1. UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHOUNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALESFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESASADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
SEDE: BARCELONASEDE: BARCELONA
CATEDRA: MATEMATICA IICATEDRA: MATEMATICA II
INTEGRALESINTEGRALES
Profesora:
Lizmary Gil Participantes:
Adriana Guaregua C.I. 15.705.378
Andy Maestre C.I. 14.320.26
Barcelona,

2. LA INTEGRACIÓN
Es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los
campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma
de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las
matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la
ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de
áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de
Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la
derivación y la integración
INTEGRALES DEFINIDAS
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la
integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las
líneas verticales x = a y x = b.
Se representa por .
∫ es el signo de integración.
“a” límite inferior de la integración.

3. “b” límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral
definida se descompone como una suma de dos integrales
extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a
la suma de integrales
5. La integral del producto de una constante por una función
es igual a la constante por la integral de la función.

4. INTEGRAL INDEFINIDA
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una
función.
No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no
existir otra que la tenga por derivada.
Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única,
sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una
cantidad constante.
En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues bien, la
función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función
primitiva de ƒ(x), ya que:
[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x)
El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se denomina
integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por:
∫f(x)dx
De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la
diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una
dada.
∫dx = x+C
LINEALIDAD DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma
de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
L a i n t e g r a l d e u n a c o n s t a n t e e s i g u a l a l a c o n s t a n t e p o r x .

5. Ejemplo:
Integral de cero
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Para la resolución de integrales se utilizan diferentes artificios de cálculo, cuyo objeto
es transformar la expresión a integrar en otra, u otras, de integración más sencilla. A
dichos artificios se les denominan métodos de integración. En este tema vamos a
estudiar los siguientes:
- Integración por descomposición en sumandos.
- Integración por cambio de variable.
- Integración por partes.
- integración de funciones racionales.
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN DE SUMANDOS
Como su nombre indica, este método consiste en descomponer en sumandos la integral
a resolver aplicando a continuación las propiedades anteriormente enunciadas.
Ejemplo:
Desarrollando la potencia del binomio y aplicando las propiedades anteriormente
expuestas se obtiene:

6. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN
Un método útil en ocasiones es el de cambio de variable o sustitución. Este consiste, en
líneas generales, en tomar una nueva variable, t, tal que x= g(t) sea una función
continua y que admita función inversa: t = g-1(x)
De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, función de la nueva
variable t.
Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla de
integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para
elegir la sustitución adecuada de la variable.
Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable
substituyendo t = g (x).
Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x.
INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean u = u(x), v = v(x) dos funciones variables en un intervalo [a,b] (o en todo R).
Como
d(u · v) = u · dv + v · du
de donde

7. u · dv = d(u · v) - v · du
INTEGRANDO LOS DOS MIEMBROS DE LA IGUALDAD
La expresión obtenida, denominada fórmula de integración por partes, se utiliza para
transformar una integral en otra. Transformación que será útil como método de
integración cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o, al menos, más
sencilla que la del primer miembro.
Al igual que en el método anterior, no existe normativa alguna que sirva para determinar
qué integrales es conveniente resolver por partes, como tampoco para una vez
adoptado este método fijar qué factor debe hacerse igual a u.
FRACCIONES RACIONALES PROPIAS
En este caso el método a seguir es su descomposición en fracciones simples, dado que
se demuestra que toda fracción racional propia se puede descomponer en fracciones
racionales simples.
El primer paso a realizar es descomponer factorialmente el denominador, g(x).
Puede ocurrir que existan raíces reales simples, raíces reales múltiples, raíces
complejas simples o raíces complejas múltiples.
Según los distintos casos se tienen las siguientes descomposiciones:

8. CASO DE FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS
INTEGRALES EN EL CONTEXTO LABORAL
Para un completo desempeño profesional, el estudiante de Ciencias Administrativas,
Económicas y Contables debe desarrollar su capacidad de análisis, de raciocinio y de
deducción, para lo cual debe tener un dominio de los principios fundamentales de la
matemática que le serán útiles en el contexto laboral.
Los avances culturales, científicos, tecnológicos y de comunicación dependen del uso
de símbolos; los símbolos utilizados se hacen cada vez más abstractos. Dependiendo
de los conceptos a que se refieren los símbolos y sus relaciones pueden estudiarse
dentro del marco de la lógica y no se requiere la matemática. Pero cuando los símbolos
representan conceptos cuantitativos, es cuando las matemáticas resultan útiles e
indispensables para analizar sus relaciones. La matemática es una rama de la lógica
que posee una estructura sistemática dentro de la cual se pueden estudiar las
relaciones cuantitativas.
Las Matemáticas Aplicadas difieren de las Matemáticas Puras en un aspecto muy
importante: en la segunda, los símbolos representan conceptos abstractos cuyas
propiedades se fijan por definición, mientras que en la primera, muchos símbolos
corresponden a variables que se observan en el mundo real.
En las Matemáticas Aplicadas es posible determinar la precisión empírica de las
deducciones; por tanto, el análisis según las Matemáticas Aplicadas se basa en
hipótesis y definiciones determinadas de manera empírica, a partir de las cuales se
obtienen, por deducción, conclusiones verificables también empíricamente.

9. Justifica la implementación de las Matemáticas Aplicadas en el contexto de formación
académica de la Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables, de la
Universidad Cooperativa de Colombia, el nexo que genera la matemática pura con las
aplicaciones generadas en el mundo profesional de los estudiantes, inmersa en los
campos del conocimiento de cada programa, ya que los profesionales requieren de
criterios matemáticos a nivel de aplicaciones para poder proponer cambios a nivel
nacional e internacional y generar soluciones a las exigencias del mercado.
BIBLIOGRAFÍA
• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an
Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-
00005-1.
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En
particular los capítulos III y IV.
• Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th
edición). McGraw-Hill. p. 359. ISBN 978-0-07-305189-5.
• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open
Court Publishing. pp. 247–252. ISBN 978-0-486-67766-8.
http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp.

10. Justifica la implementación de las Matemáticas Aplicadas en el contexto de formación
académica de la Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables, de la
Universidad Cooperativa de Colombia, el nexo que genera la matemática pura con las
aplicaciones generadas en el mundo profesional de los estudiantes, inmersa en los
campos del conocimiento de cada programa, ya que los profesionales requieren de
criterios matemáticos a nivel de aplicaciones para poder proponer cambios a nivel
nacional e internacional y generar soluciones a las exigencias del mercado.
BIBLIOGRAFÍA
• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an
Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-
00005-1.
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En
particular los capítulos III y IV.
• Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th
edición). McGraw-Hill. p. 359. ISBN 978-0-07-305189-5.
• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open
Court Publishing. pp. 247–252. ISBN 978-0-486-67766-8.
http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp.