Este documento presenta conceptos básicos de funciones de una variable real como números reales, intervalos, inecuaciones lineales y cuadráticas, funciones y cómo determinar su dominio y rango. Explica qué es una función y cómo representarla, define dominio y rango, y proporciona ejemplos de funciones polinomiales, racionales y radicales, con ejercicios para que el estudiante practique determinando dominios y rangos.

1. M.Sc. FredySuntaxi – CALCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
UNIDAD N° 2
Funciones de una variable real
Números Reales.
A los Números Reales en mapa conceptual tenemos:
Propiedades de los números reales.
Las propiedades sonconocidas tambiéncomoaxiomas ysonlas siguientes:
Intervalos.
Un intervalo es un subconjunto de la recta real.
Inecuaciones Lineales.
Resolver las siguientes desigualdades, determine el conjuntosolucióncon su respectivo
gráfico.
1) 2𝑥 − 4 < 12 3) −6 < 3𝑥 − 2 ≤ 12
2) 2𝑥 + 5 ≥ 2𝑥 − 9 4) 3 ≤ 5𝑥 ≤ 2𝑥 + 11
Inecuaciones Cuadráticas.
Resolver las siguientes desigualdades, determine el conjunto solución puntos
referenciales y tabla de signos, con su respectivo gráfico.
1) 𝑥2
− 4𝑥 + 3 > 0 3) 𝑥2
− 6𝑥 < −9
2) 4𝑥2
+ 9𝑥 ≤ 9 4) 𝑥2
− 6𝑥 ≤ −9
Inecuaciones con valor absoluto.
Determine el conjuntosoluciónde las siguientes inecuaciones con valor absoluto.
1) |
2−3𝑥
5
| ≥ 2 3) |𝑥 − 9| < 0
2) |
3−2𝑥
4
| < 5 4) |𝑥2
− 9| ≤ 0
En el caso de ser una inecuación irracional o de radicales tenemos:
1) Si tenemos, √𝑥 − 1 para que
existe en los reales debe ser
mayor e igual que cero.
Ejem:
√𝑥 − 1 ≥ 0
2) Si tenemos,
1
√𝑥−1
para que
existe en los reales debe ser
mayor que cero el
denominador.
Ejem:
√𝑥 − 1 > 0
3) Si tenemos, √𝑥 − 1 ±
√𝑥 + 2 para que exista en los
reales debe ser mayor e igual
que cero cada uno de los
radicales y luego se debe
realizar una intersección.
NUMEROS
NATURALES
(𝑎, +∞)

2. M.Sc. FredySuntaxi – CALCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
FUNCIÓN O APLICACIÓN
Definición.- Una función 𝑓 es una reglade correspondencia que asocia a cada objeto 𝑥
del conjuntollamado dominioun valor único 𝑓(𝑥) de unsegundo conjunto. El conjunto
de valores así obtenidos se llama rango de la función.
Gráficamente
Recordar 𝒇: 𝑨 → 𝑩 (función de A en B)
Notación funcional.- Se usa una sola letra
como 𝑓, o 𝑔, o ℎ para denominar una
función. Entonces 𝑓(𝑥) se lee “𝑓 de 𝑥” o
“𝑓 en 𝑥” designa el valor que 𝑓 asigna a
𝑥.
𝒇: 𝑨 → 𝑩
𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Ejemplos:
1) Para 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 determine y simplifique:
a) 𝑓(4)
b) 𝑓(−2)
c) 𝑓(𝑏)
d) 𝑓(4 + ℎ)
e) 𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(ℎ)
f)
𝑓(4+ℎ)−𝑓(ℎ)
ℎ
2) Para 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
determine y simplifique:
a) 𝑔(4)
b) 𝑔(−2)
c) 𝑔(𝑏)
d) 𝑔(𝑎 + ℎ)
e) 𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑔(ℎ)
f)
𝑔(𝑎+ℎ)−𝑔(ℎ)
ℎ
Dominio de una función. - Conjunto formadopor todos los elementos del conjunto de
partida que posee una imagenenel conjuntode llegada. También se lo conoce como
conjunto de preimágenes.
Se representa como 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = {𝑥 ∈ 𝐴 / ∃!𝑦 ∈ 𝐵, 𝑦 = 𝑓(𝑥) }.
Rango de una función. - Conjunto formadopor todos los elementos del conjunto de
llegada que sonimagende algún elemento del conjunto de salida. También se lo
conoce como recorrido o conjunto de imágenes.
Se representa como 𝑹𝒂𝒏𝒈(𝒇) = {𝑦 ∈ 𝐵 / ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥) }.
1
4
9

3. M.Sc. FredySuntaxi – CALCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Ejercicios:
Determine el dominio y rango de las siguientes funciones:
Polinomiales Racionales Radicales
1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3
2) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 2
3) 𝑦 = ℎ(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 − 3
4) 𝑓(𝑥) =
2
𝑥
5) 𝑔(𝑥) =
𝑥+2
𝑥−3
6) ℎ(𝑥) =
𝑥+2
𝑥2−9
7) 𝑦 =
𝑥2−4
𝑥2+1
8) 𝑦 = √9 − 𝑥2
9) 𝑦 =
2
√𝑥−1
10) 𝑦 = √
1−𝑥
𝑥+2

4. M.Sc. FredySuntaxi – CALCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Tarea en casa.
Se mantiene las indicaciones de la primera unidad.
Preguntas plateadas.
Parte 1: Inecuaciones
Determine el conjunto solución de las inecuaciones.
a) 6 − 2𝑥 ≤ 𝑥 − 9
b) 𝑥2
− 6𝑥 > −9
c) 𝑥2
− 6𝑥 ≥ −9
d) |
4−𝑥
6
| < 2
Pate 2: Dominio y rango
Analice y determine el dominio y rango de las funciones.
a) 𝑦 = 𝑥2
− 2
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
− 2𝑥 − 1
c) 𝑔(𝑥) =
3
𝑥−2
d) ℎ(𝑥) =
𝑥+1
𝑥2−4
e) 𝑦 =
𝑥2−2
𝑥2+4
f) 𝑦 = √𝑥2
− 4
g) 𝑦 =
2
√3−𝑥
a) 𝑦 = √
2−𝑥
𝑥+3
Parte 3: Investigación
Investigar el dominio y rango de la función logarítmica y exponencial .
a) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥)
b) 𝑦 = 𝑒𝑥
c) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥− 2)
d) 𝑦 = 𝑒𝑥+1