Este documento presenta las propiedades de los límites y varios ejemplos para calcular límites utilizando dichas propiedades. Explica que los límites de funciones sumadas, restadas o multiplicadas por constantes son iguales a la suma, resta o producto de los límites individuales. También resuelve seis ejemplos de cálculo de límites utilizando diferentes estrategias como factorización, cambio de variable y conjugado para resolver indeterminaciones.

1. Universidad Nacional del Comahue
Departamento de Matemática
ANÁLISIS MATEMÁTICO I: Cálculo de Límite
1◦ Cuatrimestre del 2020
2020.

2. Propiedades de los límites
Recordemos:
Propiedades: Suponga que c es una constante y que los
lim
x→a
f(x) y lim
x→a
g(x) existen, entonces
1 lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x)
2 lim
x→a
[f(x) − g(x)] = lim
x→a
f(x) − lim
x→a
g(x)
3 lim
x→a
[cf(x)] = c lim
x→a
f(x)
4 lim
x→a
[f(x)g(x)] = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x)
5 lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
si lim
x→a
g(x) 6= 0
6 lim
x→a
[f(x)]n
=
h
lim
x→a
f(x)
in
donde n es un número entero
positivo.
2020.

3. Propiedades de los límites
Por aplicación de estas propiedades se obtienen:
1 lim
x→a
c = c
2 lim
x→a
x = a
3 lim
x→a
xn
= an
donde n es un número entero positivo.
4 lim
x→a
n
√
x = n
√
a donde n es un número entero positivo y si
n es par, suponemos que a 0
5 Si f es una función polinomial o racional y a está en el
dominio de f , lim
x→a
f(x) = f(a).
2020.

4. Ejemplos
Utilicemos las propiedades para calcular los siguientes límites:
1) lim
x→2
x3 + 2x2 − 1
5 − 3x
2) lim
x→−1
x3 + 4x2 − 3
x2 + 5
3) lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − x
4) lim
x→0
(3 + x)2 − 9
x
5) lim
x→8
3
√
x − 2
x − 8
6) lim
x→−2
2 + x
|x2 − 4|
2020.

5. Ejemplos
Solución:
1) lim
x→2
x3 + 2x2 − 1
5 − 3x
=
lim
x→2
x3
+ 2x2
− 1
lim
x→2
5 − 3x
=
lim
x→2
x3
+ lim
x→2
2x2
− lim
x→2
1
lim
x→2
5 − lim
x→2
3x
=
[ lim
x→2
x]3
+ 2[ lim
x→2
x]2
− lim
x→2
1
lim
x→2
5 − 3 lim
x→2
x
=
23 + 2 · 22 − 1
5 − 3 · 2
=
8 + 8 − 1
5 − 6
= −15
Cuando uno adquiere práctica con el uso de las propiedades,
puede resumir la escritura. Veamos como es esto posible con
la resolución del segundo ejemplo.
2020.

6. Ejemplos
2) lim
x→−1
x3 + 4x2 − 3
x2 + 5
=
lim
x→−1
x3
+ 4x2
− 3
lim
x→−1
x2
+ 5
=
(−1)3 + 4(−1)2 − 3
(−1)2 + 5
=
−1 + 4 − 3
1 + 5
=
0
6
= 0
Veamos como calcular límites donde a priori no es posible
aplicar propiedades.
3) lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − x
Observamos que lim
x→1
x2
− x = 0 y lim
x→1
x2
+ x − 2 = 0.
2020.

7. Ejemplos
Decimos que lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − x
es de la forma indeterminada 0
0 .
PERO NUNCA ESCRIBIMOS lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − x
=
0
0
Debemos buscar una expresión equivalente a la que tenemos,
para poder aplicarle las propiedades de límite.
En este caso, factorizaramos.
lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − x
= lim
x→1
(x + 2)(x − 1)
x(x − 1)
= lim
x→1
x + 2
x
=
lim
x→1
x + 2
lim
x→1
x
=
3
1
= 3
Observemos que lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − x
existe y vale 3 aunque la
función f(x) = x2+x−2
x2−x
no esta definida en x = 1.
2020.

