Las funciones exponenciales y logarítmicas...

1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES
FACULTAD DE MEDICINA HUMANA
FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARITMICAS
MATEMATICA APLICADA A LA MEDICINA
2015

2. FUNCION EXPONENCIAL
Conceptos previos de la teoría de exponentes
Potenciación:
Sea a ∈ R, n ∈ Z+ a n = a . a. a………….a
n factores
Propiedades:
1. an.am = a n+m 2.
𝒂 𝒏
𝒂 𝒎 = 𝒂 𝒏 − 𝒎
3. (a . b)n = an.bn 4. (a n)m = a n.m
5. entonces:
6. ∀ a ∈ R, a ≠ 0 a0 = 1
7. ∀ a ∈ R, a ≠ 0 , n ∈ Z+

3. FUNCION EXPONENCIAL
Ecuación Exponencial
Se considera así a toda expresión matemática cuya variable se
encuentra en el exponente.
Forma:
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES:
a) Bases Iguales : a = b
x = y
Ejemplo:
Hallar la solución de la siguiente ecuación: 3 𝑋2+4
=
1
3
𝑋−10
SOLUCION
3 𝑋2+4
= 3−1 𝑋−10
𝑋2
+ 4 = −𝑋 + 10
3 𝑋2+4
= 3 −𝑋+10
𝑋2
+𝑋 − 6 = 0
X = - 3 X = 2

4. FUNCION EXPONENCIAL
Exponentes Iguales :
Ejemplo:
Hallar la solución de la ecuación:
m + 5 = m + 5
x = - 15

5. FUNCION EXPONENCIAL
Bases y Exponentes Iguales :
Ejemplo:
Hallar la solución de la siguiente ecuación:

6. FUNCION EXPONENCIAL
Sea ¨b¨ un numero real donde b > 0 y b ≠ 1.
La función exponencial de base ¨b¨ es la función f: R R cuya
regla de correspondencia es:
𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 y 𝑥 ∈ 𝑅
Si: b >1 Si: 0 < b < 1
𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥
1 1
Función creciente Función decreciente

7. FUNCION EXPONENCIAL
Sea la función: 𝑓 𝑥 = 3 𝑥. Hallar el dominio, el rango y esbozar
el grafico.
Solución
-2 -1 1 2
Df: R
Rf: < 0; ∞ >
x 𝑓 𝑥 ( x , 𝑓 𝑥 )
- 2 1 / 9 ( - 2; 1/9)
- 1 1 / 3 ( - 1; 1/3)
0 1 ( 0; 1)
1 3 ( 1; 3)
2 9 ( 2; 9)
9
3
1

8. FUNCION EXPONENCIAL
Sea la función: 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥
. Hallar el dominio, el rango y
esbozar el grafico.
Solución
- 2 -1 1 2
Df: R
Rf: < 0; ∞ >
x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥
- 2 9 ( - 2; 9)
- 1 3 ( - 1; 3)
0 1 ( 0 ; 1)
1 1/3 ( 1; 1/3)
2 1/9 ( 2; 1/9)
9
3
1

9. FUNCION EXPONENCIAL
Graficar y determinar el dominio , rango y asíntota de la
siguiente función: 𝑓 𝑥 = 3 + 2 𝑥−2
Solución
3
-2 1 2 3 4
Df: R
Rf: < 3 ; ∞ >
x 𝑓 𝑥 ( x; 𝑓 𝑥 )
- 2 3 + 1/16 (-2; 49/16)
0 3 + 1/4 ( 0 ; 13/4)
2 3 + 1 ( 2 ; 4 )
3 3 + 2 ( 3 ; 5 )
4 3 + 4 ( 4 ; 7 )

10. FUNCION EXPONENCIAL
Determinar el dominio, rango, asíntota , asi mismo graficar la
función: 𝑓 𝑥 = 2 − 2 𝑥−2
Solución
2
1 2 3 4
Df: R
Rf: < - ∞; 2 >
x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 )
4 - 2 ( 4 ; - 2)
3 0 ( 3 ; 0 )
2 1 ( 2 ; 1 )
1 2 – 1/2 ( 1; 3/2)
0 2 – 1/4 (0 ; 7/4)

11. FUNCION EXPONENCIAL
Determinar el rango y la asíntota de la siguiente función.
𝑓 𝑥 =
1 + 2 𝑥+2 , 𝑥 ≤ −2
1 −
1
2
𝑥+2
, 𝑥 > −2
Solución
-4 -3 - 2 2
Df: R
Rf: < 0; 1> U < 1; 2] asíntota: y=1
x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 )
- 2 1 + 1 ( - 2; 2)
- 3 1+ ½ ( - 3; 3/2)
- 4 1+ 1/4 ( - 4; 5/4)
x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 )
- 2 1 - 1 ( - 2; 0 )
0 1 – 1/4 ( 0; 3/4)
2 1 – 1/16 ( 2; 1/16)
v
v
1
2
3/2

