Expresiones algebraicas, factorizacion y Radicacion

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA ANDRES
ELOY BLANCO
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FACTORIZACION Y RADICACION
AUTOR:
Nombre y Apellido: Marlon Oviedo
C.I: 30.304.104
Docente: María Pérez
Materia: Matemática Trayecto Inicial
Sección: 0202

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El Algebra consiste en la combinación de letras, números y signos que nos expresa la
información matemática que podemos encontrar en diferentes operaciones. Las letras son
las cantidades desconocidas y las llamamos variables o incógnitas, estas operaciones nos
proporcionan la traducción del valor numérico que aún no tenemos.
Así, x + 2 es una expresión compuesta por la letra x, el signo + y el número 2. Para escribir
una expresión debemos tener en cuenta que se puede sustituir el signo x de la
multiplicación por el signo o bien lo podemos suprimir.
3 x x2
= 3.x2
= 3x2
Ejemplo: el valor numérico 3x2 – 5x2
para x = 2 es: 3. 23- 5.22 = 3.8-55.4 = 24-20 = 4
Para lograr obtener su valor lo primero que se debe realizar es simplificar o sustituir la letra
por un número determinado.
VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El valor numérico es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar
las operaciones indicadas.
L(r) = 2 π r
r = 5 cm L (5) = 2. Π. 5 = 10π cm
S (I) = 12
I= 5 cm A (5) = 52
= 25 cm2
V (a) = a3
A = 5cm. V (5) = 53
= 125 cm3
EJEMPLOS:
 A2
– 2 ab + b2
A = - 2 b= - 3
 2x3
+ 5x2
+ 8x – 10
X = - 3

3. SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Para realizar la sumatoria de una o más expresiones con uno o más términos, se deben
reunir todos los términos semejantes existentes, en uno solo. Se aplica la propiedad
distributiva con respecto a la suma.
EJEMPLOS:
 X2 + X + 9 y 3X2 + 2X + 6
 3X Y + 2X – 2X + 9Y = 3XY + 9Y
RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
En este caso la resta de estas expresiones es el proceso inverso de la sumatoria, lo que nos
permite encontrar la cantidad desconocida que suma el sustraendo y nos como resultado el
minuendo.
EJEMPLOS:
 +4X3 – 2X2Y + 6XY
-2x3 --2XY + 3XY2
2X3 – 2X2Y +4XY+3XY2
 3X3 + 6X2 – 8X + 1
EJERCICIOS RESUELTOS DE SUMA Y RESTA ALBRAICA:
1. SUMAR: 3X + 2Y – 9 con -7X -9Y +5
Solución:
3X + 2Y – 9 – 7X – 9Y + 5 = 3X - 7X + 2Y – 9Y – 9 + 5 = -- 4X – 7Y – 4
2. RESTAR: P1 (X) = 12X5 + 0X4 – 17X3 + 3X2 + 0X - 10
P2 (X) = - 6X5 - 5X4 + 7X3 + 4X2 + 0X + 0
Solución: P1 (X) + P2 (X) = 6X5 – 5X4 – 10X3 + 7X2 + 0X – 10
3. SUMAR:
A) 3XYZ + 5XYZ – XYZ
. 8XYZ – XYZ
. 7XYZ

4. B) P1 (X) = 2X + 5
P2 (X) = 5X + 4
Solución: P1 (X) + P2 (X) = 2X + 5 + 5X + 4
= 2X + 5X + 5 + 4
= 7X + 9
4. RESTAR:
A) P1 (X) = 2X + 5
P2 (X) = 5X + 4
Solución: P1 (X) – P2 (X) = 2X + 5 – (5X + 4)
= 2X + 5 – 5X – 4
= 2X – 5X + 5 – 4 = 3X + 1
MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación es una operación mediante dos cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador que también se les denominada factores del producto el cual este se puede
hallar en la tercera cantidad. Para multiplicar los monomios se les aplica la regla de los
signos, para las literales iguales se escribe la misma y se suman los exponentes, si son
diferentes solo se coloca cada literal con su exponente correcto. En el caso de una
multiplicación de un polinomio por un monomio este mismo se multiplica por el monomio,
siguiendo las reglas de los monomios. Para los polinomios se utiliza la propiedad
distributiva sobre la adición del primero y del segundo y después sobre el resultado de tal
manera que el producto de los dos se multiplica cada termino utilizan la regla de los signos
a los coeficientes y las literales con sus exponentes correctos y se suman los términos
semejantes.
EJEMPLOS:
Monomio:
(2X) (-3X2)
= -6X3
Polinomio por monomio:
(a) (2b- A3
) = (a) (2b) + a (-a3
) = 2ab – a4

5. Polinomio:
(3X- 2Y2) (X + 3Y) = (3X) (X) + (3X) (3Y) + (-2Y2) (X) + (-2Y2) (3Y) =
= 3X3 + 9XY – 2Y2 – 6Y3
EJERCICIOS DE MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIOS:
a) 3X2. 7X =
= 7.7 X2. X
= 21 X2
= 21X3
b) 4X2 Y5. (-3) X3 Y4
= 4 (-3) X2. X3. Y5. Y4
= - 12 X5. Y9
POLINOMIOS:
A) X2. (- X2 + 3X + 1 ) =
= X2. (-X2) + X2. 3X + X2 .1
= - X4 + 3X3 + X2
B) (X+1) (X-1 ) =
= X. (X – 1) + 1. (X – 1)
= X.X – X. 1 + 1.X – 1.1
= X2 – X + X – 1
= X2 – 1
C) (2X+ 3) (2X+ 3)
= 2X (2X + 3) + 3(2X + 3)
= 4X2 + 6X + 6X + 9
= 4X2 + 12X + 9
D) (4X2 + 5X – 1 ) (2X- 3)
= 4X2. (2X+3) + 5X. (2X+3) – 1. (2X+3)
= 8X3 - 12X2 + 10X2 – 15X – 2X + 3
= 8X3 – 2X2 – 17X + 3

6. E) (2X +1). (1 + X – X2 )
= 2X. 1+ 2X.X +2X. (-X2) + 1.1 + 1.X + 1. (-X2)
=2X + 2X2 – 2X3 + 1 + X – X2
= - 2X3 + X2 + 3X + 1
F) (1 + X). (2 –X)
= 1.2 + 1. (-X) + X.2 + X. (-X)
= 2 – X + 2X – X2
= 2 + X – X2
DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Es una operación en donde las cantidades llamadas dividendo, divisor, cociente y el resto
que es el resultado o residuo de la división. Antes de realizar la cuestión debemos atender
algo importante que el mayor de los exponentes de algún término del dividendo debe ser
mayor o igual al mayor exponente del término del divisor y aplica la ley de los signos.
Cuando trabajamos con monomios se hace lo siguiente: primero se divide los coeficientes o
simplificarlos como en una fracción, después se dividen las variables con bases iguales
restando sus exponentes. Para los polinomios hay 2 métodos importantes: el primero es el
estándar o el normal y el Ruffini, que por el cual el cociente y el residuo no se puede
obtener con una formula rápida, solo se puede resolver mediante algoritmos.
EJEMPLOS:
METODO ESTANDAR:
A) (5X2 – 7X – 10) : (X – 2)
5X2 – 7X – 10 [X – 2
-5X2 + 10X 5X + 3
3X – 10
-3X + 6
- 4 RESTO: 4; COCIENTE: 5X + 3
B) (10X3 – 4X – 6): (X2 – X + 3)
10X3 - 4X – 6 [X2 – X + 3
-10X3 + 10X2 – 30X 10X + 10
10X2 – 34X – 6
- 10X2 + 10X – 30
-24X – 36 RESTO: -24X – 36; COCIENTE: 10X +10