8. Ejemplos
4) lim
x→0
(3 + x)2 − 9
x
Nuevamente como x → 0 se anula el denominador y
numerador, tenemos una indeterminación de la forma 0
0
En este ejemplo tenemos en el numerador una diferencia de
cuadrados.
lim
x→0
(3 + x)2 − 9
x
= lim
x→0
[(3 + x) − 3][(3 + x) + 3]
x
=
lim
x→0
x[6 + x]
x
= lim
x→0
6 + x
1
= 6
Otra forma de resolver el mismo ejercicio sería resolver el
cuadrado del binomio:
lim
x→0
(3 + x)2 − 9
x
= lim
x→0
(9 + 6x + x2) − 9
x
= lim
x→0
6x + x2
x
=
lim
x→0
x(6 + x)
x
= lim
x→0
6 + x
1
= 6
2020.

9. Ejemplos
5) lim
x→8
3
√
x − 2
x − 8
indeterminación de la forma 0
0
Aquí tenemos una raíz en el numerador lo cual no nos permite
factorizar. Para solucionar este inconveniente utilizaremos un
cambio de variable.
Consideramos x = t3. Para que esta igualdad se verifique
cuando x → 8 debemos considerar que t → 2. Reemplazando
en nuestro límite tendremos:
lim
x→8
3
√
x − 2
x − 8
= lim
t→2
3
√
t3 − 2
t3 − 8
= lim
t→2
t − 2
t3 − 8
=
Ahora con Regla de Ruffini podemos factorizar el denominador
= lim
t→2
t − 2
(t − 2)(t2 + 2t + 2)
= lim
t→2
1
t2 + 2t + 2
=
1
10
2020.

10. Ejemplos
6) lim
x→−2
x2 − 4
|x + 2|
indeterminación 0
0
Sino estuvieran las barras de valor absoluto en el denominador
podríamos desarrollar la diferencia de cuadrados del
numerador y simplificar. Por ello apliquemos la definición de
valor absoluto.
|x + 2| =
x + 2 si x + 2 ≥ 0;
−(x + 2) si x + 2 0
|x + 2| =
x + 2 si x ≥ −2;
−(x + 2) si x −2
Es decir, a derecha e izquierda de −2, |x + 2| cambia de
expresión. Esto nos da pie a plantear límites laterales.
2020.

11. Ejemplos
lim
x→−2+
x2 − 4
|x + 2|
= lim
x→−2+
x2 − 4
x + 2
= lim
x→−2+
(x − 2)(x + 2)
x + 2
=
lim
x→−2+
x − 2
1
= −4
lim
x→−2−
x2 − 4
|x + 2|
= lim
x→−2−
x2 − 4
−(x + 2)
= lim
x→−2−
(x − 2)(x + 2)
−(x + 2)
=
lim
x→−2−
x − 2
−1
= 4
Como los límites laterales son distintos podemos afirmar que
lim
x→−2
x2 − 4
|x + 2|
no existe.
2020.

12. Ejemplos
Para culminar con los ejemplos agregaremos un caso que no
estaba en el listado original de ejemplos, la estrategia del
conjugado.
lim
x→−3
√
x + 7 − 2
x + 3
indeterminación 0
0
lim
x→−3
√
x + 7 − 2
x + 3
= lim
x→−3
√
x + 7 − 2
x + 3
√
x + 7 + 2
√
x + 7 + 2
=
lim
x→−3
(
√
x + 7 − 2)(
√
x + 7 + 2)
(x + 3)(
√
x + 7 + 2)
= lim
x→−3
(
√
x + 7)2 − 22)
(x + 3)(
√
x + 7 + 2)
=
lim
x→−3
x + 7 − 4
(x + 3)(
√
x + 7 + 2)
= lim
x→−3
x + 3
(x + 3)(
√
x + 7 + 2)
=
lim
x→−3
1
√
x + 7 + 2
=
1
4
2020.

13. GRACIAS POR SU ATENCIÓN!!!!!!!!!!!!!
POR CUALQUIER CONSULTA DIRIJASE AL FORO DE
CONSULTAS DE APUNTES
2020.