Solucionario-covenas-matemax-2

- 1 -
Segundo Año de Secundaria
Solucionario
Segundo año de educación secundaria

- 2 -
Manuel Coveñas Naquiche

- 3 -
CAPÍTULO N° 1
NÚMEROS REALES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(51, 52, 53, 54)
NIVEL I
Resolución 1
Vemos que: *
8
5
1 6= ,
*
3
11
0 27= , (Periódico puro)
*
1
2
0 5= ,
*
1
3
0 3= ,
)
(Periódico puro)
*
8
15
0 53= ,
)
(Periódico mixto) Rpta.: E
∴ B A− = 3 8; Rpta.: C
Resolución 4
Son irracionales: π y 7
∴ Hay 2 números irracionales Rpta.: B
Resolución 7
Sea 4 7 13x − =
Por propiedad: Si a b=
à a = b ∨ a = −b
Tenemos que:
4x − 7 = 13 ∨ 4x − 7 = −13
4x =13 + 7 4x = −13 + 7
4x = 20 4x = −6
x = 5 ∨ x = −
3
2
Luego, tomamos el valor negativo de “x”
∴ x = −
3
2
Rpta.: D
Resolución 5
5 2666 5 26
526 52
90
, .... ,= =
−)
= =
474
90
79
15
= 5
4
15
Rpta.: A
Resolución 6
Si A ; 3= −∞ ; B = −2 8;
Graficamos los intervalos.
Resolución 2
⊂ IR (V)
IN Q⊂ (V)
∪¤ II = ¡ (V)
∴ VVV Rpta.: C
Resolución 3
Denso Rpta.: B
Resolución 8
A) − =3 3 (verdadero)
B) − =4 2 4 2 (verdadero)
C) x x= , si x > 0 (verdadero)
D) 6 6 0+ − = (falso)
Porque: 6 + 6 ≠ 0
E) x x= − , si x < 0 (verdadero) Rpta.: D
Resolución 9
1
14 2
1
7 2
1
14 2
1
7 2
: =
= =
1 7 2
1 2
1
2
1
2
14
×
×
= 0,50 Rpta.: B

- 4 -
Resolución 10
I. a5·a2 = a10 ........... es falso
ya que: a5·a2 = a5+2 = a7 ≠ a10
II. a a273 3
= ........ es falso
ya que: a a a a273
27
3 9 3
= = ≠
III. b7·b7·b7 = b21 ........ es verdadero
ya que: b7·b7·b7 = b7+7+7 = b21
IV. 0 9 0 3, ,= ........ es falso
ya que: 0 9
9
10
3
10
0 3, ,= = ≠
∴ F F V F Rpta.: D
Resolución 11
− + − = − + −125 243 5 33 53 3 b g b g = −83
= −2 Rpta.: B
Resolución 12
A = = =16 64 16 4 433 3
· à A = 4
B = = =6 36 6 6 6· à B = 6
Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102
∴ (A + B)2 = 100 Rpta.: C
Resolución 13
3 12 3 80 4 45 2 27− + −
3 4 · 3 3 16 · 5 4 9 · 5 2 9 · 3− + −
3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3· · · ·− + −
3 2 3 3 4 5 4 3 5 2 3 3· · · ·− + −
6 3 12 5 12 5 6 3 0− + − = Rpta.: E
Resolución 14
L =
+
−
=
+
−
50 2
18 2
25 2 2
9 2 2
·
·
L =
+
−
25 2 2
9 2 2
·
·
L =
+
−
= =
5 2 2
3 2 2
6 2
2
3
2
1
2
∴ L = 3 Rpta.: C
=
7
2
1
7
· =
7
2 7
7
7
× =
7 7
2 7·
=
7
2
Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
I. 3, 15 > 3, 2 es falso
II. −5, 7268 < −5, 7271 es falso
III. 3,1416 es irracional es falso
∴ Relación correcta: F F F Rpta.: E
Resolución 2
Por dato: −2r > 7
r < −
7
2
r < −3,5
à r: −4; −5; .........
∴ rmax = −4 Rpta.: B
Resolución 3
Graficamos los intervalos dados:
Luego: A B∩ = −2 3;
C = −∞; 3
à A B C∩ − = − − −∞b g 2 3 3; ;
={3} Rpta.: D
Resolución 4
Reemplazamos con los valores aproxima-
dos al centésimo, obtenemos:
π + −10 13 10e j e j:
(3,14 + 3,16) : (3,61 − 3,16)
6,30 : 0,45 = 14,00 Rpta.: C
Resolución 15
1
7
7 2 7 2 7 1
2 2 72 14 14
= =

- 5 -
Tenemos que:
1 2 1 2− = − −e j
1 2 2 1− = −
2 3 2 3− = − −e j
2 3 3 2− = −
Reemplazando en (I) tenemos que:
2 1 3 2− + −e j e j
2 1 3 2 2− + − =
∴ 1 2 2 3 2− + − = Rpta.: B
Resolución 7
2 7 1 26 0x − − − =
2 7 1 26x − =
Resolución 5
I. π ∈IR ....................... (V)
II. − ∈52
IN ................... (F)
ya que: − = − ∉5 252
IN
III. ( )∪ ∩ =¥ ¤ ¢ ¢
∩ = . .............. (V)
IV. − ∈49 IR ................. (F)
∴ Relación correcta es: V F V F Rpta.: D
Resolución 6
1 2 2 3− + − ........ (I)
como: 1 2 0 2 3 0− < ∧ − <
7 1 13x − =
à 7x − 1 = 13 ∨ 7x − 1 = −13
x = 2 ∨ x = −
12
7
∴ Solución mayor = 2 Rpta.: E
Resolución 9
* A = + −12 75 48
A = + −4 3 25 3 16 3· · ·
A = + −4 3 25 3 16 3· · ·
A = + − =2 3 5 3 4 3 3 3
à A = 27
* B = + −16 128 543 3 3
B = + −8 2 64 2 27 23 3 3
· · ·
B = + − =2 2 4 2 3 2 3 23 3 3 3
à B = 543
Luego:
A B2 3 2
3
3
27 54+ = +e j e j
Resolución 8
1
16
2 2
1
2
1
2
1
2
4 2 3
1 3
2 3
1 3
− −
F
HG
I
KJ = − −
F
HG I
KJ− −
− −/ /
= − −
F
HG I
KJ
−
1
2
1
4
1
8
1
3
=
F
HG I
KJ
−
1
8
1 3/
= =8 2
1
3
Rpta.: B
= + =27 54 81
∴ A B2 3
9+ = Rpta.: B
Resolución 10
A =
−
RS|
T|
UV|
W|
−
81
32 27
3 4
2 5 1 3
1 3/
/ /
/
A =
−
R
S|
T|
U
V|
W|
−
81
32 27
4 3
5 2 3
1 3/
A =
−
RS|
T|
UV|
W|
−
3
2 3
3
2
1 3/

- 6 -
Resolución 11
Racionalizamos cada sumando:
1
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3 5 3+
−
−
=
−
+ −
×
e je j
=
−
−F
H
I
K
5 3
5 3
2 2
=
1
5 3
5 3
2+
=
−
1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1 3 1+
−
−
=
−
+ −
×
e je j
=
3 1
3 1
2 2
−
−
1
3 1
3 1
2+
=
−
1
4 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 5 4 2 5−
+
+
=
+
− +
×
e je j
=
+
−
2 2 5
4 2 52 2
e j
e j
=
+
−
2 2 5
4
e j
1
4 2 5
2 5
2−
= −
+
Luego, efectuando tenemos que:
1
5 3
1
3 1
1
4 2 5+
+
+
−
+1 24 34 123 1 24 34
5 3
2
3 1
2
2 5
2
−
+
−
− −
+F
HG
I
KJ
5 3 3 1 2 5
2
1
2
− + − + +
=
Rpta.: A
Resolución 12
8 36 3 729
6 16
8 6 3 3
6 2 2
6 9
3
3 69
3
e j e j· ·
·
=
= 2 3 33 23
·
= 2 3 323
·
=2·3 = 6 Rpta.: D
Resolución 13
L nn nn
= − +
7 494 2
·
L n nn
= − +
7 494 2
·
L n n
n= − +
7 74 2 2
· e j
L n nn
= − +
7 74 2 4
·
L n nn
= − + +
7 4 2 4
L nn
= =7 73 3
∴ L = 343 Rpta.: E
Resolución 14
E =
9 9 9
9 9
6 4 3
20 5
· ·
·
Hallamos el M.C.M de los índices de las
raíces:
m.c.m (6; 4; 3; 20; 5) = 60
Luego:
E =
9 9 9
9 9
10 15 20
3 12
60 · ·
·
E = =9 9 910 2060 60 1
2
30
·
= =9 3
∴ E = 3 Rpta.: B
+ –
– –
–+
–
–
–
–
–
Resolución 15
Reducimos “A”, obteniendo:
A x x x x= 3 43 45 56
· · ·
3·2 3·4 5·4 6·5
A x · x · x · x=
A x x x x= 6 12 20 30
· · ·
m.c.m (6; 12; 20 y 30) = 60
à A x x x x= 10 5 3 260
· · ·
A =
−
RST
UVW =
−
−27
4 3
27
1 3
1 3
/
/
1/ 3
1 1
A
27 3
 
= = 
 
∴ A =
1
3
Rpta.: C

- 7 -
A x x= =+ + +10 5 3 260 160
203
A x= 3
Ahora reducimos “x”, obteniendo:
33x 4 2 2 64=
x = =4 2 2 4 4 2 83 3
· ·
x = =4 2 2 4 4·
x = 4·2 → x = 8
Luego:
A x= =3 3
8
∴ A = 2 Rpta.: B
Resolución 16
A = − −343 1253 3
2
e j y B = 23643
A = +7 5
2
b g y B = 293
A = 144 y B = 8
Luego:
2
2
2 18 36
18
1
144
8
A
B
=
F
HG I
KJ
= =·
∴
2
6
A
B
= Rpta.: A
Resolución 17
Racionalizamos cada sumando:
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
2
2 2
+
−
=
+ +
− +
=
+
−
e je j
e je j
e j
=
+
−
2 3
4 3
2
e j
2 3
2 3
2 3
1
2
+
−
=
+e j
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
2
2 2
−
+
=
− −
+ −
=
−
−
e je j
e je j
e j
=
−
−
2 3
4 3
2
e j
2 3
2 3
2 3
1
2
−
+
=
−e j
Reemplazamos en:
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
1
2 3
1
2 2
+
−
+
−
+
+
+
−e j e j
1 24 34 1 24 34
2 3 2 3+ + −e j e j
2 3 2 3 4+ + − = Rpta.: E
Resolución 18
Hallamos “A”
A = − = − −2 5 2 5e j ; ya que: 2 5 0− <
à A = −5 2
Hallamos “B”
B = − = −3 5 3 5 ; ya que: 3 5 0− >
à B = −3 5
Luego:
A B+ = − + −b g e j7 7
5 2 3 5 =17
∴ A B+ =b g7
1 Rpta.: A
Resolución 19
3 2 2 1 2
2
+ + −e j
1 2 2 2 1 2+ + + −
1 2 2 2 1 2 12 2
+ + + −· · e j
2 1 2 1
2
+ + −e j
2 1 2 1 2 2+ + − = Rpta.: C

- 8 -
→
→
→
→
→
=
−
+
F
HG I
KJ3 3
2 2
1
2
=
+
F
HG I
KJ0
2 2
1 2/
= 0 Rpta.: E
Resolución 24
Reducimos “E”
E
x x
x
=
5
3 ;
x x x
x
x x · x
= =
E x x x x= =· ·53
1
2
1
5
3
E x=
7
10
3
à E x=
7
30 ; para: x = 2
60
7
E =
F
H
GG
I
K
JJ =2 2
60
7
7
30
60
2
7
7
1
30
×
E = 22 → E = 4 Rpta.: A
Resolución 25
Expresamos las fracciones en decimales
y comparamos con:
7
20
0 35= ,
A) 0, 48 B) 0,37 C) 0,15 D) 0,3 E) 0,2
29
60
11
30
3
20
3
10
1
5
=
−22 5 3
22
e j
22
5 3
5 3
+
= −
Reemplazando en:
1
2 3
22
5 3−
+
+124 34 124 34
2 3 5 3 7+ + − = Rpta.: B
Resolución 21
A = +
+
−
1
5
1
1
1
5
5
4
A = +
+
−
1
5
1
5 1
5
5
4
A = +
+
−
5
5
5
5 1
5
4
A = +
−
+ −
−
5
5
5 5 1
5 1 5 1
5
4
e j
e je j
A = +
−
−
−
5
5
5 5
5 1
5
42 2
A = +
−
−
5
5
5 5
4
5
4
A =
+ − −4 5 5 5 5 5 5
20
e j ·
4 5 25 5 5 25 5
A
20 20
+ − − −
= =
Resolución 22
2 2 3 1 26 3
+ −·
2 1 1 2
2
6 3
+ −e j ·
2 1 1 23 3
+ −·
1 2 1 23 + −e je j
1 2 1 12 23 3
− = − = − Rpta.: E
Resolución 23
27 3
32 2
3 3
2 2
3 1 1
5 0 5
2 1
1 1 2 1
−
+
F
H
GGG
I
K
JJJ
=
−
+
F
HG
I
KJ
− −
−
− −
−
e j
,
( )×( )
à
Resolución 20
Racionalizando cada sumando:
*
1
2 3
1 2 3
2 3 2 3
2 3
2 32 2
−
=
+
− +
=
+
−
· e j
e je j
=
+
−
2 3
4 3
1
2 3
2 3
−
= +
*
22
5 3
22 5 3
5 3 5 3
22 5 3
5 32 2
+
=
−
+ −
=
−
−
· e j
e je j
e j
=
−
−
22 5 3
25 3
e j
∴ A =
− 5
20
Rpta.: E

