2. 1. Introducción
La mayoría de las operaciones algebraicas que encontraremos involucran las
operaciones más usuales: suma, resta, multiplicación, división, exponentes y
raíces.
Sin embargo también nos encontraremos a menudo con algunas funciones
especiales que denominaremos funciones trascendentes y que son el seno, el
coseno, la tangente, es decir, las funciones trigonométricas; y el logaritmo y la
exponencial. En esta sección presentaremos cada una de ellas.
En este punto y después de esa explicación técnica estoy seguro de que la
duda que ronda en sus mentes es ¿para que me sirve esto?. Estas funciones
tienen muchos usos sin embargo si queremos nombrar algunos ejemplos estas
son y pueden ser usadas para determinar el crecimiento de la población , el
cálculo de vibraciones y ondas, la eficiencia de algoritmos de computadora y
muchas cosas mas, por tal estas funciones son elementales y te seguirán a lo
largo de la carrera.
3. 2. Definición
Las funciones algebraicas son aquellas funciones cuya ecuación funcional
intervienen sumas, diferencias, productos, cocientes, potencias y raíces de
polinomios. Ejemplos: polinomios, funciones racionales, funciones con radicales,
entre otros.
Se llama función trascendente, aquella cuya variable contiene expresiones
trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones
trascendentes son las siguientes:
Algebraicas
FUNCIONESLogarítmicas
Trascendentes Trigonométricas
Exponenciales
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como
exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o
de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
4. 3. Funciones Circulares
Las funciones trigonométricas tam bién llamadas circulares, asocian
a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del
ángulo cuya medida en radianes es x.
Estas funciones son el resultado del cociente de dos números (cateto sobre
hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre cateto). Esto hace necesario,
para el dominio de definición, restringir el eje en aquellos números que anulen
el denominador.
Las funciones circulares se originan a partir de la circunferencia unidad de radio
1. Como recuerdas para un ángulo dado α el segmento azul del gráfico es el
sen α y el segmento rojo del gráfico es el cos α. A medida que el punto P
recorre la circunferencia cambia α y por tanto el sen α y el cos α
Una función trigonométrica es importante por el hecho de tener un patrón y ser
repetitiva, esto le da la capacidad al que la utiliza de poder interpretar ciertos
actos físicos que requieren de cierta repetitividad para funcionar.
Las funciones trigonométricas más utilizadas son: seno, coseno, tangente,
cotangente, secante, cosecante.
5. Seno La función seno es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su seno
f (x) = sen x
Coseno La función coseno es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su coseno.
f(x) = cos x
Tangente La función tangente es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su tangente.
f(x) = tg x
Cotangente La función cotangente es la asociación entre
un ángulo dado x y el valor de su
cotangente.
f(x) = cotg x
Secante La función secante es la asociación entre un
ángulo dado x y el valor de su secante.
f(x) = sec x
Cosecante La función cosecante es la asociación entre
un ángulo dado x y el valor de su cosecante.
f(x) = cosec x
Basándonos en lo anterior te dejamos la siguiente tabla que muestra algunos
datos importantes de las funciones trigonométricas más comunes:
6. La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y
tangente con cotangente. Así tenemos:
cos
tan
sen
sen
g
cos
cot
Función senof(x) = sen x
La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
A continuación mostramos una tabla de valores para la función:
7. Función Cosenof(x) = cos x
La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa.
Su simbología es la siguiente:
A continuación mostramos una tabla de valores para la función:
Función tangentef(x) = tan x
Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre
Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
8. También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:
Función Cotangentef(x) = cotg x
Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:
10. Función Cosecantef(x) = cosec x
Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:
4. Funciones Exponenciales
Seaa un número real positivo y distinto de 1. Definimos la función exponencial
de base a como aquella que tiene la forma:
x
axf )(
en donde x es cualquier número real.
11. “Los términos exponenciales son en sí aquellas potencias cuya base es un
número fijo y el exponente es una variable”. En la siguiente tabla se presentan
algunos ejemplos de funciones exponenciales.
Función Título
f(x) = 10x Función exponencial de base 10
f(x) = 2x Función exponencial de base 2
Las funciones exponenciales son las que tienen la variable como exponente.
Para hacernos una idea clara vamos a analizar por ejemplo, la función:
y = 2x
La exponencial está bien definida para cualquier valor de x. Recuerda que 20 =1
y cómo funcionan los exponentes negativos.
x > 0 x < 0
21
= 2 2-1
= ½
22
= 4 2-2
= ¼
25
= 32 2-5
= 1/32
210
= 1024 2-10= 1/1024
Observa que cualquier potencia de 2 es siempre positiva. A continuación
realizamos una tabla de valores y mostramos la grafica de y = 2x.
