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Errores de redondeo y
aritmética computacional
En el campo del análisis numérico, es crucial comprender los errores asociados con
las operaciones matemáticas realizadas en las computadoras, ya que estos errores pueden
acumularse y afectar la precisión de los cálculos numéricos. Dos tipos de errores
comunes en este contexto son los errores de redondeo y los errores de aritmética
computacional.
Los errores de redondeo se deben a la representación finita de los números en una
computadora. Dado que las computadoras utilizan una cantidad limitada de bits para
representar números, algunos números reales no se pueden representar de manera exacta.
Como resultado, durante las operaciones matemáticas, los números se redondean al valor
más cercano representable, lo que puede introducir pequeños errores. Estos errores
pueden propagarse a través de las operaciones y afectar los resultados finales.

Para abordar estos problemas, el análisis numérico utiliza una combinación de técnicas
matemáticas, algoritmos y programación computacional. Se basa en la representación y
manipulación de números y datos en las computadoras, y se apoya en la teoría matemática
y la estadística para garantizar la validez y la eficiencia de los métodos numéricos
utilizados.
El análisis numérico se aplica en una amplia variedad de campos científicos y
tecnológicos, como la física, la ingeniería, la economía, la ciencia de los materiales, la
biología, la medicina, la meteorología y muchos otros. Es fundamental para realizar
simulaciones y predicciones numéricas, analizar datos experimentales, diseñar y optimizar
sistemas, y resolver problemas complejos que no tienen una solución analítica exacta.

En resumen, el análisis numérico es una disciplina que se ocupa del desarrollo y
estudio de métodos y algoritmos para resolver problemas matemáticos mediante
cálculos numéricos. Su objetivo es encontrar soluciones aproximadas o numéricas para
problemas que no pueden resolverse exactamente mediante métodos analíticos, y se
aplica en diversos campos científicos y tecnológicos.

Números de máquina binarios
Los números de máquina binarios son una representación de números en base
2 utilizada en las computadoras. En este sistema, los números se representan
utilizando únicamente los dígitos binarios 0 y 1.
En los números de máquina binarios, cada posición o bit en la representación
binaria tiene un valor que depende de su posición. Al igual que en el sistema
decimal, donde cada posición tiene un valor diez veces mayor que la posición
anterior, en el sistema binario cada posición tiene un valor que es el doble de la
posición anterior. Por ejemplo, en un número binario de 8 bits, la posición más a la
derecha tiene un valor de 20 (1), la siguiente posición tiene un valor de 21 (2), la
siguiente tiene un valor de 22
(4), y así sucesivamente.

Los números de máquina binarios pueden representar tanto enteros como
fracciones mediante técnicas como el complemento a dos y el punto flotante. En la
representación de enteros binarios, se utilizan los bits para representar el valor
numérico en forma directa, donde el bit más a la izquierda se utiliza como el bit de
signo (0 para positivo y 1 para negativo).
En cuanto a la representación de fracciones en binario, se utilizan técnicas
como la representación en punto fijo o la representación en punto flotante. La
representación en punto fijo asigna una cantidad fija de bits para representar la
parte entera y la parte fraccionaria de un número, mientras que la representación
en punto flotante utiliza una notación científica normalizada para representar
números con una parte fraccionaria variable y un exponente que determina la
escala.

Los números de máquina binarios son esenciales en la computación y se
utilizan para realizar operaciones aritméticas y lógicas en los procesadores,
almacenar datos en memoria y representar información en diversos formatos
digitales.

El estándar IEEE 754 (Instituto para Ingenieros Eléctricos y Electrónicos) define
diferentes formatos de representación de punto flotante, incluyendo precisión
simple (32 bits), precisión doble (64 bits) y precisión extendida (80 bits o más).
Estos formatos especifican la estructura interna de los números de punto flotante,
incluyendo el signo, la mantisa (fracción) y el exponente.
Además de los formatos de representación, el estándar IEEE 754 también
establece las reglas para realizar las operaciones aritméticas básicas con números
de punto flotante, como la suma, resta, multiplicación y división. Estas reglas
cubren aspectos como el redondeo, el desbordamiento y el manejo de casos
especiales, como números infinitos y operaciones con valores no numéricos
(NaN).

