Calculo II (1-2016)(1er parcial).pdf

1
CÁLCULO II
Ing. Química - Alimentos - Industrial
Preparación para el primer parcial (Corregido)
Santiago Relos P.
Cochabamba- Enero 2016

2
CÁLCULO II QUIMICA-ALIMENTOS
Facultad de Ciencias y Tecnología
DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:...........................
CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. a) (Producto interior) Si ~
c = 10 y ~
d = 8 calcular −5~
c + 8~
d
2
si además se sabe que el ángulo
entre los vectores es θ = 30◦
b) (Fuerzas) Una plataforma debe soportar el peso de1 bolsas de cemento, cada bolsa pesa 45 Kg,
La plataforma se cuelga como se muestra en la gr’afica, hallar las tensiones en cada uno de los
cables.
~
T1
58◦
~
T2
53◦
Amaru-Soft
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (6, 24, 23), B = (7, 28, 15),C = (4, 18, 14). Hallar la
recta bisectriz que pasa por A.
3. (Planos) Considere el plano P: −15x + 10y − 6z − 158 = 0, en este plano se dan los puntos
A = (−6, 8, 2) y B = (−36, −10, 47). Se pide determinar puntos X, Y , C y D de este plano tal que
ABYCDX esté formado por un rectángulo de de altura 57 y un trapecio isósceles de altura 57, (ver
figura).
A B
C D
Y
X
57
57
19
Amaru-Soft
Escala x 1 : 9.5, y 1 : 57
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: 9x2
− 6x + 3z + 6 = 0.
5. a) (Curvas) Hallar la función cuya gráfica es la curva que resulta de la intersección del plano
6x+4y+z-24=0 y el cilindro 9x2
+ 4y2
− 108x − 64y = −544. Sug. Complete cuadrados en el
cilindro y emplee las funciones seno y coseno.

3
b) (Proyectiles) Se desea diseñar una empacadora que lance paquetes como se muestra en el gráfico.
(a) Determinar la velocidad v0 en función de θ. (b) Hallar el ángulo θ para el cual v0 es mínima.
~
v0
θ
4.7 m
2.2 m
Sug. Ecuaciones del proyectil: x = v0t cos θ, y = −
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
...................4.42e+31................... 1
1
S.Relos Programa AMARU (fase alpha),12-Jan-2016 22:46:12, Tiempo:0.073 Seg.

4
Soluciones 2
c = 10 y ~
d = 8 calcular −5~
c + 8~
d
2
Sol.: −5~
c + 8~
d
2
= −3200
√
3 + 6596,
cables.
~
T1
58◦
~
T2
53◦
Amaru-Soft
Sol.: Vectores tensión:~
T1 =-
45 cos(53◦
)
sen(111◦)
cos(58◦
)~
i+
45 cos(53◦
)
sen(111◦)
sen(58◦
)~
j,
~
T2 =
45 cos(58◦
)
sen(111◦)
cos(53◦
)~
i+
45 cos(58◦
)
sen(111◦)
sen(53◦
)~
j. Tensiones: T1=29.0084, T2=25.5429
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (6, 24, 23), B = (7, 28, 15),C = (4, 18, 14). Hallar la
recta bisectriz que pasa por A.
Sol.: L = {(6, 24, 23) + t(−7, −10, −169)}
3. (Planos) Considere el plano P: −15x + 10y − 6z − 158 = 0, en este plano se dan los puntos
A = (−6, 8, 2) y B = (−36, −10, 47). Se pide determinar puntos X, Y , C y D de este plano tal que
ABYCDX esté formado por un rectángulo de de altura 57 y un trapecio isósceles de altura 57, (ver
figura).
A B
C D
Y
X
57
57
19
Amaru-Soft
Escala x 1 : 9.5, y 1 : 57
Sol.: Una solución es: X = (−24, −37, −28), Y = (−54, −55, 17), C = (−52, −88, −43), D = (−62, −94, −28),
otra solución es: X = (12, 53, 32), Y = (−18, 35, 77), C = (20, 92, 77), C = (10, 86, 92)
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: 9x2
− 6x + 3z + 6 = 0.
Sol.: Superficie cilíndrica con directriz una parábola en el plano xz
+ 4y2
− 108x − 64y = −544. Sug. Complete cuadrados en el
cilindro y emplee las funciones seno y coseno.
Sol.: Cilindro:
(x − 6)2
4
+
(y − 8)2
9
= 1, Ecuaciones paramétricas: x = 6 + 2 cos θ, y = 8 + 3 sen θ,
z = −44 − 12 cos θ − 12 sen θ.
2

5
~
v0
θ
4.7 m
2.2 m
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
Sol.: (a)v2
0 =
216.7029
4.4 cos2 θ − 9.4 sen θ cos θ
(b) θmn = 57.5418◦
.

