 min 𝑖𝑖 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 𝒘𝒘 制約条件として 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝑖𝑖 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 ≥ 1 ⋯ (∗) を入れることで上の式は以下に帰着できる max 𝒘𝒘 1 𝒘𝒘 = min 𝒘𝒘 𝒘𝒘
- 20. 19 マージン最大化（２） マージン最大化の直感的解釈 min 𝒘𝒘,𝑤𝑤0 𝒘𝒘 = max 𝒘𝒘,𝑤𝑤0 2 𝒘𝒘 𝑠𝑠. 𝑡𝑡. 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝑖𝑖 ≥ 1 2 𝑤𝑤 𝑓𝑓(𝒙𝒙𝑖𝑖) 𝑤𝑤 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑤𝑤 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = 1 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = −1 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = 0 𝒙𝒙𝑖𝑖|𝑓𝑓 𝒙𝒙 | ≥ 1
- 21. 20 ハードマージン 制約式 ∗ は次のように書き換えられる 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝑖𝑖 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 � ≥ 1 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔1) ≤ −1 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔2) 制約式 ∗ 条件下で以下を求める問題に帰着できる min 𝒘𝒘,𝑤𝑤0 𝒘𝒘 →線形分離不可能な場合に解が存在しない 𝑓𝑓 𝒙𝒙 ≥ 1 𝑓𝑓 𝒙𝒙 ≤ −1 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = 0
- 22. 21 ソフトマージン 分離の誤りを少し許すために制約式 ∗ に 誤差項𝜉𝜉𝑖𝑖(≥ 0)を導入 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝑖𝑖 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 � ≥ 1 − 𝜉𝜉𝑖𝑖 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔1) ≤ −1 + 𝜉𝜉𝑖𝑖(𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔2) ⋯ (∗∗) 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝜉𝜉𝑖𝑖−1 𝜉𝜉𝑖𝑖+1 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = 1 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = −1
- 23. 22 最適化問題への帰着（１） 𝒙𝒙𝑖𝑖の属するクラスの変数(正解クラス)を 以下のように定める 𝒚𝒚𝑖𝑖 = � 1 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔1) −1 (𝒙𝒙𝑖𝑖 ∈ 𝜔𝜔2) 𝒙𝒙𝑖𝑖のクラス属性も組み込んだ制約式 ∗∗ は次になる 𝒚𝒚𝑖𝑖 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 ≥ 1 − 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝜉𝜉𝑖𝑖 ≥ 0 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1 𝑦𝑦𝑖𝑖 = −1 𝑓𝑓 𝒙𝒙 ≥ 1 − 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝑓𝑓 𝒙𝒙 ≤ −1 + 𝜉𝜉𝑖𝑖
- 24. 23 最適化問題への帰着（２） 最終的に線形SVM（ソフトマージン）の最適化は 以下のような最小化問題に帰着できる • 第一項：マージン(2/ 𝒘𝒘 )の最大化 • 第二項：誤差項(𝜉𝜉𝑖𝑖)の最小化（𝐶𝐶は正則化係数） min 𝒘𝒘,𝑤𝑤0,𝜉𝜉𝑖𝑖 1 2 𝒘𝒘 2 + 𝐶𝐶 � 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 𝑠𝑠. 𝑡𝑡. ∀𝑖𝑖 𝒚𝒚𝑖𝑖 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 ≥ 1 − 𝜉𝜉𝑖𝑖 ∀𝑖𝑖 𝜉𝜉𝑖𝑖 ≥ 0
- 25. 24 ソフトマージンの実例 パラメータＣの調節により誤りの許容度を 変化させることができる 𝐶𝐶 = 100 の時 𝐶𝐶 = 0.1 の時 MLP サポートベクターマシン 第一章 図1.5