12.
13. 5. Funciones Logarítmicas
Una función de la forma f (x) = Loga x, con a >0 y a es diferente a 1. La
función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de
base a.
Se emplea la notación loga para denotar la función logarítmica de base a.
Los valores de la función loga se denotan por loga (x) o de forma más
sencilla loga x. Por tanto, como loga y la función exponencial de base a son
funciones inversas.
La función logarítmica así como la exponencial, cuenta con características
especiales, el dominio de la función exponencial de base a es el conjunto
de números reales y su contra dominio es el conjunto de números
positivos. De ahí que el dominio de loga es el conjunto de números
positivos, y su contra dominio es el conjunto de números reales. El rango
es el conjunto de los números reales.
14. 6. Integrales de las Funciones trascendentes
Aplicación de Integrales en Funciones Logaritmo Natural
Integrales que generan logaritmos naturales
Si recordamos la expresión
Con n¹ -1, nos damos cuenta que esta expresión no es válida cuando
n=-1.
Para evaluar
15. Con n = -1 requerimos una función cuya derivada sea 1/x, según la primera
parte del teorema fundamental del cálculo
Donde x es real y x > 0, podemos definir la función logaritmo natural de la
siguiente manera:
Con x > 0 por lo que el dominio de la función serían todos los números
positivos. La expresión Ln x se lee: logaritmo natural de x, de hecho es una
función diferenciable:
De aquí podemos decir que
En este caso si llamamos u argumento de ln, entonces su derivada será el
recíproco del argumento, multiplicada por la derivada del argumento.
Propiedades y Graficas del Logaritmo
1. ln(ax)=ln a + ln ê x ê
2. ln ê a/x ê =ln a - ln ê x ê
3. ln ê xn ê =n ln ê x ê
4. ln e =1
En estas propiedades, tanto a como x son positivas, ya que el dominio de la
función son todos los números positivos.
16. Una característica muy notable en la gráfica, es que el ln x< 0 si 0< x< 1, ln
x=0 si x=1, también lnx>0 si x > 1, para valores de x menores o iguales a
cero, no está definida la función. Su contra dominio está definido en todos los
reales.
Derivadas e Integrales Relacionadas con la Función Logaritmo
Natural
Es aquí donde las propiedades de esta función nos ayudan a simplificar los
cálculos, es decir, se pueden transformar en expresiones más sencillas en
particular para aplicar derivadas a expresiones complejas y para simplificar
resultados de las soluciones de integrales.
Ejemplo I
Derivar la expresión
4x
3x
lny
2
para facilitar los cálculos , aplicamos las
propiedades de la función ln quedándonos 4xln3xlny
2
4)x(x
x4
4)3x(x
)x3(4
12x3x
6x123x
4x
2x
3x
3
2x
4x
1
-3
3x
1
y
2
2
2
2
3
22
22
Ejemplo II
Derivar la expresión: y = ln2x2
y = ln x2. lnx2= 2 lnx 2ln x= 4lnxlnx entonces
x
xln
8y
x
xln
x
xln
4y
La función exponencial
Se define como la inversa de la función logaritmo natural. Se puede expresar
así: exp.(x)= y sí y solo sí x = ln y ó ex= y sí y solo sí x = ln y. De aquí se
deduce que elnx=x ó ax= exln a
Propiedades
Las propiedades de esta función son las mismas que las de la potenciación:
17. a) ea eb = e a+b, b) ea / eb = ea-b, c) (ea)b = ea b. Si y = et, entonces y, = et
dt
La
t
e dt = et + C
Figura II-2
En la gráfica se observa que la función es positiva en todo su dominio que son
todos los reales, es creciente, su contradominio es (0, + ), cóncava hacia
arriba
Función Exponencial en Base "a"
Si a > 0 entonces podemos escribir ax = exp. (x ln a) = ex ln a para toda x real.
Tomando ln en ambos lados: ln ax = x ln a. Esta función cumple con las mismas
propiedades de la función con base e.
Si y = ax entonces dy = ex ln a d(x ln a) = ex ln a ln a dx = ax ln a dx es decir y’ =
ax ln a dx
Si y = ax entonces
Sea t = x ln a entonces dt = ln a dx
18. Si en la derivada y en la integral, "a" toma el valor de "e", tenemos los mismos
resultados estudiados en la función exponencial con base "e", ya que "e" es un
caso particular de la base "a".
