Curso alglin livro-1a-edicao-jul-2008-265pp

ÙÖ×Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö
u0
v u + v
u0
v u + v
u0
v u + v
u0
v u + v
u0
v u + v
u0
v u + v
u0
v u + v
u
0 v u + v
Ô × × Ó ÙØÓÖ Þ × Ñ Ú Ò × ÚÙÐ Ù ÒÓ××Ó ØÖ Ð Ó

ÙÖ×Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö
ÈÖ Ñ Ö Ó
Å Ö
Ó º Èº Ö Ð È ÙÐÓ ÓÐ Ð
È ÁÒ Ò ÍÒ Ú Ö× ØÝ È ÓÙÖ ÒØ ÁÒ×Ø ØÙØ
ÈÖÓ º ÁÅ ¹ Í ÊÂ ÈÖÓ º ÁÅ ¹ Í ÊÂ
Ñ Ô
Ö ÐÙ Ö º Ö ÓÐ Ð Ð Ñ ºÙ Ö º Ö
ÛÛÛºÐ Ñ ºÙ Ö º Ö» Ð Ð Ò
Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø
ÔÐ
ÁÒ×Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ
Ê Ó Â Ò ÖÓ ¹ Ö × Ð
ÂÙÐ Ó»¾¼¼

×Ø ØÖ Ð Ó ÑÙ ØÓ ÔÖÓÚ Ú ÐÑ ÒØ × Ö Ð
Ò
Ó ×Ó ÙÑ Ä
Ò
ØÖ Ù Ó¹Í×Ó Æ Ó¹ ÓÑ Ö
Ð¹ ÓÑÔ ÖØ Ð Ñ ÒØÓ Ô Ð Ñ ×Ñ Ä
Ò ¾º Ö × Ðº È Ö Ú Ö
ÙÑ
Ô ×Ø Ð
Ò ¸ Ú × Ø
ØØÔ »»
Ö Ø Ú
ÓÑÑÓÒ×ºÓÖ »Ð
Ò× ×» Ý¹Ò
¹× »¾º » Ö»
ÓÙ ÒÚ ÙÑ
ÖØ Ô Ö Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ×¸ ½ ½ Ë
ÓÒ ËØÖ Ø¸ ËÙ Ø ¿¼¼¸ Ë Ò Ö Ò
×
Ó¸
Ð ÓÖÒ ½¼ ¸ ÍË º

Ø ÐÓ Ö
Ö Ð¸ Å Ö
Ó º Èº ÓÐ Ð ¸ È ÙÐÓ
ÙÖ×Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö » Å Ö
Ó Ö Ð È ÙÐÓ ÓÐ Ð ¹ Ê Ó Â Ò ÖÓ ÁÒ×Ø ØÙØÓ
Å Ø Ñ Ø
¸ ¾¼¼ º
½º ýÐ Ö Ä Ò Ö Áº Ì ØÙÐÓ
½¾º
½ º¿
ÁË Æ ¹ ¹ ¹

ËÓ Ö Ó× ÙØÓÖ ×
Å Ö
Ó Ö Ð Þ Ó
Ö Ð Ó Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø
Ò Í ÊÂ¸ Ó Å ×ØÖ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø
ÔÐ ¹

Ò Í ÊÂ Ó ÓÙØÓÖ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø
Ò ÁÒ Ò ÍÒ Ú Ö× ØÝ ´ ÐÓÓ Ñ ÒØÓÒ¸ Í µº
ÔÖÓ ××ÓÖ ÒÓ ÁÒ×Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø
Ò Í ÊÂº ËÙ Ö ÒØ Ö ×× ÕÙ × Ö Ò
×
Ô Ö
× ´ Èµº
È ÙÐÓ ÓÐ Ð Þ
Ö Ð Ó Ñ Ò Ò Ö Å
Ò
Ò Í ÊÂ¸ Ó Å ×ØÖ Ó Ñ Å Ø ¹
Ñ Ø
ÔÐ
Ò Í ÊÂ Ó ÓÙØÓÖ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø
ÒÓ ÓÙÖ ÒØ ÁÒ×Ø ØÙØ ´ÆÓÚ ÁÓÖÕÙ ¸
Í µº ÔÖÓ ××ÓÖ ÒÓ ÁÒ×Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø
Ò Í ÊÂº ËÙ Ö ÒØ Ö ×× Ñ ØÓ Ó×
ÒÙÑ Ö
Ó× Ñ ÕÙ × Ö Ò
× Ô Ö
× ´ Èµº

Ö
Ñ ÒØÓ×
ÈÖ Ñ ÖÓ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ × ´ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×µ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ñ ÔÖÓ Ù Ó ×Ø Ñ Ø Ö Ðº ×Ø
ÔÖÓ ÙØÓ Ö ÖÓ
ÙÐØÙÖ ÈÄ ´ ÒÙ ÈÙ Ð
Ä
Ò× µ¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ó Ö Ù×Ó
Ó
ÓÒØ º Ö
ÑÓ× Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö ÓÙ Ð × ÃÒÙØ Ô ÐÓ Ì ´ Ä ×Ð Ä ÑÔÓÖØ Ô ÐÓ
ÄÌ µ¸ ×Ó ØÛ Ö ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÕÙ ×Ø Ñ Ø Ö Ð × Ø Ó ÓÒ ØÓ Ä ÒÙ× ÌÓÖÚ Ð × ´ Ñ Ð Ö ×
ÓÙØÖ × Ô ××Ó ×µ Ô ÐÓ × ×Ø Ñ ÓÔ Ö
ÓÒ Ð Ä ÒÙÜ¸ Ö Ñ ÅÓÓÐ Ò Ö Ô ÐÓ Ú Ñ ´ ØÓÖ Ø ÜØÓµ¸
Ì ÐÐ Ì ÒØ Ù Ô ÐÓ Ñ Ö ´×Ð × Ó
ÙÖ×Óµ Ô ÐÓ Ì È ´ ÙÖ × Ó Ø ÜØÓµ¸ Ê
Ö
ËØ ÐÐÑ Ò ´Ö ×ÔÓÒ× Ú Ð Ô ÐÓ ÔÖÓ ØÓ ÆÍµ Ñ Ð Ö × Ô ××Ó × ÔÓÖ Þ Ò × ×Ó ØÛ Ö ×
ÙØ Ð Þ Ó× Ø Ö ´
ÓÑÔ
Ø Ó ÖÕÙ ÚÓ×µ¸ Ñ ´ Ö Ò
ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ µ¸ Ö Ô¸ Ò ¸
Ó×ØÚ Û¸ ÜÔ ¸ º º º Ö
ÑÓ× Ø Ñ Ñ Â Ñ À ÖÓÒ¸
Ù Ó Ð ÚÖÓ Ä Ò Ö Ð Ö ¸ Ñ
Ð
Ò º Ù ÓÙ Ò×Ô Ö Ö ×Ø ØÖ Ð Óº
Ù Ö Ñ Ò ÔÖ Ô Ö Ó ×Ø ØÖ Ð Ó ØÖ Þ Å Ð ÓÚ
´
ÓÑ Ö ØÓ Ó× Ü Ö

Ó×µ¸
ÈÖÓ º Ð Ô
Ö Í ÊÂ ´×Ù ×Ø Ó ÑÓÖ ×ÑÓµº ×Ô Ö ÑÓ× Ñ Ö Ú
Ö ×
ÒØ Ö × Ù
ÒÓÑ ÕÙ º
Ú

ÈÖ
Ó
È Ö Ó ×ØÙ ÒØ
×Ø Ð ÚÖÓ Ø Ú
ÓÑÓ Ó
Ó Ó ÐÙÒÓ ×Ù ×
ÙÐ ×º Ð ÖØ Ñ ÒØ ÐÙ×ØÖ Ó¸
ÓÑ
Ö
¾ ¼ Ü ÑÔÐÓ×¸ ÑÙ ØÓ× Ð × Ü Ö

Ó× Ö ×ÓÐÚ Ó×º ÈÖÓ
ÙÖ ÑÓ× ×Ø
Ö ÒÓ Ø ÜØÓ Ó× ÖÖÓ×
Ñ ×
ÓÑÙÒ× Ó× ÐÙÒÓ×º
Ô ÖØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó
ÙÖ×Ó Ö ×ÓÐÚ Ö Ü Ö

Ó×¸ Ø ÒØÓ× ÕÙ ÒØÓ ÓÖ ÔÓ×× Ú Ðº Ó Ò Ð

Ô ØÙÐÓ Ü ×Ø Ñ Ü Ö

Ó× Ú Ó× Ñ ÖÙÔÓ×
• Ü Ö

Ó× Ü Ó Ú Ñ × Ö ØÓ× Ñ Ø Ñ ÒØ Ô × Ð ØÙÖ Ó Ø ÜØÓº Ë Ó
Ö ×ÔÓ×Ø Ñ Ø ´Ñ ÒØ Ðµº Æ Ó × Ö Ö ×ÔÓ×Ø
ÓÖÖ Ø ×Ù Ö ÙÑ Ö ØÓÖÒÓ Ó Ø ÜØÓº
Ú ¹× Þ Ö ØÓ Ó× ÒØ × × Ù Ö ÒØ º
• ÔÖÓ Ð Ñ × Ë Ó Ó× ÔÖ Ò
Ô × Ü Ö

Ó× Ó
Ô ØÙÐÓº ÌÓ Ó× ´ÓÙ ÕÙ × µ Ú Ñ × Ö ØÓ×º
• ÔÖÓ Ð Ñ × ÜØÖ × ×Ó Ó ÐÙÒÓ Ø Ò ØÓ ØÓ Ó× Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × × Ñ × ÔÖ Ø
º
• × Ó× È Ö × ÔÖÓ ÙÒ Ö Ò ×
ÔÐ Ò º Ë Ó ÓÔ
ÓÒ ×º
ÌÓ Ó× Ó× Ü Ö

Ó× Ü Ó ØÓ Ó× Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ñ Ö ×ÔÓ×Ø × ÒÓ Ò Ð Ó Ð ÚÖÓº Î Ö Ó×
ÔÖÓ Ð Ñ × ÜØÖ × × Ó× Ø Ñ Ñ ÔÓ××Ù Ñ Ö ×ÔÓ×Ø ×º
ÈÓÖÕÙ ÙÑ ÒÓÚÓ Ð ÚÖÓ
• ×Ø Ð ÚÖÓ ÔÓ Ö × Ö Ô Ö Ó Ó ÕÙ ÔÓÖ ÒØ ÔÓÖ × Ö ×ÔÓÒ Ð Þ Ó ØÖ Ú ×
Ð
Ò ¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ó Ö ¹Ù×Ó Ó Ñ Ø Ö Ðº È Ö Ø Ð ×
ÓÒ×ÙÐØ
ØØÔ »»
Ö Ø Ú
ÓÑÑÓÒ×ºÓÖ º
• È ÖÑ Ø Ö Ó× ÐÙÒÓ× ØÓ Ó Ó Ö × Ð
××Ó
Ð ´ ÒØ ÖÒ Øµ Ñ Ø Ö Ð Ö ØÙ ØÓ
ÕÙ Ð º
• Æ
×× Ó ÒÓ××Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ¸ Ö ×ÔÓÒ× Ú Ð Ô ÐÓ Ò× ÒÓ ýÐ Ö Ä Ò Ö Ò Í ÊÂ¸
ÔÐ
Ö ÔÖÓÚ ÙÒ
¸
ÓÒ× ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ¸
Ö Ö ÙÑ Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ó
ÙÖ×Óº
• ÈÖÓ ÙÞ Ö ÙÑ Ñ Ø Ö Ð
ÓÑ
ÓÒØ Ó ÕÙ × Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ó Ñ × Ð ÙÐ
Ô ÐÓ ÐÙÒÓº Æ ÒÓ×× ÜÔ Ö Ò
¸ Ó× ÐÙÒÓ× ÔÖ Ö Ñ Ð ÚÖÓ× ÒÓ×¸ ÕÙ × Ó
×
ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ö ×Ø ÑÙÐ Ñ Ð ØÙÖ º
• ÈÖÓ ÙÞ Ö ØÖ Ò×Ô Ö Ò
× Ô Ö × Ð ÙÐ Ö Ø Ñ ÒØ
ÓÔÐ × ÙÑ Ð ÚÖÓº
Ö ÑÓ× ÙÑ Ô
ÓØ
ÓÑÔÐ ØÓ¸
ÓÑ Ð ÚÖÓ Ø ÜØÓ¸ Ü Ö

Ó× ´
ÓÑ Ö ×ÔÓ×Ø ×µ ØÖ Ò×Ô Ö Ò
×
Ô Ö ÙÑ
ÙÖ×Ó ýÐ Ö Ä Ò Öº ÌÙ Ó ×ØÓ ×Ø ×ÔÓÒ Ú Ð Ñ ÛÛÛºÐ Ñ ºÙ Ö º Ö» Ð Ð Òº
Ú

Ú ÈÊ ý ÁÇ
ÓÑÓ Ó ×
ÓÐ Ó Ó Ñ Ø Ö Ð
Ø ÖÑ Ò ÑÓ× Ó× Ø Ô
Ó× ØÓÑ Ò Ó ÔÓÖ × Ó
ÙÖ×Ó Ù×Ù ÐÑ ÒØ Ñ Ò ×ØÖ Ó Ò Í ÊÂº Ð Ñ
××Ó Ó
ÓÑÔÓÒ ÒØ ×Ø Ø
Ó Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó× ÐÙÒÓ× Ú Ñ Ô Ö
Ö Ð Þ Å Ø ¹
Ñ Ø
º Ð ÙÑ × ×
ÓÐ × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÓÖ Ñ Ø ×
• Ô ØÙÐÓ Ò
Ð ÔÖ × ÒØ
ÓÒØ Ó ÔÖ Ò
Ô Ð Ó
ÙÖ×Ó × Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ð ×ÑÓ Ú ØÓÖ ×
ÓÔ Ö × ÒÓ Rn
¸ ×Ô Ó× Ö Ó× ´Ö Ø × ÔÐ ÒÓ×µ¸ Ô Ò Ò
Ò Ô Ò Ò
Ð ¹
Ò Ö¸ × ×
ÓÓÖ Ò ×º ×Ø × Ø Ñ × × Ó Ö ØÓÑ Ó× ÒÓ
Ô ØÙÐÓ ×Ô Ó× Î ØÓÖ ×¸
Ñ ×
Ö Ø ÑÓ× ÕÙ ÑÔÓÖØ ÒØ ÙÑ ÜÔÓ× Ó¸ ÐÓ Ó ÒÓ Ò
Ó¸ ×Ø ×
ÓÒ
ØÓ×º
• ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö × Ø ØÖ Ú × Ð Ñ Ò Ó Ù××º Ö Ö
Ö Ñ Ö ÙÑ × Ó ÓÔ
ÓÒ Ð Ó
Ô ØÙÐÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ×º
• ×Ô Ó× Ú ØÓÖ × ÔÓÐ ÒÑ Ó× ÙÒ × Ò Ó × Ó Ñ ÖÓ× Ü ÑÔÐÓ×¸ × Ó
ÒØÖ ×
Ô Ö ÓÖÑ Ó Ò Ò ÖÓ×¸ Ñ Ø Ñ Ø
Ó× ×
Ó×º Ð ÙÑ × ÔÐ
× ÑÔÓÖØ ÒØ ×
× Ó ÕÙ × Ö Ò
×¸ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÙÒ × ÔÓÖ ÔÓÐ ÒÑ Ó× Ñ ØÓ Ó× ÒÙÑ ¹
Ö
Ó×
ÓÑÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ò ØÓ×º ÁÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ× Ú ×Ù Ð Þ Ó ×Ø ×Ô Ó ÔÖ × ÒØ Ò Ó¸
Ð Ñ × × Ø Ò × ¸ ÓÙØÖ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÑ ØÖ
Ô Ö Ú ØÓÖ × Ó Rn
º ÔÖ × ÒØ ÑÓ×
ÑÓÖ ×ÑÓ Ñ Ò×
ÓÑÓ Ü ÑÔÐÓ Ö Ø Ñ ×Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ÙÒ ×º
• Å ØÖ Þ Ô Ö
¸ Ò
ÐÑ ÒØ ¸ ×ÓÑ ÒØ
ÓÑÓ ÓÖÑ
ÓÒÚ Ò ÒØ Ö ×ÓÐÚ Ö × ×Ø Ñ ×º
Å × Ø Ö ¸ Ô × ÔÖ × ÒØ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ × Ð Ò Ö × ´ÌÄ×µ ÓÔ Ö × ×ÓÑ
ÓÑ¹
ÔÓ× Ó ÌÄ×¸ ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÓÔ Ö × ÒØÖ Ñ ØÖ Þ ×º ×Ø ÓÖÑ ¸ Ó ÒÚ ×
ÔÖ × ÒØ Ö¸ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ¸ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ØÖ Þ × ÓÖÑ ÖØ
Ð¸ ÑÓØ Ú ÑÓ× ×Ù ¹
Ò Óº

Ð ÖÓ ÕÙ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ØÖ Þ × Ò Ó
ÓÑÙØ Ø Ú ÔÓ ×
ÓÑÔÓ× Ó
ÙÒ Ó Ò Ó
ÓÑÙØ Ø Ú º Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö×
Ð
ÙÐ ÔÓÖ ×
ÐÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ×Ù ÖÑÙÐ
ÜÔÐ
Ø ÙÑ × Ó ÓÔ
ÓÒ Ð Ó
Ô ØÙÐÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ×º
• Ø ÖÑ Ò ÒØ ÔÖ × ÒØ Ó × Ó Ò
Ó Ö Ð
ÓÒ Ó
ÓÑ Ö ´ÚÓÐÙÑ µ
ÓÑ × Ò Ð¸
Ô Ö ÔÓ × × Ö ÔÖ × ÒØ Ó
ÓÑÓ ÙÒ Ó ÑÙÐØ Ð Ò Ö ´ ÐØ ÖÒ µº ÇÔØ ÑÓ× ÔÓÖ Ó
Ö
ÒÓ Ð ÓÖ ØÑÓ
Ð
ÙÐÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÓÔ Ö × Ð Ñ ÒØ Ö × ÔÓÖ × Ö Ñ ×
ÒØ Ð
Ö Ø Ñ ÒØ Ó×
ÓÒ
ØÓ×º ÔÖ × ÒØ ÑÓ×
ÓÒ Ü Ó
ÓÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú × Ò
ÒØ Ö Ó Ñ ÐØ ÔÐ º
• Ò Ø Þ ÑÓ× Ó ÐÓÒ Ó Ó Ø ÜØÓ ´
Ô ØÙÐÓ× Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö ×¸ Å ØÖ Þ ×¸ Ø ÖÑ Ò ÒØ ¸
ÙØÓÚ ÐÓÖ × ÙØÓÚ ØÓÖ ×µ Ú × Ó ÑÓ ÖÒ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÔÓÖ ÐÓ
Ó×¸ ÙÒ Ñ ÒØ Ð
Ô Ö
ÓÑÔÙØ Ó
ÒØ
º ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ù × ÒØ ÖÔÖ Ø × ´
ÓÒ× Õ Ò
×µ Ó
ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ØÖ Þ¹Ú ØÓÖ ØÖ × ÒØ ÖÔÖ Ø × Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ØÖ Þ¹Ñ ØÖ Þº
• ÆÓ
Ô ØÙÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ¸ Ó
ÑÓ× Ñ ÔÖÓ × ÒÓ Ñ ØÓ Ó Ñ Ò ÑÓ×
ÕÙ Ö Ó×º ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÔÖÓ Ó ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÙÒ ×
ÓÑÓ ÓÖÑ ÔÖÓÜ Ñ ¹Ð ×¸
ÔÖ Ô Ö Ò Ó Ó ÐÙÒÓ Ô Ö Ñ ØÓ Ó× ÒÙÑ Ö
Ó× Ñ Ò Ò Ö º
• Ç ×
ÐÓÒ Ñ ÒØÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ Ò
Ô Ð Ó
ÙÖ×Ó¸ ÔÓ × ØÖ Ú × Ð Ö ×ÓÐÚ ÑÓ×
× ×Ø Ñ ¸ Ø ÖÑ Ò ÑÓ× × Ú ØÓÖ × × Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ×¸ Ø ÖÑ Ò ÑÓ×
ÓÓÖ¹
Ò × Ú ØÓÖ ×¸ ÑÙ ÑÓ× × ¸ ÒÚ ÖØ ÑÓ× Ñ ØÖ Þ¸
Ð
ÙÐ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò ÒØ ¸
Ò
ÓÒØÖ ÑÓ× ÙØÓÚ ØÓÖ ×¸
Ð
ÙÐ ÑÓ× ×ÓÐÙ Ó Ñ Ò ÑÓ× ÕÙ Ö Ó×¸
Ð
ÙÐ ÑÓ× ÔÖÓ ¹
Ó ÓÖØÓ ÓÒ Ðº
×× Ñ ×Ø Ó Ñ × × ÓÔ
ÓÒ × × ÖÑÙÐ × Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö × ×Ø Ñ ´Ö Ö Ö Ñ Öµ¸