12. FUNCION EXPONENCIAL
FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
Esta función tiene como base al numero trascendente ℮ y cuya
regla de correspondencia es:
𝑓 𝑥 = ℮ 𝑥
Dominio de: 𝑓 𝑥 = R y Rango de 𝑓 𝑥 = < 0; ∞ >
Valor aproximado de ℮ = 2, 71828182847………
Entonces:
𝑓 𝑥 = ℮ 𝑥
𝑓 𝑥 = ℮−𝑥
Función creciente Función decreciente
11

13. FUNCION EXPONENCIAL
Hallar el dominio, rango, asíntota y grafico de la función:
𝑓 𝑥 = 3 − 2℮1−𝑥
Solución
3
1 2
D𝑓 𝑥 = R
R𝑓 𝑥 = < - ∞; 3 >
Asintota: y = 3
x 𝑓 𝑥 ( x ; 𝑓 𝑥 )
0 3 - 2e ( 0; - 2,41)
1 3 - 2 ( 1 ; 1)
2 3 – 2/e ( 2 ; 2,26)
2,26
1

14. FUNCION LOGARITMO
DEFINICIÓN DE LOGARITMO:
Sean los números reales “a” y “b”, si b > 0, b ≠ 1 y a >0,
al número real x se denomina logaritmo del número a en
base b y se denota por: Logb a = x si y solo si bx = a de
la definición se tiene:
Logb a = x bx = a
Donde:
b: Base del logaritmo
a: Número del logaritmo
x: Logaritmo de a en la base b

15. FUNCION LOGARITMO
Propiedades de los logaritmos
1. Sea la base real b, tal que b > 0 ; b ≠ 1
logb1 = 0 ; logb b = 1
2. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ˄ b ≠ 1
logb AB = logb A + logb B
3. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ; b ≠ 1
logb (
A
B
) = logb A – logb B
4. Sea A > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; n  R: logb An = n logb A
5. Sea B > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; c > 0 : logb B =
logC 𝐁
log 𝐂 𝐛
6. 𝒃log 𝒃 𝒙 = 𝒙 ; ∀ x > 𝟎

16. FUNCION LOGARITMO
Hallar los siguientes ejercicios:
a) log1
2
32
log1
2
32 = x 32 =
1
2
𝑥
25 = 2−𝑥 x = - 5
b) log1
3
2𝑥2
− 9𝑥 + 4 = −2
1
3
−2
= 2𝑥2 − 9𝑥 + 4
32 = 2𝑥2 − 9𝑥 + 4
2𝑥2 − 9𝑥 − 5 = 0
x = - ½ ∨ x = 5
Con estos valores ∶ 2𝑥2 − 9𝑥 + 4 > 0 entonces CS = { -1/2;5}

17. FUNCION LOGARITMO
Sea b un numero real, con b>0 y b≠ 1. La función logaritmo de
base b es la función inversa de la función exponencial y su regla
de correspondencia es:
𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑥
También podemos considerar: y= 𝑏 𝑥
y = 𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑥
Dominio 𝑓 𝑥 : < 0; ∞ > y= log 𝑏 𝑥
Rango 𝑓 𝑥 = R
-1
1
1

18. FUNCION LOGARITMO
𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑥 donde 0 < b < 1
y= 𝑏 𝑥
y = log 𝑏 𝑥
Dominio 𝑓 𝑥 : < 0; ∞ >
Rango 𝑓 𝑥 : R
Función decreciente
1
1

19. FUNCION LOGARITMO
1. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:
a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥 − 2
Solucion
Analizamos: x – 2 > 0
x = 2 (asíntota)
2 3
D𝑓 𝑥 = < 2 ; ∞ >
R𝑓 𝑥 = R

20. FUNCION LOGARITMO
b) 𝑓 𝑥 = 2 − log2 𝑥 + 3
Solucion
Asintota: x + 3 > 0
x > -3
1
-3 -1 1
D𝑓 𝑥 = < - 3; ∞ >
R 𝑓 𝑥 = R

21. FUNCION LOGARITMO
c) 𝑓 𝑥 = − 3 − 2 ln 𝑥 + 1
Solucion
Asintota: x + 1 > 0
x > - 1
1. 71828
D𝑓 𝑥 : < - 1; ∞ >
R 𝑓 𝑥 : R
-5
-1