Área existente debajo de una función positiva, por encima del eje X y definida en un intervalo

1. ÁREA BAJO UNA CURVA

2. OBJETIVO GENERAL
Calcular el área de una región acotada por una función definida en un intervalo y que está por
encima del eje X usando el concepto de lı́mite.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1 Reconocer lo que significa una suma superior y una suma inferior como área existente
debajo de una función y por encima del eje X.
2 Aproximar el área de una región acotada utilizando las sumas de Riemann.

3. CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN
2 TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
3 EL ÁREA BAJO UNA CURVA

4. INTRODUCCIÓN
Usando la geometrı́a, se puede hallar el área de figuras planas conocidas y de aquellas que tiene
tres dimensiones. (Ver Figura 1)
FIGURA 1: Figuras Geométricas

5. INTRODUCCIÓN
En la geometrı́a euclideana, el tipo más simple de región plana es un rectángulo, cuya área se
calcula de la forma (A = b·h). De esta expresión, se pueden deducir fórmulas para determinar
el área de otras regiones, tales como el área de un triángulo, pentágono, hexágono, etc. Con-
cretamente, el área de un polı́gono que tiene más de cuatro lados, se calcula dividiéndolo en
triángulos y sumando las áreas de esos triángulos. (Ver Figura 2)
FIGURA 2: Área de polı́gonos

6. INTRODUCCIÓN
Para empezar, considere la función continua f(x), formada por segmentos rectilı́neos, la cual
está definida en el intervalo [0, 14]. (Ver Figura 3)
FIGURA 3: Función f(x)

7. INTRODUCCIÓN
Se desea calcular el área de la región acotada por la función f(x) definida en el intervalo [0, 14]
y el eje X. (Ver Figura 4)
FIGURA 4: Región Sombreada

8. INTRODUCCIÓN
Para ello, es necesario dividir la región acotada en regiones, donde claramente se pueda hallar
el área fácilmente por medio de rectángulos o triángulos. (Ver Figura 5)
FIGURA 5: Región Sombreada

9. INTRODUCCIÓN
Por tanto, el área de la región sombreada equivale a la suma de (Ver Figura 6)
A = a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6
FIGURA 6: Región Sombreada

10. INTRODUCCIÓN
Sin embargo, en esta presentación se dará conocer una forma concreta de calcular el área de
cualquier región plana acotada, particularmente de aquellas regiones que tienen lados curvos.
(Ver Figura 7)
FIGURA 7: Área bajo la curva

11. INTRODUCCIÓN
NOTA: Es importante tener presente que en estos momentos esta-
mos interesados en la región acotada por la función f(x), el eje X,
las rectas x = a y x = b, pero que se encuentra por encima del eje
X, como lo visto en la Figura 7

12. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
TÉCNICA DE APROXIMACIÓN POR MEDIO DE RECTÁNGULOS
Para hallar una “aproximación” del área bajo la función f(x) definida en el intervalo [a,b] y que
se encuentra por encima del eje X, se construye un número n de rectángulo de igual base que
estén debajo de la función f(x) cuya condición es que un vértice de cada rectángulo esté sobre
la misma función. (Ver Figura 8)
FIGURA 8: La suma de las áreas de todos los rectángulos que se encuentran debajo de la
función, es conocida como Suma Inferior

13. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
TÉCNICA DE APROXIMACIÓN POR MEDIO DE RECTÁNGULOS
También se puede construir rectángulos de igual base que se encuentren, todos ellos, por encima
de la función, pero con un vértice sobre la misma función. (Ver Figura 9)
FIGURA 9: La suma de las áreas de todos los rectángulos que se encuentran por encima de la
función, es conocida como Suma Superior

14. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
EJEMPLO: TÉCNICA DE APROXIMACIÓN POR MEDIO DE RECTÁNGULOS
Estimar (Aproximar) el área que se encuentra por encima del eje X y está acotada por la función
f(x) = 2x2 +1, x = −1 y x = 1. (Ver Figura 10)
FIGURA 10: Aproximación del área bajo la curva

15. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
SOLUCIÓN: TÉCNICA DE APROXIMACIÓN POR MEDIO DE RECTÁNGULOS
Para empezar, se construyen 4 rectángulo (n = 4) que se encuentren tanto por encima de la
función f(x) como por debajo. Posteriormente, se calcula la Suma Inferior y la Suma Superior.
(Ver Figura 11)
FIGURA 11: Aproximación del área

16. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
SOLUCIÓN: TÉCNICA DE APROXIMACIÓN POR MEDIO DE RECTÁNGULOS
Por tanto, la Suma Inferior (denotada por Al) y la Suma Superior (denotada por As) darán una
idea de cuál será el área bajo la curva. (Ver Figura 12) Es decir,
Al ≤ Área de la región ≤ As
Por tanto,
2.5 ≤ A ≤ 4.5

17. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
SOLUCIÓN: TÉCNICA DE APROXIMACIÓN POR MEDIO DE RECTÁNGULOS
2.5 ≤ A ≤ 4.5
FIGURA 12: Comparación enta Suma inferior y la superior

18. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
Se obtienen estimaciones mejores si se incrementan a 20 el número de franjas para la suma
inferior y superior (Ver Figura 13)
FIGURA 13: Comparación entre la Suma inferior y la superior con n = 20

19. TÉCNICA DE APROXIMACIÓN
Se obtienen estimaciones mejores si se incrementan a 100 el número de franjas para la suma
inferior y superior (Ver Figura 14)
FIGURA 14: Comparación entre la Suma inferior y la superior con n = 100

20. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
Sea f(x) definida en el intervalo [a,b] que se encuentra por encima del eje X. Si queremos
calcular el área bajo la curva, se puede aplicar la idea anterior. Es decir, se puede dividir la
región S (Región de color amarillo) en n subregiones S1,S2,...,Sn. (Ver Figura 15)
FIGURA 15: Región dividida en n rectángulos

21. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
donde
∆x =
b−a
n
x0 = a
x1 = a+∆x
x2 = a+2∆x
.
.
.
xn = b

22. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
DEFINICIÓN
Sea f(x) una función continua y no negativa en el intervalo [a,b]. El área de la región limitada
por la gráfica de f(x), el eje X y las rectas verticales x = a y x = b es
Área = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
f(xi)·∆x, donde ∆x =
b−a
n
(Ver Figura 16)
FIGURA 16: Área de la región acotada

23. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
EJEMPLO
Encuentre el área de la región limitada por la gráfica f(x) = x3, el eje X y las rectas verticales
x = 0 y x = 1. (Ver Figura 17)
FIGURA 17: Área bajo la curva de f(x) = x3

24. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
SOLUCIÓN
Para calcular el área, es necesario identificar cada uno de los elementos que conforman la ex-
presión
Área = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
f(xi)·∆x, donde ∆x =
b−a
n
De acuerdo con la información, se tiene lo siguiente
a = 0, b = 1
∆x =
b−a
n
=
1
n
xi = a+i·∆x = 0+i·
1
n
f(xi) =
i
n
3

25. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
Por tanto, el área de la región limitada por la gráfica f(x) = x3, el eje X y las rectas verticales
x = 0 y x = 1, se calcula ası́:
A = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
f(xi)∆x = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
i
n
3
1
n
= lı́m
n→∞
1
n4
n
∑
i=1
i3
= lı́m
n→∞
1
n4
n2(1+n)2
4
= lı́m
n→∞
1
4
+
1
2n
+
1
4n2
=
1
4

26. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
EJEMPLO
Encuentre el área de la región limitada por la gráfica f(x) = 4−x2, el eje X y las rectas
verticales x = 1 y x = 2 (Ver Figura 18).
FIGURA 18: Área bajo la función f(x) = 4−x2

27. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
SOLUCIÓN
Para calcular el área, es necesario identificar cada uno de los elementos que conforman la
expresión
Área = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
f(xi)·∆x, donde ∆x =
b−a
n
De acuerdo con la información, se tiene lo siguiente
a = 1, b = 2
∆x =
b−a
n
=
1
n
xi = a+i·∆x = 1+i·
1
n
f(xi) = 4−
1+
i
n
2

28. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
Por tanto, el área de la región limitada por la gráfica f(x) = 4−x2, el eje X y las rectas verticales
x = 1 y x = 2, se calcula ası́:
A = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
f(xi)∆x = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
4−
1+
i
n
2
!
1
n
= lı́m
n→∞
n
∑
i=1
3−
2i
n
−
i2
n2
1
n
= lı́m
n→∞
1
n
n
∑
i=1
(3)−
2
n2
n
∑
i=1
(i)−
1
n3
n
∑
i=1
(i2
)
!
= lı́m
n→∞
3−
1+
1
n
−
1
3
+
1
2n
+
1
6n2
= 3−1−
1
3
=
5
3

29. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
EJERCICIO
Determine, en cada uno de los siguientes ejercicios, el área de la región acotada por la función
f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b
1 f(x) = 3x−x2 a = 2, b = 3
2 f(x) = x3 −x2 a = 0, b = 1
3 f(x) = 7−3x a = 3, b = 5

30. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
Bibliografı́a
1 Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (7.a ed., p. 360-
367). México: CENGAGE Learning.
2 Thomas, G. (2010). Cálculo 1. De una variable. (12.a ed., p. 246-248). México: Pearson.
3 Larson, R. (2010). Cálculo 1. De una variable. (9.a ed., p. 261-267). México: McGraw
Hill.