Ð
ÙÐ Ö ÒÚ Ö× ¸
Ð
ÙÐ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ ´Ä Ò Þ ÓÙ Ä ÔÐ
µ¸ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Þ Ö × ´ Ö Ñ¹
Ë
Ñ Øµº

Ü
Ð ÙÒ× Ò Ñ ÖÓ× ×Ø Ð ÚÖÓ × Ó
Ö
¾ ¼ Ü ÑÔÐÓ×¸ ¼ Ó × ÖÚ ×¸ ½¼¼ Ò ×¸
¾¼ Ø ÓÖ Ñ ×¸ ½
ÓÖÓÐ Ö Ó×¸ ¼ Ð Ñ × ¾¼ Ü Ö

Ó×¸ × Ò Ó ÕÙ ¼ Ð × Ü Ó Ð ØÙÖ
Ó Ø ÜØÓ ´Ô Ö × Ö Ñ ØÓ× Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ µ ½¾¼ ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ ×Ô Ö ÑÓ× ÕÙ ØÓ Ó Ó
ÐÙÒÓ Ö ×ÓÐÚ º

ËÙÑ Ö Ó
ËÓ Ö Ó× ÙØÓÖ ×
Ö
Ñ ÒØÓ× Ú
ÈÖ
Ó Ú
½ ÁÒØÖÓ Ù Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö ½
½º½ Î ØÓÖ × ÇÔ Ö × ×
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
½º½º½ Î ØÓÖ × Ó Rn
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
½º½º¾ ÇÔ Ö × Ñ Rn
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½º¾ ×Ô Ó× Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾º½ Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾º¾ ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ½ Î ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾º¿ ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ¾ Î ØÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
½º¾º ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ¿ ÓÙ Å × Î ØÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½º¿ × × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½º Ü Ö

Ó× ÁÒØÖÓ Ù Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½º º¿ ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾ Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö × ¾½
¾º½ ÔÐ
× Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
¾º¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾º¾º½ Æ Ê Ø ´Rµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾º¾º¾ ÆÓ ÈÐ ÒÓ ´R2
µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾º¿ ÇÔ Ö × Ð Ñ ÒØ Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾º ×
ÐÓÒ Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¾º Ê ×ÓÐÚ Ò Ó Ë ×Ø Ñ Ô × ×
ÐÓÒ Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¾º ÈÖÓ ÙØÓ Å ØÖ Þ¹Î ØÓÖ Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾º ×Ó× ×Ô
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º º½ Ë ×Ø Ñ × ÀÓÑÓ Ò Ó×¸ ËÓÐÙ Ó Ö Ð È ÖØ
ÙÐ Ö º º º º º º º º º º
¾º º¾ Å ×Ñ Å ØÖ Þ Ó
ÒØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º Ü Ö

Ó× Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
¾º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
Ü

Ü ËÍÅýÊÁÇ
¿ ×Ô Ó× Î ØÓÖ × ¿
¿º½ Ò Ó Ü ÑÔÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º¾ ÓÑ Ò Ó Ä Ò Ö ×Ô Ó Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º¿ Ô Ò Ò
ÁÒ Ô Ò Ò
Ä Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿º × ÓÓÖ Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º Ñ Ò× Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º Ü Ö

Ó× ×Ô Ó× Î ØÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º º½ Ü Ö

¿º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÌÖ Ò× ÓÖÑ × Ä Ò Ö ×
º½ ÙÒ Ñ ÒØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¾ Æ
Ð Ó ÁÑ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º¿ ÓÑÔÓ× Ó ÁÒÚ Ö× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º Ü Ö

Ó× ÌÖ Ò× ÓÖÑ × Ä Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º½ Ü Ö

º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Å ØÖ Þ ×
º½ Ò × ÇÔ Ö × ×
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¾ Æ
Ð Ó ÁÑ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½
º¿ ÈÖÓ ÙØÓ ÁÒÚ Ö× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¿
º Å ØÖ Þ Ñ ÐÓ
Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º ÌÖ Ò× ÓÖÑ × ÓÑ ØÖ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º ÅÙ Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼
º Ü Ö

Ó× Å ØÖ Þ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¿
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¿
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ø ÖÑ Ò ÒØ ½¾½
º½ ÅÓØ Ú Ó ÓÑ ØÖ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾
º½º½ R2
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾
º½º¾ R3
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
º¾ Ò Ó ÈÖÓÔÖ × ×
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
º¿ ÓÑÓ Ð
ÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿½
º Å × ÈÖÓÔÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿¿
º ÔÐ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
º º½ ÌÖ Ò× ÓÖÑ × Ä Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
º º¾ ÅÙ Ò ýÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
º ⋆Ë Ò Ð Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ñ R2
R3
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
º ⋆ ÖÑÙÐ Ä ÔÐ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
º ⋆Ê Ö Ö Ñ Ö Å ØÖ Þ ÁÒÚ Ö× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
º Ü Ö

Ó× Ø ÖÑ Ò ÒØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

ËÍÅýÊÁÇ Ü
º º½ Ü Ö

º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
ÙØÓÚ ÐÓÖ ×¸ ÙØÓÚ ØÓÖ × ÓÒ Ð Þ Ó ½
º½ ÙØÓÚ ÐÓÖ × ÙØÓÚ ØÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¾ ÓÒ Ð Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿ Ü ÑÔÐÓ× ÓÑ ØÖ
Ó× Ñ ¾ ¿ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
º ÔÐ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º ⋆ÅÙÐØ ÔÐ
Ð Ö
ÓÑ ØÖ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
º Ü Ö

Ó× ÙØÓÚ ÐÓÖ ×¸ ÙØÓÚ ØÓÖ × ÓÒ Ð Þ Ó º º º º º º º º º º º ½ ¾
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
ÈÖÓ ÙØÓ ÁÒØ ÖÒÓ ½ ½
º½ ÈÖÓ ÙØÓ ÁÒØ ÖÒÓ Ñ Rn
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
º¾ ÈÖÓ ÙØÓ ÁÒØ ÖÒÓ Ñ ×Ô Ó× Î ØÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
º¿ ÇÖØÓ ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿º½ Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿º¾ ÈÖÓ × ÇÖØÓ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º Å Ò ÑÓ× ÉÙ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
º ⋆ Ù
Ý¹Ë
Û ÖÞ þÒ ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º ⋆ÈÖÓ
××Ó ÇÖØÓ ÓÒ Ð Þ Ó Ö Ñ¹Ë
Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¼
º ÈÖÓ ÙØÓ ÁÒØ ÖÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
ÆÓØ Ó ¾½¿
º½ ×
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¿
º¾ ×Ô Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¿
º¿ × × ÓÓÖ Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¿
º Å ØÖ Þ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º ÈÖÓ ÙØÓ ÁÒØ ÖÒÓ ÆÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
Ê ×ÔÓ×Ø × Ó× Ü Ö

Ó× ¾½
º½ ÁÒØÖÓ Ù Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º½º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º½º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º½º¿ ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º¾ Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º¾º½ Ü Ö

º¾º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º¾º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º¾º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½

Ü Ú ËÍÅýÊÁÇ
º¿ ×Ô Ó× Î ØÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º¿º½ Ü Ö

º¿º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º¿º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾½
º¿º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾½
º ÌÖ Ò× ÓÖÑ × Ä Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¾
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¾
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¾
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º Å ØÖ Þ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º Ø ÖÑ Ò ÒØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¼
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¼
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¼
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿½
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿½
º ÙØÓÚ ÐÓÖ ×¸ ÙØÓÚ ØÓÖ × ÓÒ Ð Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¾
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¾
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¿
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
º ÈÖÓ ÙØÓ ÁÒØ ÖÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
º º¿ × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½
º º ÜØÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½
Ê Ö Ò
× Ð Ó Ö
× ¾ ¿
Ò
Ê Ñ ×× ÚÓ ¾

Ô ØÙÐÓ ½
ÁÒØÖÓ Ù Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö
×Ø
Ô ØÙÐÓ ÔÖ × ÒØ ¸ ÓÖÑ Ö Ô Ö Ø ¸
ÓÒ
ØÓ×
ÒØÖ × ýÐ Ö Ä Ò Ö ÕÙ
× Ö Ó Ö ØÓÑ Ó× Ñ
Ô ØÙÐÓ× × Ù ÒØ ×º ÓÒ
Ø ÑÓ× ×Ø ×
ÓÒ
ØÓ×
ÓÑ ××ÙÒØÓ× Ó Ò× ÒÓ
Ñ Ó ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø
×
ÒÓ ÔÐ ÒÓ ×Ô Ó¸ Ñ ØÖ Þ × ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö ×º
Ç ÐÙÒÓ Ú Ö ØÓÖÒ Ö ×Ø
Ô ØÙÐÓ Ó ÐÓÒ Ó Ó
ÙÖ×Ó Ø ÓÑ Ò ¹ÐÓ
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ º Ñ ÓÖ
Ò Ó × ×Ô Ö Ó ÕÙ Ó ÐÙÒÓ ÔÖ Ò ØÙ Ó ×Ø
Ô ØÙÐÓ Ñ ÙÑ × Ñ Ò ×ØÙ Ó¸ Ø Ð
ÜÔ¹ÐÓ Ñ Ø Ñ ÒØ ØÓ Ó× ×Ø ×
ÓÒ
ØÓ×º
Ë Ó Ó Ø ÚÓ× ×Ø
Ô ØÙÐÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö
´ µ Ú ØÓÖ × ÓÔ Ö × ×
× ÒÓ Rn
×ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ
Ó ÔÓÖ ×
Ð Ö ´ÔÖÓ ÙØÓ ×
Ð Ö¹
Ú ØÓÖµ
´ µ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö¸ ×Ô Ó Ö Ó¸ Ô Ò Ò
Ò Ô Ò Ò
Ð Ò Ö
´
µ ×Ô Ó× Ö Ó× ÔÓÖ ½¸ ¾¸ ¿ ÓÙ Ñ × Ú ØÓÖ ×¸ ××Ó
Ò Ó¹Ó×
ÓÑ ÔÓÒØÓ×¸ Ö Ø ×¸ ÔÐ ÒÓ×
Ò Ö Ð Þ ×
´ µ × Ñ Ò× Ó ÓÙØÖ × × ×
ÓÓÖ Ò × ÙÑ Ú ØÓÖ ÒÙÑ ×
Ø Ó Ò Ð Ó
Ô ØÙÐÓ ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× Ó× × Ù ÒØ × Ø ÖÑÓ× Ø
Ò
Ó× ÙÒ Ñ ÒØ ×
ýÐ Ö Ä Ò Ö
• Ú ØÓÖ × ×
Ð Ö × Ó Rn
• ×Ô Ó Ú ØÓÖ Ð
•
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö
• ×Ô Ó Ö Ó ´×Ô Òµ ´×Ù µ ×Ô Ó Ñ
• Ô Ò Ò
Ò Ô Ò Ò
Ð Ò Ö
• Ñ Ò× Ó¸ × ¸ ×
ÒÒ
•
ÓÓÖ Ò × ÙÑ Ú ØÓÖ ÒÙÑ ×
×Ø × Ø ÖÑÓ× × Ö Ó Ö ÔÐ
Ó× ´ÒÓ Ô ØÙÐÓ ×Ô Ó Î ØÓÖ Ðµ Ñ
ÓÒØ ÜØÓ× ÓÒ Ó× Ú ØÓÖ ×
ÔÓ Ö Ó × Ö ÔÓÐ ÒÑ Ó× ÓÙ¸ ÓÖÑ Ñ × Ö Ð ÙÒ ×¸ Ñ ØÖ Þ ×¸ ÓÙ Ð Ñ ÒØÓ× ×ØÖ ØÓ×º
Ç ÐÙÒÓ Ô Ö
Ö ¸ Ó ÐÓÒ Ó ×Ø
Ô ØÙÐÓ¸ ÕÙ ¸ Ñ ÓÖ × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö × Ô Ö Ñ
Ú Ö× × Ú Þ × Ò ÓÖ ÔÐ
Ö Ó×
ÓÒ
ØÓ×¸ Ó
ÙÖ×Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö Ò Ó Ü
ÐÙ× Ú Ñ ÒØ
¼Î Ö× Ó ½½º ÙÐº¾¼¼ ½
½

¾ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í

Ç ü ýÄ Ê ÄÁÆ Ê
ÙÑ
ÙÖ×Ó
ÓÑÓ Ö ×ÓÐÚ Ö × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö ×¸ ××ÙÒØÓ ÕÙ Ó ÐÙÒÓ¸
ÓÑ ÑÙ Ø Ö Õ Ò
¸
Ô Ò× ÕÙ ÓÑ Ò º
Ç ÐÙÒÓ Ô Ö
Ö Ò ÔÖ Ñ Ö ÙÐ Ð Þ
ÙÐ Ó×
ÓÒ
ØÓ× Ò
××
×ØÙ Ö ×Ø ÒØ × Ó ÔÖ Ò
Ô Óº Ë
ÓÑ ×× ÑÓ×
ÓÑ Ö ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ × Ó ÐÙÒÓ
Ø Ö × Ò× Ó¸ ÒÓ Ò
Ó¸ ÕÙ × ØÖ Ø ÙÑ
ÙÖ×Ó
Ð¸ Ñ Ô ÖØ Ö Ú × Ó¸ Ø
Ò
×
Ô Ö Ö ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö ×º
½º½ Î ØÓÖ × ÇÔ Ö × ×
×
½º½º½ Î ØÓÖ × Ó Rn
Ç ÕÙ ÙÑ Ú ØÓÖ ÈÓ ÑÓ× Ö ×ÔÓÒ Ö ×ØÓ¸ ÓÖÑ ×ØÖ Ø ¸ ÓÖÑ Ð Þ Ò Ó × ¹
Ñ ÒØÓ× ÓÖ ÒØ Ó× ´ Ò ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ × Ø Ò × µ ÕÙ Ú Ð ÒØ ×º ×Ø
Ñ Ò Ó ÓÑ Ô Ö
ÖØ ×
Ò Ö Ð Þ × Ñ Å Ø Ñ Ø
´ÒÓ
ÓÒØ ÜØÓ ÓÑ ØÖ Ö Ò
Ð ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ¸ Ô Ö
Ú ×Ù Ð Þ Ó Ú ØÓÖ × ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÒÓ ×Ô Ó ØÖ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ×
´ ÓÖ¹
×µº Ë Ó
Ñ Ó× Ñ Ð ÙÒ× Ð ÚÖÓ× Ú ØÓÖ × ÓÑ ØÖ
Ó×º Å × Ò Ö ÑÓ× Ú ØÓÖ × ÔÓÖ

Ñ Ò Ó Ñ Ñ ×
ÙÖØÓ¸
Ñ Ó Ñ Ð ÙÒ× Ð ÚÖÓ× Ú ØÓÖ × Ð Ö
Ó×º ×Ø Ô ×× Ñ
Ú × Ó Ð Ö
Ô Ö ÓÑ ØÖ
Ú
¹Ú Ö× × Ö Ø Ñ Ú Ö× × Ô ÖØ × ×Ø
Ô ØÙÐÓº
Ú × Ó ÓÑ ØÖ
´Ú ØÓÖ × ÓÑ ØÖ
Ó×µ¸ Ñ ÓÖ Ñ × ÒØÙ Ø Ú ¸ Ð Ñ Ø ÒØ ÔÓ × Ò Ó

ÓÒ× Ù ÑÓ× Ú ×Ù Ð Þ Ö Ñ × Ó ÕÙ ØÖ × Ñ Ò× ×º Ð Ñ ××Ó ÓÖÑ Ð Þ Ó Ó
ÓÒ ÙÒØÓ
× Ø Ò × Ð
¸ ÔÓ × ÙÑ Ú ØÓÖ ÙÑ
Ð ×× ÕÙ Ú Ð Ò
× Ñ ÒØÓ× ÓÖ ÒØ Ó×
ÕÙ ÔÓÐ ÒØ × º Ì Ö ÑÓ× ÕÙ
ÓÑ Ö Ò Ò Ó
Ð ×× ÕÙ Ú Ð Ò
¸ ÔÓ × × Ñ ÒØÓ×
ÓÖ ÒØ Ó× ÔÓ × Ö Ð Ó ÕÙ ÔÓÐ Ò
ÒØÖ × Ñ ÒØÓ× ÓÖ ÒØ Ó×º
ÈÓÖ
ÓÒØÖ ×Ø ¸ Ú × Ó Ð Ö
´Ú ØÓÖ × Ð Ö
Ó×µ Ú ØÓÖ × Ñ Ñ × × ÑÔÐ × Ñ × Ò Ó
ÔÖ × ÒØ Ò Ò ÙÑ ÑÓØ Ú Ó ÓÑ ØÖ
º ÓÑÓ Ò Ó Ô Ò ÑÓ× ÒØÙ Ó ÓÑ ØÖ
¸
ØÖ Ð ÑÓ×
ÓÑ Ñ ×Ñ
Ð Ñ R2

ÓÑÓ Ñ R30
º
Ò Ó ½ ´Rn
Ú ØÓÖ ×µ Ò ÑÓ× Rn

ÓÑÓ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ × n¹ÙÔÐ × ´ÙÑ Ð ×Ø n¹
Ð Ñ ÒØÓ×µ ÓÖ Ò × Ò Ñ ÖÓ× Ö ×º ÍÑ Ú ØÓÖ ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Rn
º
×Ø ÓÖÑ ¸ Ó R2
Ó
ÓÒ ÙÒØÓ × ÙÔÐ × ÓÖ Ò × Ò Ñ ÖÓ×¸ Ó R3
Ó
ÓÒ ÙÒØÓ ×
ØÖ ÔÐ ÓÖ Ò × Ò Ñ ÖÓ×¸ Ø
º
Þ ÑÓ× ÕÙ Ó Rn
ÙÑ ×Ô Ó Ú ØÓÖ Ð¸ ×ØÓ ¸ ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ
Ù Ó× Ð Ñ ÒØÓ× × Ó
Ú ØÓÖ ×º ÈÓÖ
ÓÒØÖ ×Ø ¸ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð¸
Ñ Ó ×
Ð Öº ×Ø Ð Ò Ù Ñ Ú Ñ
×
¸ ÕÙ ×Ø Ò Ù Ö Ò Þ × Ú ØÓÖ × ´ ÓÖ × ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ Ö Ò Þ × ×
Ð Ö × ´Ñ ××
Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµº
Ç × ÖÚ Ó ½ ÓÖÑ Ñ × Ö Ð¸ ×
Ð Ö × × Ó ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× ´Ù×Ù ÐÑ ÒØ
R ÓÙ Cµ ÒÓ ÕÙ Ð ×Ø Ó Ñ Ò × × ÓÔ Ö × ×ÓÑ ¸ ×Ù ØÖ Ó¸ ÑÙÐØ ÔÐ
Ó
Ú × Ó ´ÔÓÖ Ò Ó¹ÒÙÐÓ×µº Æ ×Ø
ÙÖ×Ó¸ ÒØ Ò Ö ÑÓ× × ÑÔÖ ÔÓÖ ×
Ð Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð
´Rµº
ÒÓØ Ó ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÙÑ Ú ØÓÖ
ÓÐÓ
Ö Ô Ö ÒØ × × Ñ ØÓÖÒÓ
× Ô Ö Ö Ó× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ×Ø ÓÖ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö × ÔÓÖ Ú Ö ÙÐ º ×× Ñ¸ ÙØ Ð Þ Ò Ó
ÒÓØ Ó v Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ Ñ Rn
¸ ×
Ö Ú ÑÓ× ÕÙ v = (a1, . . . , an)
ÓÑ ai ∈ Rº
Ç× Ò Ñ ÖÓ ai³× × Ó
Ñ Ó× ÒØÖ × Ó Ú ØÓÖ vº
Ü ÑÔÐÓ ½ Ë Ó Ú ØÓÖ × R2
(−6, −8), (1, 2)º
Ë Ó Ú ØÓÖ × R4
(1, 2, 3, 4)¸ (−2, 7/4, −1, 2/3)º
Ë Ó Ú ØÓÖ × R5
(−1, 2, 4, 6, 8)¸ (1, 2, 7/4, −1/3, 3)º