- 9 -
f = = =
108 53
99
159
99
1 60
3
1
36
×
×
,
∴ f = 1,60 Rpta.: C
Resolución 27
S = −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ1
1
2
1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
25
...
S =
1
2
2
3
3
4
4
3
24
25
· · · · ... ·
∴ S =
1
25
Rpta.: C
Resolución 28
Graficamos los intervalos:
Del gráfico vemos que:
A B∩ = 2 6;
Por datos: A B
a
b∩ =
2
3;
Por comparación: 2
2
=
a
à a = 4
6 = 3b à b = 2
∴ a + b = 4 + 2 = 6 Rpta.: D
Resolución 29
E = +
F
HG I
KJ−
0 9 2
1
4
1
0 24
9, ·
,
b g
)
E =
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJ
−
9
10
2
1
4
1
2
9
4
9
2
·
Resolución 26
f = 1,09 × 0,53 : 0,36
f =
−109 1
99
53
99
36
99
× :
∴ Está más cerca:
11
30
Rpta.: B
E = = =
10
9
9
4
10 3 5
3
5
3
1
1
9 2
· ·
∴ E =
5
3
Rpta.: A
Resolución 30
A = 2
2
1
3
4
2
3
e j
A = =2 2
7
3
14
3
2
e j
∴ A = 24
Rpta.: D
Resolución 31
3 5 27 7 14
7
· ·F
H
I
K
3 5 22 7 7 2 14
7
× ×
· ·e j
3 5 214 14 14
7
· ·e j
( ) ( )
77 1414 3· 5· 2 30=
= 30
7
1
2
14
= =30 301 2/ Rpta.: D
Resolución 32
M = −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ2
1
2
5
1
5
10
1
10
M = −
F
HG
I
KJ −
F
HG
I
KJ −
F
HG
I
KJ2
2
2
5
5
5
10
10
10
M =
−F
HG
I
KJ −F
HG
I
KJ −F
HG
I
KJ2 2 2
2
5 5 5
5
10 10 10
10
M =
2 4 5
5
9 10
1
2
1
5
2 10
· ·
M = =
2 5 9 10
25
9 2 5 10
25
· · × ×
M = = =
9 100
25
9 10 18
5
2
5
25
×
∴ M = 3,6 Rpta.: C

- 10 -
CAPÍTULO N° 2
RELACIONES Y FUNCIONES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(86, 87, 88, 89, 90, 91, 92)
NIVEL I
Resolución 1
{ } { }= − ∧ =A 2 ; 3 B 1; 2
à A B× ; ; ; ; ; ; ;= − −2 1 2 2 3 1 3 2b g b g b g b gm r Rpta.: D
Resolución 2
I. ( ) ( )0 3
4 ; 3 1; 27− = − .......... (V)
II. ( ) ( )7 1/ 2 0 3
1 ;16 5 ; 64= ....... (V)
III. (3; −2) = (−2; 3) .................. (F)
3 ≠ −2 ∧ −2 ≠ 3
∴ La relación correcta es VVF Rpta.: B
Resolución 3
Se debe cumplir:
(a + 3; 7) = (8; b)
à a + 3 = 8 → a = 5
à 7 = b
Luego: a + b = 5 + 7
∴ a + b = 12 Rpta.: A
Resolución 4
M = 0 2 4; ;l q
Luego: M2 = M × M
à M2 = {(0; 0),(0; 2),(0; 4),(2; 0),(2; 2), (2; 4),(4; 0),(4; 2),(4; 4)}
Rpta.: C
Resolución 5
G = {x∈ /−6 < x < 2}
G = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 1}
n° elementos de G: n(G) = 7
H = {x ∈ /−5 < x < 0}
H = {−4; −3; −2; −1}
n° de elementos de H: n(H) = 4
à n(G × H) = n(G) × n(H) = 7 × 4
∴ n(G × H) = 28 Rpta.: C
Resolución 34
Resolviendo, tenemos que:
x
x
+
−
=
1
1
3
x x+ = −1 3 1e j
x x+ = −1 3 3
4 2= x
x = 2 → x = 4
Luego: M = x + x2
M = 4 + 42 = 4 +16
∴ M = 20 Rpta.: B
Resolución 33
Hallamos: 2 3 5 5− = − =x
2 − 3x = 5 ∨ 2 − 3x = −5
−3 = 3x 7 = 3x
x = −1 ∨ x =
7
3
Luego:
Σ de soluciones = − + =1
7
3
4
3
b g
∴ Σ de soluciones = 1 3,
)
Rpta.: D
Resolución 6
A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7}
à A ∩ B = {6}
Luego: (A ∩ B)× B ={6} × {6; 7}
∴ (A ∩ B)× B = {(6; 6);(6; 7)}
Rpta.: E

- 11 -
Resolución 7
A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
B = {3; 4; 5; 6}
R x y A B Y
x
= ∈ =
RST
UVW; × /b g 2
à R = {(8; 4);(10; 5);(12;6)} Rpta.: C
Resolución 8
R x y S T y
x
= ∈ =
RST
UVW; × /b g 2
à R = {(10; 5),(14; 7),(18;9)} Rpta.: A
Resolución 9
R = {(x; y)∈ L × N / y = 2x + 3}
à R = {(−3; −3),(−1; 1),(1; 5)}
Luego: Dom R = {−3; −1; 1}
Ran R = {−3; 1; 5} Rpta.: C
Resolución 10
Recuerde que para que sea una función, la primera com-
ponente de cada par ordenado, debe tener una sola ima-
gen.
∴ Cumple: R1 = {(1; –7);(2; –7);(3; 5)}
Rpta.: A
Resolución 12
Nos dicen que:
{(−5; a + 1) ; (−2;b − 7);(−2; 9);(−5; 10)}
Es una función, entonces se debe cumplir que:
* (−5; a + 1) = (−5; 10)
à a + 1 = 10
a = 9
* (−2; b − 7) = (−2; 9)
Resolución 11
Analizamos cada alternativa:
A) f1 = {(−2; −1);(0; 3);(5; 4)} sí es función
B) f2 = {(−2; 3);(5; 7)} sí es función
C) f3 = {(0; −1);(5; 3);(−2; 3)} sí es función
D) f4 = {(3; −2);(4; 0);(4; 5)} no es función
de B en A
E) f5 = {(−2; 7);(0; 7);(5; 7)} sí es función
Rpta.: D
à b − 7 = 9
b = 16
Luego, hallamos:
a b+ = +9 16 25 5= =
∴ a b+ = 5 Rpta.: A
Límite superior
Límite inferior
Resolución 13
Si f(x) = 3x2 − 4x + 5
à f(2) = 3(2)2 − 4(2) + 5
f(2) = 9
Si g(x) = 5 − 2x2
à g(−3) = 5 − 2(−3)2
g(−3) = −13
Luego: f(2) + g(−3) = 9 +(−13)
∴ f(2) + g(−3)= −4 Rpta.: D
Resolución 14
Sea f(x) = 3x + 7
x ∈ [ 1; 8 ]
Luego:
f(1) = 3(1)+7 → f(1) = 10
f(8) = 3(8) + 7 → f(8)= 31
à f(x)∈ [f(1); f(8)]
∴ Rango = [10; 31] Rpta.: D
Resolución 15
Analizamos las altenativas y podemos ob-
servar que (2; 9) no pertenece a la gráfica:
y x=
2
3
2
Reemplazamos las coordenadas en la gráfica:
Y x=
2
3
2
à 9
2
3
2
2
= b g
9
8
3
= es falso Rpta.: E
Resolución 16
R = {(x; y)/ x + y es par }
à R = {(4; 6);(6; 4);(5; 5),(5; 7);(7; 5);
(7; 7);(4; 4);(6; 6)}
∴ n° de elementos de R = 8 Rpta.: B

- 12 -
Resolución 24
Recuerde: R1 será simétrica
Si ∀(a; b) ∈ R ⇒ (b; a) ∈R
Analizando cada alternativa:
A) {(1; 1);(1; 2);(1; 3);(3; 1)
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1)∉ R
∴ No es simétrica.
B) {(3, 2);(2; 3);(3; 1)}
(3; 1) ∈ R ∧ (1; 3) ∉ R
C) {(1; 3);(1; 2);(1; 1)}
(1; 2) ∈ R ∧ (2; 1) ∉ R
D) {(1; 2);(2; 1);(3; 3)}
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1) ∈ R
∴ Sí es simétrica
E) {(3; 2);(2; 3);(1; 3)}
(1; 3) ∈R ∧ (3; 1) ∉ R
∴ No es simétrica Rpta.: D
∴ Son refelexivas: R1 y R3 Rpta.: D
Resolución 20
Se tiene que:
Resolución 17
R = {(x; y) / x > y + 1}
à R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}
Luego: Dom R = {6; 7; 8}
Ran R = {4; 5; 6} Rpta.: D
Resolución 18
Analizando las altenativas, vemos que no
cumple: {(2; 6);(1; 5)}
ya que: 1∉ A Rpta.: C
Resolución 19
Tenemos que:
R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)}
Rpta.: E
Resolución 21
Recuerde: (a; b) = (m; n)
⇔ a = m ∧ b = n
Luego: 2 1 5 7
3 2
2
x
y
+ =
−F
HG I
KJ; ;b g
à 2x + 1 = 7 ∧ 5
3 2
2
=
−y
x = 3 ∧ y = 4
∴ x + y = 3 +4 = 7 Rpta.: C
Resolución 23
Tenemos que:
R= {(Lima; Perú);(Perú; x);(Caracas; Z);
(Santiago; Y);(Chile; Santiago)}
Recuerde que una relación R será simétrica cuando:
(a; b)∈ R ⇒ (b; a)∈R
Luego:
• (Lima; Perú) ∈R
à (Perú; Lima) ∈R ∴ x = Lima
• (Caracas; Z) ∈R
à (Z; Caracas)∈R ∴ Z = Caracas
• (Chile; Santiago)∈R
à (Santiago; Chile) ∈R ∴ Y = Chile
Luego: A= {x; y; Z}
à A = {Lima; Chile; Caracas} Rpta.: A
Resolución 22
Se tiene: A = {2; 3; 4}
Analizaremos cada alternativa:
A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}
No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3)
B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}
Como: (2; 2)∈ R ∧ 2 ∈ A
(3; 3)∈ R ∧ 3 ∈ A
(4; 4)∈ R ∧ 4 ∈ A
∴Sí es refelexiva
Además: C; D y E no son reflexivas Rpta.: B

- 13 -
Resolución 25
Se tiene:
R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}
Definida en: A = {2; 3; 5; 7}
Cumple:
Rpta.: C
Resolución 26
A = {2; 3; 4}
En “A” se define la siguiente relación:
R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}
y es reflexica
à (2; a) = (2; 2) → a = 2
à (b; 4) = (4; 4) → b = 4
à (3; c) = (3; 3) → c = 3
Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3
∴ a + b + c = 9 Rpta.: D
Resolución 27
Hallamos los elementos del conjunto A
A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A
à R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4)
Dom R = {4; 6; 8}
Ran R = {2; 3; 4} Rpta.: D
Resolución 28
Analizamos cada relación:
* R1 ={(x; y) / x es hermano de y}
Luego: (x; y) ∈ R1 ∧ (x; z) ∈ R1
à (x; z)∈ R1 (sí cumple)
∴R1 es transitiva.
* R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y}
Luego: (x; y)∈ R2 ∧ (y; z) ∈ R2
à (x; y)∈ R2 (sí cumple)
∴R2 es transitiva.
* R3 = {(x; y)/ x es padre de y}
Luego: (x; y)∈ R3 ∧ (y; z)∈ R3
pero: (x; z)∉ R3 (No cumple)
∴R3 no es transitiva.
∴ Son transitivas: R1 y R2 Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}
* R1 ={(a; b)/a + 2 = b}
à R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)}
Dom R1= {2; 3; 4; 5} → n(DomR1) = 4
* R2 = {(a; b)/a+3=b}
à R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}
Ran R2 = {5; 6; 7} → n(Ran R2)=3
Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7 Rpta.: C
Resolución 3
Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}
como:
R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a − 1);(c; c)}
Es reflexiva
à (2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) ∈ R
à c = 7
Como: (a; 3) ∧ (b; a − 1) ∈ R
à b = 2 ∧ a = 3
∴ a + b + c = 12
Luego, la relación quedaría así:
R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)}
14243
como: (2; 3) ∈ R ∧ (3; 3) ∈ R
à (2; 3) ∈ R
como: (2; 4) ∈R ∧ (4; 4) ∈R
à (2; 4) ∈ R
Resolución 2
Hallamos los elementos de “A”
A={5; 7; 9; 11}
Se tiene además que:
R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b − 1; 11)}
Es reflexiva y simétrica.
à (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) ∈ R
Luego, se debe cumplir que:
à c + b − 1= 11
c + b = 12
7 5
Además como:
(a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b − 1; 11) ∈ R
(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; (11; 11) ∈ R
à a = 9 ; b = 5 ; c = 7
∴ a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21 Rpta.: A

- 14 -
UVW à c = 5
Como: (a; c) ∧ (c; a) ∈R à (a; a) ∈ R
cumple.
Luego: (c; a) ∧ (a; c)∈R
Pero (c; c) ∉ R
∴ No es transitiva
Relación correcta: VVF Rpta.: C
Tenemos que:
(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) ∈ R
y {2; 3; 4; 5} ∈A
∴ R es reflexiva.
Además: (a; b)∧(b; c)∧(a; c) ∈R
(3; 2)∧(2; 4)∧(3; 4)∈R
∴ R es transitiva Rpta.: E
Resolución 9
Se tiene: M = {8; 9; 10}
Además:
R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)}
es reflexiva.
Como: (c + 5; 2c)∧(10; 10) ∈R
à c + 5 = 10
à 2c = 10
Como: (a; 8)∧(8; 8) ∈R
à a = 8
Como: (b + 5; 9)∧(9; 9)∈R
à b + 5 = 9 → b = 4
∴ a + b – c = 8 + 4 − 5 = 7 Rpta.: C
Resolución 10
Como:
R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)}
es simétrica.
à (2; 3) ∧ (3; b) ∈R
∴ b = 2
à (4; 9) ∧ (9; c + 1)∈R
à c + 1 = 4 → c = 3
R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)}
à (9; 9) ∧ (a + 2; 9)∈R
à a + 2 = 9 → a = 7
∴ a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12 Rpta.: C
Resolución 6
n° de relaciones = 2
2 2×
= 24 = 16
Rpta.: E
Resolución 7
I. Si R es una relación de equivalencia, entonces R es
simétrica ... (Verdadero)
II. Dado A={2; 3; 4} en él se pueden definir 512 relaciones
diferentes ... (Verdadero)
ya que: # de relaciones = 23×3 = 29 = 512
III. Dado B = {a; b; c; d} se define R⊂B ×B tal que R = {(a;
c);(b; d);(c; a);(a; a)}
Entonces R es transitiva ........ (Falso)
Resolución 4
Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}
R = {(x; y)/x + y, es número par}
à R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);
(5; 9);(9; 5);(9; 9)}
∴ n(R) = 8 Rpta.: B
Resolución 5
I. Una relación R definida en el conjunto A es simétrica
si(x; y) ∈ R, entonces (y; x) ∈ R ....................... (Verda-
dero)
II. Toda relación de equivalencia es una relación simé-
trica ........... (Verdadero)
III. n(A × B) = n(A)× n(B) ..... (Verdadero)
IV. Toda función es una relación ...........
....................................... (Verdadero)
∴ Relación correcta: VVVV Rpta.: B
∴ Es transitiva Rpta.: A
Resolución 8
Del gráfico:
Resolución 11
Como:
R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6);
(e; e + 2);(6; 4);(d; 5)}
es de equivalencia.
Como: (6; 4) ∧ (4; 5)∈R
à (6; 5)∈R

