El documento explica conceptos básicos del plano cartesiano como el origen de coordenadas, los cuadrantes, y cómo calcular las coordenadas y distancias entre puntos. También define ecuaciones para líneas, circunferencias, elipses, hipérbolas, parábolas y cónicas; y explica cómo identificar rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, incluye una bibliografía de fuentes sobre este tema.
2. El plano cartesiano, coordenadas
cartesianas o sistema cartesiano es una
forma de ubicar puntos en el espacio,
habitualmente en los casos
bidimensionales.
Se conoce como origen de coordenadas al
punto (0,0). Es decir, aquel punto en el que se
cruzan los dos ejes de manera perpendicular.
Origen de Coordenadas
Plano Cartesiano
Cuadrantes y Signos
Cuando trazamos el eje vertical y el eje horizontal
de un plan cartesiano, se crean cuatro zonas. Cada
una de dichas zonas le llamamos cuadrante. A
continuación, podemos ver un ejemplo de los
cuadrantes del mismo
3. En la siguiente figura aparecen los puntos A, B,
C, D y E sobre el plano cartesiano. Se pide:
a) Determinar las coordenadas de cada punto y
el cuadrante al que pertenecen.
b) Encontrar las distancias entre: i) A y E, ii) A
y C y iii) B y D
Solución a
El ancho de la cuadrícula es 1, con esto en mente las coordenadas de cada punto son: A(-5,3)
en el segundo cuadrante, B(6,2) primer cuadrante, C(0,−3) sobre el eje y negativo, D(-6,-2)
tercer cuadrante y E(5,-2) en el cuarto cuadrante.
Solución b
Las distancias requeridas se obtienen a través de la fórmula de las distancias:
Ejercicio Resuelto
4. Se define la longitud del segmento de la
recta que une dos puntos representados en
el espacio euclídeo. Como tal, se expresa
numéricamente.
Distancia entre dos
puntos. Dados dos puntos
cualesquiera A(x1,y1),
B(x2,y2), definimos la
distancia entre ellos,
d(A,B), como la longitud
del segmento que los
separa.
Distancia entre Dos Puntos
5. En esta otra figura a continuación, el punto P
pertenece al IV cuadrante y tiene coordenadas
(2; −1.5). Obsérvese que al proyectar líneas
desde los ejes coordenados hasta el punto P se
forma un rectángulo. Esta es la razón por la
cual a las coordenadas cartesianas también se
las llama coordenadas rectangulares.
Los pares ordenados son las coordenadas de cada
punto, en las cuales siempre se coloca la coordenada
x en primer lugar, como en el ejemplo de la figura 1.
Las coordenadas (3,4) del punto P indican que x =
3 y y = 4.
Pares ordenados
Ahora veamos cómo determinar la distancia d entre
dos puntos del plano, considerando dos de ellos,
llamados P1 y P2, cuyas coordenadas son (x1,y1) y
(x2,y2) respectivamente. La distancia entre los puntos
es la longitud de la hipotenusa del triángulo
rectángulo que se forma y los catetos son los
segmentos determinados por y2 – y1 y x2-x1, por lo
tanto
6. Punto Medio
Es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o
extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante es el
punto que se encuentra a la misma
distancia de dos elementos geométricos,
ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es
el que lo divide en dos partes iguales.
En ese caso, el punto medio es único y
equidista de los extremos del
segmento. Por cumplir esta última
condición, pertenece a la mediatriz del
segmento.
7. Dado un segmento, cuyos extremos
tienen por coordenadas:
El punto medio, Pm, tendrá por
coordenadas
En el plano cartesiano
Sean los extremos con coordenadas
En el espacio cartesiano
El punto medio tiene como
coordenadas:
Ejemplos
8. Ecuaciones
Tiene la forma y = mx + b ; donde m es la pendiente
(ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje x )
y b es el intercepto donde la recta corta al eje y.
Cuando se tiene un línea recta que pasa por dos puntos
P(x1;y1) y Q(x2;y2) , se cumple que la pendiente m es
constante, donde m se define como:
ECUACION DE LA RECTA
Ecuación Punto – Pendiente
m=(y-y1) / (x-x1 ) Ecuación Punto -Pendiente.
Otra forma de presentar la ecuación de la recta es:
y-y1=m(x-x1 ) Ecuación Punto -Pendiente
Si se conoce un punto P(x1;y1) por el que
pasa una recta y su pendiente m, es factible
definir la ecuación de la recta.
Se puede calcular la pendiente de la recta
en base al punto conocido P(x1;y1) y al
punto genérico Q(x;y):
9. Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus
pendientes son iguales:
Es decir:
Sea L1: recta de ecuación y = m1x + b
L2: recta de ecuación y = m2 x
+ b L1 // L 2 si m1 = m2
Rectas Paralelas
Rectas Perpendiculares
Dos rectas que se cortan en un punto
cualquiera se llaman rectas secantes, pero si
además de cortarse en un punto, ambas rectas
forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que
son perpendiculares.
si L1 es una recta de ecuación y=m1 x + b
L2 es una recta de ecuación y= m2x +b
L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1
10. Ecuación vectorial
Sea un punto A(a,b) de la recta, cuyo vector
directriz es Si tomamos un punto
genérico de la recta P(x,y) se tiene
que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo
l un parámetro, tal que al ir tomando los
distintos valores de R nos va dando los
distintos puntos P de la recta
Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos
coordenadas, tenemos las ecuaciones
paramétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación continua
Despejando en las ecuaciones de arriba, e
igualando se tiene la ecuación continua de la
recta:
11. Ecuación funcional
Siendo m el valor de tg a (también llamada
"pendiente" de la recta), b el punto de corte del
eje y
Ecuación cartesiana
Está dada por: Ax + By + Cz + D =
0, es decir, los puntos del espacio (x,
y, z) que satisfacen la ecuación y
forman un plano
12. Ecuaciones de la circunferencia.
Ecuación de la circunferencia centrada en el
origen:
Para una circunferencia de radio R centrada en
el origen de coordenadas:
Ecuación de la circunferencia centrada en
otro punto:
Para una circunferencia de radio R centrada en
un punto P(a,b):
Ecuaciones paramétricas de la circunferencia
Para una circunferencia de radio R centrada en
el origen
En el caso de que la circunferencia esté
centrada en un punto distinto del origen,
digamos en P(a,b), las ecuaciones paramétricas
quedan
13. Ecuación de la elipse
Ecuación de la elipse centrada en el origen
Sea una elipse centrada en O, y cuyos semiejes
sean a, b. Esta elipse tiene por ecuación en
coordenadas cartesianas
Ecuaciones de la hipérbola
Ecuación de la hipérbola centrada en el origen
Consideremos una parábola cuyo eje es el eje de ordenadas, su
vértice es el centro de coordenadas V (0, 0) y que está en la parte
positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F
(p/2,0) . La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2.
Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto
P de la parábola (que, por definición, son iguales) tendrán la
longitud
Ecuaciones de la Parábola
La ecuación de la hipérbola se puede expresar
cuando su centro es O = (o1,o2) como
14. Una cónica es el lugar geométrico de los puntos
del plano (x,y) que satisfacen una ecuación
completa de segundo grado
La ecuación de una cónica se puede escribir en
forma matricial como
donde
Una cónica queda pues definida por una matriz
simétrica En lo que sigue denotaremos por Aii a la
matriz adjunta en A del elemento aii i=0,1,2
Grafica de una Cónica
