1. Kalkulus I
1 HIMPUNAN
1.1 PENDAHULUAN
• Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu.
• Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S.
• Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∈ S dan dibaca “a elemen S”.
• Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∉ S dan dibaca “a bukan elemen S”.
• Cara menyatakan himpunan adalah dengan:
1. Mendaftar seluruh anggotanya.
Contoh 1.1
Himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2. Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan
tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut.
Notasi = { x| syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Contoh 1.2
A = {x | x bilangan bulat positif kurang dari 10}
G adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, dinyatakan
G = {x|x adalah himp bil bulat positif lebih kecil dari 5}, atau dalam notasi lebih ringkas G =
{x|x ∈P,x < 5}
1.2 MACAM-MACAM PENYAJIAN SUATU HIMPUNAN
• Diagram Venn Menyajikan himpunan secara grafis
Contoh 1.3
Jika U= {1,2,…,7,8} A={1,2,3,5} B={2,5,6,8} dan dinyatakan dalam bentuk diagram Venn
adalah sebagai berikut.
Kardinalitas
• Kardinalitas dari himpunan A adalah jumlah elemen dari Himpunan A.
Notasi n(A) atau │A│
Lukmanulhakim Almamalik I-1

2. Kalkulus I
Contoh 1.4
A = { x│x merupakan bilangan genap pertama < 7 }, maka n(A) = 3 (menyatakan jumlah
elemen dari himpunan A)
Himpunan Kosong
• Himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota atau himpunan dengan kardinal = 0,
disebut himpunan kosong (null set).
Notasi: { } atau Ø
Contoh 1.5
A = himpunan software aplikasi yang dapat dipakai dengan semua sistem operasi.
A = { } atau Ø
Himpunan Bagian
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian B, jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan
anggota dari B.
Notasi: A ⊂ B
Contoh 1.6
Jika A = {1, 2, 3} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5}, maka dapat kita nyatakan bahwa A⊂ B.
A⊂A
Ø⊂A
Himpunan Sama
• Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A
Notasi: A = B
Contoh 1.7
Jika A= { 2, 4, 5 } ; B = { 2, 4, 5 } ; C={ 4, 5 }, maka A = B; A ≠ C; B ≠ C
• Tiga prinsip yang perlu diketahui:
1. Urutan elemen tidak penting.
Contoh 1.8
{2, 4, 5} = {4, 2, 5} = {2, 5, 4}
2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan 2 buah himpunan.
Contoh 1.9
{ 5, 5, 5,5 } = { 5, 5,5} = { 5 }
3. Untuk 3 himpunan A, B, dan C, maka berlaku:
• A = A; B = B dan C = C
• Jika A = B, maka B = A
• Jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan Ekivalen
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B
⇔ n (A) = n (B)
Notasi: A ∞ B ⇔ n(A) = n(B)
Lukmanulhakim Almamalik I-2

3. Kalkulus I
Contoh 1.10
A = { pisang, apel, jeruk, rambutan } → n(A) = 4
B = { Ita, Adi, Eko, Nia} → n(B) = 4
A∞B
Himpunan Saling Lepas
• Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang
sama
Notasi: A // B
Contoh 1.11
Jika A = { x | x Є P, x<7} dan B = { x | x Є Q , x > 10}
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau A // B
Himpunan Kuasa
• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
Notasi: P(A)
n(P(A)) = 2n(A)
1.3. OPERASI PADA HIMPUNAN
• Irisan
Definisi: Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan
elemen dari himpunan A dan himpunan B.
Notasi: A ∩ B = { x │ x ∈ A dan x ∈ B}
Contoh 1.12
a. Irisan dalam himpunan saling lepas adalah himpunan kosong.
b. A = {(x,y)│ x+y = 7, x,y ∈ P} dan
B = {(x,y)│x-y = 3,x,y ∈ P}, maka A ∩ B = {(5,2)}
• Gabungan
Definisi gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan
elemen dari himpunan A atau himpunan B.
Notasi: A ∪ B = { x│ x ∈ A atau x ∈ B}
Contoh1.13
A = { 1, 4, 5 } ; B = { 2, 4, 6, 7 }
A ∪ B = { 1, 2, 4, 5, 6, 7}
• Komplemen
Definisi: komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu
himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi: AC = { x│ x ∈ U dan x ∉ A }
Contoh 1.14
Diketahui bahwa U = { 1, 2, 3, 4,...,9}
jika A = {2, 4, 6}, maka AC = {1, 3, 5, 7, 8, 9}
Lukmanulhakim Almamalik I-3