- 15 -
Por deducción: (d; 5) = (6; 5)
à d = 6
Como: (4; 5) ∧ (5; 6)∈R
à (4; 6)∈R
Por deducción: (e; e + 2) = (4; 6)
à e = 4
Como: (5; 6) ∧ (6;5)∈R
à (5; 5)∈R
Pero hay: (a; a)=(5; 5) → a = 5
(b; b) = (6; 6) b = 6
R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}
Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)
à c = 4
a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4
∴ a + b + c + d + e = 25 Rpta.: E
Resolución 12
Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)}
Analizamos las alternativas, vemos que cumple la “B”
R a b ab a b= = +; /b go t4
13 = 1 + 4(3) = 13
26 = 2 + 4(6) = 26
39 = 3 + 4(9) = 39 Rpta.: B
Resolución 13
M = {x∈ / −2 ≤ x < 2}
à M = {−2; −1; 0; 1}
N = {3x − 2/ 4 < x < 7 ; x ∈ IN }
à N = {13; 16}
Luego: M×N = {(−2; 13);(−2; 16);(−1; 13);
(−1; 16);(0; 13);(0; 16);
(1; 13);(1; 16)}
∴ (−2; 5) ∉ M × N Rpta.: B
Resolución 14
Analizamos cada alternativa:
A) {1; 3} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos
B) {2; 4} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos
C) {1; 2; 3; 4} × {4; 6; 8} → tiene 12 elementos
D) {1; 2; 3; 4} × {2; 3; 4; 6; 7; 8}
→ tiene 24 elementos
E) {1; 2; 3; 4} ×{2} → tiene 4 elementos
Rpta.: D
Resolución 15
S = {6 − 3x / 5 ≤ x < 7 ; x ∈ }
S = {6 − 3(5) ; 6 − 3(6)}
S = {−9 ; –12}
S2 = {(−9; −9);(−9; −12);(−12; −9);(−12; −12)}
Rpta.: B
Resolución 16
Hallamos los elementos de cada conjunto:
A = {3x + 4 / −6 < x ≤ 1 ; x ∈ }
à A = {−11; −8; −5; −2 ; 1; 4; 7}
B
x
x x=
−
− ≤ < ∈
RST
UVW
2
2
6 3/ ;
à
7 5 3 1
B 4; ; 3; ; 2; ; 1; ; 0
2 2 2 2
− − − − 
= − − − − 
 
Hallamos los elememtos de R:
R x y A B y
x
= ∈ =
+RST
UVW; × /b g 5
2
R = − − −
−F
HG I
KJ −
RST
UVW11 3 8
3
2
5 0; ; ; ; ;b g b g
Rpta.: D
Resolución 17
Hallamos los elementos de “T” :
T = {2x2 −10 / −3 ≤ x < 4 ; x ∈ }
T = {−10; −8; −2; 8}
Ahora se sabe que:
R = {(x; y)∈ T × IN/ y = 4 − 2x}
Hallamos los elementos de la relación R:
R = {(−2; 8);(−8; 20);(−10; 24)}
∴ Dom R = {−2; −8; −10} Rpta.: E
Resolución 18
Hallamos los elementos de “J” :
J = {10 − x2 / −6 < x ≤ 2 ; x ∈ }
J = {−15; −6; 1; 6; 9; 10}
Ahora, se sabe que:
R = {(x; y)∈ J × / y = 30 − 3x}
Hallamos los elementos de la relación R.
R = {(−15; 75);(−6; 48);(1; 27);(6; 12);
(9; 3);(10; 0)}
∴ Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75}
Rpta.: A

- 16 -
Resolución 24
La ecuación de la parábola es de la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k) ... (α)
Donde: vértice = (h; k)
Sea la parábola: y = 2x2 + 4x − 1
Para hallar el vértice damos la forma de (α), completando
cuadrados:
y = 2x2 + 4x − 1
y = 2(x2 + 2x) −1
y = 2[(x + 1)2 − 1] −1
y + 1= 2(x + 1)2 − 2
y + 3 = 2(x + 1)2
(x + 1)2 =
1
2
(y + 3)
à (x − (−1))2 =
1
2
(y − (−3))
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: h = −1 ∧ k = −3
∴ Vértice = (−1; −3) Rpta.: A
Notamos que:
{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es función de A en B.
Ya que: 9 ∉ A Rpta.: C
Resolución 21
Sabemos que: f(x) = 4x − 1
g(x)= 2x + 13
Hallamos: g(−7) = 2(−7) + 13
à g(−7) = −1
Luego: f(g(−7)) = f(−1) = 4(−1)−1 = −5
∴ f(g(−7)) = −5 Rpta.: E
Resolución 22
Para graficar: y = 2x + 1
Hacemos: x = 0 à y = 2(0) + 1
y = 1
Obteniendo la coordenada: (0; 1)
Hacemos: y = 0 à 0 = 2x + 1
x =
−1
2
Obteniendo la coordenada:
−F
HG I
KJ1
2
0;
Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:
Rpta.: B
Resolución 23
Los valores del rango están expresados
por los valores que toma “y”
Tenemos que: h x x( ) = −
1
3
4 ; x ∈ −3 6;
y x= −
1
3
4 ∧ −3 < x ≤ 6
Damos forma conveniente a:
−3 < x ≤ 6
−
< ≤
3
3 3
6
3
x
− < ≤1
3
2
x
(Restamos: 4)
− − < − ≤ −1 4
3
4 2 4
x
123
−5 < y ≤ −2
∴ Rango = − −5 2; Rpta.: E
Resolución 19
Por dato:
{(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una función
à (a; 3b) = (a; a + b)
3b = a + b → 2b = a
Luego: (a; 3b) = (2b; 3b)
à (2b; 3b) = (2b; 12)
3b = 12 → b = 4
à a = 8
Finalmente: a − b = 8 − 4 = 4
∴ a − b = 4 Rpta.: C
Resolución 20
Hallamos los elementos de los conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7}
B = {0; 1; 2}

- 17 -
Resolución 25
Sea: y = 3x2 − 12x + 20 (Parábola)
Como: 3 > 0 ; la gráfica se abrirá hacia arriba
à Las alternativas descartadas.
Completamos cuadrados para hallar el vértice.
y = 3x2 − 12x + 20
y = 3(x2 − 4x) + 20
y − 20 = 3[(x − 2)2 − 4]
y − 20 = 3(x − 2)2 − 12
y − 8 = 3(x − 2)2
(x − 2)2 =
1
3
(y − 8)
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: h = 2 ∧ k = 8
à Vértice = (2; 8)
Luego, la gráfica es:
Rpta.: C
Resolución 26
Como: f(x) = 3x2 − 1
Hallamos: f(5) = 3(5)2 − 1 = 3(25) −1
à f(5) = 74
f(2) = 3(2)2 − 1 = 3(4) -1
à f(2) = 11
f 6 3 6 1 3 6 1
2
e j e j= − = −( )
à f 6 17e j=
Reemplazamos estos valores hallados en:
f f
f
5 2
6
74 11
17
85
17
b g b g
e j
+
=
+
=
∴
f f
f
5 2
6
5
b g b g
e j
+
= Rpta.: A
Resolución 27
Se tiene:
De la gráfica, vemos que: f(0) = −9
f(–1)= −5
f(−2) = −9
Luego:
k = f(0)+f(−1)+f(−2) = (−9)+(−5)+(−9)
∴ k = −23 Rpta.: C
Reemplazamos los valores hallados en:
f(−2) + (g(4))2 = 23 + 13
2
e j
∴ f(−2) + (g(4))2 = 36 Rpta.: B
Resolución 28
Sea: f(x) = 4x2 − 2x + 3
à f(−2) = 4(−2)2 − 2(−2) + 3 = 4·4 + 4 + 3
à f(−2) = 23
Sea: g(x) = x2
3−
à g 4 4 3 16 32
b g= − = −
à g 4 13b g=
Resolución 29
El rango viene a ser los valores que toma “y”
Así, tenemos que:
f x xb g= −
1
2
3 ∧ x ∈ −2 4;
y x= −
1
2
3 ∧ −2 < x < 4
−
F
HG I
KJ < <
F
HG I
KJ2
1
2
1
2
4
1
2
x
− < <1
1
2
2x
− − < − < −1 3
1
2
3 2 3x
123
−4 < y < −1
∴ Rango = − −4 1; Rpta.: D

- 18 -
Como: (7; 4) ∧ (4; 8)∈R ∧ (7; 8) ∈R
à R no es transitiva.
Luego: R es reflexiva y simétrica.
∴ Cumple: sólo I y II Rpta.: C
Resolución 32
Si f(x) = x2 + 3
à f(10) = 102 + 3 = 103
à f 40 40 3 43
2
e j e j= + =
à f 20 20 3 23
2
e j e j= + =
Reemplazamos los valores hallados en:
f f f10 40 20b g e j b g+ +
103 43 23 169+ + =
= 13 Rpta.: B
Resolución 33
Del gráfico:
Vemos que: f(0) = 3
f(1) = 2
f(2) = 3
Luego: M = f(0) + f(1) − f(2)
M = 3 + 2 − 3
∴ M = 2 Rpta.: D
Como: (1; 2) ∧ (2; 1) ∈R à (1; 1) ∈ R
à (a; a) = (1; 1) a = 1
Como: (2; 1) ∧ (1; 2) ∈R à (2; 2) ∈R
à (c; c) = (2; 2) c = 2
Como: (2; 1) ∧ (1; b) ∈R à (2; b) ∈ R
Como: (2; 3) ∈R ∧ (2; b) ∈R
à (2; 3) = (2; b) à b = 3
∴ a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6 Rpta.: C
Como ∀ a ∈ A ∃ (a; a)∈R
à R es reflexiva.
Como: ∀ (a; b)∈R à (b; a) ∈R
à R es simétrica.
Resolución 34
Sabemos que:
R = {(1; 2);(2; 1);(a; a);(c; c);(2; 3);(1; b)}
es transitiva.
Resolución 30
Para graficar es suficiente conocer 2 puntos, ya que la
función es una recta.
Hallamos dichos puntos:
* Para: x = 0 à y = −
0
2
1 → y = –1
Dando el punto : (0; 1)
* Para: y = 0 à 0
2
1= −
x
→ x = 2
Dando el punto: (2; 0)
Ubicamos los puntos y graficamos:
Rpta.: C
Resolución 31
Sea la parábola: y = −x2 + 2x − 1
A esta ecuación le damos la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: vértice = (h; k)
Multiplicamos por (−1)a ambos lados:
y = −x2 + 2x −1
−y = x2 − 2x + 1
−y = (x − 1)2 , le damos forma
(x − 1)2 = −1 (y − 0)
h = 1 k = 0
∴ Vértice = (1; 0) Rpta.: C Resolución 35
Dado el conjunto: A = {4; 8; 7; 9}
y la relación
R = {(4; 4);(4; 8);(4; 7);(8; 8);(8;4);(7; 7);
(7; 4);(9; 9)}

- 19 -
CAPÍTULO N° 3
LEYES DE EXPONENTES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(110, 111, 112)
NIVEL I
Resolución 1
Aplicando: Am + n = Am · An
Obtenemos:
5 5
4 5
5 5 5
4 5
1 1m m
m
m m
m
+
−
=
−
·
·
·
=
−
= =
5 1
4
4
4
1 Rpta.: A
Resolución 2
Aplicando: (−b)par = bpar
(−b)impar = −bimpar
Obtenemos:
(22)3 − (−2)4 − (−2)5 = 43 − 24 − (−25)
= 64 − 16 + 25
= 64 − 16 + 32
= 80 Rpta.: C
Resolución 3
Aplicando: Am + n = Am · An
Obtenemos:
2 2
3
2 2 2
3 3
3
2
1 3
2
1a a
a
a a a
a
a+
+
+L
NMM
O
QPP =
+L
NMM
O
QPP
/ /
·
·
=
+L
N
MMM
O
Q
PPP
2 2 1
3 9
3
1
a
a
a
e j
·
/
=
L
NMM
O
QPP =
L
NMM
O
QPP
2 9
3 9
2
3
1 1a
a
a a
a
a
·
·
/ /
=
F
HG I
KJL
N
MM
O
Q
PP
2
3
1a a/
=
2
3
Rpta.: B
Resolución 4
Aplicando: (−b)impar = −bimpar
A Am n P
m n p
e jL
NM O
QP = × ×
Obtenemos:
M
x x
x
=
L
NM O
QP
L
NM O
QP
−
−
−
−
6 2 3 2
4 2 3
· ( )
e j
Resolución 5
Si 12x = 4 · 3x = 3x · 4
à x12 = x4·3x = x3x·4
Aplicando: Am×n = (Am)n
Obtenemos: x x xX x x12 3 4 3 4
= =·
e j
∴ El exponente de x3x es 4 Rpta.: B
M
x x
x
=
F
HG I
KJ−
−
− −
6 23
2
4 2 3
·
( )·( )·( )
M
x x
x
=
−FH IK −
6
23 2
24
·
·b g
M
x x
x
=
− −6 8 2
24
· ( )·( )
M
x x
x
x= = + −
6 16
24
6 16 24·
∴ M = x−2 Rpta.: D
Resolución 6
Aplicando: (Am)n = Am×n
b1 = b ∧ b° = 1
Obtenemos:
a a a a a7 3 4 15 4 6 2 7 0
· · · ·e j e j−
=
= a7· a3×4· a1· a−4×6· a21
= a7·a12·a1·a-24·a2
Aplicando: Am·An·Ap=Am+n+p
Obtenemos: a7+12+1+(−24)+2 = a−2 Rpta.: D
Resolución 7
Tenemos que: x6 = x3·x3 ∧ x4 = x3·x
à (x6 + x4)x-3 = (x3·x3+x3·x)x-3
= (x3·(x3+x))x-3
= x3·(x3 + x)·
1
3
x
= x3 + x ... (α)