6
Tiempo: 80 minutos
x = 2 y ~
y = 2 calcular −8~
x − 4~
y
2
b) (Fuerza resultante) Si kak = 100N, kbk = 60N, kck = 48N, ángulo entre el eje x y ~
a = 290
,
β = 180
, γ = 190
, Calcular la magnitud de la fuerza resultante de las tres fuerzas que se muestran
a continuación.
x
87.5
y
48.5
100N
29◦
60N
18◦
48N
19◦
Amaru-Soft
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (2, 2, 3), B = (−8, −5, 7), C = (−7, −4, 6). Hallar la
recta altura que pasa por B.
3. (Planos) Considere el plano −3x − 6y − 2z + 29 = 0. En este plano se toman los puntos A = (5, 1, 4),
B = (−1, 3, 7). Determinar puntos C y D tales que ABCD sea un rectángulo de lados ||AB| | y 21.
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por:−5x2
− 2y2
− 30x + 4y − 3z = 47
4x+2y+z-8=0 y el cilindro x2
+ y2
− 12x − 14y = −84. Sug. Complete cuadrados en el cilin-
dro y emplee las funciones seno y coseno.

7
~
v0
θ
6.2 m
3.3 m
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
...................1.21e+38................... 3
3

8
Soluciones 4
x = 2 y ~
y = 2 calcular −8~
x − 4~
y
2
Sol.: −8~
x − 4~
y
2
= 128
√
2 + 320,
b) (Fuerza resultante) Si kak = 100N, kbk = 60N, kck = 48N, ángulo entre el eje x y ~
a = 290
,
β = 180
, γ = 190
, Calcular la magnitud de la fuerza resultante de las tres fuerzas que se muestran
a continuación.
x
87.5
y
48.5
100N
29◦
60N
18◦
48N
19◦
Amaru-Soft
Sol.: ~
F = (182.8599, 1.0528), Magnitud = 182.8629.
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (2, 2, 3), B = (−8, −5, 7), C = (−7, −4, 6). Hallar la
recta altura que pasa por B.
Sol.: L = {(−8, −5, 7) + t (−2, 1, −4)}
x
y
z
Recta altura
A
B
C
3. (Planos) Considere el plano −3x − 6y − 2z + 29 = 0. En este plano se toman los puntos A = (5, 1, 4),
B = (−1, 3, 7). Determinar puntos C y D tales que ABCD sea un rectángulo de lados ||AB| | y 21.
Sol.: (a) Una solución es: C = (11, −8, 22), D = (5, −6, 25), (b) otra solución es: C = (−1, 10, −14),
D = (−7, 12, −11).
x
y
z
A
B
C
D
~
n
4

9
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por:−5x2
− 2y2
− 30x + 4y − 3z = 47
Sol.: Parabolide con eje paralelo al eje z.
+ y2
− 12x − 14y = −84. Sug. Complete cuadrados en el cilin-
dro y emplee las funciones seno y coseno.
Sol.: Cilindro:
(x − 6)2
1
+
(y − 7)2
1
= 1, Ecuaciones paramétricas: x = 6 + cos θ, y = 7 + sen θ,
z = −30 − 4 cos θ − 2 sen θ.
~
v0
θ
6.2 m
3.3 m
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
Sol.: (a)v2
0 =
377.0964
(b) θmn = 59.0123◦
.