- 26. 25 線形SVMの双対問題 ラグランジュ関数を用いることで最適化問題から 以下の双対問題を導ける (𝜶𝜶は双対変数) • SVMの場合には強双対性が成立するために上式のように 書き換えられる（省略） • カールシュ・クーン・タッカー条件（KKT条件） max 𝜶𝜶 (− 1 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝒙𝒙𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝒙𝒙𝑗𝑗 𝑖𝑖,𝑗𝑗 + � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑖𝑖 ) 𝑠𝑠. 𝑡𝑡. � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0 𝑖𝑖 ∀𝑖𝑖 0 ≤ 𝛼𝛼𝑖𝑖 ≤ 𝐶𝐶
- 27. 26 双対問題の利点 • 非線形SVMへ拡張する際にはカーネルトリック をそのまま適用できる • 内積がわかっていればデータ𝒙𝒙𝑖𝑖そのものの保持 の必要がない（メモリの節約） – データ行列 𝒙𝒙1, … , 𝒙𝒙𝑛𝑛 𝑡𝑡 の要素𝑛𝑛𝑛𝑛 – 内積計算に必要なデータ量𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1 /2 • 双対変数𝜶𝜶の一部が0要素を多く持つ場合があり, 計算時間の短縮化に （マージン外領域にデータが多い場合）
- 28. 27 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM – 非線形SVM ← • SVMの多クラス分類 • SVMの応用
- 29. 28 非線形SVM • 線形な分離には限界がある • 非線形関数Φを使ってデータを線形分離可能な 分布をするような空間に変換 • 双対問題に対して非線形変換を行うことで カーネルトリックを利用できる https://www1.doshisha.ac.jp/~mjin/R/31/31.html
- 30. 29 非線形SVMの最適問題（１） 入力データを特徴空間へ写像する関数Φを用いて 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = 𝒘𝒘𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝒙𝒙) + 𝑤𝑤0 を識別関数とすればよい. 双対問題に代入すると, max 𝜶𝜶 (− 1 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝜙𝜙 𝒙𝒙𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝒙𝒙𝑗𝑗) 𝑖𝑖,𝑗𝑗 + � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑖𝑖 ) 𝑠𝑠. 𝑡𝑡. � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0 𝑖𝑖 ∀𝑖𝑖 0 ≤ 𝛼𝛼𝑖𝑖 ≤ 𝐶𝐶
- 31. 30 非線形SVMの最適問題（２） 前式をカーネル関数で書き直すと (KKT条件より) 𝑓𝑓 𝒙𝒙 = � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝐾𝐾(𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝒙𝒙) 𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 双対問題は以下のようになる. max 𝜶𝜶 (− 1 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝛼𝛼𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝐾𝐾(𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝒙𝒙𝑗𝑗) 𝑖𝑖,𝑗𝑗 + � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑖𝑖 ) 𝑠𝑠. 𝑡𝑡. � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0 𝑖𝑖 ∀𝑖𝑖 0 ≤ 𝛼𝛼𝑖𝑖 ≤ 𝐶𝐶
- 33. 32 非線形SVMの実例（２） ガウスカーネルを利用した場合 σが小さい時 σが大きい時 http://aidiary.hatenablog.com/entry/20100503/1272889097
- 34. 33 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 ← • SVMの応用
- 36. 35 SVMの多クラス分類（２） 工夫の方向性として次のようなものが考えられる • 複数の２クラス分類器の組み合わせ – １対他方式 – １対１方式 – 誤り訂正出力符号 • SVMの定式化の拡張
- 37. 36 SVMの多クラス分類の目次 • 複数の２クラス分類器の組み合わせ ← – １対他方式 – １対１方式 – 誤り訂正出力符号 • SVMの定式化の拡張
- 38. 37 SVMの多クラス分類の目次 • 複数の２クラス分類器の組み合わせ – １対他方式 ← – １対１方式 – 誤り訂正出力符号 • SVMの定式化の拡張