- 20 -
1
3 1 3
3
1 1
27 27
27
64
−
=−
=
=
−
64
1
273
=
−
64
1
3
= = =
1
64
1
64
1
41 3 3/
Rpta.: C
Obtenemos:
− + = − +2 4 2 4
251 2 271 3 25 273
b g b g b g b g/ /
= (−2)5 + (4)3
= −25 + 43
= −32 + 64
= 32 Rpta.: C
Iguales
Aplicando: A An n=
1
Am · An = Am + n
Obtenemos:
x x xa a
1
3
1
2
5
12· =
x x
a a
1
3
1
2
5
12
+
=
x x
a a
a
2 3
6
5
122
+
=
x x
a
a
5
6 2
5
12
=
x x
a
5
6
5
12
=
à
5
6
5
12a
=
12 · 5 = 5 · 6a
12 = 6a → a = 2 Rpta.: B
Resolución 10
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
∧ b° = 1
Obtenemos:
Resolución 8
Por dato:
x x xa a3 2 5 12
· /
=
Pero: x3 = 8 → x3 = 23
x = 2
Luego: x3 + x = 8 + 2 = 10 Rpta.: C
Resolución 9
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
Obtenemos:
5 2
5 2
5 2
1
5
1
2
n n
n n
n n
n n
+
+
=
+
+
− −
=
+
+
5 2
2 5
5 2
n n
n n
n n
·
=
+
+
5 2 5 2
2 5
n n n n
n n
e j ·
= 5n · 2n = (5 · 2)n
= 10n Rpta.: B
Resolución 11
Sabemos que: x −n = 9 ............. (α)
à
1
9
xn
= à xn
=
1
9
.... (β)
Aplicando: Am·n = (Am)n
Tenemos que:
81x2n + x−2n = 81xn·2 + x−n·2
= 81(xn)2 + (x−n)2
Reemplazamos: (α) y (β)
=
F
HG I
KJ +81
1
9
9
2
2
b g
= +81
1
81
81·
= 82 Rpta.: C
Resolución 12
Aplicando: A A
n n
1
=
(−b)impar = −bimpar

- 21 -
Resolución 13
Aplicando: a b a bn nn
= ·
A A
pmn n m p
=
× ×
Obtenemos:
2 2 2 2
8
2
8
F
HG
I
KJ =
F
H
GG
I
K
JJ·
= F
H
I
K2 222 2 2
8
·
× ×
= 8
8 8
e j
= 8 Rpta.: C
Resolución 14
= ·
A Amn m n
=
/
Obtenemos:
3 3 3 35 2 5 2 2− −
= e j ·
= −
3 310 22 2
·×
= =−
3 310 24 84
= 3
8
4
= 3 2
∴ El exponente de 3 es 2 Rpta.: B
Resolución 15
b° = 1
Obtenemos:
( )
( )
( ) ( )
3
5
5
6
101 531 3
1 1 53
0
7 · 5
7 · 5
12 4 6 8 10
−
−
− × −
 
 
   
   
    
   
=
+ + + +
= 7 5
3
5
53
·
×
= 7 533
·
= 7 × 5
= 35 Rpta.: B
U
V|
W| M
14243
n
Entonces:
M
M
=
8
à M
M
2 8
=
Resolución 16
Sea: K = +3 3 3 6......
Hacemos:n
n
= 3 3 3......
1 244 344
à n n= 3·
n2 = 3n → n = 3
Reemplazamos el valor de “n” en:
K = +3 3 3 6......
K n= + = + =6 3 6 9
∴ k = 3 Rpta.: A
Resolución 17
Sea: M =
8
8
8
M
M3 = 8
M = 2
Luego: 4 + M = 4 + 2 = 6 Rpta.: B
Resolución 18
x y x y x y
xy xy xy xy
veces
veces
· · · · ...... · ·
· · · ...... ·
3 3 3
60
20
6 7444444 8444444
1 244444 344444
x x x x y y y y
xy
veces veces
· · · ... · · · · · .... ·
30
3 3 3 3
30
20
6 74444 84444 6 74444 84444
e j
x y
x y
e j e j
30
3
30
20 20
·
·
Aplicando: A Amn
m
n=
A
A
A
m
n
m n
= −

- 22 -
= = =4 4 4
1
4
1
2
= 2 Rpta.: A
Obtenemos:
2
2
43 3
· 3
2 4
−
    
 +   
     
9
4
3
4
81
12
4
81
2 2
+
L
NM O
QP =
L
NM O
QP
− −
· ·
= 3−2·81
=
1
3
812
·
= =
1
81 9
1
9
9
·
Rpta.: B
= −
2
2 2
2 9
20 8
e j
·
= + −
2
2
2 9
20 8
×
( )
= =
−2
2
2
18
12
18 12
= 26 = 64
Rpta.: B
Aplicando:
A
B
B
A
n n
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ
−
1
A
An
n
−
=
Resolución 19
Tenemos:
2
2 1
4
2 4 1
3 3 3
−
− −
−
    
 + ⋅   
     
Obtenemos:
x y
x y
x y
x y
x
x
30
2
30
3
20
2
20
2
15 10
10 10
15
10
·
·
·
·
= =
= x15-10
= x5 Rpta.: C
Resolución 20
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
∧ A An n
1
=
Obtenemos:
NIVEL II
Resolución 1
Aplicando: Am·An·AP = Am+n+p
A Am n m n
e j = × A
A
A
m
n
m n
=
−
Obtenemos:
4 4 4
2 16
4
2 2
4
2 2
7 6 10
20 2
7 6 10
20 4 2
9
20 4 2
−
−
− + +
− −
= =
· ·
· · · ×( )
e j
Resolución 2
Sea:
3 5 8 2
2
81 25 2 2
2
4 2
3 4
3
3 4
−
=
−
+ +
e j b g e j· · · ·x
x
x
x
Aplicando: A Am
n
m n
e j = ×
A A Am n m n+
= ·
Obtenemos:
81 25 2 2
2
56 2 2
2 2
3
3 4
3
3 4
−
=+
b g e j· · · ·
·
x
x
x
x
= =
56 2
16
7
·
Rpta.: B
Resolución 3
R
x x
x
=
L
NM O
QP
L
NM O
QP
−
−
−
−
12 3
4
3
6 3 2
· e j
e j
Aplicando: ( )
p
nm m n p
A A × × 
= 
 
A Am n m
n
×
= e j
Obtenemos:
R
x x
x
=
− −
− −
12 3 4 3
6 3 2
·
( )· ·( )
( )· ·( )
R
x x
x
x x= = =
12 36
36
12 2 6· ×
R x= 2 6
e j
∴ EL exponente de “x2” es 6 Rpta.: B

- 23 -
Resolución 4
Reducimos: x x xa a a
· ·2 3
Aplicando: A Amn
m
n
=
Obtenemos:
1 1 1
a 2a 3a
x · x · x
Aplicando: Am·An·Ap = Am+n+p
Obtenemos:
x
a a a
1 1
2
1
3
+ +
x
a
11
6 ← Es de grado=
1
12
à
11
6
1
12a
= → a = 22
Reemplazamos el valor de a = 22 en:
x xa11 2211
=
Aplicando: A Amn
m
n
=
Obtenemos:
x x x2211
22
11 2
= =
∴ El grado es 2 Rpta.: B
Resolución 5
Reducimos: x x xn2
·
= ·
A Anm m n
=
×
Obtenemos: x x x x x xn n2 2 2
= · ·
= x x xn2 24
·
Aplicando: Am·An = Am+n A Amn
m
n
=
= +x x n2 4 2· =
+
x x
n
2
2
4
·
=
+
+
x
n
2
2
4
Por dato: 2
2
4
4+
+
=
n
Grado
Resolución 6
Sea:
2 4
2 8
14 5
10 2
+
+
Aplicando: A Am n m n
e j = ×
Obtenemos:
2 2
2 2
2 2
2 2
14 2 5
10 3
2
14 10
10 6
+
+
=
+
+
e j
e j
=
+
+
2 2 2
2 2 1
6 8 4
6 4
e j
e j
=
+
+
2 2 1
2 1
4 4
4
e j
= 24 = 16 Rpta.: E
Resolución 7
Aplicando: A Amn
m
n
=
Am·An = Am+n
Reducimos:
x x x xa a a a5 32
1
5
3
2
· ·=
2
4
2
+
=
n
à 2 + n = 8
∴ n = 6 Rpta.: C
=
+
x
a a
1
5
3
2
= x
a
17
10
Por dato: x x
a
17
10
17
20
=
Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.
17
10
17
20a
=
∴ a = 2 Rpta.: B
Resolución 8
= =2 216 2 8×
Aplicando: Am×n = (Am)n
Obtenemos:
∴ Es la octava potencia Rpta.: D

- 24 -
4
9
4
9
32
1
25 32
1
5
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ
−
−
−
−
=
F
HG I
KJ
−
4
9
1
321 5/
=
F
HG I
KJ
−
4
9
1
325
=
F
HG I
KJ
−
4
9
1
2
=
F
HG I
KJ = =
4
9
9
4
3
2
1
2
Rpta.: B
Resolución 10
Aplicando: Am+n = Am·An
Tenemos que:
5 3
3 3 3
5 3 3
3 3 3 3 3 3
5
4 3 2
5
4 3 2
n
n n n
n
n n n
+
+ + +
− −
=
− −
e j e j· ·
· · ·
Factorizando:
5 3 3 3
3 3 3 3 1
2 3
2 2
· · ·
·
n
n
− −e j
5 3
3 3 1
135
5
3
2
·
− −
=
= 27 Rpta.: D
A
A
n
n
−
=
1
A An n
1
=4
9
32
1
251 2
F
HG I
KJ
−
−
/
Resolución 9
Aplicando:
A
B
B
A
n n
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ
−
A A
m
n mn
=
Tenemos que:
9
2
3
5
3
2
25
81
2
9
5
3
2
3
25
81
1 2
2 0 5
2
2 1 2
F
H
I
K +
F
H
I
K
F
H
I
K +
F
H
I
K
=
F
H
I
K+
F
H
I
K
F
H
I
K +
F
H
I
K
− −
− , /
=
+
+
2
9
25
9
4
9
25
81
=
+
=
27
9
4
9
5
9
3
9
9
= 3 Rpta.: C
Resolución 12
4
9
32 25 1 2
F
HG I
KJ
− − − / Sabemos que:
Resolución 11
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
An·Bn = (A·B)n
Tenemos que:
E
n n
n n
n=
+
+− −
3 5
3 5
E
n n
n n
n
n n
n n
n n
n
=
+
+
=
+
+
3 5
1
3
1
5
3 5
5 3
3 5·
E n nn
= 3 5·
E
nn= 3 5·b g
∴ E = 15 Rpta.: C
Resolución 13
= ·
A A
pnm m n p
=
× ×
Tenemos que:
2 2 2 2
33
72
233
72
L
N
MMM
O
Q
PPP
=
L
N
MMM
O
Q
PPP
·
= 83 2 3 2 2
72
× × × ×
= 872
72
= 8 Rpta.: D
Resolución 14
Aplicando: A Amn
m
n
=
A
A
A
m
n
m n
= −
Tenemos que: 5
5
5
5
3
3
3
3
n nn
n n
n( )
( )
+
+
= =
+
5
5
3
3
n
= 5n + 3 − 3 = 5n
∴ El exponente de 5 es n
Rpta.: A

- 25 -
Resolución 15
Aplicamos la siguiente regla práctica:
x x x xm q srpn
mp q r s
npr
· ·
( )
=
+ +
x x xm qpn
mp q
np
· =
+
4 2 4
4 64
2 2 2
2 2
3
34
2 1 2223
2 634
· ·
·
· ·
·
=
(2·2 1)2 2
3·2·2
2·3 6
4·3
2
2
+ +
+
=
= =
2
2
1
12
12
12
12
Rpta.: A
Resolución 16
25 5 534
16
· ·−L
NM O
QP
5 5 52 342
16
· −L
NM O
QP
Aplicamos la siguiente regla práctica:
(mp q)r s
p nprrn m q s
x · x · x x
+ +
=
5 5 5 52 342
16 2 4 3 2 1
2 4 2
16
· ·
( · )
· ·−
− +
L
NM O
QP =
L
N
MM
O
Q
PP
=
L
N
MM
O
Q
PP5
11
16
16
Tenemos que: =
L
N
MM
O
Q
PP = =5 5 5
11
16
16 11
16
16
11
×
∴ El exponente de 5 es 11 Rpta.: C
Resolución 17
Tenemos que:
5 5 5 5 5 25· · · ...· · ·
5 5 5 5 5 5· · · ...· · ·
5 5 5 5 25· · · ...· ·
5 5 5 5 5· · · ...· ·
5 5 5 25· · · ...·
5 25· = 5 5 25· = = 5
Rpta.: B
Resolución 19 Si: 8 26
= nn
Pero: 8 2 26 32 3
= =
×
Vemos que:
2 2 2 2 232 3 42 4 52 5 2
= = = = =
× × ×
.... aa
Como: 8 2 26 32 3
= =
×
nn
à 2 2
2
nn aa
=
.....Resolución 18
x x x x n
3
10 4 15
= − −
· ·
x x x x n
3
10 4 1 225
= − −
· ·
Aplicamos la regla práctica:
(mp q)r s
p nprrn m q s
x · x · x x
+ +
=
Obteniendo:
x x
n3
10
4 2 1 2
5 2 2
=
− −( · )
· ·
x x
n3
10
14
20=
−
Luego, a bases iguales, exponentes iguales.
à
3
10
14
20
=
− n
n = 8
Finalmente:
n + = + = =1 8 1 9 3 Rpta.: A

