Mates

1. ACT MÓDULO 4 BLOQUE 12
TEMA 6 PROBABILIDAD
RESUMEN

2. ÍNDICE
1. ¿Qué es la PROBABILIDAD?
2. Conceptos elementales.
3. Relaciones entre sucesos.
4. Probabilidad clásica: REGLA DE LAPLACE.
5. Propiedades básicas de la probabilidad.
6. Probabilidad compuesta con reposición y sin
reposición.
7. Diagramas de árbol.

3. 1. ¿Qué es la PROBABILIDAD?
El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en
la comunicación entre las personas. Por ejemplo:
2) Los alumnos del ISL tienen un 90% de probabilidades
de ingresar a la universidad.
En los ejemplos, se da la “medida” de que suceda
realmente un evento que es incierto (casarse o ingresar a
la universidad), y ésta se expresa mediante un número
entre 0 y 1, o en porcentaje.
1) Juan y Antonia tienen un 60% de probabilidades de
convivir juntos.

4. 2. Conceptos ELEMENTALES.
Experimento Aleatorio:
Cuando aun conociendo las condiciones iniciales no podemos
fijar el resultado.
Ej. Ganar la loto o lanzar un dado.
En la naturaleza podemos distinguir entre dos tipos de sucesos según la
certeza o no de que ocurra siempre lo mismo:
Experimento Determinístico:
son aquellos en los que conocidas las condiciones iniciales sabemos
seguro lo que va a ocurrir.
Ej: los sucesos físicos que se rigen por las leyes físicas (si tiramos una
piedra esta caerá)

5. 2. Conceptos elementales.
Al lanzar un dado puede ocurrir 6 casos distintos, que salgan 1, 2,
3, 4, 5 y 6.
Cada uno de los casos se llama suceso elemental, siendo el
espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales
posibles en el experimento.
E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Otros sucesos que pueden ocurrir al lanzar un dado es la unión de
varios sucesos elementales, por ejemplo:
A={salir par}={2,4,6}, B={salir múltiplo de 3}={3 & }={3,6}
Un Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, E. Se
suelen denotar con letras mayúsculas: A, B, C… Hay dos sucesos
importantes:
• El suceso vacio,  o Suceso Imposible p()=0
• El propio espacio muestral, o Suceso Seguro p(E)=1

6. 2. Conceptos elementales.
Suceso Elemental
Suceso Compuesto
Sucesos Compatibles
Suceso Incompatible
Es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Es el suceso formado por más de un resultado del espacio muestral.
Suceso = {2} S = {3}
Suceso = {salir par}={2,4,6}
Son los sucesos que comparten resultados de uno o más sucesos comunes.
S= {salir par}={2,4,6} y T={salir menor que 4}={1,2,3}
Sucesos que no tienen ningún resultado común, es decir, NO SE PUEDEN
DAR A LA VEZ.
S= {salir par}={2,4,6} y T={salir múltiplo de 5}={1,5}

7. 2. Conceptos elementales.
Suceso Contrario
Ā o A’ Es aquel que se verifica cuando no ocurre el suceso A.
A={salir cara} Ā = {salir cruz}
Sucesos Independientes
Dos sucesos son independientes entre sí, si la probabilidad de que ocurra el suceso B
no depende de que haya ocurrido o no antes el suceso A.
Al lanzar una moneda la probabilidad que salga 2 veces cara. Estos son dos sucesos, el
primer lanzamiento y el segundo. Es evidente, que NO depende para nada el resultado del
segundo lanzamiento de lo que haya sucedido en el primero.
Sucesos Dependientes
Dos sucesos son dependientes entre sí, si la probabilidad de que ocurra el suceso B
depende de que haya ocurrido o no antes el suceso A.
Al sacar dos cartas de una baraja sin devolver la primera antes de sacar la segunda. En esta
Ocasión la probabilidad de sacar una u otra carta en la segunda extracción dependerá de lo
que hayamos sacado en la primera.