Signo
Caracteristica
Mantis

Números de máquina decimales
Los números de máquina decimales son una representación numérica utilizada
en las computadoras para representar números decimales, es decir, números reales
con una parte entera y una parte fraccionaria. A diferencia de los números de
máquina binarios, que utilizan la base 2, los números de máquina decimales utilizan
la base 10.
En los números de máquina decimales, los dígitos decimales (0 al 9) se utilizan
para representar el valor numérico en forma directa. Al igual que en el sistema
decimal convencional, cada posición en la representación decimal tiene un valor que
es diez veces mayor que la posición anterior. Por ejemplo, en un número decimal de
4 dígitos, el dígito más a la derecha tiene un valor de 100 (1), el siguiente dígito
tiene un valor de 101
10 , el siguiente tiene un valor de 102
(100), y así
sucesivamente.

Los números de máquina decimales se utilizan en aplicaciones que requieren alta
precisión decimal, como cálculos financieros, contabilidad, análisis estadístico y
otras áreas en las que se necesita una representación precisa de números reales.
Estos números permiten una representación más directa y familiar de los valores
decimales utilizados en la vida cotidiana.
Es importante tener en cuenta que, internamente, los números de máquina
decimales también se pueden representar utilizando una combinación de bits y
algoritmos especiales para garantizar la precisión y realizar operaciones aritméticas
con ellos. Sin embargo, esta representación interna no es visible para el usuario y
se encarga de la computadora y el sistema operativo.

Aritmética de dígitos finitos
La aritmética de dígitos finitos es un enfoque en el que los números se
representan y manipulan utilizando una cantidad limitada de dígitos. Esto
contrasta con la aritmética convencional, en la que los números se representan
con una cantidad ilimitada de dígitos y se permite la precisión arbitraria.
En la aritmética de dígitos finitos, se establece un límite en la cantidad de
dígitos que se pueden utilizar para representar un número. Esto implica que solo
se puede tener un número finito de valores distintos para representar. Por
ejemplo, si solo se permiten tres dígitos (0, 1, y 2), entonces solo se pueden
representar números del 0 al 222.

Las operaciones aritméticas en la aritmética de dígitos finitos se realizan de
manera similar a la aritmética convencional, pero con algunas restricciones. Por
ejemplo, si se están utilizando solo tres dígitos (0, 1, y 2), la suma de 1 + 2 daría
como resultado 0, ya que no hay un dígito disponible para representar el 3. Esto
se conoce como desbordamiento, donde el resultado de una operación excede la
capacidad de representación y se produce una pérdida de información.
La aritmética de dígitos finitos se utiliza en algunas aplicaciones específicas,
como en sistemas electrónicos con recursos limitados o en algoritmos que
requieren operaciones rápidas y eficientes. Sin embargo, también tiene
limitaciones significativas debido a la pérdida de precisión y la incapacidad para
representar números arbitrariamente grandes o pequeños.

Aritmética anidada
La aritmética anidada es un término que se refiere a la práctica de realizar
operaciones aritméticas dentro de otras operaciones aritméticas. Consiste en la
incorporación de paréntesis para indicar el orden en el que deben realizarse las
operaciones y evitar ambigüedades.
En la aritmética anidada, las operaciones dentro de los paréntesis se resuelven
primero, siguiendo las reglas habituales de precedencia matemática. Luego, el
resultado de esas operaciones se utiliza como entrada para las operaciones fuera de
los paréntesis, si las hay. Esto permite realizar cálculos complejos que involucran
múltiples operaciones y asegura que se siga un orden específico de evaluación.
Por ejemplo, considera la siguiente expresión aritmética anidada:
((5 + 2) * 3) - (4 / 2)

Aritmética anidada
En este caso, las operaciones dentro de los paréntesis se resuelven primero.
Primero, se realiza la suma dentro del primer paréntesis (5 + 2), lo cual da como
resultado 7. Luego, se multiplica este resultado por 3, lo que resulta en 21. Después,
se evalúa la división dentro del segundo paréntesis (4 / 2), que es igual a 2. Por
último, se resta el resultado de la división (2) del resultado de la multiplicación (21),
obteniendo un resultado final de 19.
La aritmética anidada es una técnica importante en matemáticas y programación,
ya que permite realizar cálculos precisos y controlar el orden de las operaciones.

Aritmética anidada

EJERCICIOS

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