10
Tiempo: 80 minutos
1. a) (Paralelismo ) Mostrar que las medianas de un triángulo se intersectan en un punto, y que este
punto divide a cada mediana con una razón 2 : 1.
b) (Fuerzas) Un peso de 119 N está suspendido por dos cuerdas como se muestra en la figura„
determine las tensiones en ambas cuerdas y sus normas.
x
y
~
T1
40◦
~
T2
23◦
119N
Amaru-Soft
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (−5, −19, −20), B = (−5, −31, −36),C = (9, −37, −41).
Hallar la recta bisectriz que pasa por A.
3. (Planos) Considere el plano P: 12x +8y−9z+72 = 0, en este plano se dan los puntos A = (4, −6, 8)
y B = (−32, 21, −16). Se pide determinar puntos X, Y , C y D de este plano tal que ABYCDX esté
formado por un rectángulo de de altura 34 y un trapecio isósceles de altura 34, (ver figura).
A B
C D
Y
X
34
34
17
Amaru-Soft
Escala x 1 : 8.5, y 1 : 34
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: x2
− 4z2
− 4x + 12z − 6 = 0.
+ 4y2
− 10x − 48y = −165. Sug. Complete cuadrados en el ci-
lindro y emplee las funciones seno y coseno.

11
b) (Proyectiles) Una pelota de béisbol es golpeada a 80 cm. del suelo con una velocidad de v0 = 40
m/s y un ángulo de elevación θ = 240
. ¿Pasará una valla de 4 m situada a 115 m del lugar de
lanzamiento?. Sug. Ecuaciones del proyectil: x = v0t cos θ, y = −
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
...................1.89e+31................... 5
5

12
Soluciones 6
1. a) (Paralelismo ) Mostrar que las medianas de un triángulo se intersectan en un punto, y que este
punto divide a cada mediana con una razón 2 : 1.
Sol.: Considérese el triángulo ABC y los puntos M y N los puntos medio de AC y BC respectiva-
mente.
−
−
→
AB
A
B
−
−
→
AC
C
−
−
→
BC
−
−
→
AN
N
−
−
→
AM
M
Q
Amaru-Soft
. Definimos
−
−
→
AQ = r
−
−
→
AN y
−
−
→
BQ = t
−
−
→
BM luego r
−
−
→
AN − t
−
−
→
BM =
−
−
→
AB. Por otra parte a partir del gráfico se
encuentra:
−
−
→
AN =
−
−
→
AB +
1
2
−
−
→
BC
−
−
→
BM =
1
2
−
−
→
AC −
−
−
→
AB
−
−
→
AB +
−
−
→
BC =
−
−
→
AC
Combinando estas ecuaciones se encuentra
−
−
→
AN =
1
2
−
−
→
BC +
1
2
−
−
→
AC Los resultados sobre
−
−
→
BM y
−
−
→
AN se
reemplazan en r
−
−
→
AN − t
−
−
→
BM =
−
−
→
AB para luego encontrar:
r
2
+ t − 1

−
−
→
AB +
r
2
−
t
2

−
−
→
AB = ~
0
de donde t = r =
2
3
. Esto muestra la parte principal de lo pedido.
x
y
~
T1
40◦
~
T2
23◦
119N
Amaru-Soft
T1 =-
119 cos(23◦
)
sen(63◦)
cos(40◦
)~
i+
119 cos(23◦
)
sen(63◦)
sen(40◦
)~
j,
~
T2 =
119 cos(40◦
)
sen(63◦)
cos(23◦
)~
i+
119 cos(40◦
)
sen(63◦)
sen(23◦
)~
j. Tensiones: T1=122.9397, T2=102.3105
6

13
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (−5, −19, −20), B = (−5, −31, −36),C = (9, −37, −41).
Sol.: L = {(−5, −19, −20) + t(280, −732, −916)}
3. (Planos) Considere el plano P: 12x +8y−9z+72 = 0, en este plano se dan los puntos A = (4, −6, 8)
y B = (−32, 21, −16). Se pide determinar puntos X, Y , C y D de este plano tal que ABYCDX esté
formado por un rectángulo de de altura 34 y un trapecio isósceles de altura 34, (ver figura).
A B
C D
Y
X
34
34
17
Amaru-Soft
Escala x 1 : 8.5, y 1 : 34
Sol.: Una solución es: X = (2, −30, −16), Y = (−34, −3, −40), C = (−12, −45, −48), D = (−24, −36, −56),
otra solución es: X = (6, 18, 32), Y = (−30, 45, 8), C = (−4, 51, 48), C = (−16, 60, 40)
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: x2
− 4z2
− 4x + 12z − 6 = 0.
Sol.: Superficie cilíndrica con directriz una hipérbola en el plano xz
+ 4y2
Sol.: Cilindro:
(x − 5)2
4
+
(y − 6)2
1
= 1, Ecuaciones paramétricas: x = 5 + 2 cos θ, y = 6 + sen θ,
z = −29 − 14 cos θ − 6 sen θ.
b) (Proyectiles) Una pelota de béisbol es golpeada a 80 cm. del suelo con una velocidad de v0 = 40
m/s y un ángulo de elevación θ = 240
. ¿Pasará una valla de 4 m situada a 115 m del lugar de
lanzamiento?. Sug. Ecuaciones del proyectil: x = v0t cos θ, y = −
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
(Sol.:) No. y = 3.4216altura de la valla = 4.