- 26 -
E
x y
x y
=
e j e j
60
5
60
3
30
·
Aplicando: A An m
m
n
=
(A·B)n = An·Bn
à A =
1
2
Resolución 20
Tenemos que:
E
x y x y x y
x y x y x y
veces
veces
=
· · · · ....· ·
· · .... ·
5 5 5
120
3 3 3
30
6 7444444 8444444
1 244444 344444
E
x x x x y y y
x y
veces
y
veces
=
F
H
I
K
· · · ... · · · · · ... ·
60
5 5 5 5
60
3
30
6 74444 84444 6 74444 84444
Luego: n = 2a ∧ 2n = 2a
→ 2(2a)= 2a
4a = 2a
Analizando:
Si a = 1 → 4(1) = 21
4 = 2 → no cumple
Si a = 2 → 4(2) = 22
8 = 4 → no cumple
Si a = 3 → 4(3) = 23
12 = 8 → no cumple
Si a = 4 → 4(4) = 24
16 = 16 → cumple
à a = 4
Entonces: n = 2a = 2(4) → n = 8
Hallamos: n + = + =1 8 1 9 = 3
Rpta.. D
Resolución 21
Aplicando: A
A
n
n
−
=
1
∧ A A
m
n mn
=
Calculamos:
= = =
−
16
1
16
1
16
1
4
1 4 4/
Obtenemos:
E
x y
x y
=
60
2
60
5
30
3
·
·e j
à E
x y
x y
=
30 12
10
·
·e j
Aplicando: A B A Bn n n
· ·=
Tenemos que: E
x y
x y
=
30 12
10 10
·
·
E
x y
x y
=
30
2
12
2
10
10
2
·
·
à E
x y
x y
=
15 6
10 5
·
·
Aplicando:
A
A
A
m
n
m n
=
−
Tenemos que:
E = x15−10 · y6−5
∴ E = x5 · y Rpta.: B

- 27 -
B = = = =
−
64
1
64
1
64
1
8
1
2
1 2/
à B =
1
8
Luego: A B· · ·−
−
=
F
HG I
KJ = =1
1
1
2
1
8
1
2
8 4
∴ A · B−1 = 4 Rpta.: B
2 3
x x
5 5
3 3
+
=
Si las bases son iguales, los exponentes serán iguales.
à
2
5
3
5
x
x= +
∴ x = −1 Rpta.. B
Resolución 24
Aplicando la siguiente fórmula:
x a a a a= · · · · ...
à x = a
Tenemos que:
A = 13 13 13· · · ...
à A = 13
B = 3 3 3· · · ...
à B = 3
Luego: A B+ = + =13 3 16 4
∴ A B+ = 4 Rpta.: D
Resolución 22
Aplicando: (Am)n = Am·n
A Amn
m
n
=
Am·An = Am+n
Tenemos que:
9 3 27
5 5x x
= ·
3 3 325 35
e j
x x
= ·
3 3 325 35x x
= ·
3 3 3
2
5
3
5
x
x
= ·
Resolución 23
Hacemos: M = 6 6 6 6· · · · ...
Esta expresión es
igual a "M"
1 244 344
M M= 6 ·
M2 = 6M → M = 6
Reemplazamos el valor de “M” en:
K = +19 6 6 6· · · ...
K M= +19
K = + = =19 6 25 5
∴ K = 5 Rpta.: C

- 28 -
• El exponente de la variable “z” es 6
à Grado relativo a “z” : G·R(z) = 6
Luego: G·R(y) + G·R·(z) = 1+ 6
∴ G·R·(y) + G·R·(z) = 7 Rpta.: C
A = 4
CAPÍTULO N° 4
POLINOMIOS EN IR
EJERCICOS DE REFORZAMIENTO (POLINOMIOS). Pág.(135, 136, 137, 138)
NIVEL I
• El exponente de la variable “y” es 1
à Grado relativo a “y” : G·R·(y) = 1
B =
125
125
125
M
à B = 1253
B = 5
Luego: A B+ = + = =4 5 9 3
∴ A B+ = 3 Rpta.: B
Resolución 25
Aplicando la siguiente fórmula:
x
a
a
a
a
=
M
à x a= 3
Tenemos que:
A =
64
64
64
M
à A = 643
Resolución 1
Sea: Q(x; y; z) = 8x4yz6
Resolución 2
Sea: 5x2a-b+3 y3b+1
Luego: G·R·(x) = 2a − b + 3 = 6 ... (I)
G·R·(y) = 3b + 1 = 16 ....... (II)
De (II) tenemos que:
3b + 1 = 16
3b = 15 → b = 5 Rpta.: C
Resolución 3
Sea: P(x; y) = 9xy3b − 1
à G(P) = 1+ (3b − 1) = 3b
à G(P) = 3b
Resolución 4
Sea el monomio: P(x; y) = 12x3n+2 y6
Grado del monomio: G(P) = (3n + 2) + 6 ...(I)
Por dato: G(P) = 14 ............................... (II)
De (I) y (II) tenemos que:
(3n + 2) + 6 =14
3n + 8 = 14
3n = 6 → n = 2
Rpta.: A
Sea: Q(x; y) = 5xy11
à G(Q) = 1 + 11 = 12
à G(Q) = 12
Como: P(x; y) = 9xy3b−1 y Q(x; y) = 5xy11
Son términos semejantes, entonces sus grados son igua-
les:
à G(P) = G(Q)
3b = 12 → b = 4 Rpta.: B

- 29 -
Resolución 5
Efectuando: (x5· ya)(x4·y3)=x5+4 ·ya+3
= x9 ya+3
Hallamos el grado del monomio x9ya+3 :
Grado = 9 + (a + 3)
Por dato: Grado = 17
à 9 +(a + 3) = 17
∴ a = 5 Rpta.: C
Resolución 6 Sea:
( )
6 m 9 n
2 m
x y
R x; y
x
− +
−
=
R(x; y) = x(6−m)−(2−m) y9+n
R(x; y) = x6−m−2+m y9+n
R(x; y) = x4 y9+n
G.A.(R) = 4 +(9 + n)
Por dato: G·A·(R) = 21
à 4+(9+n) = 21
13 + n = 21
∴ n = 8 Rpta.: C
Resolución 7
Reducimos:
P(a) = −5a(a + 2)− 6a(a − 3)+ 3a(a − 2)+ 8a2
P(a) = −5a2 − 10a − 6a2 + 18a + 3a2 − 6a + 8a2
P(a) = −5a2 − 6a2 + 3a2 + 8a2 − 10a + 18a − 6a
P(a) = −11a2 + 11a2 + 2a
∴ P(a) = 2a Rpta.: A
Resolución 8
Reducimos:
E = −x−(−x−y) − (−y + x)− y
E = − x + x + y + y − x − y
∴ E = y − x Rpta.: B
Resolución 9
Sea:P(x; y; z) = 6x3y2z5 − 9x2y6z4 + 13xy7z5
Grado del monomio: 6x3y2z5
à 3 + 2 + 5 = 10
Grado del monomio: 9x2y6z4
à 2 + 6 + 4 = 12
Grado del monomio: 13xy7z5
à 1 + 7 + 5 = 13
Luego: grado absoluto del polinomio es:
G·A· (P) = 13 Rpta.: C
Resolución 10
Sea: R(x) = x4m−3 + x4m−5 + 6
Como el grado absoluto de R(x), es igual al mayor grado
absoluto de uno de sus téminos, analizamos y vemos que:
4m − 3 > 4m − 5
à G·A·(R) = 4m − 3
Por dato: G·A·(R) = 25
à 4m − 3 = 25
∴ m = 7 Rpta.: C
Resolución 11
Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm−1 + 11mxm−2
Analizando los exponentes de cada término, vemos que:
m > m − 1 > m − 2
à G·A·(Q) = 6
Por dato: G.A(Q) = 6
à m = 6
El coeficiente de mayor valor será:
11m = 11(6) = 66 Rpta.: D
Resolución 12
Si: M = a3xa+8 yb-4
N = b2 xb+5 y-a+5
Donde: “M” y ”N” son términos semejantes
à x a+8 = x b+5
a + 8 = b + 5
a − b = –3 ........... (I)
à y b−4 = y −a+5
b − 4= −a + 5
b + a = 9 ........... (II)
Sumando (II) + (I):
b + a = 9 (+)
a − b = −3
2a = 6 → a = 3
Reemplazando el valor de “a=3” en (I) tenemos que:
3 − b = −3
b = 6
Luego: a×b = 3×6 = 18 Rpta.: B
Resolución 13 Sea:
P(x; y) = 3xa−8y6 + 4xa−11y5 + 7xa−13y20
Analizando los exponentes de“x” tenemos que:
a−8 > a − 11 > a − 13

- 30 -
Resolución 14 Sea:
Q x y x yaa
; ·b g= − 3 62
Q x y x yaa a
; ·b g=
− −32 62
Q x y x y
a
a a
; ·b g= − −
3
2
6
2
Por dato: G·A·(Q) = 9
à
3
2
6
2
9
a
a a−
+
−
=
3 6
2
9
a
a
+
−
=
3a + 6 = 9(a − 2)
3a + 6 = 9a − 18
24 = 6a → a = 4 Rpta.: B
Resolución 16 Sea:
P(x; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y2n−1
Donde:
* Grado del monomio 6xm+2 yn+3 es:
(m + 2) + (n + 3) = m + n + 5
* Grado del monomio 4xm+1 y2n − 1 es:
(m + 1) + (2n − 1) = m + 2n
Como: P(x; y) es homogéneo
à m + n + 5 = m + 2n
∴ n = 5 Rpta.: C
à G·R·(x) = a − 8
Por dato: G·R·(x) = 5
à a − 8= 5 → a = 13
Luego:
P(x; y) = 3x13−8y6 + 4x13−11y5 + 7x13−13y20
P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20
Donde:
• Grado del monomio: 3x5y6 es:
5 + 6= 11
• Grado del monomio: 4x2y5 es:
2 + 5 = 7
• Grado del monomio: 7y20 es:
20
∴ G·A·(P) = 20 Rpta.: B
Resolución 15 Reduciendo:
E
x x x
x x
=
L
NM O
QP
L
NM O
QP
5 3 4
2
3
2 4 5
3
e j
e j
· ·
·
E
x x x
x x
=
5 3 4
2
3
2 4 5
3
×
×
· ·
·
E
x x x
x x
=
15 4 2 3
8 5
3
· ·
·
à E
x x
x
=
+
+
15 4 2 3
8 5 3
·
E
x x
x
x x
x
= =
19 2 3
13 3
19 2 3
13 3
· ··
·
= x38 + 3 − 39
= x2
∴ Grado del monomio =2
Rpta.: B
Resolución 17
Reemplazamos los valores de x = 3 e y = −1 en:
x−y·(−2y)x
Obteniendo: (3)-(-1)·(−2(−1))3 =
=31·23 = 3·8 = 24 Rpta.: B
Resolución 18
Como: a = 2 ; b = −3 ; c = 4
à E = (aa + ca − ba)a
E = (22 + 42 − (−3)2 )2
E= (4 + 16 − 9)2 = 112
∴ E = 121 Rpta.: C
Resolución 19 Sea:
P(x) = 4x + 1
à P(1) = 4(1) + 1 → P(1) = 5
à P(2) = 4(2) + 1 → P(2) = 9
à P(3) = 4(3) + 1 → P(3) = 13
à P(0) = 4(0) + 1 → P(0) = 1
Luego: E
P P
P P
=
+
+
=
+
+
=
1 2
3 0
5 9
13 1
14
14
b g b g
b g b g
∴ E = 1 Rpta.: B

- 31 -
Resolución 20 Sea:
P(x−5) = 5x + 5
* Si P(−1) = P(x−5)
à −1 = x − 5 → x = 4
∴ P(−1) = 5(4) + 5
P(−1) = 25
* Si P(0) = P(x − 5)
à 0 = x − 5 → x = 5
∴ P(0) = 5(5) + 5
P(0) = 30
* Si P(1) = P(x − 5)
à 1 = x − 5 → x = 6
∴ P(1) = 5(6) + 5
P(1) = 35
* Si P(−2) = P(x − 5)
à −2 = x − 5 → x = 3
∴ P(−2) = 5(3) + 5
P(−2) = 20
Luego:R
P P
P P
=
− +
+ −
=
+
+
=
1 0
1 2
25 30
35 20
55
55
b g b g
b g b g
∴ R = 1 Rpta.: B
Resolución 21 Sea: P(x) = 2x + 3
à P(2) = 2(2)+3 → P(2) = 7
Luego: P P P2 7b g =
Donde: P(7) = 2(7)+ 3
P P P7 17 2b g b g= =
∴ P P 2 17b g = Rpta.: D
Resolución 22 Sea: P(x+1) = x2
Hallamos “x” :
Si P(x+1) = P(2)
à x + 1= 2 → x = 1
∴ P(2) = (1)2 à P(2) = 1
Luego: P(P(2)) = P(1)
Hallamos “x” :
Si P(x+1) = P(1)
à x + 1= 1 → x = 0
∴ P(1) = 02 à P(1) = 0
NIVEL II
Resolución 1 Sea:
P(x; y) = (5xn+4·y2)5
P(x; y) = 55 ·(xn+4)5 ·(y2)5
P(x; y) = 55 · x5(n+4) · y10
P(x; y) = 55 · x5n + 20 · y10
Como el grado del monomio es 40
à (5n + 20) + 10 = 40
5n + 30 = 40
∴ n = 2 Rpta.: B
Luego: P P P P P P2 1 0b gc h b g b g= =
Hallamos “x”
Si P(x+1) = P(0)
à x + 1 = 0 → x = −1
∴ P(0) = (1−)2 à P(0) = 1
Finalmente:
P P P P P P2 1 0 1b gc h b g= = = Rpta.: B
Resolución 2
A = 2mxm+2 · y3m+n
B = 3nx3n−2 y4m−8
Como A y B son términos semejantes, en-
tonces la parte variable tienen los mismos
exponentes.
Así: m + 2 = 3n − 2 ........... (I)
3m + n = 4m − 8 ......... (II)
Sumando: (I) + (II)
m + 2 + 3m + n = 3n − 2 + 4m − 8
4m + n + 2 = 3n + 4m − 10
10 + 2 = 3n − n
12 = 2n → n = 6
Reemplazando: “n = 6” en (I):
m + 2 = 3(6) −2
m = 14
Reemplazando “n=6” y “m = 14” en A y B:
A = 2(14)x14+2 y3(14)+6
à A = 28x16 y48
B = 3(6)x3(6)−2 y4(14)−8
à B = 18x16 y48
Luego: A − B = 28x16 y48 −18x16 y48
∴ A − B = 10x16 y48 Rpta.: B