Función Logaritmo con Base "a"
Si y=log ax entonces ay = x con a > 0 y a¹ 1, aplicando ln en ambos
miembros: y ln a = ln x sustituyendo "y" encontramos expresiones que serán
de mucha utilidad en el desarrollo de las técnicas de integración que se verán
más adelante.
Función exponencial en Base "e"
Es un caso particular de la función exponencial generalizada a una base "a"
cualquiera, por lo tanto cumple con las mismas propiedades.La derivada y la
integral se desarrollan de la misma forma, tal como se puede comprobar al
sustituir "a" por "e" y aplicar las propiedades conocidas.
7. Aplicación de Integrales en Funciones
Trigonométricas y sus Inversas
Integrales Sencilla
Definición. Las integrales sencillas vienen tabuladas, es decir son integrales
inmediatas que nos sirven para complementar soluciones de las mismas, más
complejas.
Para demostrar dichas integrales se utiliza un método sencillo, se deriva el
resultado y se debe obtener el integrando, de esta forma queda demostrado
que esa es su integral.
Tal es el caso de:
Si derivamos – cos x + c, obtenemos:
– (- sen x) = sen x.
Recordemos que la integral es el proceso contrario a la derivación y viceversa.
19. Integrales Inversas
Muchas veces requerimos expresar el argumento de una función trigonométrica
como resultado de un problema, para ello lo hacemos mediante la función
inversa.
Recordemos que una función tiene inversa si al trazar una recta horizontal
sobre ella, la corta una y sólo una vez, de lo contrario no tiene dicha inversa, a
menos que se restrinja su dominio. Si recordamos la gráfica del seno, una recta
horizontal la cortaría en más de un punto, pero si restringimos su dominio,
logramos que la corte en un solo punto.
La inversa de una función suele expresarse mediante la unidad negativa como
un exponente, pero para evitar una confusión con su recíproco, se usa otra
notación para el caso de las funciones trigonométricas tal como lo veremos a
continuación:
Sen x, su inversa arcosen x entonces podemos definir:
y = arcsen x sí y solo sí x = sen y, el dominio = [-1, 1] el contradominio = -
p/2 £ y £ p/2
y = arccos x sí y solo sí x = cos y, dominio = [-1, 1] el contradominio =
0 £ y £ p
y = arctan x sí y solo sí x= tan y, dominio = (-¥ , +¥ ) el contradominio = - p/2
< y < p/2
arcotan x = p /2 - arctan x siendo x real, domin. = (-¥ , +¥ ) el contradomin. =
(0, p )
y = arcsec x sí y solo sí x = sec y, dom. = (-¥ , -1] È [1, +¥ ) el contradom. =
[0, p/2) È [p , 3p/2)
arcos x = p/2 - arccosec con ½ x ½ ³ 1, dom. (-¥ , -1] È [1, +¥ ) el
contradom. = (-p ,- p/2) È (0, p/2].
Existe un grupo de integrales cuya solución es una función trigonométrica
inversa, a continuación las citamos:
.-
22
xa
dx
= arcsen x/a + C, con a > 0
.-
22
xa
dx
= 1/a arctan x/a + C, con a 0
20. .-
22
axx
dx
= 1/a arcsec x/a +C, con a > 0
.- dxxa
22
= C
a
x
arcsena
2
1
xax
2
1 222
8. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas, sus
Inversas: Dominio, Rango y Gráficas
Funciones Hiperbólicas
Existen muchas gráficas que no las podemos modelar mediante funciones
trigonométricas o curvas de segundo grado debido a que no se ajustan a
ninguna de ellas. Una combinación de la función exponencial, nos representa
más esas curvas.
A esta combinación de gráficas de la función exponencial, se le llama funciones
hiperbólicas y tienen ciertas similitudes con las funciones trigonométricas por lo
que reciben el nombre de seno hiperbólico (senhx), coseno hiperbólico (coshx),
tangente hiperbólica (tanghx), secante hiperbólica (sechx) y cosecante
hiperbólica (cosechx).
