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- 1. LEIDY YULIETH ARANGO YEPES KEIDY ALEXANDRA GARCÍA CAMPOS JUAN MANUEL RUIZ MANUELA CARO RAMIREZ JOSE ERNEY TANGARIFE HERRERA
- 3. Veamos
- 21. Tabla de contenidos 02 05 01 03 Definición Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo Razones trigonométricas derivadas Razones trigonométricas de los ángulos más importantes 04 Ejemplos de ejercicios resueltos con razones trigonométricas
- 22. Definición 01
- 23. Las razones trigonométricas de un ángulo son las razones que se obtienen a partir de los tres lados de un triángulo rectángulo. Dicho de otro modo, son los valores que resultan de comparar por medio de cocientes (divisiones) sus tres lados. Aunque cabe destacar, que estas razones solamente existen en los triángulos rectángulos (triángulos que tienen un ángulo de 90º). El origen etimológico de las dos palabras que le dan forma: ● Razones deriva del latín, de “ratio”, que es sinónimo de “razón”. ● Trigonométrico, por su parte, tiene un origen griego. Significa “relativo a la trigonometría”, y está compuesta de los siguientes elementos de esa lengua: el sustantivo “trigonon”, que puede traducirse como “triángulo”; el nombre “metron”, que equivale a “medida”, y el sufijo “-ico”, que significa “relativo a”.
- 24. Las seis razones trigonométricas más importantes son: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. A continuación, explicaremos en gran detalle cómo se define cada una de estas razones y hablaremos sobre la fórmula que las caracteriza. Para poder entender las siguientes explicaciones tomaremos en cuenta el siguiente triángulo rectángulo:
- 25. Seno El seno de un ángulo (sen o sin) es igual al cociente del cateto opuesto (a) entre la hipotenusa (c), por lo tanto, la fórmula del seno es la siguiente: sen (α) = a / c. Es muy importante conocer esta definición de seno, ya que, esta es la base de toda la trigonometría, al igual que las otras razones que comentaremos en este apartado. A través del teorema del seno, podemos calcular cualquier lado del triángulo, esto lo podemos hacer relacionando los cocientes de un determinado ángulo entre su lado correspondiente. Por ejemplo, si queremos calcular el lado a y tenemos los valores del lado b y de los ángulos A y B, podemos hacerlo usando la fórmula: a / sen (A) = b / sen (B). Resolviendo esta sencilla ecuación obtenemos el valor correspondiente a la variable que queremos calcular..
- 26. Coseno El coseno de un ángulo (cos) es igual al cociente del cateto contiguo (b) entre la hipotenusa (c), por lo tanto, la fórmula del coseno queda así: cos (α) = b / c. En este caso, la fórmula está compuesta por los dos lados del triángulo que están en contacto con el ángulo que queremos estudiar, en este ejemplo, el ángulo A o α. Tenemos una manera de calcular los lados del triángulo, que es a partir del teorema del coseno. Este nos permite relacionar los lados con los ángulos y nos ofrece las siguientes tres expresiones: a² = b² + c² – 2bc · cos (A) b² = a² + c² – 2ac · cos (B) c² = a² + b² – 2ab · cos (C)
- 27. Tangente La tercera razón más importante, con la cual cerraremos el conjunto de razones originales, es la tangente (tan o tg). Esta se calcula haciendo la división entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo (b), por lo tanto, la fórmula de la tangente nos queda así: tan (α) = a / b. A continuación, puedes verlo de manera gráfica: La tangente también tiene un teorema propio, el cual se llama teorema de la tangente. Este nos permite relacionar las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los ángulos. El enunciado es el siguiente: «el cociente de la suma de dos lados entre su resta es igual al cociente entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de estos».
- 29. A partir de las tres razones trigonométricas que acabamos de comentar, podemos obtener otras razones trigonométricas derivadas. Estas se obtienen al hacer la razón inversa respecto al seno, coseno y tangente. Cosecante: es la razón inversa del seno y se calcula con las fórmulas: cosec (α) = c / a y cosec (α) = 1 / sen (α). Secante: es la razón inversa del coseno y se calcula con las fórmulas: sec (α) = c / b y sec (α) = 1 / cos (α). Cotangente: es la razón inversa de la tangente y se calcula con las fórmulas: cotg (α) = b / a y cotg (α) = 1 / tan (α).
- 30. 04 Razones trigonométricas de los ángulos más importantes
- 31. Existen una serie de ángulos, llamados ángulos notables, los cuales son los más comunes en la trigonometría. Es muy recomendable saberse sus razones trigonométricas de memoria. Por lo tanto, a continuación hemos creado una tabla que contiene las razones trigonométricas de estos ángulos y de sus derivados (mismos ángulos, pero con una diferencia de 90, 180 o 270 grados):
- 33. Calcula las seis razones trigonométricas del ángulo 225º: Empezaremos calculando el ángulo (α), el cual es igual a: 180 + α = 225º, por lo tanto, α = 45º. sen (225) = sen (180 + 45) = -sen (45) = -√2/2 cos (225) = cos (180 + 45) = -cos (45) = -√2/2 tan (225) = tan (180 + 45) = tan (45) = 1 Ejercicio 1
- 34. Calcula las seis razones trigonométricas del ángulo 120º: Empezaremos calculando el ángulo (α), el cual es igual a: 180 – α = 120º, por lo tanto, α = 60º. sen (120) = sen (180 – 60) = sen (60) = √3/2 cos (120) = cos (180 – 60) = -cos (60) = -1/2 tan (120) = tan (180 – 60) = -tan (60) = -√3 Ejercicio 2
- 37. Teorema o ley de senos Este teorema se implementa para los casos uno (ALA) y el caso dos (LLA) Sea el triángulo ABC, de lados a, b y c cuyos ángulos son ∡𝐴, ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶 respectivamente, se cumple: 𝒂 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏 𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝑪 𝑺𝒆𝒏 𝑨 𝒂 = 𝑺𝒆𝒏 𝑩 𝒃 = 𝑺𝒆𝒏 𝑪 𝒄
- 38. * * *Ejemplo_ _ _
- 39. Teorema o ley de cosenos Este teorema se implementa para los casos tres (LLL) y el caso cuatro (LAL) Sea el triángulo ABC, de lados a, b y c cuyos ángulos son ∡𝐴, ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶 respectivamente, se cumple: 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝐁 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑪
- 40. * * *Ejemplo_ _ _ Resuelve el triangulo ABC según los datos de la imagen
- 45. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS a b c 2 2 2 c b a 2 2 2 2 2 2 c c c b c a 1 c b c a 2 2 De acuerdo al Teorema de Pitágoras dividiendo entre 2 c de donde 1 cos sen 2 2 por tanto
- 47. DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Para demostrar una proposición trigonométrica debe transformarse, ya sea por sustituciones de cualquiera de las fórmulas o por pasos algebraicos válidos, de manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir, que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo escrito del lado derecho. Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se debe llegar a: Una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo. A cualquiera de las fórmulas trigonométricas.
- 52. IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE ANGULOS
- 53. IDENTIDADES DE ANGULOS DOBLES Y MEDIOS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO MEDIO
- 54. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ¿Qué son las ecuaciones trigonométricas? En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas. Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.