- 32 -
Resolución 7
Por dato: G·A·(R) = 3 ........ (I)
Luego: R x yaa
= − 3 62 3
·
R x ya a
=
−3 6
1
2 3
·e j
R x y
a
a a
=
− −
3
2 3
6
2 3
·
G·A·(R)=
3
2 3
6
2 3
a
a a−
+
−
G·A·(R) =
3 6
2 3
a
a
+
−
........ (II)
De (I) y (II), tenemos que:
3 6
2 3
3
a
a
+
−
=
3a + 6 = 3(2a − 3)
3a +6 = 6a − 9
15 = 3a
a = 5
Luego: P = 3x2a·y3a−1
P = 3x2(5)· y3(5)−1
P = 3x10· y14
Donde: G·A·(P) = 10 + 14
∴ G·A·(P) = 24 Rpta.: C
Resolución 8 Sea:
P(x; y) = (5a−1·xa+2 ·ya)2
P(x; y) = (5a−1)2 · (xa+2)2 ·(ya)2
P(x; y) = 52(a−1)· x2(a+2)·y2a
Donde: G·A·(P) = 2(a+2) + 2a
= 2a + 4 + 2a
G·A·(P) = 4a + 4
Por dato: G·A(P) = 16
à 4a + 4 = 16
4a = 12 → a = 3
Reemplazando el valor de: a = 3
− El coeficiente del monomio será:
52(a−1) = 52(3−1) = 52(2) = 54 = 625
Rpta.: C
Sumando (I) + (III):
3a + b = 11 (+)
a + 3b = 9
4a + 4b = 20
4(a + b) = 20
∴ a + b = 5 Rpta.: B
Resolución 4 Si 9xb + 4ax5 = 17x5
Analizando, vemos que para que cumpla
la igualdad, el exponente de “x” debe ser 5
à b = 5
También, los coeficientes deben ser iguales
en ambos lados de la igualdad, por lo que:
9 + 4a = 17
4a = 8 → a = 2
Luego: 2 2 2 5a b+ = +b g = 9 = 3
Rpta.: B
Resolución 5 Efectuando:
A = [(2p − 3) − (3p + 4q)] − [2q−(3p + q)−p]
A = [2p − 3 − 3p − 4q] − [2q − 3p − q − p]
A = [−p − 4q − 3] − [q − 4p]
A = −p − 4q − 3 − q + 4p
∴ A = 3p − 5q − 3 Rpta.: B
Resolución 6
R x y x x y x x y= − + − − + − +3 2 3 2b g b g
R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2
R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2
R = 3x − y − 2x − x + 3y + 2x + x + y
∴ R = 3x + 3y Rpta.: C
UVW
Resolución 3 Sea:
M(x; y) = 10x3a+b ya+3b
• Como: G·R·(x) = 11
à 3a + b = 11 ........................ (I)
• Como G·A·(M) = 20
à (3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos:
(11) + (a + 3b) = 20
à a + 3b = 9 ........................... (III)

- 33 -
Resolución 9 Sea:
P x x xm m
b g= 3 234
·
P x x xm
m
b g= 3
2
3
4
·
P x x
m
m
b g=
+3
2
3
4
P x x
m m
b g=
+9 2
3
4
P x x
m
b g=
11
3
4
P x x
m
b g=
F
H
GG
I
K
JJ
11
3
1
4
P x x
m
b g=
11
12
Como el grado de P(x) es 22
à
11
12
22
m
=
11 22 12
1 2
m = ·
∴ m = 24 Rpta.: D
Resolución 10
Reduciendo la expresión:
P x
x x
x x
n n
n n
b g e j e j
e j
=
−
−
4
3
4
2
2
4
6
·
·
P x
x x
x x
n n
n nb g=
−
−
3 4 8
4 2 6
( )
( )
·
·
P x
x x
x x
n n
n nb g=
−
−
3 12 8
4 8 6
·
·
P x
x
x
n n
n nb g=
− +
− +
3 12 8
4 8 6
P x
x
x
x
n
n
n n
b g= =
−
−
− − −
11 12
10 8
11 12 10 8( ) ( )
P(x) = x11n−12−10n + 8
P(x) = xn−4
Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que:
n − 4 = 4
∴ n = 8 Rpta.: C
Resolución 11
( )
3 m 7 n
3 n 6 m
x · y
M x; y
x · y
+ −
− −
=
M(x; y) = x(3+m)−(3-n) · y(7−n)-(6−m)
M(x; y) =x3+m−3+n · y7−n−6+m
M(x; y) = xm+n · ym−n+1
Sabemos que: G·R·(x) = 5
à m + n = 5 ............................... (I)
Sabemos que: G·A·(M) = 7
à (m + n) + (m − n + 1) = 7 ........ (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos que:
5 + (m − n + 1) = 7
m −n = 1 ................................. (III)
Sumando (I) + (III), tenemos que:
m + n = 5 (+)
m − n = 1
2m = 6 → m = 3
Reemplazando “m = 3” en: (I), tenemos que:
3 + n = 5 → n = 2
Luego: 2m + n = 2(3) + 2
∴ 2m + n = 8 Rpta.: D
UVW
Resolución 12 Sea:
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8(x3y2)6n
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8x18n y12n
Como: G·R·(y) = 24
Sabemos que el grado relativo de “y” es el mayor exponente
de “y” en la expresión.
Como:12n > 3n ; ∀ n > 0
à G·R·(y) = 12n = 24
→ n = 2
Hallamos el grado relativo de “x” :
Los exponentes de “x” en la expresión dada son:
4; 4n; 18n
Reemplazando “n = 2”, obtenemos:
4; 8; 36
∴ G·R·(x) = 36 Rpta.: C

- 34 -
Luego: R N R3 1b g =
Si: R(x) = 4x + 3
à R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3
R(1) = 7
∴ R N 3 7b g = Rpta.: C
Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:
2 4
6
3
n +
=
2n + 4 = 18
2n = 14 → n = 7
Luego: el coeficiente será:
3(n − 1) = 3(7 − 1) = 3·(6)
∴ 3(n − 1) = 18 Rpta.: C
∴ Grado de Q xb g 5
30= Rpta.: C
Resolución 17 Si grado de P(x) = 7
à grado de P3(x) = 7 × 3 = 21
Si grado de Q(x) = 9
à grado de Q2(x) =9 × 2 = 18
Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;
es el mayor grado de ambos monomios:
∴ Grado de H(x) = 21 Rpta.: B
Resolución 18
Como: F(x) = es un polinomio lineal, será
de la forma:
F(x) = ax + b ; a y b constantes
à F(2) = a(2) + b = 5
2a + b = 5 ......... (I)
à F(1) = a(1)+ b = 4
a + b = 4 ......... (II)
Restamos (I) − (II); obteniendo:
2a + b = 5
a + b = 4
a = 1
Reemplazamos el valor de “a = 1” en (II);
obteniendo:
1 + b = 4 → b = 3
Si: F(x) = ax + b = 1·x + 3
F(x) = x + 3
à F(7) = 7 + 3
∴ F(7) = 10 Rpta.: B
Resolución 19
Si: N(x) = 2x − 5
à N(3) = 2(3) − 5 = 6 − 5
N(3) = 1
UVW
0
(−)
Resolución 13
A x n x xn
b g b g= −3 1 2 86
· ·
A x n x xn
b g b g= −3 1 2
8
2
6
· ·
A x n x xn
b g b g= −3 1 2 46
· ·
A x n x n
b g b g= − +
3 1 2 46
·
A x n x
n
b g b g= −
+
3 1
2 4
6·
Resolución 14 Sea:
P(x) = 3axa+5 + 5axa+6 + 2axa+8
Analizando los exponentes, vemos que:
a + 8 > a + 6 > a + 5
à G·A(P) = a + 8
a + 8 = 17
Por dato: G·A·(P) = 17
a = 9
Los coeficientes de P(x) son:
3a; 5a; 2a
à La suma de coeficientes será:
3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9
à 10a = 10(9) = 90 Rpta.: E
Resolución 15 Sea:
P(x) = 3x90 − 27x88 + 3x2 − 4x
P(x) = 3x88(x2 − 9) + 3x2 − 4x
à P(3) = 3(3)88(32 − 9) + 3(3)2 − 4(3)
P(3) = 3(3)88(9 − 9) + 27 − 12
P(3) = 3(3)88(0) + 15
∴ P(3) = 15 Rpta.: C
Resolución 16 Sea:
Q(x) = 5x6 + x4 + x2 + 3x + 6
Donde: el grado de Q(x) = 6
Luego: el grado de Q xb g 5
6 5= ×

- 35 -
Por dato del problema: G·R·(x) = 10
Entonces, tenemos que:
m + 4 = 10 → m = 6
• Hallamos el grado de cada monomio y el mayor gra-
do será el grado absoluto del polinomio P(x; y)
− Hallamos el grado del 1° monomio:
à (m + 1) + (n − 3) = (6 + 1) + n − 3
= 7 + n − 3
à Grado del 1° monomio: n + 4
− Hallamos el grado del 2° monomio
à (m + 3)+(n − 4) = (6 + 3)+(n − 4)
= 9 + n − 4
à Grado del 2° monomio: n + 5
− Hallamos el grado de 3° monomio:
à (m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n
à Grado del 3° monomio: 10 + 2n
UVW (−)
Resolución 20
Como: R(x) es un polinomio lineal, será de
la forma:
R(x) = ax + b ; a y b constantes
à R(−3) = a(−3) + b = 8
−3a + b = 8 ......... (I)
à R(2) = a(−2)+ b 6
−2a + b = 6 ........ (II)
Restamos (II) − (I), obteniendo:
−2a + b = 6
−3a + b = 8
(−2a)−(−3a) = −2
−2a + 3a = −2
a = –2
Reemplazando “a = -2” en (I):
−3(−2)+b = 8
6 + b = 8 → b = 2
Las constantes serán: a = −2 y b = 2
à R(x) = −2x + 2
Luego: R(−4) = −2(−4)+2
∴ R(−4) = 10 Rpta.: C
Resolución 21
P(x; y) = 3xm+1 yn−3 + 7xm+3 yn−4 − xm+4 y2n
Analizamos los exponentes de la variable “x” y vemos que:
m + 4 > m + 3 > m + 1
à G·R·(x) = m + 4
Resolución 22 Sea:
F(3x − 1) = 2x + 3
P(x) =4x − 1
Hallamos “x” para hallar F(2):
Si F(3x − 1) = F(2)
Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:
10 + 2n > n + 5 > n + 4
à G·A·(P)= 10 + 2n
Por dato del problema: G·A·(P) = 16
Entonces, tenemos que:
10 + 2n = 16
2n = 6 → n = 3
Reemplazamos: m = 6 ∧ n = 3 en:
m
n
= =
6
3
2
∴
m
n
= 2 Rpta.: A
à 3x − 1 = 2
3x = 3 → x = 1
Luego: F(2) = 2(1)+ 3
à F(2) = 5
Luego: P F P2 5b gc h b g=
Si P(x) = 4x − 1
à P(5) = 4(5) − 1 → P(5) = 19
∴ P F 2 19b gc h= Rpta.: B
Resolución 23 Sea:
Q(x) = 2mxm + 4mxm−1 + 6mxm−2
Analizando los exponentes de “x”, vemos que:
m > m − 1 > m − 2
Entonces: G·A·(Q) = m (Dato)
Pero: G.A(Q) = 5
à m = 5
Reemplazando el valor de “m” en Q(x), tenemos que:
Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x5−1 + 6(5)x5−2
Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3
Término cúbico
∴ El coeficiente del término cúbico es 30
Rpta.: D

- 36 -
2(2) + 1= 7 − m
5 = 7 − m → m = 2
Luego: mn = 22 = 4
∴ mn = 4 Rpta.: B
Resolución 27
P(x; y) = (6 − n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y − 4x2y3
• Factorizando:
P(x; y) = (6 − n + 5)x3y + (m − 4)x2y3
Como: P(x; y) es idénticamente nulo:
à 6 − n + 5 = 0 ∧ m − 4 = 0
n = 11 ∧ m = 4
Reemplazando estos valores en:
nm
− = −2 11 2
2
4
2
e j e j
∴ nm
− =2 3
2
e j Rpta.: B
Resolución 28
P(x) = xa+b + 4xa − 7xb + 5
Si P(x) es ordenado y completo de grado 3
à a + b = 3 à a = 2 à b = 1
∴ a2 + b2 = 22 + 12 = 5 Rpta.: C
Resolución 29
2Ax2 + Bx2 − Cx + B ≡ 8x2 + 5x − 4
(2A + B)x2 + (−C)x + B ≡ 8 x2 + 5x + (−4)
à B = –4
à −C = 5 → C = −5
à 2A + B = 8
2A + (−4) = 8
2A = 12 → A = 6
Luego:
A + B + C = 6 +(−4) + (−5)
∴ A + B + C = −3 Rpta.: B
Reemplazando el valor de “m” en los exponentes de “x”,
tenemos que:
5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n
4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n
3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2n
Donde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n
Luego: G·R·(x) + G·R·(y) = 43
(18 + 2n) + (4m + 5) = 43
18 + 2n + 4(3) + 5 = 43
18 + 2n + 12 + 5 = 43
2n = 8 → n = 4
Reemplazando “m” y “n” en P(x; y); tenemos que:
P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17
∴ G·A·(P) = 17 + 17 = 34 Rpta.: D
Resolución 25
P(x; y) = 8x2n+6 − 3x2n+3 yn+2 + 5y9−n
Polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus térmi-
nos tienen el mismo grado.
Como: P(x; y) es homogéneo
à 2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 − n
2n + 6 = 3n + 5 = 9 − n
• 2n +6 = 3n + 5 → n = 1
• 3n + 5 = 9 − n → n = 1
Los exponentes de “y” son:
* n + 2 = 1 + 2 = 3
* 9 − n = 9 − 1 = 8
à G·R·(y) = 8 Rpta.: B
menor exponente
de “y”
G:R (y)
G:R (x)
Resolución 24
P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 +
7x3m+2n y4m+5
* Los exponentes de “y” son:
2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5
Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5
Por dato: 2m + 1 = 7
2m = 6 → m = 3
Resolución 26
Q(x; y) =
2n 1
x
+
+ 6xn+2 yn−1 − 13y7−m
Como: Q(x; y) es homogéneo:
à n2 + 1= (n + 2) + (n − 1) = 7 − m
n2 + 1 = 2n +1 = 7 − m
• n2 + 1 = 2n + 1 → n = 2
• 2n + 1 = 7 − m
Resolución 30 Si:
B(x)=x2 + x − 1
à B(2) = (2)2 + (2) −1
B(2) = 5
Luego: A B A2 5b g =