½º½º Î ÌÇÊ Ë ÇÈ Ê Ë ýËÁ Ë ¿
ÆÓØ ÕÙ ÙÑ Ú ØÓÖ ÙÑ Ð ×Ø ÓÖ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ò Ó ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÑ Ò Ñ ÖÓ×¸
ÓÒ ÓÖ Ñ Ò Ó ÑÔÓÖØ º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó× Ú ØÓÖ × (−1, 2) (−2, 1) × Ó ×Ø ÒØÓ× ÓÙ Ò ¸ × Ó
×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × Ó× Ú ØÓÖ × (1, 2, 3)¸ (2, 3, 1)¸ (3, 1, 2)¸ º º º
Ç × ÖÚ Ó ¾ ÈÓÖÕÙ Rn

ÓÑ n 3
ÒØ × ÓÑ ØÖ
Ó× Ù×Ù ×
ÓÑÓ ÕÙ Ö Ó×
Ö
ÙÐÓ× × Ó Ò Ö Ð Þ Ó× Ô Ö Ñ Ò× ×
Ñ ÓÖ ×º ×× Ñ ÙÑ × Ö ¸ Ò Ö Ð Þ Ó ÙÑ
Ö
ÙÐÓ¸ Ò Ó
ÓÑÓ Ó ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ
Ó
ÔÓÒØÓ× (x, y, z) ∈ R3
Ø × ÕÙ x2
+ y2
+ z2
= 1º Ò ¹× ÒØ Ó Ô Ö × Ö Ó
×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ Ó R4
Ó× ÔÓÒØÓ× (x, y, z, w) ∈ R4
Ø × ÕÙ x2
+ y2
+ z2
+ w2
= 1º
ÓÖÑ Ò ÐÓ ¸ Ó
Ù Ó Ò Ö Ð Þ Ó ÕÙ Ö Ó ÔÓ ¹× Ò Ö Ó Ô Ö
Ù Ó Ñ R4
º
Å × ×Ó Ö ×ØÓ ÔÓ × Ö Ú ×ØÓ ´ ÒØÖ Ò Ñ ÖÓ× ÓÙØÖÓ× Ð ÚÖÓ×µ Ñ Ç ÕÙ Å Ø Ñ Ø
Êº ÓÙÖ ÒØº¸ Àº ÊÓ Ò× ØÓÖ Ò
ÅÓ ÖÒ º
Ñ ÓÖ ÒÓ×× ´ ÙÑ Ò µ Ô Ö
Ô Ó ×Ø Ö ×ØÖ Ø ØÖ × Ñ Ò× ×¸ Ø ÓÖ Ö Ð
Ö Ð Ø Ú Ò×Ø Ò Ñ Ø Ñ Ò× × Ô Ö ÜÔÐ
Ö Ó× ÒÑ ÒÓ× ×
Ó×º Æ ×
ÑÓ ÖÒ ¸ × ÙÒ Ó ÐØ ÑÓ× Ó ØÓ×¸
ÓÒ× Ö ¹× ½½ Ñ Ò× × Ô Ö ÜÔÐ
Ö Ó× ÒÑ ÒÓ×
×
Ó×º
ØÓ Ó ÑÓ Ó ÑÔÓÖØ Ò
Ñ Ò× × Ñ ÓÖ × ´½¼¼¼ ÓÙ Ñ ×ÑÓ ½¼ Ñ Ðµ ×Ø Ò ×
× ÑÙÐ ×
ÓÑÔÙØ
ÓÒ × Ú Ö×Ó× ÑÓ ÐÓ×º È Ö × ÒØ Ò Ö × ÓÖ × ØÙ ÒØ × Ò
×ØÖÙØÙÖ ÙÑ ÔÖ Ó ÓÙ ÙÑ Ô Ñ
Ò
× Þ Ö ÙÑ ÓÑ ÔÖÓ ØÓ¸ Ô Ú
Ô ÐÓ
ÓÑÔÙØ ÓÖ Ñ ÐÓÕÙ Ò Ó× º ÐÓÕÙ Ò Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð ÙÑ × ×Ø Ñ Ð Ò Öº
ÉÙ ÒØÓ Ñ ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ ÐÓÕÙ Ò Ó× Ñ × ÔÖ
× × Ö × ÑÙÐ Óº ÍÑ ÓÙØÖÓ Ü ÑÔÐÓ
ÙÑ ØÓÑÓ Ö ¸ ÓÒ
ÐÓÕÙ Ò Ó ×Ø ××Ó
Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð ÕÙ Ø ÖÑ Ò
Ò× Ó Ø
Ó¸ ÕÙ × Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ ÒÙÑ ×
Ð
ÒÞ Ô Ö ÔÓ × × Ö ÑÔÖ ××
ÒØ ÖÔÖ Ø ÔÓÖ ÙÑ Ñ
Óº ×Ø ÙÑ × Ö × Ò
×× Ó ×ØÙ Ó ýÐ Ö
Ä Ò Ö Ñ Ò Ò Ö ¸ Ó ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ö ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ ×
ÓÑ Ñ Ð Ö × ÓÙ Þ Ò ×
Ñ Ð Ö × Ú Ö Ú ×º
½º½º¾ ÇÔ Ö × Ñ Rn
Ç ×Ô Ó Ú ØÓÖ Ð Rn
ÔÓ××Ù ÙÑ ÓÔ Ö Ó Ñ Ò
Ñ ×ÓÑ Ú ØÓÖ ×¸
Ù
ÒØÖ × Ó Ó × Ú ØÓÖ × × ÙÑ ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖº
Ò Ó ¾ ´ËÓÑ µ Ó× Ó × Ú ØÓÖ × u = (u1, u2, . . ., un) v = (v1, v2, . . ., vn) Ñ
Rn
¸ Ò ÑÓ× Ó Ú ØÓÖ ×ÓÑ u v¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ u + v¸ ÔÓÖ
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn).
×× Ñ Ô Ö ×ÓÑ Ö Ó × Ú ØÓÖ × ×Ø ×ÓÑ Ö × ÒØÖ ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×
Ú ØÓÖº
Ü ÑÔÐÓ ¾ ×ÓÑ Ó× Ú ØÓÖ × Ó R4
(1, −1, 1/4, −2/3)+(−2, 2, 3/4, 5/3) = (1−2, −1+
2, 1/4 + 3/4, −2/3 + 5/3) = (−1, 1, 1, 1)º
Ç × ÖÚ Ó ¿ ÆÓØ ÕÙ Ó × Ò Ð + ´Ñ ×µ Ñ u+ v (u1 + v1, . . . , un + vn) ÔÓ××Ù
× Ò
Ó ×Ø ÒØÓ Ñ
ÜÔÖ ×× Ó ×ÓÑ Ú ØÓÖ ×¸ ÒÙÑ
×Ó¸ ×ÓÑ Ò Ñ ÖÓ×
Ö × ´ ×
Ð Ö ×µ ÒÓ ÓÙØÖÓº
Ò Ó ¿ ´ÓÖ Ñ ÓÙ ÓÙ Ú ØÓÖ ÒÙÐÓµ Ò ÑÓ×
ÓÑÓ ÓÖ Ñ ÓÙ Ú ØÓÖ ÒÙÐÓ¸ ÒÓ¹
Ø Ó ÔÓÖ 0 Ó Ú ØÓÖ 0 = (0, . . ., 0)´ØÓ × × ÒØÖ × × Ó ÒÙÐ ×µº ÆÓØ ÕÙ ×Ø Ú ØÓÖ Ó
Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ ×ÓÑ Ú ØÓÖ × ÔÓ × v + 0 = 0 + v = v Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö v ∈ Rn
º

È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í

Ç ×Ô Ó Ú ØÓÖ Ð Rn
ÔÓ××Ù ÙÑ ÓÙØÖ ÓÔ Ö Ó Ñ Ò
Ñ ÑÙÐØ ÔÐ
Ó
ÔÓÖ ×
Ð Ö ÓÙ ÔÖÓ ÙØÓ ×
Ð Ö¹Ú ØÓÖ¸
Ù × ÒØÖ × × Ó ÙÑ Ú ØÓÖ ÙÑ ×
Ð Ö ´ÙÑ
Ò Ñ ÖÓµ × ÙÑ ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖº
Ò Ó ´ÑÙÐØ ÔÐ
Ó ÔÓÖ ×
Ð Ö ÓÙ ÔÖÓ ÙØÓ ×
Ð Ö¹Ú ØÓÖµ Ó× Ó Ú ØÓÖ
u = (u1, u2, . . . , un) Ó ×
Ð Ö k¸ Ò ÑÓ× Ó Ú ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ
Ó k ÔÓÖ u¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ
ku¸ ÔÓÖ
ku = (ku1, ku2, . . . , kun).
×× Ñ Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ
Ö ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓÖ ÙÑ ×
Ð Ö k ×Ø ÑÙÐØ ÔÐ
Ö
ÒØÖ Ó Ú ØÓÖ Ô ÐÓ
×
Ð Ö kº
Ü ÑÔÐÓ ¿ Ë u = (−1, 3, 1, −2, 3/2)¸ ÒØ Ó 2u = 2(−1, 3, 1, −2, 3/2)= (−2, 6, 2, −4, 3)º
ÓÒ× Ö w = (−4, 6, 1, −3)º ÒØ Ó −1/2w = −1/2(−4, 6, 1, −3) = (2, −3, −1/2, 3/2)º
Ç × ÖÚ Ó Æ Ú × Ó ÓÑ ØÖ
Ú ØÓÖ ×¸ ×ÓÑ Ò Ô Ð Ö Ö Ó Ô Ö Ð ¹
ÐÓ Ö ÑÓº Þ Ö ×ØÓ Ñ Ñ Ò× Ó Ñ ÓÖ ÕÙ ØÖ × Ò Ó ÒØÙ Ø ÚÓº Ñ
ÓÒØÖ ×Ø ¸ Ò Ó

Ñ ¸ Ø ÓÖÑ Ð Ö
¸ Ò Ó Ô Ò Ú ×Ù Ð Þ Ó ÓÑ ØÖ
ÑÙ ØÓ × ÑÔÐ ×º
×Ø Ñ ×Ñ Ó × ÖÚ Ó Ú Ð Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ
Ó ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓÖ ÙÑ ×
Ð Öº Ô × Ö ××Ó
Ø Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ ØÖ
Ñ ÒØ Ó× Ú ØÓÖ × × ÓÔ Ö × ÒÓ ÔÐ ÒÓ ×Ô Óº
Ç× Ú ØÓÖ × ÓÔ Ö × ÔÓ Ñ × Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ó× ÓÑ ØÖ
Ñ ÒØ Ô Ö Ú ØÓÖ × Ñ Rn

ÓÑ
n ≤ 3º Á×ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ ÔÐ
× ´ ×
ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ Ô Ö × ÒÚÓÐÚ Ö ÒØÙ Ó
Ú ×Ù Ð Þ Ó ÒØ ÖÒ Ô Ö Ú ØÓÖ × Ñ ×Ô Ó× Ñ Ò× × Ñ ÓÖ ×º È Ö ×ØÓ ÒØ
ÑÓ×¸
Ñ Ò Ö Ù×Ù Ð¸ ÙÑ Ö Ø
ÓÑ R¸ ÙÑ ÔÐ ÒÓ
ÓÑ R2
Ó ×Ô Ó
ÓÑ R3
ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó × ×Ø Ñ

ÓÓÖ Ò ×
ÖØ × Ò ¸
ÓÑ ÜÓ× ÓÖØÓ ÓÒ × ÒØÖ ×
½
º
Ê ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ó× Ú ØÓÖ ×
ÓÑÓ × Ø Ò × ´ ÕÙ ÔÓÖ ÒØ × Ñ ×Ô × ÙØ Ð Þ Ó
ÓÑÓ
× ÒÒ ÑÓ × Ñ ÒØÓ× ÓÖ ÒØ Ó×µ Ò × ÙÖ ×º ÅÓ×ØÖ ÑÓ× Ò ÙÖ ½º½ Ó× Ú ØÓÖ × (3, 2) ∈
R2
(1, 3, 2) ∈ R3
º
(3, 2)
3
2
3
2 (1, 3, 2)
1
ÙÖ ½º½ Î ØÓÖ × ÒÓ ÈÐ ÒÓ ÒÓ ×Ô Ó
Ù × × Ø Ò × u v ´ÔÓ Ñ Ø Ö ÔÓÒØÓ Ò
Ð ×Ø ÒØÓµ Ö ÔÖ × ÒØ Ñ Ó Ñ ×ÑÓ Ú ØÓÖ ´Ø
Ò ¹

Ñ ÒØ × Ó ÕÙ ÔÓÐ ÒØ ×¸ ×ØÓ ¸ × Ñ ÒØÓ× ÓÖ ÒØ Ó× ÕÙ Ú Ð ÒØ ×µ × ÕÙ Ò Ó ×ÐÓ
ÖÑÓ×
Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ u v Ô Ö ÕÙ Ó× ÔÓÒØÓ× Ò
×
Ó Ò
Ñ¸ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ð ´ÔÓÒØ × Ø Ò µ
u v Ø Ñ Ñ
Ó Ò
º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ¸ ØÓ × × × Ø Ò × Ö ÔÖ × ÒØ × Ò ÙÖ ½º¾
Ö ÔÖ × ÒØ Ñ Ó Ñ ×ÑÓ Ú ØÓÖ (3, 2) ∈ R2
º
×ÓÑ Ó × Ú ØÓÖ × ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÒÓ ×Ô Ó ÔÓ × Ö Ø ¸ ÓÑ ØÖ
Ñ ÒØ ¸ ØÖ Ú ×
Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÙ Ö Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÓÒ× Ö ÙÖ ½º¿¸ ÒÓ Ð Ó ×ÕÙ Ö Ó¸
ÓÒ Ó × Ú ØÓÖ × × Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ó×
ÓÑ ×Ù ×
ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÒÓ ÜÓ¹x yº È Ð Ö Ö Ó
ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ú ØÓÖ
ÓÑ ÔÓÒØÓ Ò
Ð Ò ÓÖ Ñ Ó × ÙÒ Ó
ÓÑ ÔÓÒØÓ
½ÒÓØ ÕÙ Ñ ÓÖ × Ñ Ø × Ô Ö ÒØÙ Ó¸ Ò Ó ÕÙ Þ ÑÓ× Ô Ò ×Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ

½º½º Î ÌÇÊ Ë ÇÈ Ê Ë ýËÁ Ë
3
2
(3, 2)
ÙÖ ½º¾ Î ØÓÖ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ×
ÙÖ ½º¿ Ê Ö Ó ÌÖ Ò ÙÐÓ Ó È Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ
Ò
Ð Ò ÔÓÒØ × Ø Ó ÔÖ Ñ ÖÓº Ç Ú ØÓÖ Ö ×ÙÐØ ÒØ ÙÒ Ò Ó ÓÖ Ñ Ø ÔÓÒØ × Ø
Ó × ÙÒ Ó Ó Ú ØÓÖ ×ÓÑ º È Ð Ö Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ ÔÐ
ÑÓ× Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ
Ó× Ó × Ú ØÓÖ ×¸
ÓÒ ÓÖÑ ÔÖ × ÒØ Ó Ò ×Ø Ñ ×Ñ ÙÖ º
ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ
Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ ×
Ð Ö Ô Ò Ó Ñ ÙÐÓ Ó × Ò Ð Ó ×
Ð Öº
ÓÑ Ò Ó ÔÓÖ Ú ÐÓÖ × ÔÓ× Ø ÚÓ× ÒØ ÖÓ×¸ Ó × ÖÚ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÔÓÖ 1 ÔÖ × ÖÚ ÑÓ× Ó Ú ØÓÖ
´ Ó Ø Ñ Ò Óµ¸ ÔÓÖ 2 ÙÔÐ
ÑÓ× × Ù Ø Ñ Ò Ó¸ ÔÓÖ 3 ØÖ ÔÐ
ÑÓ× × Ù Ø Ñ Ò Óº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ
Ð Ó¸ ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÔÓÖ 1/2 Ö ÙÞ ÑÓ× × Ù Ø Ñ Ò Ó Ô Ð Ñ Ø º
ÓÖÑ Ö Ð¸ ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÔÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ø ÚÓ
ÓÑ Ñ ÙÐÓ Ñ ÓÖ ÕÙ 1 Ó Ø ÑÓ× ÙÑ Ú ØÓÖ

ÓÑ Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó Ñ ×
ÓÑ Ø Ñ Ò Ó Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÔÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ø ÚÓ
ÓÑ Ñ ÙÐÓ
Ñ ÒÓÖ ÕÙ 1 Ó Ø ÑÓ× ÙÑ Ú ØÓÖ
ÓÑ Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó Ñ ×
ÓÑ Ø Ñ Ò Ó Ñ ÒÓÖº ÅÙÐØ ÔÐ
Ò Ó
ÔÓÖ Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ Ó Ø ÑÓ× Ú ØÓÖ
ÓÑ × ÒØ Ó Ö Ú ÖØ Ó
ÓÑ Ø Ñ Ò Ó Ñ ÓÖ ÓÙ Ñ ÒÓÖ

ÓÖ Ó
ÓÑ Ñ ÙÐÓ × Ö Ñ ÓÖ ÓÙ Ñ ÒÓÖ ÕÙ 1º Î Ó Ú ØÓÖ v = (3, 2) Ö ÔÖ × ÒØ Ó
1, 5v, 0, 5v −v ÙÖ ½º º
ÙÖ ½º Î ØÓÖ × v¸
3
2
v, 1
2
v −v
ÈÓÖØ ÒØÓ¸ Ú Ö Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ Ó ×
Ð Ö ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ó¹Ó ÔÓÖ ÙÑ Ú ØÓÖ ÜÓ v Ó Ø ÑÓ× ÙÑ
Ö Ø Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº ×× Ñ {kv| k ∈ R} ÙÑ Ö Ø Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº ÕÙ Ó
kv
Ñ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ö Ø ÕÙ Ô ×× Ô Ð ÓÖ Ñº ÑÓØ Ú Ó
ÓÑ ØÖ
Ú Ñ ÕÙ Ò Ó v ∈ R2
ÓÙ R3
¸ Ñ ×
ÓÒØ ÒÙ ÑÓ×
Ñ Ò Ó Ö Ø
ÓÑ v ∈ Rn
º Ë
×ÓÑ ÖÑÓ× ÙÑ Ú ØÓÖ ÜÓ Ó Ø Ö ÑÓ× ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ö Ð ÙÑ Ö Ø u + kvº
Ò Ó ´Ñ ÐØ ÔÐÓ ÓÙ Ô Ö Ð ÐÓµ Þ ÑÓ× ÕÙ v Ñ ÐØ ÔÐÓ ´ÓÙ Ô Ö Ð ÐÓ µ w ×
Ü ×Ø ÙÑ ×
Ð Ö k Ø Ð ÕÙ v = kwº
Ü ÑÔÐÓ Ë Ó Ô Ö Ð ÐÓ× ÒØÖ × (−2, 4, −6, 1) (1, −2, 3, −1/2) ÔÓ × (−2, 4, −6, 1) =
−2(1, −2, 3, −1/2) (1, −2, 3, −1/2) = −1/2(−2, 4, −6, 1)º
Ü ÑÔÐÓ Ñ ×Ñ Ö Ø ÔÓ × Ö Ö ÔÓÖ Ú ØÓÖ × ×Ø ÒØÓ×¸ ×Ø ÕÙ Ð × × Ñ Ô Ö Ð ¹
ÐÓ× ÒØÖ × º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó×
ÓÒ ÙÒØÓ× {k(1, 1, 1)| k ∈ R} {m(4, 4, 4)| m ∈ R} Ö ÔÖ × ÒØ Ñ

