Lavoro realizzato in occasione della Settimana dell'espressività a.s. 2016-2017

1. LA MATEMATICA NEL RINASCIMENTO
Da un discorso tenuto a Padova nel 1464 da JOHANN MULLER REGIOMONTANO
sul valore della matematica:
«La conoscenza della matematica è tanto utile quanto
necessaria in tutti gli ambiti dell’esistenza e del sapere:
per i rappresentanti delle arti meccaniche e per gli artigiani, per i commercianti e
per i soldati, per i fabbricanti di strumenti musicali e perfino per coloro che
vogliono studiare Aristotele»
Nei testi sulle macchine degli ingegneri del XVI secolo
viene attribuita alla matematica natura divina,
ne viene esaltata la grandezza e l’utilità, fonte di tutte le
cose create dall’uomo
Il frate francescano Luca Pacioli afferma
«Le scienze matematiche sono fondamento e guida per la
conoscenza di ogni altra scienza» 1

2. Luca Pacioli è da considerare
«Il prototipo del nuovo scienziato, il
collettore e il divulgatore del sapere
matematico tra Medioevo e
Rinascimento, il punto di partenza
della matematica europea moderna»
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3. La mia biografia (1445 Sansepolcro Arezzo – 1517 Roma) è profondamente segnata
dalla professione docente, dal mestiere di insegnante delle matematiche. Ho avuto
amicizie con pittori, scultori e architetti, in particolare con Piero della Francesca e con il
compatriota Leonardo da Vinci del quale, prima di divenire amico, fui insegnante a
Milano, al servizio del duca Ludovico il Moro.
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4. Ho compreso che la matematica e, soprattutto la geometria, è basilare per ogni
forma di espressione artistica. Ho contribuito all’affrancamento sociale e culturale
di pittura, scultura e architettura dalle arti meccaniche.
Ho pubblicato a Venezia, dal 1494 al 1500 due opere di matematica e di filosofia:
1. SUMMA DE ARITHMETICA, GEOMETRIA, PROPORTIONI E PROPORTIONALITA’
2. DE DIVINA PROPORTIONE
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5. Tutta la mia opera va vista nel contesto
culturale del Rinascimento Italiano.
Non sono un matematico nel senso stretto.
Per scienza matematica si deve intendere la
somma di aritmetica, geometria, astrologia,
musica, prospettiva, architettura e cosmografia.
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Ora alcuni miei allievi vi presentano tipologia e caratteristiche delle mie opere più
importanti e contenuti di rilievo utili per le varie arti.

