ISCE

1. BASE Y DIMENSION DE LOS
ESPACIOS VECTORIALES
Abel Rivera Valdez
Manuel Alejandro Garza Guevara
Eduardo David Martínez Hernández
José Rodolfo Juárez Faisal

2. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Un conjunto de vectores B=(u1, u2, . . . , uk)
forman una base del espacio vectorial V si: Los
vectores de B pueden generar todo el espacio
vectorial V

3. Dada una base
B=(u1, u2, . . . , uk)
Y un vector V, este se puede escribir de la
siguiente forma:
V=a1*u1 + a2*u2+ . . . + ak*uk
Los números a1,a2, . . . ,ak reciben el nombre de
coordenadas del vector V

4. • Todos los elementos de la base (B) deben ser
linealmente independientes (no debe haber
combinaciones lineales entre los elementos).
• Los vectores linealmente independientes
tienen distinta dirección y sus componentes
no son proporcionales.
• El rango de una matriz es igual al número de
vectores independientes.

5. Dimensión
• La dimensión de un espacio es el número
máximo de vectores linealmente
independientes que este contiene.

6. • Si el número de vectores es finito, la
dimensión es un número natural y se dice que
la base es finita.
• De lo contrario se llama base infinita del
espacio.
• Todas las bases tienen la misma cantidad de
elementos.

8. Ejemplo
• El vector V=(10,2) expresado en la base
B=(u1,u2) siendo u1=(1,2) y u2 =(2,1) es:
(10,2)= a1*(1,2) + a2*(2,1)= (a1 +2a2)(2a1+a2)
a1 +2a2 =10 a1 +2a2=10 2a2 =12 a2=6
2a1+a2=2 (-2) = -4a1-2a2=-4 = -3a1=6 a1=6/-3=-2
Las coordenadas del vector V en la base B son -2
y 6

9. DIMENSION DE UN ESPACIO
VECTORIAL
• La dimensión de un espacio vectorial no nulo
V es el número de vectores en una base para
V. Con frecuencia escribimos dim V para la
dimensión de V. Como el conjunto {0} es
linealmente dependiente, es natural decir que
el espacio vectorial {0} tiene dimensión 0.

10. Todo conjunto de vectores linealmente
independientes en Rn forma una base en Rn.
Rn se define:
e1=(1,0,0,0,…,0)
e2 =(0,1,0,0,…,0)
e3.=(0,0,1,0,…,0)
en=(0,0,0,0,…,1)
A esta base se le llama base canónica o de Rn.
Las bases canónicas generan todo el espacio
vectorial de acuerdo el número de elementos que
tenga R

11. • IR2= 1 0 IR3= 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
IR4= 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

12. DIMENSION DE UN ESPACIO
VECTORIAL
• La definición de dimensión es la misma para
un espacio vectorial que para un subespacio
de Rn: el número de vectores en una base
para el espacio.
• Dado que un espacio vectorial puede tener
más de una base, es necesario demostrar que
esta definición tiene sentido

13. BIBLIOGRAFIA
• David Poole. (2011). Algebra Lineal. Trent
University : 3°
•
Bernard Kolman, David R. Hill . (2006). Algebra
Lineal. Escuela de Actuaría-Universidad
Anahuac: Pearson