Ñ ×Ñ Ö Ø º ØÓ Ó Ú ØÓÖ (k, k, k) ÔÓ × Ö ×
Ö ØÓ
ÓÑÓ k/4(4, 4, 4)º ÌÓÑ Ò Ó m = k/4
Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ ÓÖÑ Ñ Ó Ñ ×ÑÓ
ÓÒ ÙÒØÓº
Ü ÑÔÐÓ Ç Ú ØÓÖ 0 ÑÙÐØ ÔÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ ÔÓ × 0 = 0w Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö wº
Ü ÑÔÐÓ ÈÓ ÑÓ× ÔÐ
Ö Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ × Õ Ò
Ô Ö Ó Ø Ö ×ÓÑ Ñ ×
Ó × Ú ØÓÖ ×º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ
ÓÒ× Ö Ó× ÕÙ ØÖÓ Ú ØÓÖ × Ö ÔÖ × ÒØ Ó× ÒÓ Ð Ó ×ÕÙ Ö Ó
ÙÖ ½º º ÓÒ
Ø Ò Ò Ó ÓÖÑ ×Ù
×× Ú Ó× Ú ØÓÖ × Ó Ø ÑÓ× ×Ù ×ÓÑ
ÓÒ ÓÖÑ Ò
Ó
Ò Ñ ×Ñ ÙÖ ÒÓ Ð Ó Ö ØÓº
u
vw
z
u
v
w
z
u + v + w + z
ÙÖ ½º ËÓÑ 4 Ú ØÓÖ ×
Ü ÑÔÐÓ ÍÑ ØÖÙÕÙ Ñ
Ñ
ÓÒ
Ó Ù ÙÑ
Ü
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ

º Î ÑÓ× Ú Ö
ÓÑÓ ×ØÓ ÔÓ×× Ú Ð Ñ Ñ R4
º
ÆÓ ÔÐ ÒÓ ÑÔÓ×× Ú Ð Ù Ö ÒØÖÓ ÙÑ ÕÙ Ö Ó × Ñ ØÖ Ú ×× Ö ÙÑ × Ö ×Ø ×º ÆÓ
ÒØ ÒØÓ¸ Ñ R3
¸ ÔÓ ÑÓ× Ù Ö Ó ÕÙ Ö Ó ×Ù Ò Ó ´Ò Ö Ó Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö Ó ÕÙ Ö Óµ
Ò Ò Ó Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ó ÕÙ Ö Ó Ô Ö ÓÖ Ð ×
Ò Ó´Ò Ö Ó Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö Ó
ÕÙ Ö Óµ Ö ØÓÖÒ Ò Ó Ó ÔÐ ÒÓ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó ÕÙ Ö Ó Ñ × ÒÓ Ð Ó ÓÖ Ð º ×Ø ÓÖÑ
× ÑÓ× ÒØÖÓ Ó ÕÙ Ö Ó × Ñ ØÖ Ú ×× Ö Ò Ò ÙÑ × Ö ×Ø ×º
Ó Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ × ×Ø Ú ÖÑÓ× ÒØÖÓ ÙÑ
Ü Ñ R4
ÔÓ ÑÓ× Ò Ö Ò Ö Ó
Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö
Ü ¸ Ò Ö Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÓÖ Ö ØÓÖÒ Ö Ó Ð Ó ÓÖ
Ü × Ñ
ØÖ Ú ×× Ö Ò Ò ÙÑ × Ð Ø Ö ×
Ü º ×Ø × × ×Ø Ó ×
Ö Ø × ÒÙÑ ÖÓÑ Ò

Ð ××
Ó
Ö Ú ØÓÖ Ò ÁÒ Ð Ø ÖÖ Ó ×
ÙÐÓ Á Ð ØÐ Ò Û Ò º ÓØØ ÓÚ Ö ÈÙ º
½º¾ ×Ô Ó× Ö Ó×
½º¾º½ Ò ×
ÙÑ Ú ØÓÖ × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ´ÓÙ Ô Ö Ð ÐÓµ ÓÙØÖÓ Ò Ö Ð Þ Ô Ð Ò Ó ÜÓº
Ò Ó ´
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Öµ Þ ÑÓ× ÕÙ v
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v1, v2, . . . , vp
× v ÔÓ × Ö ÜÔÖ ××Ó
ÓÑÓ
v = α1v1 + α2v2 + · · · + αpvp =
p
i=1
αivi,
ÓÒ αi³× × Ó ×
Ð Ö ×º
Ü ÑÔÐÓ Ç Ú ØÓÖ v = (2, −2)
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö u = (−1, 1) ÔÓ × v = −2u ´ ÙÑ
Ñ ÐØ ÔÐÓµº Ç × Ò
Ó ÓÑ ØÖ
Ó ÕÙ u v ×Ø Ó Ò Ñ ×Ñ Ö Ø Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº

½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË
Ò Ö Ð Þ Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ× × ÒÓ × Ù ÒØ × ÒØ Óº
Ü ÑÔÐÓ ½¼ ÓÒ× Ö u = (1, 0, 0) v = (0, 1, 0) Ñ R3
º ÉÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖ ÒÓ ÔÐ ÒÓ
z = 0 × Ö
ÓÑ Ò Ó ×Ø × Ó × ÔÓ × (a, b, 0) = a(1, 0, 0)+b(0, 1, 0)º ÇÙ × ¸ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ¸
Ó Ú ØÓÖ w = (3, −2, 0)
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö u vº Ç × Ò
Ó ÓÑ ØÖ
Ó ÕÙ w ×Ø
ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ u vº
Ü ÑÔÐÓ ½½ Ç Ñ ×ÑÓ Ú ØÓÖ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö ÙÑ Ò Ò Ú ØÓÖ × ×Ø ÒØÓ×º ÈÓÖ
Ü ÑÔÐÓ (3, 3) = 3(1, 1) + 0(−2, −2) = 1(1, 1) − 2(−2, −2)º
ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ð ÙÒ× Ú ØÓÖ × Ò Ó ÔÓ Ñ × Ö Ó Ø Ó×
ÓÑÓ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö
ÖØÓ×
Ú ØÓÖ ×º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ú ØÓÖ (3, 4) Ò Ó
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö (1, 1) (2, 2) ÔÓ × (3, 4) =
α(1, 1)+β(2, 2) Ô Ö ØÓ Ó α, β ∈ Rº ØÓ¸ Ù Ð Ò Ó
ÓÑÔÓÒ ÒØ
ÓÑÔÓÒ ÒØ ¸ Ó Ø ÑÓ×
Ó × ×Ø Ñ
α + 2β = 3
α + 2β = 4
ÕÙ
Ð Ö Ñ ÒØ ´
ÓÑÓ α + 2β ÔÓ × Ö 3 4 Ó Ñ ×ÑÓ Ø ÑÔÓ µ × Ñ ×ÓÐÙ Óº
Ü ÑÔÐÓ ½¾ Ø ÖÑ Ò × u = (2, 3, 4)
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v = (1, 0, 0) w = (1, 0, 1)º
ÈÖ
× ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö α, β ∈ R Ø × ÕÙ (2, 3, 4) = α(1, 0, 0) + β(1, 0, 1)º È Ö ×ØÓ ÔÖ
× ¹
ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ö Ó × ×Ø Ñ 


α + β = 2
0 = 3
β = 4
.
ÓÑÓ Ó × ×Ø Ñ
Ð Ö Ñ ÒØ ´
ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ× Ø Ö 0 = 3 µ × Ñ ×ÓÐÙ Ó¸
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ u
Ò Ó
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v wº
Ü ÑÔÐÓ ½¿ Ø ÖÑ Ò × u = (1, 3, 4)
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v = (1, 1, 0) w = (1, 0, 1)º
ÈÖ
× ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö α, β ∈ R Ø × ÕÙ (1, 3, 4) = α(1, 1, 0) + β(1, 0, 1)º È Ö ×ØÓ ÔÖ
× ¹
ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ö Ó × ×Ø Ñ 


α + β = 1
−α = 3
β = 4
.
ÈÓÖ Ò×Ô Ó Ó × ×Ø Ñ ÔÓ××Ù ×ÓÐÙ Ó Ò

ÓÑ α = −3 β = 4º ÈÓÖØ ÒØÓ¸ u = −3v+4wº
Ç× Ü ÑÔÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × ÑÓ×ØÖ Ñ
ÓÒ Ü Ó ÒØÖ
ÓÑ Ò × Ð Ò Ö × × ×Ø Ñ ×º È Ö × Ö
× ÙÑ Ú ØÓÖ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö ÓÙØÖÓ× Ú ØÓÖ × ´ÓÙ Ò Óµ ÔÖ
× ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ö ÙÑ × ×Ø Ñ
Ð Ò Öº
Ò Ó ´ ×Ô Ó Ö Óµ Ç ×Ô Ó Ö Ó Ô ÐÓ
ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ ×
{v1, v2, . . ., vp}¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ v1, v2, . . . , vp ÓÙ Ò ´ Ñ Ò Ð × Ñ Ú Ö×Ó× Ð ÚÖÓ×µ
ÔÓÖ span {v1, v2, . . . , vp}¸ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ × ×
ÓÑ Ò × Ð Ò Ö × v1, v2, . . . , vpº
ÈÓÖØ ÒØÓ¸
v1, v2, . . . , vp = span {v1, v2, . . . , vp} =
p
i=1
αivi αi ∈ R, i = 1, 2, . . ., p .
Ò Ó ´
ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÓÖµ Ç
ÓÒ ÙÒØÓ {v1, v2, . . . , vp} Ö ´
ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÓÖ
µ W × W = v1, v2, . . ., vp º

Ü ÑÔÐÓ ½ Ç
ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó ÔÓÖ (1, 0) (0, 1) × Ó ØÓ Ó× Ó× Ð Ñ ÒØÓ× R2
ÔÓ × Ó
(a, b) ∈ R2
¸ (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)º ×
Ö Ú ÑÓ× ÕÙ (1, 0), (0, 1) = R2
º
Ü ÑÔÐÓ ½ Ç
ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó ÔÓÖ (1, 1, 1) (−1, −1, −1) Ù Ð Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó ÔÓÖ
(1, 1, 1)¸ Ö Ø Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ
ÓÑ Ö Ó (1, 1, 1)º Æ ×Ø
×Ó Þ ÑÓ× ÕÙ Ó Ú ØÓÖ
(−1, −1, −1) Ö ÙÒ ÒØ ´Ò Ó
Ö ×
ÒØ Ò µ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÓÖ {(1, 1, 1), (−1, −1, −1)}º
ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó Ø ÑÓ× ÕÙ (1, 1, 1), (−1, −1, −1) = (1, 1, 1) = (−1, −1, −1) º
Ç × ÖÚ Ó Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ × Ó Rn
ÙÑ ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ Ó
×Ô Ó Ú ØÓÖ Ð Rn
º ×Ø ÑÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Þ Ö ÕÙ Ó ×Ô Ó Ö Ó ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ó
Rn
º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ×
ÓÑÓ × ÒÒ ÑÓ× Ò ×Ø
Ô ØÙÐÓ Ó× Ø ÖÑÓ× ×Ô Ó ×Ù ×Ô Óº
Ò Ó ´Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ » Ò Ô Ò ÒØ µ ÍÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ × Ð Ò ¹
ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ´ Ö Ú ÑÓ× ÔÓÖ Ä µ × ÙÑ Ó× Ú ØÓÖ ×
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó×
Ñ ×º Þ ÑÓ× ´ Ò ÓÖÑ ÐÑ ÒØ µ ÕÙ ×Ø Ú ØÓÖ Ö ÙÒ ÒØ ÒÓ
ÓÒ ÙÒØÓº ×Ó
ÓÒØÖ Ö Ó¸
Þ ÑÓ× ÕÙ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ´ Ö Ú ÑÓ× ÔÓÖ ÄÁµº
Ë ÙÑ Ú ØÓÖ v ∈ S
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó× Ñ × Ú ØÓÖ × S¸ ÒØ Ó Ó ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ
S ÔÓÖ S − {v} ´
ÓÒ ÙÒØÓ S × Ñ Ó Ú ØÓÖ vµ Ó Ñ ×ÑÓº ÇÙ × ¸ Ó Ú ØÓÖ v Ö ÙÒ ÒØ
Ñ S ÔÓ × Ò Ó
Ö ×
ÒØ Ò Sº Þ ÑÓ× Ò ×Ø
×Ó ÕÙ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ S Ä º
Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÒ× Ö Ó
ÓÒ ÙÒØÓ S = {(1, −2, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}º Ç Ú ØÓÖ (1, −2, 1)
Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ´ÓÙ Ö ÙÒ ÒØ µ Ñ S ÔÓ × (1, −2, 1) = 3(1, 0, 1) − 2(1, 1, 1)º ×Ø
ÓÖÑ (1, −2, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) = (1, 0, 1), (1, 1, 1) º
Æ ×Ø Ñ ×ÑÓ
ÓÒ ÙÒØÓ¸ Ó Ú ØÓÖ (1, 1, 1) Ö ÙÒ ÒØ ÔÓ × (1, 1, 1) = −1/2(1, −2, 1) +
3/2(1, 0, 1)º ÈÓÖØ ÒØÓ¸ (1, −2, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) = (1, −2, 1), (1, 0, 1) º
Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÒ× Ö
Ü Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ó× Ú ØÓÖ × u, v, w, x, y, z¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ó× Ò
ÙÖ ½º º
Ë Ó ÄÁ× Ó×
ÓÒ ÙÒØÓ× {u, v, w}¸ {w, z}¸ {v, y, z}¸ {v, z}º
Ë Ó Ä × Ó×
ÓÒ ÙÒØÓ× {u, y} ÔÓ × u = −2y¸ {v, x, y} ÔÓ × x + v = 2y¸ {v, w, z} ÔÓ ×
w + 2z = v¸ {u, v, y} ÔÓ × u = −2y¸ {u, v, w, x} ÔÓ × v + u + x = 0º
u
v w
x
y
z
ÙÖ ½º Î ØÓÖ × Ñ ÙÑ Ù Ó

½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË
Ò Ó ½¼ ´ ×Ô Ó Ñµ Þ ÑÓ× ÕÙ H ÙÑ ×Ô Ó Ñ ÓÙ ×Ù ×Ô Ó Ñ ×
H ÓÖ ØÖ Ò×Ð Ó Ó ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ ×º Å × ÔÖ
× Ñ ÒØ ¸ Ó Ó
Ú ØÓÖ ØÖ Ò×Ð Ó w Ú ØÓÖ × v1, v2, . . ., vp¸
H = w + v1, v2, . . . , vp .
Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ × ¸ ÓÑ ØÖ
Ñ ÒØ ¸ Ö Ø ¸ ÔÐ ÒÓ Ò Ö Ð ¹
Þ × Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº Ç ×Ô Ó Ñ ¸ ÓÑ ØÖ
Ñ ÒØ ¸ Ö Ø ¸ ÔÐ ÒÓ Ò Ö Ð Þ ×
Ô ×× Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Öº ÜÔÐÓÖ ÑÓ× ×Ø × × Ò × Õ Ò
×Ø × Óº
Ò Ó ½½ ´ Ñ Ò× Óµ Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ H = w + v1, v2, . . ., vp
ÔÓ××Ù Ñ Ò× Ó p × Ó
ÓÒ ÙÒØÓ {v1, v2, . . . , vp} ÄÁº Ñ Ô ÖØ
ÙÐ Ö Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ×Ô Ó
Ö Ó ÔÓÖ p Ú ØÓÖ × ÔÓ××Ù Ñ Ò× Ó p × ×Ø × p Ú ØÓÖ × ÓÖÑ Ñ ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ ÄÁº
½º¾º¾ ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ½ Î ØÓÖ
ÍÑ Ö Ø r ÔÓ × Ö Ò
ÓÑÓ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ó× ÔÓÒØÓ×
Ù Ö Ò Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ w
ÓÖÑ ÙÑ Ú ØÓÖ Ô Ö Ð ÐÓ Ö Ó Ü uº ×Ø Ö Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ
ÔÓÖ
w + tu¸ ÓÒ t ∈ R ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ú Ö Ú Ð¸ Ø Ð ÕÙ Ð ÑÓ×ØÖ Ó Ò ÙÖ ½º º Á×ØÓ × Ò
ÕÙ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ r = {w+tu; t ∈ R}¸ Ó Ø Ó ÕÙ Ò Ó × Ú Ö t¸ Ù Ð Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ó× ÔÓÒØÓ×
Ö Ø rº
r
2u
−u
−2u
0
w + 0u = w
w + 1u
w + 2u
w − 1u
w − 2u
u
ÙÖ ½º Ê Ø r = {w + tu; t ∈ R}
ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó ×Ô Ó Ö Ó¸ ÙÑ Ö Ø ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ ÓÖÑ w + u º
ÓÑÓ ×Ø ÙÑ Ú ØÓÖ ´Ò Ó¹ÒÙÐÓµ ÒÓ ×Ô Ó Ö Ó¸ Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ Ö Ø ÙÑ ×Ù ×Ô Ó
Ñ Ñ Ò× Ó ½º ÉÙ Ò Ó w = 0¸ Ö Ø Ô ×× Ô Ð ÓÖ Ñ Ù Ð Ó ×Ô Ó Ö Ó
ÔÓÖ uº Þ ÑÓ× ÕÙ Ö Ø Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó ½º
Ç × ÖÚ Ó ÉÙ Ò Ó Ó Ú ØÓÖ u = 0 ´Ó Ú ØÓÖ ÒÙÐÓµ¸ Ó ×Ù ×Ô Ó Ñ w + u =
w + {0} = w ÙÑ ÔÓÒØÓº Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó ¼º
ÉÙ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ w = 0 Ó ×Ô Ó Ñ Ù Ð ÓÖ Ñ¸ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó ¼º
Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÔÓÒØÓ× Ö Ø r
Ù ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
(1, 2) + t(4, 6)º
ÓÐÓ
Ò Ó t = 0 Ó Ø ÑÓ× Ó ÔÓÒØÓ (1, 2) ∈ rº ÓÐÓ
Ò Ó t = 1 Ó Ø ÑÓ× Ó ÔÓÒØÓ (1, 2) +

½¼ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í

1(4, 6) = (5, 8) ∈ rº ÓÐÓ
Ò Ó t = 0, 5 Ó Ø ÑÓ× Ó ÔÓÒØÓ (1, 2) + 0, 5(4, 6) = (3, 5) ∈ rº
ÓÐÓ
Ò Ó t = −1 Ó Ø ÑÓ× Ó ÔÓÒØÓ (1, 2) − 1(4, 6) = (−3, −4) ∈ rº ÓÐÓ
Ò Ó t = −0, 5
Ó Ø ÑÓ× Ó ÔÓÒØÓ (1, 2) − 0, 5(4, 6) = (−1, −1) ∈ rº
Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÖÑ Ò ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ô Ö Ö Ø ´ Ñ R4
µ
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (2, 3, 4, 5) Ô Ö Ð Ð Ó Ú ØÓÖ (−1, 1, −1, 1)
Ö Ø (2, 3, 4, 5) + t(−1, 1, −1, 1)º
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó× ÔÓÒØÓ× (1, 2, 1, 2) (3, 4, 3, 4)
Ð
ÙÐ Ò Ó u = (3, 4, 3, 4) − (1, 2, 1, 2) = (2, 2, 2, 2)¸ Ô Ö Ð ÐÓ Ö Ø º ×× Ñ Ö Ø
(1, 2, 1, 2) + t(2, 2, 2, 2)º ÆÓØ ÕÙ ÔÓ Ö ÑÓ× Ø Ö
Ð
ÙÐ Ó u = (1, 2, 1, 2) − (3, 4, 3, 4) =
(−2, −2, −2, −2) Ó Ø Ö ÑÓ× Ñ ×Ñ Ö Ø ¸ Ñ ÓÖ
ÓÑ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ×Ø ÒØ ¸
(1, 2, 1, 2) + t(−2, −2, −2, −2)º ÍØ Ð Þ ÑÓ× w = (1, 2, 1, 2) Ñ × ÔÓ Ö ÑÓ× Ø Ö ØÓÑ Ó
(3, 4, 3, 4)º ×× Ñ¸ Þ Ò Ó ØÓ × ×
ÓÑ Ò ×¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ñ Ò Ñ ×Ñ Ö Ø ¸ (3, 4, 3, 4)+
t(−2, −2, −2, −2) (3, 4, 3, 4) + t(2, 2, 2, 2)º
Ü ÑÔÐÓ ¾¼ Ø ÖÑ Ò × Ó ÔÓÒØÓ (1, 1, 1, 2) Ô ÖØ Ò
Ö Ø (1, 0, −1, 0) + (2, 1, 2, 1) º
ÉÙ Ö ÑÓ× × Ö × Ü ×Ø t ∈ R Ø Ð ÕÙ (1, 1, 1, 2) = (1, 0, −1, 0)+t(2, 1, 2, 1)º Á×ØÓ Ø ÖÑ Ò
Ó × ×Ø Ñ 