6. Nel 1494 pubblica a Venezia una vera e propria enciclopedia matematica, il
SUMMA DE ARITHMETICA, GEOMETRIA, PROPORTIONI E PROPORTIONALITA’, scritta
in volgare, in realtà utilizzando un miscuglio di termini latini, italiani e greci.
L’opera contiene un trattato generale di aritmetica e di algebra, elementi di matematica
utilizzata dai mercanti riguardanti bilancio e inventario , concetti che successivamente si
diffusero in tutta Europa col nome di «metodo veneziano» perché usato dai mercanti di
Venezia.
Il SUMMA fu usato come libro di testo. Dopo la sua pubblicazione, infatti, Luca Pacioli,
ritenuto matematico intellettuale ed ispirato, fu invitato da Ludovico Sforza, Duca di
Milano, a servire come docente di matematica nella corte ducale, dove stabilì rapporti
di amicizia con Leonardo Da Vinci.
L’opera è composta da 10 capitoli e
l’ottavo di questi è dedicato
all’introduzione dell’algebra moderna: è
stato proprio Luca Pacioli a introdurre i
segni più e meno e a distinguere i
numeri positivi da quelli negativi con
simboli che divennero standard nella
matematica del Rinascimento.
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7. DE DIVINA PROPORTIONE
Nel 1509 pubblica la versione a stampa dell’opera
«De divina proportione»
composta da tre parti ben distinte:
• La prima in 71 capitoli che tratta del rapporto aureo e delle
sue applicazioni nelle varie arti
• La seconda in 20 capitoli è un trattato di architettura che si
rifà alla teoria di Vitruvio
• La terza è la traduzione in italiano dell’opera di Piero della
Francesca sui cinque solidi regolari
Al termine vi sono due sezioni di illustrazioni , la prima con le
lettere maiuscole dell’alfabeto disegnate utilizzando riga e
compasso da Luca Pacioli stesso, la seconda con 60 tavole di
Leonardo da Vinci
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8. I 5 POLIEDRI
REGOLARI
I POLIEDRI
REGOLARI
DISEGNATI DA
LEONARDO DA
VINCI NEL
«DE DIVINA
PROPORTIONE»
FUOCO
TERRA
ARIA
UNIVERSO
ACQUA
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9. SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO
A Vogliamo costruire la sezione aurea del segmento AB
Consideriamo il segmento AB e tracciamo il
segmento perpendicolare ad AB in B e sia BO =
𝑨𝑩
𝟐
Tracciamo la circonferenza di centro O e raggio OB
AB risulta tangente alla circonferenza
Tracciamo la semiretta AO e siano F e G le intersezioni con la circonferenza.
Riportiamo con il compasso su AB il segmento AF = AE. Risulta vera la seguente proporzione
detta PROPORZIONE AUREA AB : AE = AE : EB
IL TUTTO STA ALLA PARTE COME LA PARTE STA AL RIMANENTE
AE si chiama SEZIONE AUREA del segmento AB
Osserviamo:
Se AB = 10 cm AE = 6,18 cm BE = 3,82 cm
AB : AE = AE : BE
𝑨𝑩
𝑨𝑬
=
𝑨𝑬
𝑩𝑬
𝟏𝟎
𝟔,𝟏𝟖
=
𝟔,𝟏𝟖
𝟑,𝟖𝟐
= 1,618 =φ= costante
di Fidia (scultore e architetto Ateniese attivo dal 470 a. C. in Grecia)
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10. Afferma Luca Pacioli:
La proporzione aurea è degna di essere
chiamata divina perché il rapporto aureo
è espresso da un numero irrazionale e
quindi difficile da capire per l’intelletto
umano come l’idea della divinità
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11. COSTRUZIONE DEL RETTANGOLO AUREO
Si costruisce dapprima il quadrato AEFD, il
cui lato corrisponderà al lato minore del
rettangolo.
Si prolunga il lato AE dalla parte di E.
Si trova il punto medio M del lato AE e si
punta su di esso un compasso con
apertura sino al vertice F.
Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del
lato determina il secondo estremo del lato maggiore AB del rettangolo.
A questo punto è possibile, con una squadra, disegnare il segmento BC
perpendicolare ad AB.
Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto E
esattamente secondo la proporzione aurea
AB : AE = AE :EB con AE = AD
Il rapporto tra le misure dei lati diversi del rettangolo aureo considerato è un
numero costante , detto appunto rapporto aureo
𝑨𝑩
𝑨𝑫
= rapporto aureo = 1,618
D
A M B
C
E
F
F
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12. LA SEZIONE AUREA NEL PENTAGONO STELLATO
Le cinque diagonali di un
pentagono regolare ( che
costituiscono un pentagono
stellato ) si tagliano in parti
che stanno tra di loro nel
rapporto aureo.
Il rapporto tra la parte
indicata in rosso e quella
indicata in blu è la costante
di Fidia φ:
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Tutta la diagonale sta alla parte rossa
come la parte rossa sta alla parte blu