- 39. 38 １対他方式（１） • 最も単純な方式 • 1クラスと残りのクラスに分類 • k番目のクラスの識別関数𝑓𝑓 𝑘𝑘 𝒙𝒙 の最大値を選ぶ ことで属するクラスの決定 argmax 𝑘𝑘 𝑓𝑓 𝑘𝑘(𝒙𝒙) クラス 1 クラス 2 クラス 3 http://qiita.com/pika_shi/items/5e59bcf69e85fdd9edb2
- 40. 39 １対他方式（２） 特徴として以下のようなことが挙げられる • 実装が容易 • 識別関数𝑓𝑓 𝑘𝑘 𝒙𝒙 の値を比較することが適切か不明 ↑異なるSVMを利用しているから
- 41. 40 SVMの多クラス分類の目次 • 複数の２クラス分類器の組み合わせ – １対他方式 – １対１方式 ← – 誤り訂正出力符号 • SVMの定式化の拡張
- 42. 41 １対１方式（１） • 全体から２つのクラスのペアを作り分類 – nクラスに対して 𝑛𝑛 𝐶𝐶2個のSVM • 全ての組み合わせに対して多数決を行う 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 � > 0 𝑖𝑖に投票 < 0 𝑗𝑗に投票 3クラス分類問題において, あるデータ𝒙𝒙が… 𝑓𝑓12 𝒙𝒙 > 0 クラス１に投票 𝑓𝑓23 𝒙𝒙 < 0 クラス３に投票 𝑓𝑓13 𝒙𝒙 > 0 クラス１に投票 → データ𝒙𝒙はクラス１に分類（２票獲得）
- 43. 42 １対１方式（２） 特徴として以下のようなことが挙げられる • 訓練時には毎回対象の２クラス分のデータしか 用いないのでSVMの学習コストが小さい • 使うSVMの個数が多い(𝑂𝑂(𝑛𝑛2)) • 単純な多数決以外にも… – 非循環有効グラフによる方法 – ペアワイズカップリング法
- 44. 43 非循環有効グラフによる方法 逐次的に２クラス分類を行っていくことで 分類回数を減らす http://www.kri.sfc.keio.ac.jp/report/mori/2004/c-118/
- 45. 44 ペアワイズカップリング法（１） 確率的な解釈で1対１分類結果𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 から 多クラス分類確率𝑝𝑝𝑖𝑖 𝒙𝒙 の推定 １対１での分類確率 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 全体からの分類確率 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝒙𝒙 識別関数 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 ↓ 𝑝𝑝 𝑌𝑌 = 𝑖𝑖 𝑌𝑌 ∈ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 , 𝑋𝑋 = 𝒙𝒙 ↓ 𝑝𝑝(𝑌𝑌 = 𝑖𝑖|𝑋𝑋 = 𝒙𝒙) SVMでの識別境界 (1)モデル化 (2)推定
- 46. 45 ペアワイズカップリング法（２） 1. 識別関数𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 から分類確率𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 のモデル化 𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 = 1 1 + exp(−𝐴𝐴𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 + 𝐵𝐵) →最尤推定法によりA,Bを推定 2. モデル化した𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 と実際の𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝒙𝒙 が近くなるよ うに𝑝𝑝𝑖𝑖 𝒙𝒙 の推定 min 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑖𝑖∈[𝑐𝑐] � 𝑛𝑛𝑖𝑖 + 𝑛𝑛𝑗𝑗 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑖𝑖 ∥ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖≠𝑗𝑗 → 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑖𝑖/(𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝑝𝑝𝑗𝑗)より 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑖𝑖∈[𝑐𝑐] に関して最小化
- 47. 46 SVMの多クラス分類の目次 • 複数の２クラス分類器の組み合わせ – １対他方式 – １対１方式 – 誤り訂正出力符号 ← • SVMの定式化の拡張