21. Gráficas
Identidades Hiperbólicas
senh (-x) = - senh x
cosh (-x) = cosh x
cosh2 x - senh2 x = 1
1 - tanh2 x = sech2 x
senh (x+y) = senh x cosh y + cosh x senh y
cosh (x+y) = cosh x cosh y + senh x senh y
22. Derivadas de Funciones Hiperbólicas
d ( senh x) = cosh x dx
d ( cosh x) = senh x dx
d (tanh x) = sech2x dx
d (coth x) = -csch2x dx
d (sech x) = -sech x tanh x dx
d (csch x) = -csch x coth x
Funciones Hiperbolicas Inversas
.- arcsenh x =
1xxln
2
.- arccosh x =
1xxln
2
con x 1
.- arctanh x =
x1
x1
ln
2
1
con x < 1
.-arccotanh x =
1x
1x
ln
2
1
con x > 1
.-arcsech x =
x
x11
ln
2
.-arccosech x = ln
x
x1
x
1
2
23. 9. Aplicación de Integrales en Funciones
Trigonométricas, Hiperbólicas y sus Inversas
A partir de las derivadas de las funciones hiperbólicas, al igual que las funciones
trigonométricas, se puede obtener las integrales de cada una de ellas.
La integración de dichas funciones hiperbólicas se realizan igual que la
integración de las mismas trigonométricas. Las siguientes identidades son de
mucha utilidad.
Aplicación de Integrales de Funciones Hiperbólicas Inversas
10. Integrales que Incluyen Potencias de las
Funciones Trigonométricas
Por lo general las integrales de funciones trigonométricas con exponente 1 ó 2,
se resuelven en forma directa o mediante la aplicación de las respectivas
identidades.
Cuando se tienen exponentes mayores a los citados, se han desarrollado
técnicas que permiten convertir estas integrales, en otras más sencillas. A
24. continuación se desarrollan esas técnicas, según sea el caso que se
presente. También se estudia el caso en el cual el integrando
contiene funciones trigonométricas con diferentes argumentos.
1. Integración de Potencias del Seno y Coseno.
2. Integración de Potencias de las Funciones: Tangente, Cotangente,
Secante y Cosecante.
3. Integrales con diferentes argumentos.
Integración de Potencias del Seno y Coseno:
1er caso:
xdxcosxsen nm
donde al menos “m” y/o “n” es impar: en este caso
se hace que el exponente impar sea par, para poder expresar la función
resultante, mediante identidades trigonométricas, en una función que contenga
la derivada de la función original. En este caso la identidad que se aplica es
sen2 x + cos2 x =1.
2do Caso:
dxxcos.xsen nm
, donde “m” y “n” son pares y positivos.
En este caso se utilizan las identidades trigonométricas:
Sen2 nx =
2
nx2cos1
y cos2 nx =
2
nx2cos1
donde “n” es un entero.
Las funciones trigonométricas se expresan en una potencia que sea múltiplo de
2.
Integración de Potencias de las Funciones Tangentes, Cotangente,
Secante y Cosecante.
Para resolver este tipo de integrales se requieren además de las respectivas
fórmulas de integrales, algunas identidades trigonométricas de dichas
funciones. Estas identidades son:
1 + tan2 x = sec2 x; 1 + cot2 x = csc2 x.
1er caso:
dxxtann
o
dxxcotn
, donde “n” es un entero mayor que cero.
Para resolver este tipo de integral, se convierte
25. tann x = tann-2 x tan2 x = tann-2 x (sec2 x – 1)
cotn x = cotn-2 x cot2 x = cotn-2 x (csc2 x – 1).
2do caso:
dxxsecn
ó
dxxcscn
, con “n” positivo entero y par, podemos
escribirla como: secn x = secn-2 x sec2 x = (tan2 x + 1)(n-2)/2. sec2 x.
cscn x = cscn-2 x csc2x = (cot2 x +1)(n-2)/2 csc2 x.
Integrales de Funciones Trigonométricas con Diferente Argumento
Para resolver este tipo de integral, se requiere el uso de las siguientes
identidades trigonométricas:
sen mx sen nx = 1/2 cos (m - n) x – 1/2 cos (m + n) x
cos mx cos nx = 1/2 cos (m - n) x + 1/2 cos (m + n) x
sen mx cos nx = 1/2 sen (m - n) x + 1/2 sen (m + n) x
26. 11. Ejercicios Resueltos
Calcular las siguientes integrales de acuerdo a la function transcendental
que pertenezca:
a.
b.
c.
Recordamos la razón trigonométrica:
27. 12. Conclusión
Después de haber estudiado las funciones trascendentales tenemos que estas
nos ayudan entender de manera más práctica el comportamiento de los
ángulos en los triángulos y su relación con cada una de las funciones.
Así mismo nos permiten el estudio de variables dependiente siendo el caso de
las funciones exponenciales, facilitando el trabajo al realizar análisis de los
problemas matemáticos.
El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a
lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al
haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo
que podemos aplicar frente a cierta problemática.