7. METODO DE RUFFINI:
Es un algoritmo que nos permite tener las raíces de un polinomio. Es de gran utilidad ya
que para grado mayor que 2 no disponemos de fórmulas, al menos fáciles para lograr
obtenerlas.
EJEMPLO:
A) (4X3 - 5X2 - 7X +1) : (X +1)
| 4 - 5 - 7 1
|
-1 | - 4 9 - 2
| 4 - 9 2 | - 1 RESTO: - 1; COCIENTE: 4X2 – 9X + 2
EJERCICOS DE DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
A) (- X5 – 3X2 – X + 1) : (X2 + 2X +1)
- X5 - 3X2 – X + 1 [X2 +2X +1
- X5 + 2X4 + X3 -X3 +2X2 – 3X
2X4 + X3 – 3X2
-2X4 – 4X3 – 2X2
- 3X3 – 5X2 – X
3X3 + 6X2 – 3X
X2 + 2X + 1
- X2 – 2X – 1
X RESTO: X; COCIENTE: - X3 + 2X2 – 3X
B) (5X4 – X2 + 7) : (X -2)
| 5 0 - 1 0 7
|
2 | 10 - 20 38 76
| 5 10 19 38 | 83 RESTO: 83; COCIENTE: 5X3 + 10X2 + 19X + 38

8. C) (6X5 + X4 + 0X3 + 4X2 – 7X + 1) : (2X2 + X – 3)
6X5 + X4 + 0X3 + 4X2 – 7X + 1 [2X2 + X – 3
-6X5 – 3X4 + 9X3 3X3 – X2 + 5X – 2
- 2X4 + 9X3 + 4X2
2X4 + X3 – 3X2
10X3 + X2 - 7X
- 10X3 - 5X2 + 15X
- 4X2 + 8X + 1
4X2 + 2X – 6
+10X – 5
RESTO: + 10X – 5; COCIENTE: 3X3 – X2 + 5X – 2
D) (6X3 + 5X2 Y – 26XY2 + 33Y3) : (2X2 – 3XY + Y2 )
6X3 + 5X2 Y – 26XY2 + 33Y3 [2X2 – 3XY + Y2
-6X3 + 9X2Y – 3XY2 3X + 7Y
14X2Y – 29XY2 + 33Y3
- 14X2 Y + 21XY2 – 7Y3
- 8XY2 + 26Y3
COCIENTE: 3X + 7Y; RESTO: - 8XY2 + 26Y3
E) (X4 – 2X3 – 11X2 + 30X – 20) : (X2 + 3X – 2)
X4 – 2X3 – 11X2 + 30X – 20 [X2 + 3X – 2
-X4 – 3X3 + 2X2 X2 – 5X + 6
- 5X3 – 9X2 + 30X
5X3 + 15X2 + 10X
6X2 + 20X – 20
-6X2 – 18X + 12
2X – 8
RESTO: 2X – 8; COCIENTE: X2 -5X + 6

9. PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Les llamamos productos a ciertas expresiones que frecuentemente a plena vista es
fácilmente factorizar o en otras palabras son simplemente multiplicaciones especiales entre
estas expresiones que sus características las destacan de las demás. Además estas
operaciones se inspeccionan sin necesidad de realizar la multiplicación correspondiente, y
una de las ventajas de estos es q nos ayudan a reducir los procedimientos y también los
productos notables los encontramos en las áreas de ingeniería civil que nos otorga las
medidas y calculación del perímetro del terreno.
EJEMPLOS:
A) (A + B)2 = (A+ B) (A + B) = A2 + AB + AB + B2
Productos Notables Expresión algebraica NOMBRE
(A + B2 ) = A2 + AB + B2 Binomio al cuadrado
(A + b)3 = A3 + 3AB + 3AB2 + B3 Binomio al cubo
A2 – B2 = (A + B) (A – B) Diferencia de cuadrados
A3 – B3 = (A –B) (A2+ B2 + AB) Diferencia de cubos
A3 + B3 = (A + B) (A2 + B2 – AB) Suma de cubos
A4 – B4 = (A+B) (A- B) (A2 + B2 ) Diferencia cuarta
(A + B + C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC Trinomio al cuadrado
B) (3A- 2B)2 =
= (3A)2 – 2.3 A.2B + 22 . B2
= 32 . A2 – 2.3A. 2B + 22. B2
= 9 A2 – 12AB + 4B2