1 + 2t = 1
t = 1
−1 + 2t = 1
t = 2
.
ÓÑÓ Ð Ò Ó ÔÓ××Ù ×ÓÐÙ Ó ´t = 1 t = 2 µ¸ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ó Ô ÖØ Ò
Ö Ø º
Ü ÑÔÐÓ ¾½ Ø ÖÑ Ò × Ó× ×Ô Ó× Ò× (1, 2, 1)+ (2, −6, 4) (0, 5, −1)+ (−1, 3, −2)
Ö ÔÖ × ÒØ Ñ Ñ ×Ñ Ö Ø º
ÉÙ Ö ÑÓ× × Ö × Ô Ö
s Ó¸ Ü ×Ø t Ø Ð ÕÙ (1, 2, 1) + s(2, −6, 4) = (0, 5, −1) +
t(−1, 3, −2)º Á×ØÓ Ø ÖÑ Ò Ó × ×Ø Ñ Ð Ò Ö



−t = 1 + 2s
3t = −3 − 6s
−2t = 2 + 4s
.
ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ× ÕÙ t = −1 − 2sº Î Ö ÕÙ ÕÙ ×ØÓ × Ø × Þ × ÓÙØÖ × Ù ×
ÕÙ ×º ÈÓÖØ ÒØÓ Ñ ×Ñ Ö Ø º
ÍÑ Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÔÓ××Ù
ÓÑÓ ÕÙ Ó Ö Ð ax + by + c = 0º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÙÑ
ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ô ÖØ Ò Ó ÕÙ Ó
ÖØ × Ò ¸ ×Ø
ÓÐÓ
Ö ÙÑ × Ú Ö Ú × ´Ø ÖÑÓ
Ø Ñ Ñ ÙØ Ð Þ Ó Ñ ýÐ Ö Ä Ò Ö Ò
Ò Ø µ
ÓÑÓ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ
ÓÙØÖ Ú Ö Ú Ð Ñ ÙÒ Ó Ó Ô Ö Ñ ØÖÓº
Ü ÑÔÐÓ ¾¾ Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ô Ö Ö Ø Ñ R2
2x − 3y = 6º
ÓÐÓÕÙ y = tº ÓÖ x = 3 + 3/2y = 3 + 3/2tº ÄÓ Ó¸ (x, y) = (3, 0) + t(3/2, 1)º
Ü ÑÔÐÓ ¾¿ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ö Ø Ñ R2
y = 7º
ÓÐÓÕÙ x = t¸ y = 7º ÄÓ Ó (x, y) = (0, 7) + t(1, 0)º
Ç × ÖÚ Ó Ë
ÓÐÓ
ÖÑÓ× y = t ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ö ÑÓ× ÕÙ t = 7 Ò Ó
Ø Ö ÑÓ× Ú ÐÓÖ Ô Ö x ×
ÓÐ ÕÙ Ñ Ú × Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ ÑÔÓÖØ ÒØ º ÔÖ Ò Ö ÑÓ×
Þ Ö ×
ÓÐ
ÖØ ÓÖÑ × ×Ø Ñ Ø
ÒÓ ´ÔÖ Ü ÑÓµ Ô ØÙÐÓ Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö ×º
Î Ç × ÖÚ Ó º

½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË ½½
ÍÑ × ×Ø Ñ
ÓÑ Ù × ÕÙ × Ð Ò Ö × Ñ R3
Ø ÖÑ Ò ¸ ÓÖÑ Ö Ð¸ ÙÑ Ö Ø Ñ
R3
¸ ÔÓ × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ Ö× Ó Ó × ÔÐ ÒÓ×º È Ö × Ó Ø Ö ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
×
× ×Ø Ñ × × ÑÔÐ ×
ÓÐÓÕÙ ÙÑ × Ú Ö Ú ×
ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ×
Ö Ú × ÓÙØÖ × Ñ ÙÒ Ó
×Ø º
Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ô Ö Ö Ø ´ Ñ R3
µ
ÓÑ ÕÙ ×
ÖØ × ¹
Ò × × ÔÓÖ
2z − y = 1
x + y + z = 0
ÓÐÓÕÙ z = t Ò ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó¸ Ó Ø Ò Ó y = 2t − 1º ËÙ ×Ø ØÙ z = t y = 2t − 1
Ò Ø Ö
Ö ¸ Ó Ø Ò Ó x + (2t − 1) + t = 0º ÄÓ Ó x = −3t + 1º ÈÓÖØ ÒØÓ¸ (x, y, z) =
t(−3, 2, 1) + (1, −1, 0)º ÇÙØÖ ×ÓÐÙ Ó
ÓÑ Ö
ÓÑ y = t¸ Ó Ø Ò Ó z = t/2 + 1/2
ÔÖ Ñ Ö º ËÙ ×Ø ØÙ Ò Ó Ò × ÙÒ ¸ Ó Ø ÑÓ× x = −3/2t − 1/2º ÈÓÖØ ÒØÓ¸ ÓÙØÖ Ö ×ÔÓ×Ø
(x, y, z) = t(−3/2, 1, 1/2) + (−1/2, 0, 1/2)º
Ç × ÖÚ Ó ÔÓ×× Ú Ð ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ
ÓÐÓ
Ö x = sº Ç Ø Ö ÑÓ× ÙÑ × ×Ø Ñ Ñ
y z ÕÙ ÔÓ × Ö Ö ×ÓÐÚ Ó ´
ÓÒÚ Ó Ð ØÓÖ Ö ×ÓÐÚ ¹ÐÓ z = (1 − s)/3¸ y = (−2s −
1)/3µ Ñ ÓÖ
ÓÑ Ñ × ØÖ Ð Ó ÕÙ ÒÓ Ü ÑÔÐÓº Ö ×ÔÓ×Ø Ò Ð¸ Ô × Ö Ö ÒØ
× ÒØ Ö ÓÖ × Ø Ñ Ñ
ÓÖÖ Ø (x, y, z) = (1, −2/3, −1/3)s + (0, −1/3, 1/3)º
Ñ ×Ñ Ö Ø ÔÓ × Ó× Ú ØÓÖ × ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ
Ñ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ ´(−3, 2, 1)¸ (−3/2, 2, 1/2)
(1, −2/3, −1/3)µ × Ó Ô Ö Ð ÐÓ× ÒØÖ × ¸ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ¸ Ó ÔÓÒØÓ (0, −1/3, 1/3) ÔÓ × Ö
Ó Ø Ó ØÓÑ Ò Ó t = −1/3 Ò ÐØ Ñ ÕÙ Ó Ó Ü ÑÔÐÓº ÕÙ Ó× ÓÙØÖÓ× ÔÓÒØÓ×º
Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ô Ö Ö Ø ´ Ñ R3
µ
ÓÑ ÕÙ ×
ÖØ × ¹
Ò × × ÔÓÖ
z = 1
y + z = 0
ÓÑÓ z = 1¸ ×Ù ×ØØ ØÙ Ò Ó Ò × ÙÒ ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ× ÕÙ y + 1 = 0º ÄÓ Ó y = −1º
ÆÓØ ÕÙ x ÔÓ ××ÙÑ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖº ÈÓÖØ ÒØÓ x = t¸ y = −1 z = 1º ÄÓ Ó¸
(x, y, z) = t(1, 0, 0) + (0, −1, 1)º
Ç × ÖÚ Ó Ë
ÓÐÓ
ÖÑÓ× z = t ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ó
ÓÒ× Ù Ö ÑÓ× ÕÙ ×
´ Ñ ÙÒ Ó tµ Ô Ö x ´Ø ÒØ Þ Ö ××Ó µº Î Ç × ÖÚ Ó º
Ç × ÖÚ Ó ½¼ ÆÓØ ÕÙ
Ö
Ø Ö Þ Ó Ö Ø ØÖ Ú × ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ò¹
Ô Ò Ñ Ò× Ó Ó ×Ô Ó Ñ ÒØ º ×Ø ÓÖÑ ÙÑ Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÓÙ ×Ô Ó
ÓÖÑ w + tvº ÈÓÖ
ÓÒØÖ ×Ø ¸ ÕÙ Ó
ÖØ × Ò ÙÑ Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø Ñ ÕÙ × Ö
×Ù ×Ø ØÙ ÔÓÖ ÙÑ × ×Ø Ñ Ù × ÕÙ × Ô Ö
Ö
Ø Ö Þ Ö ÙÑ Ö Ø ÒÓ ×Ô Óº
Ç × ÖÚ Ó ½½ ÆÓØ ÕÙ ÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ
Ò Ó Ò
º ×× Ñ Ö Ø r = {w +
tu; t ∈ R} ÔÓ ÑÓ× ×Ù ×Ø ØÙ Ö u ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ Ò Ó¹ÒÙÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö v = 3u ÓÙ v = −6u
Ó Ø Ö Ñ ×Ñ Ö Ø r = {w + sv; s ∈ R}º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó¸ Ó z ∈ r ÕÙ ÐÕÙ Ö¸
ÓÑÓ
z − w Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ u ´ ÙÑ × Ò Óµ¸ r = {z + tu; t ∈ R} ´ÔÓ ÑÓ× ×Ù ×Ø ØÙ Ö
w ∈ r ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ Ô ÖØ Ò Ö Ø º

½¾ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í

½º¾º¿ ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ¾ Î ØÓÖ ×

ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó × Ú ØÓÖ × ÄÁ× ´Ò Ó¹Ô Ö Ð ÐÓ×µ u v Ö ÙÑ ÔÐ ÒÓ Ô ×× Ò Ó Ô Ð
ÓÖ Ñ
ÓÖ Ó
ÓÑ Ö Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº
ÓÒ Ò Ó ÙÑ Ú ØÓÖ w ×Ø ÔÐ ÒÓ
Ó Ø ÑÓ× ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ö Ð ÙÑ ÔÐ ÒÓº ×Ø ÔÐ ÒÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ò ÓÖÑ
Ô Ö Ñ ØÖ
ÔÓÖ w+tu+sv¸ ÓÒ s, t ∈ R × Ó Ó × ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ú Ö Ú × Ò Ô Ò ÒØ ×
Ó× Ú ØÓÖ × u, v Ò Ó × Ó Ô Ö Ð ÐÓ× ÒØÖ × º Á×ØÓ × Ò
ÕÙ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Π = {w+tu+sv; s, t ∈
R}¸ Ó Ø Ó ÕÙ Ò Ó × Ú Ö t s¸ Ù Ð Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ó× ÔÓÒØÓ× ÙÑ ÔÐ ÒÓº
Π
0
v
sv
u
tu
tu + sv
w
w + tu + sv
ÙÖ ½º ÈÐ ÒÓ Π = {w + tu + sv; s, t ∈ R}
ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó ×Ô Ó Ö Ó¸ ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ ÓÖÑ w+ u, v º
ÓÑÓ ×Ø Ñ Ó × Ú ØÓÖ × ÄÁ× ÒÓ ×Ô Ó Ö Ó¸ Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó
Ñ Ñ Ò× Ó ¾º ÉÙ Ò Ó w = 0¸ Ó ÔÐ ÒÓ Ô ×× Ô Ð ÓÖ Ñ Ù Ð Ó ×Ô Ó Ö Ó
ÔÓÖ {u, v}º Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ÔÐ ÒÓ Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó
¾º Æ ÙÖ ½º ÑÓ×ØÖ ÑÓ× Ó ÔÐ ÒÓ Ô ×× Ò Ó Ò ÓÖ Ñ u, v ´ ÔÓÖØ ÒØÓ ÙÑ ×Ù ×Ô Óµ
×Ù ØÖ Ò×Ð Ó w + u, v º
Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÔÓÒØÓ× Ó ÔÐ ÒÓ
Ù ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
(1, 1, 2, 0) + t(−1, 2, −1, 1) + s(1, 1, 1, 1)º
ÓÐÓ
ÑÓ× t = s = 0 Ô Ö Ó Ø Ö Ó ÔÓÒØÓ (1, 1, 2, 0)º ÓÐÓ
Ò Ó t = 0¸ s = 1 Ó Ø ¹
ÑÓ× (1, 1, 2, 0) + (1, 1, 1, 1) = (2, 2, 3, 1)º ÓÐÓ
Ò Ó t = 1¸ s = 0 Ó Ø ÑÓ× (1, 1, 2, 0) +
(−1, 2, −1, 1) = (0, 3, 1, 1)º ÓÐÓ
Ò Ó t = 1¸ s = −1 Ó Ø ÑÓ× (1, 1, 2, 0) + (−1, 2, −1, 1) −
(1, 1, 1, 1) = (−1, 2, 0, 0)º
Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ× Ö u = (1, −2, 1, 1, 1), v = (2, 2, 0, 1, 1). Ç ×Ù ×Ô Ó Ñ
(1, 2, 3, 4, 5) + u, v ÙÑ ÔÐ ÒÓ Ñ R5
ÔÓ × {u, v} ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ ÄÁ× ´ÙÑ Ò Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ
Ó ÓÙØÖÓµº ÈÓ ÑÓ× Ú Ö
Ö ×ØÓ
ÓÑÔ Ö Ò Ó ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ Ó× Ú ØÓÖ × u v ÙÑ Ø Ö
ÕÙ × Ö Ó Ó ÖÓ Ó ÓÙØÖÓº Å × × ÓÙØÖ × ÒØÖ × Ò Ó × Ó Ó Ó ÖÓ ÒØÖ × º ÄÓ Ó¸ Ð × × Ó
ÄÁ×º
Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò × Ó ÔÓÒØÓ (1, 1, 1, 1) Ô ÖØ Ò
Ó ÔÐ ÒÓ
(2, 2, 2, 2) + (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1) º

½º¾º ËÈ ÇË Ê ÇË ½¿
ÉÙ Ö ÑÓ× × Ö × Ü ×Ø s, t ∈ R Ø Ð ÕÙ (1, 3, 1, 3) = (2, 2, 2, 2) + s(1, 0, 1, 0) + t(0, 1, 0, 1)º
Á×ØÓ Ø ÖÑ Ò Ó × ×Ø Ñ 


2 + s = 1
2 + t = 3
2 + s = 1
2 + t = 3
.
ÈÓÖ Ò×Ô Ó Ú ÑÓ× ÕÙ ×ÓÐÙ Ó s = −1 t = 1º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ò
Ó ÔÐ ÒÓº
Ü ÑÔÐÓ ¾ Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ {(0, 0, 1), (0, 1, 0)} Ó ÔÐ ÒÓ Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ô Ö ¹
Ð ÐÓ Ó× ÜÓ× y z¸ Ó ÔÐ ÒÓ x = 0º
Á×ØÓ Ú Ö ÔÓ × Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ×Ø ÔÐ ÒÓ (0, a, b) Ø ÑÓ× ÕÙ (0, a, b) =
a(0, 1, 0) + b(0, 0, 1)
Ü ÑÔÐÓ ¿¼ Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (0, 1, 1) (0, 1, 0) Ó ÔÐ ÒÓ Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñ Ó×
ÜÓ× y zº
Á×ØÓ Ú Ö ÔÓ × Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ×Ø ÔÐ ÒÓ (0, a, b) Ø ÑÓ× ÕÙ (0, a, b) =
a(0, 1, 1) + (b − a)(0, 0, 1)º
Ü ÑÔÐÓ ¿½ Ø ÖÑ Ò ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ô Ö Ó ÔÐ ÒÓ ´ Ñ R4
µ
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (1, 2, 3, 4) × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÐÓ Ó× Ú ØÓÖ × (2, 3, 5, 7)
(0, 1, 0, 1) º
Ç ÔÐ ÒÓ (1, 2, 3, 4) + t(2, 3, 5, 7) + s(0, 1, 0, 1)º
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó× ÔÓÒØÓ× (2, 2, 2, 2)¸ (3, 3, 3, 3) (4, 0, 4, 0)º
ÌÓÑ Ò Ó w = (2, 2, 2, 2)¸ v = (3, 3, 3, 3) − w = (1, 1, 1, 1) w = (4, 0, 4, 0) − w =
(1, −2, 1, −2)º ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ w + tu + svº
´
µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó× ÔÓÒØÓ× (1, −1, 1, −1) (2, 3, 4, 5) Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ (2, −3, 4, −5)º
ÌÓÑ Ò Ó w = (1, −1, 1, −1)¸ v = (2, 3, 4, 5) − w = (1, 4, 3, 6) w = (2, −3, 4, −5)º
ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ w + tu + svº
ÍÑ ÔÐ ÒÓ Ñ R3
ÔÓ××Ù
ÓÑÓ ÕÙ Ó Ö Ð ax + by + cz = dº È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ó
Ô Ö Ñ ØÖ
Ô ÖØ Ò Ó ÕÙ Ó
ÖØ × Ò ¸ ×Ø
ÓÐÓ
Ö Ù × × Ú Ö Ú ×
ÓÑÓ Ó× Ó ×
Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ Ø Ö
Ö Ú Ö Ú Ð Ñ ÙÒ Ó Ó× Ô Ö Ñ ØÖÓ×º
Ü ÑÔÐÓ ¿¾ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ó ÔÐ ÒÓ Ñ R3
2x − 3y + 10z = 16º
ÓÐÓÕÙ y = s z = tº ÒØ Ó x = 8 + 3/2y − 5z = 8 + 3/2s − 5tº
ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ (x, y, z) = (8, 0, 0) + s(3/2, 1, 0) + t(−5, 0, 1)º Á×ØÓ ¸ Ó ÔÐ ÒÓ Ó ×Ù ×Ô Ó
Ñ (8, 0, 0) + (3/2, 1, 0), (−5, 0, 1) º
Ü ÑÔÐÓ ¿¿ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ó ÔÐ ÒÓ Ñ R3
3y + 2z = 6º
ÓÑÓ x Ò Ó Ô Ö
Ò ÕÙ Ó¸
ÓÐÓ
ÑÓ× x = s ´ÙÑ Ó× Ô Ö Ñ ØÖÓ×µº Ü Ò Ó ÓÐÓ
Ò Ó
y = t Ó Ø ÑÓ× ÕÙ z = 3 − 3/2y = 3 − 3/2tº
ÄÓ Ó Ó ÔÐ ÒÓ (x, y, z) = (0, 0, 3) + s(1, 0, 0) + t(0, 1, −3/2)º Á×ØÓ ¸ Ó ÔÐ ÒÓ Ó ×Ù ×Ô Ó
Ñ (0, 0, 3) + (1, 0, 0), (0, 1, −3/2) º
Ç × ÖÚ Ó ½¾ Ô ×× Ñ ÕÙ ×
ÖØ × Ò × Ô Ö Ô Ö Ñ ØÖ
× Ø Ö ×ÓÐÚ Ò Ó¹
× ÙÑ × ×Ø Ñ Ð Ò Öº Ò Ö Ð Þ Ó ×Ø × × Ô Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÖ ÕÙ ×
Ú Ö Ú × Ñ
ÓÑÓ ÒÚ ×Ø Ó × ×Ø Ñ Ø
´ Ò
×× Ö Ó
Ù Ó Ò × Õ Ò
ÓÔ Ö × Ö Ð Þ × Ò × ÕÙ × ÙÑ × ×Ø Ñ µ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó Ó
ÓÒ ÙÒØÓ¹×ÓÐÙ Ó
ÙÑ × ×Ø Ñ Ð Ò Ö Ø Ñ
ÒØÖ Ð Ó Ò
Ó Ó
ÙÖ×Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö ÕÙ ÜÔÐÓÖ Ö ÑÓ×
ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö ×º

½ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í

ÍÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ó × Ú ØÓÖ × ÔÓ Ö Ö ÙÑ ÔÐ ÒÓ ÓÙ Ò Ó Ô Ò Ò Ó × Ð × × Ó Ô Ö Ð ÐÓ×
ÒØÖ × ´Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ä µ ÓÙ Ò Óº
Ü ÑÔÐÓ ¿ Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ {(1/2, 2, −1), (−1, −4, 2)} Ö Ø Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ ¹
Ñ Ô Ö Ð Ð Ó Ú ØÓÖ (1/2, 2, −1) ´ÓÙ (−1, −4, 2)¸ ÕÙ Ñ ×Ñ Ö Ø µº Æ ×Ø
×Ó Ó
×Ô Ó Ö Ó ÔÓ××Ù Ñ Ò× Ó 1º ÈÓÖØ ÒØÓ¸ (1/2, 2, −1), (−1, −4, 2) = (1/2, 2, −1) =
(−1, −4, 2) .
½º¾º ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ ¿ ÓÙ Å × Î ØÓÖ ×
Ç ÕÙ ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ø ÕÙ × Ò Ö Ð Þ Ô Ö 3 ÓÙ Ñ × Ú ØÓÖ ×º
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö p
Ú ØÓÖ × ÄÁ× u1, u2, . . . , up Ö ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñº
ÓÒ Ò Ó ÙÑ Ú ØÓÖ w
×Ø ×Ù ×Ô Ó Ó Ø ÑÓ× ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
ÓÖÑ w+t1u1 +t2u2 +· · ·+tpvp¸
ÓÒ ti ∈ R¸
ÓÑ i = 1, . . ., p¸ × Ó p Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ú Ö Ú × Ò Ô Ò ÒØ × Ó× Ú ØÓÖ ×
u1, u2, . . . , up × Ó ÄÁ×º ÓÑÓ × Ó p Ú ØÓÖ × ÄÁ× Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ
Ñ Ò× Ó pº
ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒÓØ Ó ×Ô Ó Ö Ó¸ ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÔÓÖ w +
u1, u2, . . . , up º ÉÙ Ò Ó w = 0¸ Ó ×Ù ×Ô Ó Ñ Ô ×× Ô Ð ÓÖ Ñ Ù Ð Ó ×Ô Ó
Ö Ó ÔÓÖ {u1, u2, . . ., up}º Þ ÑÓ× Ò ×Ø
×Ó ´×Ù ×Ô Ó Ñ Ô ×× Ò Ó Ô Ð ÓÖ Ñµ ÕÙ
ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó pº
Ü ÑÔÐÓ ¿ Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (1, 0, 0)¸ (0, 1, 0) (0, 0, 1) Ñ Ò× Ó 3¸ Ù Ð ØÓ Ó
Ó R3
ÔÓ × Ó (a, b, c) ∈ R3
¸ (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)º
Ü ÑÔÐÓ ¿ Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (1, 1, 1)¸ (1, 0, 1) (0, 1, 0) ÔÓ××Ù Ñ Ò× Ó 2 ÔÓ ×
(1, 1, 1) = (1, 0, 1) + (0, 1, 0)º ×Ø ÓÖÑ (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0) = (1, 0, 1), (0, 1, 0) º
Ü ÑÔÐÓ ¿ Ç ×Ô Ó Ö Ó ÔÓÖ (0, 1, 0, 0)¸ (0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 1) Ñ Ò× Ó 3¸ Ù Ð
ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó 3 Ó R4
Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö Ó ÜÓ xº
È Ö × Ø ÖÑ Ò Ö Ñ Ò× Ó Ó ×Ô Ó Ö Ó Ú ¹× Ð Ñ Ò Ö Ó× Ú ØÓÖ × Ô Ò ÒØ ×
´Ö ÙÒ ÒØ ×µ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ ×º
Ü ÑÔÐÓ ¿ ÓÒ× Ö ØÖ × Ú ØÓÖ × u, v, w ÒÓ R3
º Ë Ð × ÓÖ Ñ ÄÁ× Ð × Ö Ö Ó ÙÑ ×Ù ×¹
Ô Ó Ñ Ò× Ó 3 ÕÙ × Ö Ò
×× Ö Ñ ÒØ Ù Ð ØÓ Ó Ó R3
º Ë ÙÑ ÓÖ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö
´Ä ×µ Ó× ÓÙØÖÓ×¸ ÑÓ× ÕÙ w = αu + βv¸ Ð × Ö Ö ÙÒ ÒØ ×Ø ÓÖÑ u, v, w
× Ö Ù Ð u, v º ÓÖ ¸
ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð × ÒØ Ö ÓÖ¸ Ó ×Ô Ó Ö Ó × Ö Ö ÙÞ Ó ÙÑ
ÔÐ ÒÓ¸ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓº
Ü ÑÔÐÓ ¿ Ç ×Ù ×Ô Ó Ñ (2, 3, 5, 7) + (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3), (4, 4, 4, 4)
ÙÑ Ö Ø Ñ R4
Ñ ÓÖ ÔÓ××Ù 4 Ú ØÓÖ ×º
Á×ØÓ ÔÓÖÕÙ (2, 2, 2, 2) = 2(1, 1, 1, 1)¸ (3, 3, 3, 3) = 3(1, 1, 1, 1)¸ (4, 4, 4, 4) = 4(1, 1, 1, 1)º
×Ø ÓÖÑ ¸ (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3), (4, 4, 4, 4) = (1, 1, 1, 1) º
Ü ÑÔÐÓ ¼ Ç ×Ù ×Ô Ó Ñ (1, 2, 3, 4, 5) + (0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0) ÙÑ ÔÓÒØÓº
ÈÓÖØ ÒØÓ
Ö
Ø Ö Þ Ó ÓÑ ØÖ
S = w + u1, u2, . . . , up Ô Ò Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ
p¸ Ñ × ÕÙ ÒØÓ× Ú ØÓÖ × × Ó ÄÁ×º ×× Ñ ×
• p = 0¸ S ÙÑ ÔÓÒØÓ

½º¿º Ë Ë ½
• p = 1¸ S ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓ
• p = 2¸ S ÙÑ ÔÐ ÒÓ¸ ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ
• p = 3¸ S ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ñ Ò× Ó 3¸ ÙÑ ÔÐ ÒÓ¸ ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ
• p = k¸ S ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò× Ó kº
ÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ Ú Ó ÕÙ Ñ R2
ÕÙ ÐÕÙ Ö
ÓÒ ÙÒØÓ 3 Ú ØÓÖ × × Ö Ä ÔÓ ×
×Ó

ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó 3º Ó Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó Ñ R3
¸ ÕÙ ÐÕÙ Ö
ÓÒ ÙÒØÓ

ÓÑ 4 ÓÙ Ñ × Ú ØÓÖ × Ä ÔÓ ×
×Ó
ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ÙÑ ×Ù ×Ô Ó Ñ Ò× Ó Ñ ÓÖ ÕÙ
4º
ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó¸ Ô Ö ÕÙ ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ × Ö ØÓ Ó Ó R2
Ú Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ× 2
Ú ØÓÖ ×¸
×Ó
ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ×ÓÑ ÒØ ÙÑ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓº È Ö ÕÙ Ö ØÓ Ó Ó R3
Ú Ø Ö
Ô ÐÓ Ñ ÒÓ× 3 Ú ØÓÖ ×¸
×Ó
ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ö ×ÓÑ ÒØ ÔÐ ÒÓ¸ Ö Ø ÓÙ ÔÓÒØÓº
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ñ Rn
• ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÑ Ñ × n Ú ØÓÖ × Ä
• ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÑ Ñ ÒÓ× n Ú ØÓÖ × Ò Ó Ö Rn
• ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ n Ú ØÓÖ × Ö Rn
× ¸ × × ¸ ÄÁº
½º¿ × ×
ÍÑ ÒÓØ Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ò Ö Ó× × Ù ÒØ × Ú ØÓÖ × Rn
e1 = (1, 0, 0, . . ., 0, 0) ∈ Rn
e2 = (0, 1, 0, . . ., 0, 0) ∈ Rn
ºº
º =
ºº
º
en = (0, 0, 0, . . ., 0, 1) ∈ Rn
ÆÓØ ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ØÓÖ Ó Rn
ÔÓ × Ö ÜÔÖ ××Ó
ÓÑÓ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ò
Ó×
Ú ØÓÖ × e1, e2, . . . , enº ÈÓÖ ××Ó Þ ÑÓ× ÕÙ ×Ø
ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ ÙÑ × Ó Rn
º ÈÓÖ × Ö
× Ô Ö Ó Þ ÑÓ× ÕÙ ×
ÒÒ
Ó Rn
¸ ÕÙ ÒÓØ ÔÓÖ ε = {e1, e2, . . . , en}º
Ò Ó ½¾ ´ × µ ÍÑ
ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ò Ó S × × ØÓ Ó Ú ØÓÖ × ÜÔÖ ×× ÓÖÑ
Ò

ÓÑÓ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó× Ð Ñ ÒØÓ× Sº
Ü ÑÔÐÓ ½ ×
ÒÒ
Ó R4
e1 = (1, 0, 0, 0)¸ e2 = (0, 1, 0, 0)¸ e3 = (0, 0, 1, 0)¸
e4 = (0, 0, 0, 1)º Á×ØÓ Ú Ö ÔÓ × Ó (a, b, c, d) ∈ R4
¸ (a, b, c, d) = ae1 +be2 +ce3 +de4
Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ× Ö Ó
ÓÒ ÙÒØÓ {(1, 0), (1, 1), (0, 1)}º
Ð Ö ØÓ Ó Ó R2
ÔÓ × Ó (a, b) ∈ R2
¸ (a, b) = a(1, 0) + 0(1, 1) + b(0, 1)¸ Ñ × Ò Ó ×
R2
ÔÓ × Ò Ó
ÓÒ ÙÒØÓ ÄÁ (1, 1) = (1, 0) + (0, 1)º
Ü ÑÔÐÓ ¿ Ç
ÓÒ ÙÒØÓ {(1, 0), (1, 1)} × Ó R2
º ØÓ Ð × × Ó ÄÁ× ´ÙÑ Ò Ó
Ñ ÐØ ÔÐÓ Ó ÓÙØÖÓµ Ö Ñ Ó R2
ÔÓ × Ó (a, b) ∈ R2
¸ (a, b) = a(1, 0) + (b − a)(1, 1)º
Ü ÑÔÐÓ β = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} × Ó R4
º ØÓ¸ Ó
(a, b, c, d) ∈ R4
¸ (a, b, c, d) = a(1, 1, 1, 1) + (b − a)(0, 1, 1, 1) + (c − b − a)(0, 0, 1, 1) + (d −
c − b − a)(0, 0, 0, 1)º

Ò Ó ½¿ ´
ÓÓÖ Ò ×µ ×
ÓÓÖ Ò × Ó Ú ØÓÖ v Ò × β = {b1, b2, . . . , bn}¸
× Ó Ó×
Ó
ÒØ × αi³× ´ Ò
Ó× Ô Ð Ò Ó × µ Ù× Ó× Ô Ö
ÓÑ Ò Ö Ð Ò ÖÑ ÒØ Ó×
Ú ØÓÖ × bi³× ÓÖÑ Ö Ö v¸ ×ØÓ ¸ v =
n
i=1
αibiº ÒÓØ ÑÓ×
[v]β =





α1
α2
º
ºº
αn





.
×Ø ÓÖÑ ¸ ×
ÓÓÖ Ò × × Ó ×
Ö Ø ×
ÓÑÓ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÙÑ
ÓÐÙÒ º
Ü ÑÔÐÓ ×
ÒÒ
Ó Rn
ε = {e1, e2, . . . , en}¸ ÙÑ Ú ØÓÖ v = (v1, v2, . . . , vn)¸

ÓÑÓ v = v1e1 + v2e2 + · · · + vnen
ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÕÙ [v]ε =





v1
v2
ºº
º
vn





º
Ü ÑÔÐÓ ÓÒ× Ö Ó Ú ØÓÖ v = (2, 4) × × × ε = {(1, 0), (0, 1)} β = {(1, 1), (0, 1)}º
ÒØ Ó [v]ε =
2
4
[v]β =
2
2
¸
ÓÑÓ ÐÙ×ØÖ ÑÓ× Ò ÙÖ ½º º Ç × ÖÚ ÕÙ Ó Ñ ×ÑÓ
Ú ØÓÖ ÔÓ ÔÓ××Ù Ö
ÓÓÖ Ò × ×Ø ÒØ × Ñ × × ×Ø ÒØ ×º
ÙÖ ½º Î ØÓÖ v = (2, 4) Ñ × × ×Ø ÒØ ×
Ü ÑÔÐÓ ÓÒ× Ö × β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} Ó Ú ØÓÖ v = (1, 2, 2)º
ÒØ Ó [v]ε =


1
2
2

 Ñ × [v]β =


1
1
0

º
Ü ÑÔÐÓ ÓÒ× Ö × β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} Ó× Ú ØÓÖ × v = (1, 2, 2)
w = (1, 1, 0)º
ÒØ Ó [w]ε = [v]β =


1
1
0

º ÈÓÖØ ÒØÓ Ú ØÓÖ × ×Ø ÒØÓ× ÔÓ Ñ ÔÓ××Ù Ö × Ñ ×Ñ ×
ÓÓÖ Ò ¹
× Ñ × × ×Ø ÒØ ×º

½º º Ê ÁÇË ÁÆÌÊÇ Í

Ç ü ýÄ Ê ÄÁÆ Ê ½
Ñ ÓÖ
ÓÓÖ Ò × × Ñ Ò
Ó × Ò Ó Ø ÖÑ Ò Ñ ÙÑ Ú ØÓÖ¸ Ü ×Ø ÙÑ
ÓÒ¹
Ú Ò Ó ´ Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ Ù×Ó ÒÓØ Ó¸ ×ØÓ ¸ ÙÑ Ù×Ó ÒÓØ Ó Ö ÒØ Ó
ÓÒ¹
Ú Ò
ÓÒ Óµ ÕÙ ××ÙÑ Ö ÕÙ ×
ÒÒ
º ×× Ñ¸ Ø ÑÓ× ØÖ × ÓÖÑ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ×
Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ ×ÑÓ Ú ØÓÖ v ∈ Rn
•
ÓÒ× Ö Ó Ú ØÓÖ v = (α1, . . . , αn) ´Ù×Ó
ÓÖÖ ØÓµ
•
ÓÒ× Ö Ó Ú ØÓÖ [v]ε =



α1
º
ºº
αn


 ´Ù×Ó
ÓÖÖ ØÓµ
•
ÓÒ× Ö Ó Ú ØÓÖ v =



α1
ºº
º
αn


 ´ Ù×Ó ÒÓØ Óµ
ØÓ¸ Ó ÐØ ÑÓ Ù×Ó Ø Ó
ÓÑÙÑ ÕÙ ÑÙ ØÓ× Ð ÚÖÓ× Ù× Ñ
ÓÑÓ Ò Ó Ú ØÓÖ Ó
Rn
ÙÑ Ú ØÓÖ ÙÑ Ñ ØÖ Þ
ÓÑ ÙÑ
ÓÐÙÒ n Ð Ò ×º ÆÓØ ÕÙ ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓ Ö × Ö ÙÑ
Ñ ØÖ Þ Ð Ò ¸ Ñ ×
ÓÒÚ Ò Ó ÙØ Ð Þ Ñ ØÓ Ó× Ó× Ð ÚÖÓ×
ÓÑÓ ÙÑ Ñ ØÖ Þ
ÓÐÙÒ º
½º Ü Ö

Ó× ÁÒØÖÓ Ù Ó ýÐ Ö Ä Ò Ö
½º º½ Ü Ö

Ó× Ü Ó
Ü Ö

Ó ½º Ø ÖÑ Ò × ÔÓÒØÓ¸ Ö Ø ÓÙ ÔÐ ÒÓ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ô Ð ´×µ ÕÙ ¹
Ó´ ×µ
´ µ x = 4 Ñ R2
´ µ x = −1 Ñ R ´
µ y = 3 Ñ R3
´ µ x + y = 2 Ñ R2
´ µ x − y = −1 Ñ R3
´ µ
x = 5
y = −2
Ñ R2
´ µ
x = −5
y = 2
Ñ R3
´ µ
x − y = −5
y = 2
Ñ R3
Ü Ö

Ó ¾º ÉÙ Ò Ó Ö ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ú ØÓÖ ×
ÓÑÓ × Ø Ò ×
´ µ Ó × Ú ØÓÖ × Ù × × Ó Ò
×× Ö Ñ ÒØ ´
Ó Ò
ÒØ ×¸ Ô Ö Ð ÐÓ×µ
´ µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k 1 Ó Ø ÑÓ× Ú ØÓÖ
ÓÑ ´Ñ ×ÑÓ¸ Ñ ÓÖ¸ Ñ ÒÓÖµ
Ø Ñ Ò Ó
ÓÑ ´Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó¸ × ÒØ Ó ÓÔÓ×ØÓµº
´
µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k = −1 Ó Ø ÑÓ× Ú ØÓÖ
Ø Ñ Ò Ó
´ µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k −1 Ó Ø ÑÓ× Ú ØÓÖ
Ø Ñ Ò Ó
´ µ Þ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ k¸
ÓÑ −1 k 0¸ Ó Ø ÑÓ× Ú ØÓÖ
ÓÑ ´Ñ ×ÑÓ¸
Ñ ÓÖ¸ Ñ ÒÓÖµ Ø Ñ Ò Ó
Ü Ö

Ó ¿º Ø ÖÑ Ò × ÔÓÒØÓ¸ Ö Ø ÓÙ ÔÐ ÒÓ
´ µ (1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 0) + (2, 1, 2, 2) ´ µ (1, 2, 0, 0), (0, 1, 0, 0) + (0, 0, 0, 0)
´
µ (1, 1, 1, 1) + (0, 0, 0, 0) ´ µ (0, 0, 0, 0) + (1, 1, 1, 1)
Ü Ö

Ó º Ë u
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v w ÒØ Ó¸ Ò
×× Ö Ñ ÒØ u Ô ÖØ Ò
´ µ Ö Ø Ö ÔÓÖ w ´ µ Ó ÔÐ ÒÓ Ö Ó ÔÓÖ v w
Ü Ö

Ó º Ë S ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÑ 5 Ú ØÓÖ × Ñ Rn
º Ø ÖÑ Ò × Î ÓÙ
´ µ × n = 3¸ ÒØ Ó S × ÑÔÖ Ä ´ µ × n = 4¸ ÒØ Ó S × ÑÔÖ Ö R4
º
½Î Ö× Ó ½ ºÅ Öº¾¼¼ ½

Ü Ö

Ó º ÓÑÔÐ Ø × Ð
ÙÒ ×
´ µ ×
ÒÒ
Ó R5
ε = { }
´ µ × β = {w1, w2, w3, w4} × Ó R4
u = w4 + 2w3 + 3w2 + 4w1¸
[u]β =