14
Tiempo: 80 minutos
1. a) (Paralelismo ) Si ~
a y ~
b son vectores no paralelos tales que ~
c = (−m + 4n)~
a + (−3m − 4n − 3)~
b,
~
d = (−2m − 2n + 3)~
a + (−m + n + 3)~
b, hallar los valores de m y n tales que ~
c = −~
d
x
y
~
T1 26◦ ~
T2
41◦
139N
Amaru-Soft
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (15, −7, −22), B = (13, −4, −28),C = (19, 6, −6).
3. (Planos) Considere el plano P: 2x − 2y + z + 27 = 0, en este plano se dan los puntos A=(−9, 7, 5) y
B = (−6, 7, −1). Se pide determinar un punto C en dirección del vector normal al plano dado tal que
el triángulo ABC sea de altura h = 7, isosceles de lado desigual AB.
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: 9y2
− 9z2
− 24y + 6z + 11 = 0.
+ 9y2
~
v0
θ
6.9 m
4.3 m

15
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
...................1.21e+38................... 7
7

16
Soluciones 8
1. a) (Paralelismo ) Si ~
a y ~
b son vectores no paralelos tales que ~
c = (−m + 4n)~
a + (−3m − 4n − 3)~
b,
~
d = (−2m − 2n + 3)~
a + (−m + n + 3)~
b, hallar los valores de m y n tales que ~
c = −~
d
Sol.: El hecho de que los vectores ~
a y ~
b permite plantear un sistema: en términos de m y n, la
solución de este sistema es m =
9
17
y n = −
12
17
.
x
y
~
T1 26◦ ~
T2
41◦
139N
Amaru-Soft
T1 =-
139 cos(41◦
)
sen(67◦)
cos(26◦
)~
i+
139 cos(41◦
)
sen(67◦)
sen(26◦
)~
j,
~
T2 =
139 cos(26◦
)
sen(67◦)
cos(41◦
)~
i+
139 cos(26◦
)
sen(67◦)
sen(41◦
)~
j. Tensiones: T1=113.9642, T2=135.7216
2. (Rectas) Considere el triángulo de vértices: A = (15, −7, −22), B = (13, −4, −28),C = (19, 6, −6).
Sol.: L = {(15, −7, −22) + t(−14, 154, −14)}
3. (Planos) Considere el plano P: 2x − 2y + z + 27 = 0, en este plano se dan los puntos A=(−9, 7, 5) y
B = (−6, 7, −1). Se pide determinar un punto C en dirección del vector normal al plano dado tal que
el triángulo ABC sea de altura h = 7, isosceles de lado desigual AB.
Sol.: Primera solución: −
17
6
,
7
3
,
13
3
!
; Segunda solución: −
73
6
,
35
3
, −
1
3
!
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: 9y2
− 9z2
− 24y + 6z + 11 = 0.
Sol.: Superficie cilíndrica con directriz una hipérbola en el plano yz
+ 9y2
Sol.: Cilindro:
(x − 5)2
9
+
(y − 4)2
4
= 1, Ecuaciones paramétricas: x = 5 + 3 cos θ, y = 4 + 2 sen θ,
z = −18 − 9 cos θ − 6 sen θ.
8

17
~
v0
θ
6.9 m
4.3 m
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
Sol.: (a)v2
0 =
467.0541
(b) θmn = 60.9653◦
.

18
Tiempo: 80 minutos
1. a) (Paralelismo ) Mostrar que si existen escalares m, n no ambos cero, tales que m~
a+n~
b = 0, entonces
~
a y ~
b son paralelos.
cables.
~
T1
49◦
~
T2
59◦
Amaru-Soft
2. (Recta) Los puntos A = (−6, 1, −10, −7), B = (2, −10, 1, 8), son los vértices opuestos de un rectán-
gulo, el tercer vértice se encuentra sobre la recta: L = {(−6, 1, −10, −7) + t (4, 10, −3, −1)} Hallar tal
vértice, hallar también el cuarto vértice y la longitud de los lados.
3. (Planos) Considere el plano P que pasa por los puntos A = (−3, 0, −3), B = (−12, −2, −9) y C =
(−9, 3, −5) (a) Determinar el plano que pasa por A, perpendicular a P y contiene la recta bisectriz
de las rectas que pasan por A y tienen vectores direccionales a los vectores
−
−
→
AB y
−
−
→
AC. (b)Determinar
el plano que es perpendicular a P y al cortar con el plano dado determina un triangulo isosceles de
vertice A y lados iguales de longitud 77 unidades sobre las rectas que pasan por A y tienen vectores
direccionales a los vectores
−
−
→
AB y
−
−
→
AC.
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: z2
+ 4y + 10z + 20 = 0.
+ y2
~
v0 θ
7.2 m
2.1 m

19
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
...................1.02e+27................... 9
9

20
Soluciones 10
1. a) (Paralelismo ) Mostrar que si existen escalares m, n no ambos cero, tales que m~
a+n~
b = 0, entonces
~
a y ~
b son paralelos.
Sol.: Si m , 0 entonces ~
a =

−
n
m

~
b, esto muestra que los vectores son paralelos.
cables.
~
T1
49◦
~
T2
59◦
Amaru-Soft
T1 =-
45 cos(59◦
)
sen(108◦)
cos(49◦
)~
i+
45 cos(59◦
)
sen(108◦)
sen(49◦
)~
j,
~
T2 =
45 cos(49◦
)
sen(108◦)
cos(59◦
)~
i+
45 cos(49◦
)
sen(108◦)
sen(59◦
)~
j. Tensiones: T1=24.3694, T2=31.042
2. (Recta) Los puntos A = (−6, 1, −10, −7), B = (2, −10, 1, 8), son los vértices opuestos de un rectán-
gulo, el tercer vértice se encuentra sobre la recta: L = {(−6, 1, −10, −7) + t (4, 10, −3, −1)} Hallar tal
vértice, hallar también el cuarto vértice y la longitud de los lados.
Sol.: Puntos (−10, −9, −7, −6), (6, 0, −2, 7). Lados: 3
√
14,
√
405.
3. (Planos) Considere el plano P que pasa por los puntos A = (−3, 0, −3), B = (−12, −2, −9) y C =
(−9, 3, −5) (a) Determinar el plano que pasa por A, perpendicular a P y contiene la recta bisectriz
de las rectas que pasan por A y tienen vectores direccionales a los vectores
−
−
→
AB y
−
−
→
AC. (b)Determinar
el plano que es perpendicular a P y al cortar con el plano dado determina un triangulo isosceles de
vertice A y lados iguales de longitud 77 unidades sobre las rectas que pasan por A y tienen vectores
direccionales a los vectores
−
−
→
AB y
−
−
→
AC.
Sol.: (a) −3x + 47y + 20z + 51 = 0. (b) 129x − 19y + 64z + 11128 = 0.
4. (Superficies) Graficar la superficie dada por: z2
+ 4y + 10z + 20 = 0.
Sol.: Superficie cilíndrica con directriz una parábola en el plano yz
+ y2
Sol.: Cilindro:
(x − 8)2
1
+
(y − 3)2
9
= 1, Ecuaciones paramétricas: x = 8 + cos θ, y = 3 + 3 sen θ,
z = −29 − 4 cos θ − 9 sen θ.
~
v0 θ
7.2 m
2.1 m
10

21
1
2
gt2
+ v0t sin θ + p
Sol.: (a)v2
0 =
508.5504
(b) θmn = 53.1301◦
.
Hecho con L
A
TEX

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