- 37 -
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
(ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS). Pág.(143, 144, 145, 146)
NIVEL I
También: Q(x; y) = −3y + x − 9
Luego:
3P(x; y) + Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (−3y + x − 9)
= 9x + 3y + 18 − 3y + x − 9
∴ 3P(x; y) + Q(x; y) = 10x + 9 Rpta.: C
Si: A x
x
b g=
+1
2
à ( )
5 1
A 5
2
+
=
A(5) = 3
∴ A B 2 3b g = Rpta.: B
Resolución 1 Sea:
P(x; y) = 3x + y + 6
à 3P(x; y) = 3(3x + y + 6)
3P(x; y) = 9x + 3y + 18
Resolución 2 Si:
P(x; y) = 5x + 3y − 3
à 2P(x; y) = 2(5x + 3y − 3)
à 2P(x; y) = 10x + 6y − 6
Si Q(x; y) = 2y − 2x + 5
à 5Q(x; y) = 5(2y − 2x + 5)
à 5Q(x; y) = 10y − 10x + 25
Luego:
2P(x;y)+5Q(x;y)=(10x+6y−6)+(10y−10x +25)
=10x+6y −6+10y−10x +25
∴ 2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C
Resolución 3
P(x) − Q(x) = (5x2 − 3x +1) − (x2 − 3)
= 5x2 − 3x + 1 − x2 + 3
= 4x2 − 3x + 4 Rpta.: E
Resolución 4
P + Q = (4x3 + 2x2 − x + 5) + (–3x2 + 2x +3)
P + Q = 4x3 + 2x2 − x + 5 − 3x2 + 2x + 3
P + Q = 4 83 2
4
x x x
tér os
− + +
min
1 244 344
∴ El polinomio resultante tiene 4 términos Rpta.: B
Resolución 5
A − B = (5x2 + 6x − 2) − (−2x2 + 6x + 1)
A − B = 5x2 + 6x − 2 + 2x2 − 6x − 1
A − B = 7 32
x
s
−
2 término
124 34
∴ El polinomio resultante tiene 2 términos.
Rpta.: C
Resolución 6 Hallamos: (B + C − A)
2 4 1 2 3 3 42 2 2
x x x x x x
B C A
− + + − − − − + − =e j e j e j
6 744 844 6 744 844 6 744 844
= 2x2 − 4x + 1 − 2x − x2 − 3 − x2 − 3x + 4 =
= −9x + 2 Rpta: D
Resolución 7 Hallamos: “A − B + C”
( ) ( ) ( )
CA B
3 3 2 2 3
4x 2x 1 x 3x 6 x 3x 4− + − − + + − + =
6447448 6447448 6447448
= 4x3 − 2x + 1 − x3 + 3x2 − 6 + x2 − 3x3 + 4=
= 4x2 − 2x − 1 Rpta.: C
Resolución 8
* Sea “L” el lado del cuadrado
à Perímetro del cuadrado = 4L
Como: L = 3x + 2
à Perímetro del cuadrado = 4(3x + 2)
Perímetro del cuadrado = 12x + 8
* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
à Perímetro del rectágulo = 2(a + b)
Como: a = 4x − 1 ∧ b = 5x + 2
à Perímetro del rectángulo:
= 2[(4x − 1) + (5x + 2)]
=2[4x − 1 + 5x + 2]
= 2[9x + 1]
Perímetro del rectángulo = 18x + 2

- 38 -
Resolución 14
R = −3x2−{5y +[−3x2 +{y − (6 + x2)} − (−x2 + y)]}
R = −3x2 −{5y +[−3x2+{y − 6 − x2} +x2 − y]}
R = −3x2 −{5y +[−3x2 + y − 6 − x2 + x2 − y]}
R = −3x2 −{5y − 3x2 − 6}
R = −3x2 − 5y + 3x2 + 6
∴ R = 6 − 5y Rpta.: B
Como: L = 7x + 1
à Perímetro del cuadrado = 4 (7x + 1)
Perímetro del cuadrado = 28x + 4
* Sea el triángulo isósceles:
à Perímetro del hexágono = 6a
como: a = 2x + 1
à Perímetro del rectángulo = 6(2x + 1)
Perímetro del
rectángulo = 12x + 6
* Sea “L” el lado del cuadrado
Como: L = 3x − 1
à Perímetro del cuadrado = 4(3x − 1)
Perímetro del
cuadrado
= 12x − 4
Luego:
Perímetro del
hexágono − Perímetro del
cuadrado
= (12x+6)−(12x −4)
= 12x + 6 − 12x + 4
= 10
∴ Excede: en 10 Rpta.: E
Resolución 13
* Si el pentágono es regular, entonces sus cinco lados
son iguales.
Si el lado del pentágono es “L”
à Perímetro del pentágono = 5L
como: L = 4x + 3
à Perímetro del pentágono = 5(4x + 3)
Perímetro del
pentágono = 20x + 15
* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
à Perímetro del rectángulo = 2(a + b)
como: a = 7x + 4 ∧ b = 3x + 1
à Perímetrodel
rectángulo
= 2((7x + 4)+(3x + 1)
= 2(10x + 5)
Perímetrodel
rectángulo = 20x + 10
Luego:
Perímetro del
pentágono − Perímetro del
cuadrado
=(20x+15)−(20x+10)
= 20x + 15 −20x − 10
= 5
∴ Excede en 5 Rpta.: D
à Perímetro del
triángulo
= (10x −3)+(10x−3)+(7x + 1)
Perímetro del
triángulo = 27x − 5
Luego:
Perímetro del
cuadrado +
perímetro del
triángulo
=(28x+4)+(27x−5)
= 55x −1
Rpta.: D
Resolución 10
Sea “M” la expresión buscada:
à (5x2 − 3x +6) + M = 8x2 + 5x − 3
M= 8x2 + 5x − 3 − (5x2 − 3x + 6)
M = 8x2 + 5x − 3 − 5x2 + 3x − 6
∴ M = 3x2 + 8x − 9 Rpta.: C
Resolución 11
Sea “N” la expresión buscada:
à (16x3 − 4x2 − 9) − N = 12x3 + 6x − 8
(16x3 − 4x2 − 9) − (12x3 + 6x − 8) = N
16x3 − 4x2 − 9 − 12x3 − 6x + 8 = N
∴ N = 4x3 − 4x2 − 6x − 1 Rpta.: E
Resolución 12
* Si el hexágono es regular, entonces
sus 6 lados son iguales.
Si el lado del hexágono es “a”
Resolución 9
* Sea “L” el lado de cuadrado:
Luego:
Perímetro del
cuadrado
perímetro del
rectángulo
+
= (12x + 8)+(18x + 2)
= 30x + 10
Rpta.. D

- 39 -
(M– 6)x3 +(5−N)x2−3x+1=2x3 +3 x2−3x+1
Luego: M − 6 = 2 → M = 8
5 − N = 3 → N = 2
Entonces: M − N = 8 − 2
∴ M − N = 6 Rpta.: B
Resolución 15
E x x x= − + − + +3 2 1 2b g
E x x x= − − + +3 2 2 2
E = x − 3x + 2x − 2 − 2
∴ E = −4 Rpta.: E
Resolución 16
( ){ }P x 2x y x y z x z= + − + − − + − + −
P x x y x y z x z= + − + + − + + −2l q
P = x + z − z
∴ P = x Rpta.: C
Resolución 17
(Ax2 + 5x + 8)+(3x2 + Bx − 6)=5x2 + 7x + 2
Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx − 6 = 5x2 + 7x + 2
(A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5 x2 + 7 x + 2
Luego: A + 3 = 5 → A = 2
5 + B = 7 → B = 2
Entonces: A + B = 2 + 2
∴ A + B = 4Rpta.: D
Resolución 18
(Mx3 + 5x2 +2x + 4) − (6x3 +Nx2 + 5x + 3)
= 2x3 +3x2 − 3x + 1
Mx3 + 5x2 +2x + 4 − 6x3 − Nx2 − 5x − 3
= 2x3 + 3x2 − 3x + 1
Resolución 19
P+Q−R=(x2+x−3)+(2x2−2x+1)−(3x2−4x+5)
P+Q−R=x2 +x−3+2x2−2x+1−3x2 +4x−5
∴ P + Q − R = 3x − 7 Rpta.: B
Resolución 20
(A − C)−B = ((5x2 − x + 4) − (2x2 + 5x + 3))
−(3x2 − 4x + 1)
(A − C) −B = (5x2 − x + 4 − 2x2 − 5x − 3)
−3x2 + 4x − 1
(A − C)− B = 3x2 − 6x + 1 − 3x2 + 4x − 1
∴ (A − C) − B = − 2x Rpta.: B
NIVEL II
Resolución 1 Si:
P(x; y) = 2x2 − 2x + 3y2 − 3
à 2 P(x; y) = 2 (2x2 − 2x + 3y2 − 3)
2 P(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6
Además: Q(x; y) = 4x − 4x2 − 3y2 + 6
Luego:
2 P(x; y) + Q(x; y) = (4x2 − 4x + 6y2 − 6) +
(4x − 4x2 − 3y2 + 6)
2 P(x; y) + Q(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6 + 4x −
4x2 − 3y2 + 6
∴ 2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2 Rpta.: C
Resolución 2 Sea:
A(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8
Si: B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5
à 2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5)
2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10
Luego:
A(x; y) − 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y − 3xy + 8)
−(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10)
A(x; y) − 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 −8xy2
−4x2y − 2xy − 10
∴ A(x; y)− 2B(x; y) = 2x2y − 5xy − 2 Rpta.: B
Resolución 3
P(x) − Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) − (5x2 − 4x − 4)
P(x) − Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 − 5x2 + 4x + 4
∴ P(x) − Q(x) = 4x3 − 3x2 + 5x + 7
Rpta.: B
Término de
mayor grado
Término de
menor grado
Resolución 4
P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)
P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3
Luego:
Coeficiente del
tér o de
mayor grado
min
F
HG
I
KJ −
Coeficiente del
tér o de
menor grado
min
F
HG
I
KJ = 3 − 3
= 0
Rpta.: C

- 40 -
Resolución 9
De la figura:
También: AB = CD
BC = AD
FG = n
GE = m
Luego, perímetro del rectángulo ABCD es:
AB + BC + CD + AD = 32 x
CD + BC + CD + BC = 32x
2BC + 2CD = 32x
2(BC + CD) = 32x
BC + CD = 16x
à AD + AB = 16x
Vemos que:
DC = AB = 4x + 1
QN = PM = 3x + 2
BC = AP + MN + QD = 6x + 4
Luego:
El perímetro de la figura será:
AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC
= AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC
= AB+AB+ BC +PM+PM+BC
= 2AB + 2BC + 2PM
=2(AB + BC + PM)
= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2))
= 2 (13x + 7) = 26x + 14
∴ Perímetro = 26x + 14 Rpta.: C
Resolución 10
Sea la figura:
1 244 344
Vemos que:
BC = BF + m → BF = BC − m
CD = ED + n → ED = CD − n
Luego:
Coeficiente del
tér o de
mayor grado
min
F
HG
I
KJ +
Coeficiente del
tér o de
menor grado
min
F
HG
I
KJ = (−2) + 7
= 5
Rpta.: C
Resolución 6
P + Q = (5x3 + 2x2 − x + 6) + (–2x2 + x + 3)
P + Q = 5x3 + 2x2 − x + 6 – 2x2 + x + 3
P + Q = 5x3 + 9 Polinomio de 2 términos
∴ El polinomio resultante tiene 2 términos
Rpta.: C
Resolución 7
A − B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8)
− (5x3 + x + 2x2 + 8)
A− B= 6x4 +5x3 +2x2 + x −8−5x3 −x−2x2 −8
A − B = 6x4 − 16 Polinomio de 2 términos
∴ El polinomio resultante tiene 2 términos
Rpta.: C
Resolución 8
Diferencia = (4x3 + 3x − 6) − (5x3 − 2x2 + 4x − 4)
Diferencia = 4x3 + 3x − 6 − 5x3 + 2x2 − 4x + 4
Diferencia = − x3 + 2x2 − x − 2
Sea “M” la expresión pedida:
à M + diferencia = 2x2 + x - 2
M = (2x2 + x − 2) − diferencia
M = (2x2 + x − 2) − (−x3 + 2x2 − x − 2)
M = 2x2 + x − 2 + x3 − 2x2 + x + 2
M = x3 + 2x
M = x(x2 + 2) Rpta.: B
Término de
mayor grado
Término de
menor grado
Resolución 5
A − B = (5x4 − 3x3 + 5x + 1) − (7x4 + 2x2 − 6)
A − B = 5x4 − 3x3 + 5x + 1 − 7x4 − 2x2 + 6
A − B = −2x4 − 3x3 − 2x2 + 5x + 7

- 41 -
1 244 344
1 24 34
Resolución 11
R = −[−(−x)]−[+(−x)] + {−(−y+z) − [+(−z)]}
R = −[x] − [−x] + {y − z − [−z]}
R = −x + x + {y − z + z }
∴ R = y Rpta.: D
Resolución 12
Q = −[−3x + (−x − {2y−3})]
+{−(2x + y) + (−x −3)+2−(x + y)}
Q = −[−3x + (− x − 2y + 3)]
+{−2x − y − x − 3 + 2 −x − y}
Q = −[−3x − x − 2y + 3] + {−4x − 2y − 1}
Q = 3x + x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
Q = 4x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
∴ Q = − 4 Rpta.. D
Luego:
El perímetro de la región coloreada es:
AD + AB + BF + FG + GE + ED =
= 16x + (BC − m) + n + m + (CD − n) =
= 16x + BC − m + n + m + CD − n =
= 16x + BC + CD
= 16x + 16x
= 32x Rpta.: B
Resolución 13 Tenemos que:
(Ax2 −xy + y2) + (2x2 + Bxy − 3y2)
− (3x2 − xy − Cy2)
= 3x2 + 2xy + y2
Ax2 −xy + y2 + 2x2 + Bxy − 3y2 − 3x2 + xy + Cy2
= 3x2 + 2xy + y2
Ax2 − x2 + Bxy − 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2
(A − 1)x2 + Bxy + (C − 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2
Luego: A − 1 = 3 → A = 4
B = 2
C − 2 → C = 3
Entonces:
A + B + C = 4 + 2 + 3 = 9 Rpta.: C
Resolución 14
Tenemos que:
[(6x2 + 11x − 35) + (3x2 − 6x)]
−(9x2 + 3x − 29) = mx + n
[6x2 +11x −35+3x2 −6x]−9x2 −3x+29=mx+n
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
2 x − 6 = m x + n
Entonces: m = 2 ∧ n = −6
Luego: m + n = 2+ (−6)
∴ m + n = − 4 Rpta.: B
Resolución 15 Sea la figura:
Vemos que:
El perímetro del cuadrado ABCD es:
4(4a) = 16x
a = x
El perímetro de la región coloreada es:
Perímetro de
región coloreada
=2(a + 4a)
=2(5a) = 10a
como: a = x
∴
Perímetro de
región coloreada
= 10x Rpta.: C
Resolución 16
De la figura, podemos observar que:
CD = HG + GF + FN
Como: HG = GF = FN
à CD = 3HG
3x = 3HG → HG = x
FN = x
Luego: AD = BC = 4x + 3
Si: BC = BH + HC
Como: BH = HC = FE