10. C) (A- B) (A2 + AB + B2 ) = A3 – B3
1. (6X – 5) (36X2 + 30X + 25) = (6X)3 - (5)3
= 216X3 – 125
2. (3X – 7Y) (9X2 + 21XY + 49Y2 ) = (3X)3 – (7Y)3
= 27X3 – 343Y3
EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES
A) (5X2 Y + 7X). ( 5X2 Y – 7X)
= (5X2 Y)2 – (7X)2
= 52 .X2.2. Y2 – 72 .X2
= 25X4 Y2 – 49X2
B) (4X + 5)3 = (4X)3 + 3. (4X)2 . (5) + 3. (4X). (52) + 53
= 64X3 + 240X2 + 300X + 125
C) (X2 – 3Y)3 = (X2)3 – 3. (X2 )3. (3Y) + 3X2. (3Y)2 – (3Y)3
= X6 – 9X4 Y + 27X2 Y2 – 27Y3
D) (12 + X2) (22 + X2 )
= (1. 2 + X. X)2 + (1. X – 2. X)2
= (2 + X2)2 + (X – 2X)2
E) (4X4 – 7Y2 )2
= (4X4)2 – 2.4X4. 7Y2 + (7Y2)2
= 42. (X2)2 – 2.4 X4. 7Y2 + 72. (Y2)2
= 16X8 – 56X4 Y2 + 49Y4
F) (A + B)2 = A2 + B2 + 2. A.B
(3X + 2Y)2 = (3X)2 + (2Y)2 + 2. 3X. 2Y
= 9X2 + 4Y2 + 12XY
G) (A –B)2 = A2 + B2 – 2. A.B
(7X – 2Y)2 = (7X)2 + (2Y)2 – 2.7X. 2Y
= 49X2 + 4Y2 – 28XY
H) (A + B) (A – B) = A2 – B2
(7X + 5Y) (7X – 5Y) = (7X)2 – (B)2
= 49X2 – 25X2

11. FACTORIZACION
Es una técnica de descomposición de factores comunes en una expresión matemática en
forma de producto que puede ser en suma, resta, matriz, polinomios entre otros. El objetivo
es simplificar o reescribir la expresión, lo contrario de esto es la expansión. En el caso de
los polinomios los que tenemos que realizar es factorizar sus coeficientes en su campo o en
números enteros en factores irreducibles con coeficientes.
EJEMPLOS:
A) 6X4 – 3X2 – 12X =
= 2.3X4 – 3X2 – 2.2.3X
= 3X (2X3 – X – 4)
B) 10X2 Y3 – 15X3 Y3 =
= 2.5X2 Y3 – 3.5X3 Y3
= 5X2 Y3 (2 – 3X)
C) 2XY - 4X2 Y =
Z Z2
= 2XY (1 – 2X)
Z Z
EJERCICIOS DE FACTORIZACION

13. FACTORIZACION POR PRODUCTOS NOTABLES:

15. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
https://www.matematicasonline.es/pdf/ejercicios/3_ESO/Ejercicios de expresiones
algebraicas.pdf
http://cosfac.sems.gob.mx/web/evaluaciondiagnostica2020-
2021/manuales/MATEMATICAS/M.Multiplicacion_de_expresiones_algebraicas.pdf
http://www.ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/5-division-
algebraica/#:~:text=Fin-
,¿Que%20es%20la%20división%20algebraica%3F,por%20medio%20de%20un%20algori