13. LA SEZIONE AUREA IN UN PARTICOLARE TRIANGOLO ISOSCELE
Nel triangolo isoscele evidenziato e
ricavato all’interno di un pentagono
regolare gli angoli alla base misurano
72° e l’angolo al vertice 36°.
In tale triangolo detto
triangolo aureo
il punto C divide il lato AB secondo il
rapporto aureo
AB : AC = AC : BC
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14. Una straordinaria proprietà del rettangolo aureo è la
seguente: disegnati i due quadrati affiancati 1 e
disegnato il quadrato 2 avente il lato doppio di
quello del quadrato 1 si ottiene un rettangolo
aureo; si disegna poi il quadrato 3 e così via.
I lati dei quadrati che si vanno a disegnare
misurano
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. in cui ogni numero,
dal terzo in poi, è la somma dei due
precedenti e descrivono una successione
detta «di Fibonacci».
Unendo poi i vertici diametralmente opposti
dei quadrati si ottiene una spirale detta
«SPIRALE AUREA»
Sia la successine di Fibonacci che il
rapporto aureo sono molto presenti
in natura
Sezione della conchiglia di Nautilus14
LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI E LA SPIRALE AUREA

15. 15
LA SPIRALE AUREA IN NATURA

16. Fin dall’antichità gli scultori, i pittori, e gli architetti hanno voluto
capire i segreti del «bello estetico» facendo uso di matematica.
Il rettangolo costruito era considerato così armonico nelle sue
parti da meritare, già presso i Greci, l’aggettivo di aureo.
Ogni rettangolo che appare nelle costruzioni greche che vogliono
dirsi belle , dal VI sec. a. C., è costruito in base a questo rapporto,
canone di armonia che ha sempre attratto intellettuali e artisti.
Inoltre era cara agli artisti Greci la possibilità geometrica di
riprodurre varie volte il rapporto aureo.
Infatti nel Partenone è presente la successione di rettangoli aurei
che genera la successione di Fibonacci. 16

17. LA SEZIONE AUREA NELLA PITTURA
Leonardo da Vinci utilizzò il rapporto aureo in tre delle sue più importanti opere:
La Gioconda, L’ultima cena e L’uomo di Vitruvio
Nella Gioconda il rapporto
aureo è stato utilizzato:
• Nella forma del quadro
• Nella dimensione del viso
• Nell’area che va dal collo a
sopra le mani
• In quella che va dalla
scollatura dell’abito fin
sotto le mani
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18. L’ULTIMA CENA
Nell’ULTIMA CENA, Gesù, il
solo personaggio
veramente divino, è dipinto
secondo la proporzione
divina ed è racchiuso in un
rettangolo aureo
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19. Leonardo da Vinci stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico
divide l’altezza dell’uomo secondo il rapporto aureo.
Vitruvio (15 a. C.) nel DE ARCHITECTURA scrive «Il centro del corpo umano è l’ombelico;
infatti se si sdraia un uomo sul dorso , mani e piedi allargati e si punta un compasso nel suo
ombelico, si toccheranno tangenzialmente, descrivendo una circonferenza, le estremità
delle dita delle mani e dei piedi.
L’UOMO DI VITRUVIO
CURIOSITA’
Sei una persona proporzionata? Moltiplica per 1,618 la distanza che va dai tuoi piedi
all’ombelico… dovresti ottenere la tua statura.
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20. SEZIONE AUREA E MUSICA
La musica ha numerosi legami con la matematica e molti ritengono che in essa sia
centrale il ruolo della sezione aurea.
Se misuriamo un violino Stradivari osserviamo
che:
• La cassa è inscrivibile in un rettangolo aureo
• La misura della lunghezza della cassa e del
manico sono in proporzione aurea
La spirale aurea è presente nella chiave di violino
e nella decorazione dei violoncelli
La tastiera del pianoforte rivela parallelismi fra i suoi numeri e quelli di Fibonacci: i 13
tasti delle ottave, distinti in 8 bianchi e 5 neri, a loro volta sono divisi in gruppi da due e
tre tasti ciascuno. I numeri 2, 3, 5, 8 , 13 appartengono, come sappiamo, alla successione
di Fibonacci.
Mozart, Bach e Beethoven dividono alcune loro composizioni in «movimenti musicali» pari
ai numeri di Fibonacci, riuscendo ad accostare la tonalità e l’armonia nella musica. 20