4. Kalkulus I
• Selisih
Definisi selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
elemen A dan bukan elemen B atau komplemen himpunan B relative terhadap himpunan A.
Notasi: A – B = { x│x ∈ A dan x ∉ B} = A∩BC
Contoh 1.15
A = {1, 2, 3, . . . .,10}; B = { 2, 4, 6, 8, 10}
A - B = {1, 3, 5, 7, 9};
B - A= { }
• Beda Setangkup
Definisi: Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada
pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya
Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A-B) ∪ (B-A)
Contoh 1.16
A= { 2, 4, 6}; B = {2, 3, 5}
A ⊕ B = { 4, 6, 3, 5}
Beberapa operasi antar himpunan
A∪Ø=A
Hukum Identitas A∩U=A
A⊕Ø=A
A∩Ø=Ø
Hukum Null A∪U=U
A ⊕A=Ø
A∪Ā=U
Hukum Komplemen
A∩Ā=Ø
A∪A=A
Hukum Idempoten
A∩A=A
Hukum involusi (A) = A
A ∪ (A∩B) =A
Hukum penyerapan
A ∩ (A ∪ B) =A
A∪B=B∪A
Hukum komutatif
A ∩ B= A ∩B
A ∪ (B ∪ C) =A ∪ (B ∪ C)
Hukum Asosiatif
A ∩ (B ∩ C) =A ∩ (B ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Hukum Distributif
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A∩B=A∪B
Hukum De Morgan
A∪B=A∩B
Ø=U
Hukum 0/1
U=Ø
Lukmanulhakim Almamalik I-4

5. Kalkulus I
Latihan 1.1
1. Diketahui dari mahasiswa informatika berjumlah 600 mahasiswa, dengan 256 mahasiswa
menguasai sistem operasi linux; 354 mahasiswa menguasai sistem operasi windows; 150
mahasiswa menguasai linux dan windows; 200 mahasiswa menguasai sistem operasi unix; 100
mahasiswa menguasai ketiga sistem operasi.
a. Berapa mahasiswa yang tidak menguasai ketiga sistem operasi tersebut?
b. Berapa mahasiswa yang hanya menguasai sistem operasi windows, tetapi tidak menguasai
linux dan unix?
2. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan sistem operasi produksi Microsoft dan
himpunan-himpunan lainnya dinyatakan oleh:
A = { WinME, Win2000, WinXP,. . . }
B = { Win3.1, Win3.11, Win95, Win97}
C = { Win97, Win98 , Win98SE, WinME }
Carilah:
a. (A ∪ B) – B b. ( A ∩ B ) ∪ C’
c. ( A ⊕ B )- C d. ( B-C) ⊕ A
e. (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)’ f. (A-B) ∩ C’
g. 2n(A) h. 2n(B) i. n ( A ∪ B) j. n (A ∩ B)
3. Tuliskan himpunan-himpunan berikut dengan metoda pendaftaran dan metoda pensyaratan
atau kedua-duanya.
a. Himpunan bilangan asli ≤ 20
b. A = { 2,4,6,8,10,12}
4. Jika A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,4} dan C= {2,4,5}, tentukan hubungan yang benar di antara
hubungan-hubungan berikut:
a. A ⊂ B b. A ⊂ C c. B ⊂ A d. B ⊂ C e. C ⊂ A f. C ⊂ B
Lukmanulhakim Almamalik I-5