Ejercicios resueltos de la materia de Algebra lineal.

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2. Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmindt
1. Para cada una de las bases que se proporcionan, aplicar el procedimiento de Gram-Schmidt para determinar una base ortonormal.
a. Base formada por los vectores (0,1,1),(1,1,0),(1,0,1).
Para la matriz positiva definida encuentre la descomposición aplicando el método de Cholesky.
Aplique el método de Cholesky para encontrar la descomposición en las matrices LLt. para las siguientes matrices.
Matrices simétricas y ortogonales
1. ¿Cuáles de las siguientes matrices son simétricas?
a. b. c.
2. Determinar cuáles de las siguientes matrices son ortogonales. Si es ortogonal encuentre su inversa.

3. a. b. c.
3. ¿Cuáles de las siguientes matrices son simétricas?
a. b. c.
4. Determinar cuáles de las siguientes matrices son ortogonales.
a. b. c.

4. Avance del proyecto final
a. In vestigue cuadrados mágicos de cualquier tamaño n x n en internet o algún libro de Álgebra lineal. Proporcione dos ejemplos de un
cuadrado mágico de tamaño 3 x 3, 4 x 4 y 5 x 5.
b. Una matriz A de tamaño n x n se llama cuadrado mágico si la suma de las entradas en cada renglón, en cada columna y en ambas
diagonales es la misma. A esta suma se le conoce como el peso de la matriz A.
Verifique con los ejemplos que proporciono en el punto anterior, el cumplimiento de que el peso de las matrices es:
n(n 2+1)/2
c. Determine el cuadrado mágico de tamaño 3 x 3 cuyo último renglón es el vector (4,9,2). Es decir,
a b c
d e f
4 9 2
Para este problema señale el sistema de ecuaciones lineales que planteo y su procedimiento de solución.

5. Diagonalización
1.
Determine si la matriz es diagonalizable. En caso afirmativo, encuentre una matriz que diagonalice a y determine .
a. b.
c. d.
2.
Determine si la matriz es diagonalizable. En caso afirmativo, encuentre una matriz que diagonalice
a y determine .
a.
b.
c.

6. Entrega del proyecto final.
Pruebe que no existen cuadrados mágicos de tamaño 2 x 2. Considere la matriz
a 11 a 12
a 21 a 22
como un cuadrado hipotético. Señale el sistema de ecuaciones lineales y el procedimiento de solución.
b. Centraremos nuestra atención en encontrar una forma de describir todos los cuadrados mágicosde tamaño 3 x 3. Las condiciones
sobre los renglones, columnas y diagonales dan origen a un sistema de ecuaciones lineales homogéneas en las variables a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 . Consideremos la matriz de tamaño 3 x 3.
Muestre el sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el procedimiento y la solución. Señale todos los cuadrados mágicos de
tamaño 3 x 3.
c. Con el procedimiento señalado en la animación genere un solo cuadrado mágico de tamaño 7 x 7. Muestre el procedimiento llevado
a cabo y el cuadrado mágico de tamaño 7 x 7.