21. Scrive Giovanni Keplero (1571 –
1630) astronomo, astrologo,
matematico e teologo tedesco:
«La geometria ha due grandi
tesori: uno è il teorema di
Pitagora, l’altro è la sezione
aurea di un segmento. Possiamo
paragonare il primo ad una certa
quantità d’oro, definire il
secondo una pietra preziosa»
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22. LA STAMPA E GUTENBERG
La tecnica tipografica di Gutenberg consiste nell’allineare singoli
caratteri, costruiti in piombo, antimonio e stagno, in modo da
formare una pagina che viene cosparsa di inchiostro e pressata
su un foglio di carta.
Con la stampa a caratteri mobili ideata da Johannes Gutenberg
(orafo, inventore e tipografo tedesco) si apre durante il
Rinascimento una nuova epoca dello sviluppo della
comunicazione umana che fornisce un contributo decisivo
all’alfabetizzazione di massa.
Nel 1449 Gutenberg inizia la stampa
del suo primo libro: la Bibbia a 42 linee
in caratteri gotici.
L’edizione, con tiratura di 180 copie,
suscita immediato entusiasmo per
l’ottima qualità tipografica.
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23. PARLAMI DI FIRENZE E DELLA RINASCENZA
Con queste parole si apre uno dei brani più significativi
dell’opera «NOTRE DAME DE PARIS».
E’ un’opera popolare scritta da Luc Plamondon e messa in
musica da Riccardo Cocciante, tratta dall’omonimo romanzo di
Victor Hugo.
A Parigi nel 1482 il poeta Pierre Gringoire e l’arcidiacono Claude Frollo parlano dei
grandi cambiamenti che stanno sconvolgendo Firenze, capitale culturale Europea.
Fanno riferimento all’arte figurativa di Bramante, a Dante e al Dolce Stil Novo; alla
sfericità della terra; ai viaggi che 10 anni più tardi, con Cristoforo Colombo, porteranno
alla scoperta del «nuovo continente alla fine del mondo»; alla Riforma di Martin Lutero;
al libro che ormai circola grazie a Gutenberg e alle presse a Norimberga, quel libro che
ormai rende evidente lo scontro tra stampa e fede, tra scienza e religione, tra novità e
arretratezza, tra Uomo e Dio. 23

24. 24
Parlami di Firenze
E della Rinascenza
Novità di Bramante
E di Stil Novo e Dante
Si racconta a Firenze
Che la terra è rotonda
E che c’è un continente
Alla fine del mondo
Navi vanno laggiù e cercano nel vento
Il nuovo orientamento della rotta alle Indie
C’è Lutero che inventa un Nuovo Testamento
E noi viviamo all’alba di un mondo che si scinde
Si dice che Gutenberg
Cambia il modo di capire
Con le presse a Norimberga
Sta stampando l’avvenire
PARLAMI DI FIRENZE
FROLLO
GRINGOIRE
FROLLO
GRINGOIRE
FROLLO

25. 25
Sulla carta poesie
Tesi, satire, eresie
L’aria nuova farà
Nuovo chi la vivrà
Ogni piccola cosa ucciderà le grandi
Il libro ucciderà altari e cattedrali
La stampa imprimerà la morte sulla pietra
La Bibbia sulla Chiesa
E l’uomo sopra Dio
E questo uccide quello
Navi vanno laggiù e cercano nel vento
Il nuovo orientamento della rotta alle Indie
C’è Lutero che inventa un Nuovo Testamento
E noi viviamo all’alba di un mondo che si scinde
L’aria nuova farà
Più nuovo chi vivrà
FROLLO
GRINGOIRE
GRINGOIRE
FROLLO
FROLLO
GRINGOIRE
GRINGOIRE