8. 3. Relaciones entre sucesos.
Unión de Sucesos
A U B es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B.
A U B={x: x Є A o x Є B}
Ejemplo:
lanzamos un dado tal que dos sucesos: A={impar}={1,3,5} B={primo}={2,3,5}
A U B={1,2,3,5}
Intersección de Sucesos
A ∩B es el suceso formado por los elementos que están
simultáneamente en A y en B. A ∩ B={x: x Є A y x Є B}
Ejemplo:
lanzamos un dado tal que dos sucesos:
- A={par}={2, 4, 6} B={primo}={2,3,5} A ∩ B={2}

9. 4. REGLA DE LAPLACE
Casos posibles
Casos favorables
P(A) =
PARA
EXPERIENCIAS
REGULARES
SIMPLES:
Ejemplo1:
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga
un número primo?
Solución:
El Espacio Muestral E, está dado por:
E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir,
6 casos posibles.
Sea A, el evento o suceso:
A: que salga un número primo, entonces se tiene que:
A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos
favorables.

10. P(A) =
3
6
Entonces:
Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5)
Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)
Por lo tanto:
1
2
=
4. REGLA DE LAPLACE

11. Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá:
P(A) = 1
Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número natural al lanzar
un dado común es 1 (6 de 6).
6
6
P(natural) = = 1
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6)
4.1 Probabilidad de un suceso seguro:

12. Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar
un dado común es 0 (0 de 6).
P(A) = 0
Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)
Casos favorables: 0
0
6
P(mayor que 6) =
4.2 Probabilidad de un suceso imposible:
Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá:

13. A
E
A
La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad
de un suceso contrario”, se obtiene a través de:
P(A) = 1 - P(A)
4.3 Probabilidad de un suceso contrario:

14. 5. Propiedades básicas de la probabilidad.
5.1 La probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B en un
experimento simple .
Caso 1: Cuando A y B son eventos mutuamente excluyentes (es
decir, incompatibles) como P(A ∩ B)= 0 entonces:
P(<2) ó P(>5) = P(<2) P(>5)
U
EJEMPLO:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor
que 2 ó mayor que 5?
Solución: P(<2) = 1
6
= P(<2) P(>5)
+
1
P(>5) =
6
y
= + 1
6
= 2
6
= 1
3

17. en experiencias compuestas.

19. Pero, en la probabilidad COMPUESTA, también podemos diferenciar entre
PROBABILIDAD CON REPOSICIÓN Y SIN REPOSICIÓN.
6.1 Probabilidad con reposición.
La probabilidad de que ocurran A y B, es decir la intersección de ambas, es igual
al producto de las dos probabilidades:
P(A ∩ B)=p(A)·p(B) en sucesos independientes
Ejemplo:
Extraemos una carta y miramos el palo, y la volvemos a introducir. Extraemos otra
carta y volvemos a mirar el palo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean de oros?.
b) ¿y la primera de oros y la segunda de copas?
Está claro que son sucesos independientes, ya que al volver a introducir la carta
el palo de la segunda extracción no depende del palo de la primera.
6. PROBABILIDAD CON Y SIN
REPOSICIÓN.

22. Ejemplo:
Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de
las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se
extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la
probabilidad de que ambas sean blancas?
6.2 Probabilidad sin reposición.

23. 7. DIAGRAMAS DE ÁRBOL.
• Las experiencias se puede describir sistemáticamente, y de forma
muy clara, mediante un diagrama de árbol.
• Se utiliza para calcular la probabilidad cuando para llegar a un
suceso dado se llega a partir de distintos pasos o niveles y puede
ocurrir por diferentes caminos.
• Se utiliza tanto cuando los sucesos son independientes como
dependientes.
• La probabilidad será igual a la suma de las probabilidades de los
diferentes caminos.

24. EJEMPLO:
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité
de tres al azar, hacer el diagrama de árbol: