Relación binaria entre conjuntos

1. ALGEBRA I,
LUIS ANTONIO SIZA CARDENAS.
RELACIONES BINARIAS
ENTRE COJUNTOS

2. DEFINICION:
Relación Binaria: Sean A y B dos conjuntos. Una
relación (binaria) R de A en B es un subconjunto de A x B:
R ⊂ A x B = {(a; b)/a ∈ A; b ∈ B}
Escribiremos a R b para indicar que (a; b) ∈ R y a R b para
expresar que (a; b) ∉ R. Si a R b diremos que a está relacionado
con b.
Si R es una relación de A en sí mismo, i.e., R ⊂ A x A,
diremos que es una relación en A.

3. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
BINARIAS:
1. Reflexividad:
R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R.
2. Irreflexividad:
R es irreflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∉ R
3. Simetría:
R es simétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R.

4. 4. Asimetría:
R es asimétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∉ R.
5. Antisimetría:
R es antisimétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y.
6. Transitividad:
R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R.

5. DOMINIO DE UNA RELACION.
Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el
conjunto de todas las primeras componentes de los pares
ordenados que pertenecen a R, en símbolos:
DR = Dom(R) = {a ∈ A : (a, b) ∈ R para algún b ∈ B}

6. RANGO DE UNA RELACION.
El rango de R es el conjunto de todas las segundas
componentes de los pares ordenados que pertence a R, en
símbolos:
RR = Rgo(R) = {b ∈ B : (a, b) ∈ R para algún a ∈ A}

7. EJEMPLO DE RELACIONES BINARIAS
ENTRE COJUNTOS.
Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras,
gallinas}. Escribir la relación R de A a B definida por:
(a, b) ∈ R ⇔ a es producido por b
Solución:
La relación sería:
R = {(huevos, gallinas),(leche, vacas),(leche, cabras)}

8. EJEMPLO DE RELACIONES BINARIAS
ENTRE COJUNTOS.
Sea A = {1, 2, 3} y R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2)}. R es una
relación en A ya que es un subconjunto de A × A. Con respecto
a esta relación, tendremos que
1R2, 1R3, 3R2,
pero
1 R 1, 2 R 1, 2 R 2, 2 R 3, 3 R 1, 3 R 3.