º
Ü Ö

Ó º ÓÒ× Ö S ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ò Ó Ú ØÓÖ ×º Ø ÖÑ Ò × Î ÓÙ
´ µ × ØÓ Ó Ú ØÓÖ ÙÑ ×Ô Ó ÔÓ × Ö ×
Ö ØÓ
ÓÑÓ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ×
S ÒØ Ó S ×
´ µ × S × ÒØ Ó S ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ú ØÓÖ ×
´
µ ×
ÓÓÖ Ò × ÙÑ Ú ØÓÖ × Ó × ÑÔÖ × Ñ ×Ñ ×¸ Ò Ô Ò ÒØ × º
½º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ×
ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë Ò Ó ÕÙ u = (2, 3)¸ v = (−1, 4) w = (−2, −1)¸ Ø ÖÑ Ò
´ µ u + 2v ´ µ u − v ´
µ 3u − 2v + w
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð
ÙÐ
´ µ (1, −2, 3, −2, 1) + (−1, 2, −3, 4, 0) =
´ µ −3(1, −2, 3, −2, 1) =
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ø ÖÑ Ò ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ô Ö × Ö Ø × ´ Ñ R2
µ
´ µ y − 2x = 5 ´ µ y = −1º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ô Ö × Ö Ø × ´ Ñ R3
µ
ÓÑ ÕÙ ×
ÖØ ¹
× Ò × × ÔÓÖ
´ µ
z − x = 1
x + y + z = 0
´ µ
x + y = 1
x − y = 1
´
µ
x = y
z = 0
º
× Ô Ö Ö Ø ´ Ñ R3
µ
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó× ÔÓÒØÓ× (2, −3, −1) (1, 2, 1)
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (−1, 2, −1) Ô Ö Ð Ð Ó Ú ØÓÖ (0, 0, 1)
´
µ ÕÙ Ô ÖØ Ò
Ó ÔÐ ÒÓ x − y = z − 1 Ó ÔÐ ÒÓ 3x − y + 1 = zº
× Ô Ö Ó× ÔÐ ÒÓ× ´ Ñ R3
µ
ÓÑ ÕÙ Ó
ÖØ ¹
× Ò ÔÓÖ
´ µ x + y − z = 2 ´ µ y − z = 0º
× Ô Ö Ó ÔÐ ÒÓ ´ Ñ R3
µ
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó× ÔÓÒØÓ× (1, 0, 1)¸ (0, 1, 1) (−1, 0, 0)º
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (3, 0, −1) × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÐÓ Ó× Ú ØÓÖ × (2, −1, 1)
(0, 1, −1) º
´
µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó× ÔÓÒØÓ× (1, 3, 2) (−1, 2, 1) Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ú ØÓÖ (1, −1, −1)º
´ µ ÕÙ
ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (−3, 1, 0) Ö Ø ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ



x = t + 1
y = 1 − t
z = t − 1
º
ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ× Ö Ö Ø r = (1, 2, 0, 0) + t(0, 1/2, 1, −1)º Ø ÖÑ Ò
´ µ ØÖ × ÔÓÒØÓ× ×Ø ÒØÓ× r ´ µ × (1, 4, 4, −4) ∈ r
´
µ × (1, 4, 3, 2) ∈ r ´ µ × r = (1, 4, 3, 2) + s(0, 1/2, 1, −1);
´ µ × r = (1, 4, −4, 4) + s(0, −2, −4, 4).
ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ× Ö Ó ÔÐ ÒÓ Π = (1, 1, 2, 0) + t(−1, 2, −1, 2) + s(1, 1, 1, 1) Ñ R4
º ¹
Ø ÖÑ Ò

Ç ü ýÄ Ê ÄÁÆ Ê ½
´ µ ÕÙ ØÖÓ ÔÓÒØÓ× ×Ø ÒØÓ× Π ´ µ × (2, 5, 3, 4) ∈ Π
´
µ × (1, 1, 3, 3) ∈ Π ´ µ × Π = (1, 1, 3, 3) + (−1, 2, −1, 2), (1, 1, 1, 1) º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ
Ô Ö Ó ×Ù ×Ô Ó Ñ
´ µ {(x, y, z, w) ∈ R4
| x − y + 3z − 2w = 4} ´ µ {(x, y, z, w, u) ∈ R5
| z − 3u = 5}º
ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ò×Ô Ó × ÄÁ
´ µ {(1, 2, 2, 3), (2, 4, 4, 5)} ´ µ {(−1, 2, 1, −3), (3, −6, −3, 9}
´
µ {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} ´ µ {(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (5, 4, 3, 2, 1)}º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Ø ÖÑ Ò ×
´ µ (1, 2, 3, 5) ∈ (1, 2, 3, 4) ´ µ (−1, 0, 0) ∈ (2, 1, 1), (3, 1, 1)
´
µ (−1, 0, 2) ∈ (2, 1, 1), (3, 1, 1) ´ µ R3
= (0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 1)
´ µ (2, 1, 2) = (2, −1, 2) º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º ÓÒ× Ö v = (4, −1, −1) β = {(1, −1, 0), (0, 1, −1), (0, 0, 1)}
´ µ ×
Ö Ú v
ÓÑÓ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó× Ú ØÓÖ × β
´ µ Ø ÖÑ Ò [v]ε ´ ×
ÒÒ
µ
´
µ Ø ÖÑ Ò [v]β
´ µ × Ò Ó ÕÙ [w]β =


2
−3
2

 Ø ÖÑ Ò [w]εº
½º º¿ ÜØÖ ×
ÜØÖ ½º Ë S ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÑ 5 Ú ØÓÖ × Ñ Rn
º Ø ÖÑ Ò × Î ÓÙ
´ µ × n = 7¸ ÒØ Ó S × ÑÔÖ ÄÁ ´ µ × n = 3¸ ÒØ Ó S ÔÓ Ö Ö Ó R3
ÜØÖ ¾º Ø ÖÑ Ò ÕÙ × Ô Ö Ñ ØÖ
× Ô Ö Ó×
ÓÒ ÙÒØÓ×
´ µ x = 3 Ñ R2
´ µ
2x − 3y + 5z = 1
x + y = 1
Ñ R3
´
µ x − 2y = 1 Ñ R3
´ µ 3x − 2z − 5 = 0 Ñ R3
ÜØÖ ¿º Ø ÖÑ Ò × ÔÓÒØÓ¸ Ö Ø ÓÙ ÔÐ ÒÓ
´ µ (1, 2, 1, 2, 1) + (0, 0, 0, 0, 0), (−1, 2, 1, 2, 1))
´ µ (1, 2, 1, 1) + (1, 2, 1, 3), (1, 2, 1, 4))
´
µ (1, 2, 1, 1) + (1, 1, 1, 1), (0, 2, 0, 2), (1, 3, 1, 3))
´ µ (2, 0, 2, 0) + (1, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 0)
´ µ (0, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 0))
´ µ v + u, −u, 3u
ÓÑ u = 0º

¾¼ È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í

Ô ØÙÐÓ ¾
Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö ×
Ó ÐÓÒ Ó ×Ø
Ô ØÙÐÓ ÔÖ Ò Ö ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ò Ó ÙÑ × ×Ø Ñ ÔÓ××Ù ×ÓÐÙ Ó Ò
¸
Ò Ò Ø × ×ÓÐÙ × ÓÙ Ò Ò ÙÑ ×ÓÐÙ Óº Å × Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ×ÓÐÙ Ó ´× Ò
µ
ÓÙ ×Ù ÖÑÙÐ Ö Ð ´× Ò Ò Ø ×µº Ë Ó Ó Ø ÚÓ× ×Ø
Ô ØÙÐÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö
´ µ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ
×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ × ´ Ñ ÓÖ × ÖÚ Ñ × Ô Ö ÑÓØ Ú Ó¸
ÔÓ × Ò Ó ÔÖ
× ÑÓ× Ð Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö × ×Ø Ñ ×µ
´ µ ÓÔ Ö × Ð Ñ ÒØ Ö × Ò Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ Ó × ×Ø Ñ × ×Ø Ñ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ×
´
µ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ñ Ò Ó Ù×× ´ ÓÖÑ ×
ÐÓÒ µ Ù××¹ÂÓÖ Ò ´ ÓÖÑ ØÓØ ÐÑ ÒØ
×
ÐÓÒ µ
´ µ ÒÓÚ × ÒØ ÖÔÖ Ø × Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ØÖ Þ¹Ú ØÓÖ ÑÔÐ
Ò Ó Ñ ÒÓÚ × ÒØ ÖÔÖ Ø ×
×ÓÐÙ × ÙÑ × ×Ø Ñ Ð Ò Öº
´ µ ×ÓÐÙ Ó × ÑÙÐØ Ò × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö ×
ÓÑ Ñ ×Ñ Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ ×
Ø Ó Ò Ð Ó
Ô ØÙÐÓ ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× Ó× × Ù ÒØ × Ø ÖÑÓ× Ø
Ò
Ó×
• Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ ¸
Ó
ÒØ × Ð Ó Ö ØÓ × ×Ø Ñ Ð Ò Ö
• Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ð¸ ØÖ Ò ÙÐ Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ ´ Ò Ö ÓÖµ
• × ×Ø Ñ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ×¸ ÓÔ Ö × Ð Ñ ÒØ Ö ×¸ Ô Ú×¸ ÓÖÑ ×
ÐÓÒ ØÓØ ÐÑ ÒØ
×
ÐÓÒ ¸
• Ú Ö Ú × Ô Ò ÒØ × Ð ÚÖ ×¸
• Ð Ñ Ò Ó Ù×× Ù××¹ÂÓÖ Ò
• × ×Ø Ñ
ÓÑ ×ÓÐÙ Ó Ò
¸ Ò Ò Ø × ×ÓÐÙ × Ò Ò ÙÑ ×ÓÐÙ Ó
• ÔÖÓ ÙØÓ ×
Ð Ö ÓÙ ÒØ ÖÒÓ
• Ô ÖÔÐ ÒÓ
• ×ÓÐÙ Ó ØÖ Ú Ð¸ Ô ÖØ
ÙÐ Ö Ö Ð ´
ÓÒ ÙÒØÓ¹×ÓÐÙ Óµ × ×Ø Ñ Ð Ò Ö¸ × ×Ø Ñ ÓÑÓ ¹
Ò Óº
¼Î Ö× Ó ½ º ÙÐº¾¼¼ ¼
¾½

¾¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë
¾º½ ÔÐ
× Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö ×
Ë ×Ø Ñ × Ð Ò Ö × Ô Ö
Ñ Ñ Ú Ö×Ó× Ø ÔÓ× ÔÐ
× Ò ×
¸ ÉÙ Ñ
Ò Ò Ö
ÒØÖÓ Ú Ö×Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÖ ÔÖ Å Ø Ñ Ø
º Î ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ö Ú Ö×Ó× Ü ÑÔÐÓ×
ÕÙ × ÖÚ Ñ ÑÓØ Ú Ó Ô Ö ×Ø ×ØÙ Óº Ç Ü ÑÔÐÓ Ø Ô
Ó Ó Ò× ÒÓ Ñ Ó Ò Ó
×Ù Ö Ò
×× ÑÙ Ø × ´Ñ Ð Ö × µ Ú Ö Ú ×º Ó Ò
ÐÙ Ó ×ÓÑ ÒØ Ô Ö
ÓÒØÖ ×Ø Ö

ÓÑ Ó× ÓÙØÖÓ×º
Ü ÑÔÐÓ À Ó × Ø ÔÓ× ÑÓ Ò ×Ø Ò Ù Ú ×¸ Ü
ØÓ Ô ÐÓ Ô ×Óº × Ñ Ø Ö Ð
Ô × Ñ ½¼
× Ñ Ø Ö Ð ¸ ¾¼
º Ë ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ ½¼¼ ÑÓ × Ô × ½º¾
Ã ¸ ÕÙ ÒØ × × Ó Ó Ñ Ø Ö Ð
x + y = 100
10x + 20y = 1250
.
Ü ÑÔÐÓ ¼
ÓÑ Ù×Ø Ó Ó ÔÖÓÔ ÒÓ ÔÖÓ ÙÞ Ü Ó
Ö ÓÒÓ Ù º Ò
ÓÒØÖ a¸ b¸ c
d ÓÖÑ Ð Ò
Ö ÕÙ Ó Ö Ó a 3À8 + b Ç2 −→ c Ç2 + d À2Çº
Ð Ò Ó 3a = ç Ð Ò Ó À 8a = 2d¸ Ð Ò Ó Ç 2b = 2c + d¸



3a +0b −1c +0d = 0
8a +0b +0c −2d = 0
0a +2b −2c −1d = 0
.
Ü ÑÔÐÓ ½ Ü ×Ø ÙÑ Ò
Ô Ö ÓÐ γ ÓÖÑ y = ax2
+bx+c Ô ×× Ò Ó Ô ÐÓ× ÔÓÒØÓ×
(0, 1)¸ (1, 3)¸ (2, 4) (3, 9) ×Ó Ò Ó Ü ×Ø ¸ ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ ×Ø ×
ÔÓÒØÓ×
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02
) + b(0) + c
(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12
) + b(1) + c
(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22
) + b(2) + c
(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32
) + b(3) + c
Ç Ø ÑÓ× ÙÑ × ×Ø Ñ
ÓÑ 4 ÕÙ × ¿ Ú Ö Ú × á, b, cµ



0a +0b +1c = 1
1a +1b +1c = 3
4a +2b +1c = 4
9a +3b +1c = 9
.
Ü ÑÔÐÓ ¾ Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ó

ÓÖÑ f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d ÕÙ Ñ Ð ÓÖ
ÔÖÓÜ Ñ ÙÒ Ó cos(x) ÒÓ× ÔÓÒØÓ× ki
ÓÑ i = 1, . . ., N Ń Ø Ó Ö Ò ÕÙ ÒØÓ × ÕÙ Ö µº
Ç × ÖÚ Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ø Ö



ak3
1 +bk2
1 +ck1 +d = cos(k1)
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
ak3
N +bk2
N +ckN +d = cos(kN )
.

¾º½º ÈÄÁ Ë ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ¾¿
Ü ÑÔÐÓ ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö ×ØÖ Ù Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÐ
Ö ¹
ÔÖ × ÒØ Ò ÙÖ ¾º½ × Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÚÓÐØ ×Ø ÔÐ
¸
ÓÒ ÓÖÑ Ò
Ó
Ò ÙÖ º È Ö ×ØÓ Ú ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ ÔÖ Ò
Ô Ó ×
Ó ÕÙ Ö ÒØ ´ ÓÖÑ ÔÖÓÜ Ñ µ
ÕÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÙÑ Ú ÖØ
Ù Ð Ñ × Ø ÑÔ Ö ØÙÖ × Ó× ÕÙ ØÖÓ Ú ÖØ
× Ñ ×
ÔÖ Ü ÑÓ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ a ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ù Ð (20 + 25 + b + d)/4º ÈÖÓ¹

Ò Ó ×Ø ÓÖÑ Ú ÑÓ× Ó Ø Ö ÕÙ ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ó
ÙÑ × Ú Ö Ú ×
(a, b, c, d, e, f) 


4a − b − d = 45
4b − a − c − e = 15
4c − b − f = 25
4d − e − a = 55
4e − b − d − f = 20
4f − c − e = 35
.
25o
15o
30o
20o
20o
25o
15o
20o
10o
15o
a
b
c
d
e
f
ÙÖ ¾º½ ÈÐ
ÕÙ
Æ ×Ø ÐØ ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÔÓ Ö ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö¸ Ó ÒÚ × ÙÑ Ñ Ð 4 × 5¸ ÙÑ Ñ Ð
100×100 ´ Ñ ØÓÖÒÓ 10 Ñ Ð Ú Ö Ú ×µº ÇÙ ÒØ Ó
ÓÒ× Ö Ö ×ØÖ Ù Ó
ÐÓÖ Ñ ÙÑ
Ô × Ð ¸
ÓÑ ØÖ × Ñ Ò× × ×Ô
×º Æ ×Ø
×Ó¸ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ Ñ Ð 100×100×100¸

ÑÓ×
Ö
1 Ñ Ð Ó Ú Ö Ú ×º ×Ø ÓÖÑ ×ÙÖ ¸ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ¸ Ö ×ÓÐÙ Ó
× ×Ø Ñ ×
ÓÑ ÑÙ Ø × ÕÙ × Ó Rn

ÓÑ n Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò º Ñ Ò× × ÑÙ ØÓ
Ö Ò × ×ÙÖ Ñ Ô Ð Ñ ×Ñ Ö Þ Ó Ñ Ú Ö×Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × ×
ÓÖ × ØÙ ÒØ × Ñ ÙÑ
Ô ÓÙ ÔÖ Ó¸ ÙÜÓ Ù Ñ ÙÑ
ÒÓ ÓÙ Ö Ó¸ Ø
º Ñ ØÓ Ó× ×Ø ×
×Ó× Ó Ñ Ó
ÓÒØ ÒÙÓ
×
Ö Ø Þ Ó Ñ Ñ Ð × ÓÙ ØÖ Ñ Ò× ÓÒ ×¸ Ð Ú Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Ö Ú ×
ÐÑ ÒØ Ô Ö
Þ Ò × Ñ Ð Ö × ÓÙ Ñ ×ÑÓ Ñ Ð × Ú Ö Ú ×º
Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÙÜÓ
ÖÖÓ× Ñ ÖÙ × Þ Ô ÖØ Ó ÔÐ Ò Ñ ÒØÓ ÙÖ ÒÓ
ÙÑ
º ÇÙØÖÓ× ÙÜÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × × Ó Ù ¸ Ò Ö ¸ Ñ Ö
ÓÖ ¸ ÓÙ ÝØ × ´ ÒØ ÖÒ Øµº
Æ ×× × × ×Ø Ñ × Ü ×Ø Ñ Ú × ´ÖÙ ×¸
ÒÓ×¸ ×ØÖ × ÓÙ Ó×µ ÕÙ ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ñ ×Ø × ÙÜÓ×
ÕÙ Ú Ñ × Ö ÔÐ Ò Ó× ÓÖÑ ×ÙÔÓÖØ Ö ×
Ô
×º ×Ø × ÔÖÓ Ð Ñ × × Ó ØÖ ÙÞ Ó×
Ñ × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö × ÕÙ Ú Ñ × Ö Ö ×ÓÐÚ Ó×º ÓÒ×ÙÐØ Ð ÚÖÓ× Ð Ö Ð Ò Ö ´ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ
Ä Ý ÓÙ Ä ÓÒ ÓÙ ÒØÓÒµ Ô Ö Ñ × Ø Ð × ×Ó Ö ×Ø × ÑÓ ÐÓ×º
Ü ÑÔÐÓ ÓÖ Ñ Ö Ð Þ × Ñ × Ó× Ñ Ò× ÓÒ × ´ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ×Ø Ò
Ô Ö
ÓÖÖ
ÓÒ×ÙÑÓ
ÓÑ Ù×Ø Ú Ð ÙÑ ÙØÓÑ Ú Ðµ Ó Ø Ò Ó¹× N ÔÓÒØÓ× (xi, yi) ÒÓ
ÔÐ ÒÓº Ë Ò Ó¹× ÕÙ Ö Ð Ó Ú × Ö Ð Ò Ö¸ ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ö Ø ÕÙ Ñ Ð ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ
×Ø Ö Ð Ó

¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë
ÈÖ
× ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö a, b ∈ R Ø Ð ÕÙ Ö Ø y = ax+ b Ô ×× Ó Ñ × Ô ÖØÓ ÔÓ×× Ú Ð ´ Ñ
× ÒØ Ó × Ö ÔÖ
× Óµ ØÓ Ó× Ó× ÔÓÒØÓ× (xi, yi)¸
ÓÑÓ Ò
Ó Ò ÙÖ ¾º¾º Ö ÔÓ×Ø
ØÖ Ú × Ó
Ñ Ó Ñ ØÓ Ó Ñ Ò ÑÓ× ÕÙ Ö Ó×¸ ÕÙ Ù×
Ñ Ð ÓÖ ×ÓÐÙ Ó ´
ÓÑ
Ñ ÒÓÖ ÖÖÓµ Ó × ×Ø Ñ
ÓÑ ¾ Ú Ö Ú × ´a, bµ N ÕÙ ×



ax1 + b = y1
º
ºº =
º
ºº
axN + b = yN .
x
y
ÙÖ ¾º¾ Ê Ø ÔÖÓÜ Ñ
Ü ÑÔÐÓ Ç Ú ØÓÖ (0, 6, 10)
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö (1, 2, 3)¸ (2, 1, 1) (4, −1, −3)
ÈÖ
× ÑÓ× × Ö Ü ×Ø Ñ α, β, γ Ø × ÕÙ
α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4, −1, −3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ, −γ, −3γ)
= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)
= (0, 6, 10).