- 49. 48 誤り訂正出力符号（２） • m個の符号の列それぞれで識別関数𝑓𝑓𝑗𝑗 𝒙𝒙 を学習 • それぞれの符号とのハミング距離を計算し, 最も 距離が近いクラスへと分類 識別関数 𝑓𝑓𝑗𝑗 𝒙𝒙𝑖𝑖 (𝑗𝑗 = 1 … 𝑚𝑚) -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 正解符号語 𝑦𝑦 = 2 距離0 特徴ベクトル 𝒙𝒙𝒊𝒊 入力画像 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝑥𝑥𝑖𝑖1 ⋮ 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑑𝑑 符号語
- 50. 49 SVMの多クラス分類の目次 • 複数の２クラス分類器の組み合わせ – １対他方式 – １対１方式 – 誤り訂正出力符号 • SVMの定式化の拡張 ←
- 51. 50 SVMの定式化の拡張（多クラス） • SVMの識別関数を以下のように拡張 （𝒘𝒘𝑘𝑘 , 𝑤𝑤0 𝑘𝑘 は各クラス𝑘𝑘(∈ [𝑐𝑐])に対応するパラメータ） 𝑔𝑔 𝒙𝒙 = argmax 𝑘𝑘 𝒘𝒘𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑘𝑘 • あるデータ(𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖)を分類するために必要な条件 𝒘𝒘𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑦𝑦𝑖𝑖 ≥ 𝒘𝒘𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑘𝑘 + 1 (𝑘𝑘 ≠ 𝑦𝑦𝑖𝑖) クラス𝑦𝑦𝑖𝑖の時の 識別関数の値 クラス𝑦𝑦𝑖𝑖以外の時の 識別関数の値 +1（ハードマージン） → +1 − 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝑘𝑘 （ソフトマージン）
- 52. 51 多クラスSVMの最適化問題 ２クラス分類SVMの時と同様に最適化問題に帰着 →SVMの時と同様に双対問題を考えられる min 𝒘𝒘𝑘𝑘,𝑤𝑤0 𝑘𝑘,𝜉𝜉𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑘𝑘∈[𝑐𝑐] 1 2 � 𝒘𝒘𝑘𝑘 2 𝑘𝑘 + 𝐶𝐶 � � 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑘𝑘≠𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠. 𝑡𝑡. ∀𝑖𝑖 𝒘𝒘𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑦𝑦𝑖𝑖 ≥ 𝒘𝒘𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑘𝑘 + 1 − 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ≠ 𝑦𝑦𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 𝜉𝜉𝑖𝑖 𝑘𝑘 ≥ 0 (𝑘𝑘 ≠ 𝑦𝑦𝑖𝑖)
- 53. 52 多クラスSVMの双対問題 同様にラグランジュ関数によって最適化問題から 以下の双対問題を導ける (𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑖𝑖, 𝛼𝛼�𝑖𝑖 𝑖𝑖は双対変数) 識別関数も以下のようになる（KKT条件の利用） 𝒘𝒘𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝜙𝜙 𝒙𝒙 + 𝑤𝑤0 𝑘𝑘 ＝ � 𝛼𝛼�𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐾𝐾 𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝒙𝒙𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 𝑤𝑤0 𝑘𝑘 max 𝜶𝜶 − 1 2 � � 𝛼𝛼�𝑖𝑖𝑘𝑘 𝛼𝛼�𝑗𝑗𝑘𝑘 𝐾𝐾 𝒙𝒙𝑖𝑖, 𝒙𝒙𝑗𝑗 𝑘𝑘𝑖𝑖,𝑗𝑗 + � � 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑘𝑘≠𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠. 𝑡𝑡. ∀𝑖𝑖 � 𝛼𝛼�𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑖𝑖 = 0 (𝑘𝑘 ≠ 𝑦𝑦𝑖𝑖) ∀𝑖𝑖 0 ≤ 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑘𝑘 ≤ 𝐶𝐶 (𝑘𝑘 ≠ 𝑦𝑦𝑖𝑖)
- 54. 53 目次 • パターン識別 • 線形から非線形への拡張 • カーネル関数 • SVM(Support Vector Machine) – 線形SVM – 非線形SVM • SVMの多クラス分類 • SVMの応用 ←
- 55. 54 SVMの応用 今回は分類問題に絞って解説を試みたが他にも – 回帰分析 – 教師なし学習（異常検知） – 構造化問題（自然言語処理など） – 半教師あり学習 にも利用可能！（すごそう）
- 56. 55 参考文献 • 八木康史・斎藤英雄 編 「コンピュータビジョン最先端ガイド２」 • 竹内一郎・鳥山昌幸 「MLPシリーズ サポートベクターマシン」