1α +2β +4γ = 0
2α +1β −1γ = 6
3α +1β −3γ = 10
×Ø ÓÖÑ Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ
• × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö × ÑÓ Ð Ñ ÑÙ ØÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ø ÒØÓ×
• ÔÖÓ Ð Ñ × ýÐ Ö Ä Ò Ö Ö
Ñ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö × ÑÓ Ó ÕÙ ×
Ø
Ò
× Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ¹ÐÓ× ÒÓ×
ÓÑÔ Ò Ö Ó ÔÓÖ ØÓ Ó Ó
ÙÖ×Ó
•
ÐÑ ÒØ Ó× × ×Ø Ñ × ÔÓ Ñ Ø Ö Ñ Ð Ö × Ú Ö Ú × Ò ×Ø
×Ó Ø ÓÖ × Ö ÙÒ¹
Ñ ÒØ Ð Ô Ö × ÒØ Ò Ö × ×ÓÐÙ × ÕÙ × Ö Ó Ö × ÔÓÖ ×Ó ØÛ Ö ×
ÓÑÔÙØ Ó

ÒØ
º
¾º¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ
Î ÑÓ× ×
ÙØ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ ØÖ
Ñ ÒØ ×ÓÐÙ × × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö × Ñ R ´Ö Ø µ Ñ
R2
´ÔÐ ÒÓµº Æ Ë Ó ¾º Ö ØÓÑ ÑÓ× ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ
¸ Ò Ö Ð Þ Ò Ó¹ Ô Ö Rn
º
Ü ÑÓ× Ô Ö Ó× ÐÙÒÓ× ´ Ô Ö Ó× Ü Ö

Ó×µ ÔÐ
Ó Ñ R3
´ ×Ô Óµ ×Ø × ×º

Ç ÇÅ ÌÊÁ ¾
¾º¾º½ Æ Ê Ø ´Rµ
Î ÑÓ×
ÓÑ Ö
ÓÑ Ó × ×Ø Ñ Ñ × × ÑÔÐ × ÕÙ Ü ×Ø ÕÙ Ó × ×Ø Ñ 1 × 1 ´½ Ú Ö Ú Ð ½
ÕÙ Óµ Ø ÖÑ Ò x ∈ R Ø Ð ÕÙ
ax = b .
È Ö Ö ×ÓÐÚ ¹ÐÓ¸
ÓÒ× Ö ÑÓ× ØÖ ×
×Ó×
´ µ × a = 0 ÒØ Ó x = a−1
b × ×Ø Ñ
ÓÑ ×ÓÐÙ Ó Ò
´ µ × a = b = 0 ÒØ Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö x ∈ R ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ
ÓÑ Ò Ò Ø × ×ÓÐÙ ×
´
µ × a = 0 b = 0 ÒØ Ó Ò Ò ÙÑ x ∈ R ×ÓÐÙ Ó × ×Ø Ñ × Ñ ×ÓÐÙ Óº
Ç × ÖÚ Ó ½¿ ÙØ Ð Þ Ó
ÓÑÓ × ÒÒ ÑÓ Ú Ö Ú Ð Ó Ø ÖÑÓ Ò
Ò Ø º
Ð ××
Ö ÑÓ× Ó× × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö ×
ÓÑÓ × Ñ ×ÓÐÙ Ó¸
ÓÑ ×ÓÐÙ Ó Ò
ÓÙ
ÓÑ Ò ¹
Ò Ø × ×ÓÐÙ ×º ÆÓ Ò× ÒÓ Ñ Ó ÙØ Ð Þ ¹× ÓÙØÖÓ ÚÓ
ÙÐ Ö Ó ´ÕÙ Ò Ó ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ×µ Ô Ö

Ð ××
Ö¸ × ÙÒ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ×ÓÐÙ ×¸ Ó× × ×Ø Ñ × Ð Ò Ö ×º È Ö ÙÑ × ×Ø Ñ Ð Ò Ö
• × Ñ ×ÓÐÙ Ó Ò
ÓÑÔ Ø Ú Ð ÓÙ ÑÔÓ×× Ú Ð ÓÙ Ò
ÓÒ× ×Ø ÒØ
•
ÓÑ ×ÓÐÙ Ó
ÓÑÔ Ø Ú Ð ÓÙ ÔÓ×× Ú Ð ÓÙ
ÓÒ× ×Ø ÒØ
•
ÓÑ ×ÓÐÙ Ó Ò
´
ÓÑÔ Ø Ú Ð ÓÙ
ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÙ ÔÓ×× Ú Ð µ Ø ÖÑ Ò Ó
•
ÓÑ Ò Ò Ø × ×ÓÐÙ × ´
ÓÑÔ Ø Ú Ð ÓÙ
ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÙ ÔÓ×× Ú Ð µ Ò Ø ÖÑ Ò Ó
ÆÓ Ò× ÒÓ Ñ Ó ÔÖ Ò ÑÓ× Þ Ö ×Ø Ò Ð × Ô Ö × ×Ø Ñ × 2 × 2 3 × 3 ÓÖÑ
Ax = b¸
ÓÑ b ∈ R2
ÓÙ R3
º Ë det(A) = 0 ´× Ñ Ð Ö
ÓÒ Ó a = 0
Ñ µ¸ ÒØ Ó Ü ×Ø
×ÓÐÙ Ó Ò
x = A−1
bº ×Ó
ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ô Ò Ò Ó
ÓÒ × ÕÙ Ö Ð
ÓÒ Ñ A b¸
Ó × ×Ø Ñ ÔÓ××Ù Ò Ò Ø × ×ÓÐÙ × ÓÙ Ò Ó Ü ×Ø ×ÓÐÙ Óº
¾º¾º¾ ÆÓ ÈÐ ÒÓ ´R2
µ
ÆÓ × ×Ø Ñ
a11x + a12y = b1 (r1)
a21x + a22y = b2 (r2),

ÕÙ Ó Ö ÔÖ × ÒØ ÙÑ Ö Ø ´r1 r2µº Ê ¹
×ÓÐÚ Ö Ó × ×Ø Ñ ÕÙ Ú Ð Ù×
Ö ÒØ Ö× × ×Ø × Ö Ø ×º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ó × ×Ø Ñ ÔÓ × Ö
×
Ö ØÓ
ÓÑÓ
x
a11
a21
+ y
a12
a22
=
b1
b2
.
Ò Ò Ó Ú ØÓÖ ×
v1 =
a11
a21
, v2 =
a12
a22
, b =
b1
b2
,
Ö ×ÓÐÚ Ö Ó × ×Ø Ñ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ô Ö ÙÒØ Ö × b
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v1 v2¸ ×ØÓ ¸ ×
Ü ×Ø Ñ x, y ∈ R Ø × ÕÙ
xv1 + yv2 = b.
Ü ÑÔÐÓ ÓÒ× Ö Ó × ×Ø Ñ
1x +1y = 2 (r1)
1x −1y = 0 (r2)
.

Ò v1 =
1
1
, v2 =
1
−1
, b =
2
0
. ÙÖ ¾º¿ ÔÖ × ÒØ × Ù × ÒØ ÖÔÖ Ø ¹
× Ô Ö ×ÓÐÙ Ó ×Ø × ×Ø Ñ ¸ ÕÙ ÔÓ××Ù ×ÓÐÙ Ó Ò
Ù Ð Ó ÔÓÒØÓ (1, 1) ÒÓ Ð Ó
×ÕÙ Ö Ó ÒØ Ö× Ó Ù × Ö Ø ×¸ ÒÓ Ð Ó Ö ØÓ Ó × ÖÚ ÕÙ b
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ò
v1 v2 ´Ñ × Ü Ø Ñ ÒØ ¸ Ò ×Ø
×Ó b = 1v1 + 1v2µº
x
y
(2, 0)
r1
r2
(0, 2)
(0, 0)
(1, 1)
x
y
v1
v2
b
ÙÖ ¾º¿ ËÓÐÙ Ó Ò
1x −2y = 2 (r1)
−2x +4y = 2 (r2)
º
Ò v1 =
1
−2
, v2 =
−2
4
, b =
2
2
. ÙÖ ¾º ÔÖ × ÒØ × Ù × ÒØ Ö¹
ÔÖ Ø × Ô Ö ×ÓÐÙ Ó ×Ø × ×Ø Ñ ¸ ÕÙ × Ñ ×ÓÐÙ Ó ÒÓ Ð Ó ×ÕÙ Ö Ó Ù × Ö Ø ×
Ô Ö Ð Ð × ´ÔÓÖØ ÒØÓ × Ñ ÒØ Ö× Óµ¸ ÒÓ Ð Ó Ö ØÓ Ó × ÖÚ ÕÙ b Ò Ó
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö
v1 v2 ÔÓ × Ñ Ó× ×Ø Ó Ò Ñ ×Ñ Ö Ø º ÈÓÖØ ÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö
ÓÑ Ò Ó Ð ×
Ö Ò ×Ø
Ñ ×Ñ Ö Ø º
x
y
r1
(−1, 0)
(0, 1/2)
r2
(2, 0)
(0, −1)
x
y
v1
v2
b
ÙÖ ¾º Ë Ñ ËÓÐÙ Ó
1x −2y = 2 (r1)
−2x +4y = −4 (r2)
º
Ò v1 =
1
−2
, v2 =
−2
4
, b =
2
−4
. ÙÖ ¾º ÔÖ × ÒØ × Ù ×
ÒØ ÖÔÖ Ø × Ô Ö ×ÓÐÙ Ó ×Ø × ×Ø Ñ ¸ ÕÙ ÔÓ××Ù Ò Ò Ø × ×ÓÐÙ × ÒÓ Ð Ó ×ÕÙ Ö Ó
Ù × Ö Ø ×
Ó Ò
ÒØ ×¸ ÒÓ Ð Ó Ö ØÓ Ó × ÖÚ ÕÙ b ÔÓ × Ö ×
Ö ØÓ Ò Ò Ø × ÓÖÑ ×

Ç ÇÅ ÌÊÁ ¾

ÓÑÓ
ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö v1 v2 ÔÓ × Ó× ØÖ × ×Ø Ó Ò Ñ ×Ñ Ö Ø º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ¸ b =
0v1 − v2 = 2v1 + 0v2 = v1 − 1/2v2º Ç
ÓÒ ÙÒØÓ¹×ÓÐÙ Ó Ò ××
×Ó × Ö {(x, y) | x + y =
2} = {(t, 2−t) = (0, 2)+t(1, −1) | t ∈ R}º Æ Ð Ò Ù Ñ Ó Ô ØÙÐÓ ½¸ Ó
Ó ×Ù ×Ô Ó Ñ (0, 2) + (1, −1) º
x
y
r1 = r2
(2, 0)
(0, −1)
x
y
v1
v2
b
ÙÖ ¾º ÁÒ Ò Ø × ËÓÐÙ ×
Ñ Ö ×ÙÑÓ¸ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ¹×ÓÐÙ Ó ÙÑ × ×Ø Ñ Ð Ò Ö ÕÙ × Ø Ñ × ÑÔÖ
• ÓÙ ÙÑ Ò
×ÓÐÙ Ó
• ÓÙ Ò Ò ÙÑ ×ÓÐÙ Ó
• ÓÙ Ò Ò Ø × ×ÓÐÙ ×º
ÓÑÔ Ö
ÓÑ Ó
×Ó Ò Ó¹Ð Ò Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÙÖ ¾º º ×Ó × Ù×ÕÙ Ñ × ÒØ Ö× ×
Ù ×
ÙÖÚ × ÕÙ ×ÕÙ Ö ÒÓ ÔÐ ÒÓ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× Ø Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ×ÓÐÙ × Ñ ÓÖ ÕÙ
ÙÑ¸ ÒÓ
×Ó 5 ×ÓÐÙ ×º
ÙÖ ¾º Ë ×Ø Ñ Æ Ó¹Ð Ò Ö

¾º¿ ÇÔ Ö × Ð Ñ ÒØ Ö ×
Ò Ó ½ ´Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ ×¸ Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ Ð Ó Ö ØÓµ ÓÒ× Ö
Ó × ×Ø Ñ ¸
ÓÑ m ÕÙ × Ñ n Ú Ö Ú ×



a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2
º
º
º
º
º
º
º º º
º
º
º
º
º
º
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
Ò ÑÓ×
ÓÑÓ Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ ×¸ Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ Ó Ð Ó Ö ØÓ Ó × ×Ø Ñ
Ñ
× Ñ ØÖ Þ × Ò
× Ò ÙÖ ÜÓº
Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
ºº
º
ºº
º
º º º
ºº
º
m1 am2 · · · amn
Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ ×
b1
b2
ºº
º
bm





Ð Ó Ö ØÓ
ÆÓØ ÕÙ Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ × ÔÓ××Ù m Ð Ò × n
ÓÐÙÒ × ÕÙ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ñ × m ÕÙ ×
Ñ n Ú Ö Ú × Ó × ×Ø Ñ º
Ç × ÖÚ Ó ½ ÙØ Ð Þ Ó
ÓÑÓ × ÒÒ ÑÓ Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ Ó Ø ÖÑÓ Ñ ØÖ Þ Ñ¹
ÔÐ º

ÓÑÙÑ Ó Ù×Ó Ð Ò Ù Ñ
ÓÒ× Ö Ó × ×Ø Ñ A ¸ ÓÒ A Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ Ó
× ×Ø Ñ × Ö
ÓÒ× Ö Óº
ÉÙ Ò Ó Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ × ÔÓ××Ù Ð ÙÑ × ÓÖÑ × Ô ÖØ
ÙÐ Ö ×¸ Ó × ×Ø Ñ × ØÓÖÒ
ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ
Ð × Ö Ö ×ÓÐÚ Óº Ç ÔÖ Ñ ÖÓ
×Ó ÕÙ Ò Ó Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ ×
ÓÒ Ðº
Ò Ó ½ ´Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ðµ A ÓÒ Ð × aij = 0 Ô Ö ØÓ Ó i = j.
Ü ÑÔÐÓ ¼ Ë Ó Ñ ØÖ Þ × ÓÒ ×
1 0
0 3
,


−10 0 0
0 3 0
0 0 −5

 ,




3 0 0 0
0 −5 0 0
0 0 5 0
0 0 0 −3



 .
ÆÓ
×Ó Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ ÓÒ Ð ×ÓÐÙ Ó Ó × ×Ø Ñ Ñ Ø º
Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÒ× Ö Ó × ×Ø Ñ



3x1 = 5
−2x2 = 4
x3 = −2

Ù Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ


3 0 0 5
0 −2 0 4
0 0 1 −2

º Æ ×Ø
×Ó
Ð Ú Ö ÕÙ Ó
5
3
, −2, −2 º

¾º¿º ÇÈ Ê Ë Ä Å ÆÌ Ê Ë ¾
ÇÙØÖÓ
×Ó
Ð ÕÙ Ò Ó Ñ ØÖ Þ
Ó
ÒØ × ØÖ Ò ÙÐ Öº
Ò Ó ½ ´Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò ÙÐ Ö ×ÙÔ Ö ÓÖµ A ØÖ Ò ÙÐ Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ × aij = 0 Ô Ö
ØÓ Ó i j.
Ü ÑÔÐÓ ¾ Ë Ó ØÖ Ò ÙÐ Ö × ×ÙÔ Ö ÓÖ ×
5 2
0 3
,


−1 1 7
0 3 2
0 0 −1

 ,




3 12 0 −3
0 −5 3 0
0 0 5 −1
0 0 0 −3



 .
Ç × ÖÚ Ó ½ Ü ×Ø Ó
ÓÒ
ØÓ × Ñ Ð Ö Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÓÖ¸
Ù Ò Ó
Ü ÑÓ× Ô Ö Ó Ð ØÓÖº
ÉÙ Ò Ó Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò ÙÐ Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ ×ÓÐÙ Ó
Ð
ÙÐ ØÖ Ú × ×Ù ×Ø ØÙ Ó
Ô Ö ØÖ ×º ÓÑ Ò Ó¹× ÐØ Ñ ÕÙ Ó¸ ÓÒ × Ø ÖÑ Ò ÐØ Ñ Ú Ö Ú Ð¸ Ø ÖÑ Ò ¹
×
Ú Ö Ú Ð¸ ×Ù
×× Ú Ñ ÒØ ¸ ØÖ × Ô Ö Ö ÒØ º
Ü ÑÔÐÓ ¿ ÓÒ× Ö Ó × ×Ø Ñ



3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −5
2x3 = −2

Ù Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ


3 1 3 2
0 −2 1 −5
0 0 2 −2

 . Þ Ò Ó ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ô Ö ØÖ ×¸
Ð
ÙÐ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ x3 ÐØ Ñ
ÕÙ Óº ËÙ ×Ø ØÙ ÑÓ× × Ù Ú ÐÓÖ Ò × ÙÒ ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ× x2º Ò ÐÑ ÒØ ¸ ×Ù ×Ø ØÙ Ò Ó
x1 x2 Ò ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó¸
Ð
ÙÐ ÑÓ× x1
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1
−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
.
Î ÑÓ× Ú Ö
ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ× ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö ÙÑ × ×Ø Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒÙÑ × ×Ø Ñ ÓÒ Ð ÕÙ
ÔÓ××Ù Ó Ñ ×ÑÓ
ÓÒ ÙÒØÓ¹×ÓÐÙ Ó¸ ×ØÓ ¸
ÓÑÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö ÒÙÑ × ×Ø Ñ ÓÒ Ð ÕÙ Ú ¹
Ð ÒØ º
Ò Ó ½ ´× ×Ø Ñ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ×µ Ó × × ×Ø Ñ × ´Ò × Ñ ×Ñ × Ú Ö Ú ×µ × Ó ÕÙ Ú ¹
Ð ÒØ × × Ø Ñ Ó Ñ ×ÑÓ
ÓÒ ÙÒØÓ¹×ÓÐÙ Óº
Ü ÑÔÐÓ Ç× Ó × × ×Ø Ñ × ÙÖ ¾º × Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ×¸ Ñ ÓÖ
ÓÑ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ¹
× ×Ø ÒØ ×¸ ÔÓ × ÔÓ××Ù Ñ Ó Ñ ×ÑÓ
ÓÒ ÙÒØÓ¹×ÓÐÙ Ó {(1, 1)}º
×ØÖ Ø Ô Ö ËÓÐÙ Ó Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ö × Ù×
Ö ÙÑ × ×Ø Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ
Ð
• Ò ÓÖÑ ×
ÐÓÒ ´ Ø ÔÓ ØÖ Ò ÙÐ Öµ ÓÙ
• Ò ÓÖÑ ØÓØ ÐÑ ÒØ ×
ÐÓÒ ´ Ø ÔÓ ÓÒ Ðµº
È Ö ×ØÓ ÔÖ
× ÑÓ× Ú Ö
ÓÑÓ Ö Ö × ×Ø Ñ × ÕÙ Ú Ð ÒØ × ÙØ Ð Þ Ò Ó × ÓÔ Ö × Ð ¹
Ñ ÒØ Ö ×¸ ÕÙ × Ó ØÙ × Ò Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ ÙÑ × ×Ø Ñ º ×Ø × ÓÔ Ö × ÔÓ Ñ
× Ö Ú ×Ø × Ø Ñ Ñ
ÓÑÓ ÓÔ Ö × Ò × ÕÙ × Ó × ×Ø Ñ ¸ Ñ ÓÖ ÕÙ Ò Ó ØÙ ÑÓ× Ó×

Ð
ÙÐÓ× Þ ÑÓ× × ÓÔ Ö × Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ñ ØÖ Þ ÙÑ ÒØ º

Curso alglin livro-1a-edicao-jul-2008-265pp

Curso alglin livro-1a-edicao-jul-2008-265pp

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Destaque

Destaque (11)

Semelhante a Curso alglin livro-1a-edicao-jul-2008-265pp

Semelhante a Curso alglin livro-1a-edicao-jul-2008-265pp (20)

Curso alglin livro-1a-edicao-jul-2008-265pp