- 42 -
à
Perímetro del
rectánguloNFED = 6x + 3
Luego:
Perímetro de la
región coloreada
= (6x + 3)+(6x + 3)
Perímetro de la
región coloreada = 12x + 6
∴
Perímetro de la
región coloreada = 6(2x + 1) Rpta.: D
Resolución 20 Si: A + B = C
à (ax2+bx+c)+(6x2−3x+5)=9x2 +2x+7
(a + 6)x2 + (b − 3)x + (c + 5)= 9x2 + 2x + 7
Entonces: a + 6 = 9 → a = 3
b − 3 = 2 → b = 5
c + 5 = 7 → c = 2
Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2
∴ a + b + c = 10 Rpta.: C
Resolución 21 Hallamos: A + B + C
A = x3y3 − x2y2 + 3x3 + y3
B = −2x3y3 + 2x2y2 + x3 − y3 (+)
C = x3y3 − x2y2 + 4x3
∴ A + B + C = 8x3 Rpta.: D
Resolución 22
Sea la diferencia igual a “D”
à D = (4x3 − 11x + 2) − (2x3 − x − 9)
D = 4x3 − 11x + 2 − 2x3 + x + 9
D = 2x3 − 10x + 11
Sea “S” la cantidad que se debe sumar:
à D + S = 2x3 + x − 5
(2x3 − 10x + 11) + S = 2x3 + x − 5
S = 2x3 + x − 5 − (2x3 − 10x + 11)
S = 2x3 + x − 5 − 2x3 + 10x − 11
∴ S = 11x − 16 Rpta.: B
Resolución 23 Hallamos “A + B − C” :
(−4x3y2−7x2y3+2x2y2)+(2x2y3−5y2x3−6x2y2)
−(−5x2y2−5x2y3−9x3y2)=
=−4x3y2 −7x2y3 +2x2y2 +2x2y3 −5y2x3 −6x2y2
+5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 =
à A + B − C = x2y2
Luego: A B C x y xy+ − = =2 2
Rpta.: D
U
V|
W|
à BC = 2BH
4x + 3 = 2BH
BH
x
=
+4 3
2
à FE
x
=
+4 3
2
Perímetro de la
región coloreada
= Perímetro del
rectángulo MBHG+ Perímetro del
rectángulo NFED
Si:
Perímetro del
rectánguloMBHG =2
4 3
2
x
x
+
+F
HG I
KJF
HG I
KJ
=
+ +F
HG
I
KJ2
2 4 3
2
x xb g
à
Perímetro del
rectánguloMBHG = 6x + 3
Resolución 17
(A + B)−2C = ((3x2 + 6x3 +2x − 5) +
(x2 − 4x3 + 5x − 7)) −2(x3 − x2 + 3x − 6)
(A+B)−2C=(3x2 +6x3 +2x−5+x2 −4x3 +5x −7)
−2x3 + 2x2 − 6x + 12
(A + B)−2C = 2x3 + 4x2 + 7x − 12 − 2x3 + 2x2
− 6x + 12
∴ (A + B)−2C = 6x2 + x Rpta.: D
Resolución 18
(2P − R)+Q = (2(x4 + 3x2 +5x)
−(2x4 + x2 + x3 − 3x + 2)) + (x3 − 13x + 2)
(2P − R)+ Q = (2x4 + 6x2 + 10x − 2x4 − x2
− x3 + 3x − 2) + x3 − 13x + 2
(2P −R)+Q = −x3 + 5x2 + 13x − 2 + x3 − 13x + 2
∴ (2P − R)+ Q = 5x2 Rpta.: C
Resolución 19
E x y x y x y x y x= − + − − + − + − − − − +5 2 2 3 1 2b g e j
E x y x y x y x y x= − − − − + − + − − + + +5 5 2 2 3 1 2b g
E x y x y y x x= − − − − + − − +5 5 2 2 2 2 2 2b g
E x y x y y x x= − − − − + − − +5 5 2 4 4 4 2
E = −5x − 5y − 2x + y − 4y + 4x + 4 + 2x
∴ E = −x − 8y + 4 Rpta.: A

- 43 -
Resolución 24
P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy)
+ (x2 − y2 + xy)
P + Q + R = 9 x2 + 6 y2 + 10 xy
Luego: Suma de
coeficientes
= 9 + 6 + 10
∴ Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B
Coeficientes
Resolución 25 Hallamos: A + B + C
A = 6x2y + 3xy2 − 12xy
B = −4x2y + 2xy2 + 16xy (+)
C = x2y − 5xy2 + 4xy
A + B + C = 3 x2y + 8 xy
Luego: Suma de
coeficientes
= 3 + 8
∴ Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B
Coeficientes
U
V|
W|
(MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pág.(168, 169, 170, 171)
NIVEL I
Resolución 1
2(3x + 2)(2x + 3)−(3x + 4)(4x + 3)=
=2(6x2 + 4x + 9x + 6)−(12x2 + 9x + 16x + 12)
= 12x2 + 8x + 18x + 12 − 12x2 − 9x − 16x − 12
= 26x − 25x
= x Rpta.: D
Resolución 2
A =(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1)− x)
Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2
A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12)− x2
A = (x4 + 2x2 + 1) − x2
∴ A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C
Resolución 3 Sea:
B = x2 − (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2
Aplicamos:
(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + a·b
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
Obteniendo:
B = x2− ((3x)2 + (1 + 2)3x + 1·2)
+2 ((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)
B = x2 − (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1)
B = x2 − 9x2 − 9x − 2 + 8x2 + 8x + 2
∴ B = −x Rpta.: B
Resolución 4 Sea:
M = (x + y + xy)(x − y)−x2y + y2(x + 1)
M = ((x + y)+ xy)(x−y)−x2y + xy2 + y2
M = (x + y)(x − y)+ xy(x − y)−x2y + xy2 + y2
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2
Obteniendo:
M = x2 − y2 + x2y − xy2 − x2y + xy2 + y2
∴ M = x2 Rpta.: C
Resolución 5 * Hallamos “A” :
A = (2x − 1)(3x + 2)
A = (2x)(3x) + (2x)(2) + (−1)(3x) + (−1)(2)
A = 6x2 + x − 2
* Hallamos “B” :
B = (4x + 3)(x − 2)
B = (4x)(x) + (4x)(−2) + (3)(x) + (3)(−2)
B = 4x2 − 5x − 6
Luego:
(A+B)·A=((6x2+x−2)+(4x2 −5x−6))(6x2 +x−2)
(A + B)·A = (10x2 − 4x − 8)(6x2 + x − 2)
(A + B)·A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(−2)
+(–4x)(6x2) + (−4x)(x) + (−4x)(−2)
+(−8)(6x2) + (−8)(x) + (−8)(−2)
(A + B)·A = 60x4 + 10x3 − 20x2 − 24x3
−4x2 + 8x − 48x2 − 8x + 16
∴ (A + B)·A = 60x4 − 14x3 − 72x2 + 16 Rpta.: C

- 44 -
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
2x + (−6) = mx + n
Comparando términos, tenemos que:
• 2x = mx → m = 2
• n = −6
Luego: m + n = 2 + (−6)
∴ m + n =−4 Rpta.: B
Resolución 7
N = (5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2)
N = 5x3·(x + 2) + 4x2·(x + 2) + 3x·(x + 2)
N = (5x3)(x) + (5x3)(2) + (4x2)(x) + (4x2)(2)+ (3x)(x) + (3x)(2)
N = 5x4 + 10x3 + 4x3 + 8x2 + 3x2 + 6x
N = 5 x4 + 14 x3 + 11 x2 + 6 x
Suma de coeficientes = 5 + 14 + 11 + 6
∴ Suma de coeficientes = 36 Rpta.: C
Coeficientes
Menor coeficiente
Mayor coeficiente
Resolución 6 * Hallamos: “P” :
P = ( x + 6)(2x − 3)
P = (x)(2x) + (x)(−3) + (6)(2x) + (6)(−3)
P = 2x2 + 9x − 18
* Hallamos “Q” :
Q = (3x − 1)(x + 4)
Q = (3x)(x) + (3x)(4) + (−1)(x) + (−1)(4)
Q = 3x2 + 11x − 4
* Hallamos “R” :
R = (x − 2)(x + 8)
R = x2 + (−2 + 8)x + (−2)(8)
R = x2 + 6x − 16
Luego:
P + (Q − R) = (2x2 + 9x − 18) + ((3x2 + 11x − 4)
− (x2 + 6x − 16))
P + (Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + (3x2 + 11x − 4
− x2 − 6x + 16)
P +(Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + 2x2 + 5x + 12
∴ P+(Q − R) = 4x2 + 14x − 6
Rpta.: B
Resolución 8 Sea:
P = (6x4 − 3x3 + 2x2 + 5x)(x2 + 3x − 1)
P = (6x4)(x2) + (6x4)(3x) + (6x4)(−1)
+(−3x3)(x2) + (−3x3)(3x)+(−3x3)(−1)
+(2x2)(x2) + (2x2)(3x) + (2x2)(−1) + (5x)(x2)
+ (5x)(3x) + (5x)(−1)
P = 6x6 + 18x5 − 6x4 − 3x5 − 9x4 + 3x3 + 2x4 + 6x3 − 2x2 +
5x3 + 15x2 − 5x
P = 6x6 + 15x5 − 13x4 + 14x3 + 13x2 − 5x
P = 6x6 + 15 x5 + (−13) x4 + 14x3 + 13x2 − 5x
Resolución 9 Del enunciado:
((2x + 7)(3x − 5)+ 3x(x − 2)) − (9x2 + 3x − 29) = mx + n
((2x)(3x) + (2x)(−5) + (7)(3x) + (7)(−5) + 3x2 − 6x)
− 9x2 − 3x + 29 = mx + n
(6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x)−9x2 − 3x + 29
= mx + n
Luego:
Mayor
coeficiente
FH IK −
Menor
coeficiente
FH IK = 15 − (−13)
= 15 + 13 = 28
Rpta.: D
Resolución 10
Del enunciado, tenemos que:
[(3x + 2)(x − 4) − (2x − 4)(x + 6)]+(8x2 + 25x − 16)
= ax2 +bx
[(3x2 − 12x + 2x − 8) − (2x2 + 12x − 4x − 24)]
+(8x2 + 25x − 16) = ax2 + bx
[(3x2 − 10x − 8) − (2x2 + 8x − 24)] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 +
bx
[3x2 − 10x − 8 − 2x2 − 8x + 24] + 8x2 + 25x − 16
=ax2 + bx
[x2 − 18x + 16] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx
x2 − 18x + 16 + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx
9x2 + 7x = ax2 + bx
Por comparación de términos, tenemos que:
• 9x2 = ax2 → a = 9
• 7x = bx → b = 7
Luego: a + b = 9 + 7
∴ a + b = 16 Rpta.: C
Resolución 11 Sabemos que:
Área del cuadrado = (Lado)2
Área del rectángulo = (Lado mayor) × (Lado menor)
De la figura:
• Área del cuadrado = (3x + 2)2
Área del cuadrado = ((3x)2 + 2(3x)(2)+ (2)2)

- 45 -
• Área del rectángulo = (3x + 6)(3x − 2)
Área del rectángulo = ((3x)2+(6−2)(3x)
+ (6)(−2))
Área del rectángulo = 9x2 + 12x − 12
Luego:
Áreadel
cuadrado
F
HG I
KJ− Áreadel
rectángulo
F
HG I
KJ= (9x2 + 12x + 4)
−(9x2 + 12x − 12)
= 9x2 + 12x + 4
−9x2 − 12x + 12
= 16 Rpta.: E
Área del rectángulo =
Lado
mayor
FH IK ×
Lado
menor
FH IK
Áreadel triángulo
rectángulo
=
cateto catetob g b g×
2
De las figuras, tenemos que:
•
Áreadel
rectángulo (x + 2)(8x + 10)
Áreadel
rectángulo= 8x2 + 10x + 16x + 20
Áreadel
rectángulo = 8x2 + 26x + 20
•
Áreadel triángulo
rectángulo
=
+ +4 3 2 5
2
x xb gb g
Áreadel triángulo
rectángulo
2
8x 20x 6x 15
2
+ + +
=
Áreadel triángulo
rectángulo
=
+ +8 26 15
2
2
x x
Luego:
Áreadel
rectángulo
F
HG I
KJ −
F
H
GG
I
K
JJ2
Áreadel
triángulo
rectángulo
=(8x2 + 26x + 20)
Área del cuadrado = 9x2 + 12x + 4
−
+ +F
HG
I
KJ2
8 26 15
2
2
x x
= 8x2 + 26x + 20
−8x2 − 26x − 15
= 5 Rpta.: C
Resolución 13
P = (x + 1)2 − (x + 2)2 − (x + 3)2 + (x + 4)2
P = (x2 + 2x + 1) − (x2 + 4x + 4) − (x2 + 6x + 9)
+ (x2 + 8x + 16)
P = x2 + 2x + 1 − x2 − 4x − 4 − x2 − 6x − 9
+ x2 + 8x + 16
P = 10x − 10x + 4
∴ P = 4 Rpta.: B
Resolución 14 Sea:
Q b ab a b ab= + + + −2 2 22 2 2 2 2
e j b g
Aplicamos: m2 – n2 = (m + n)(m − n)
(m + n)2 = m2 + n2 + 2mn
(m − n)2 = m2 + n2 − 2mn
Obteniendo:
Q b ab a b ab a b ab= + + + + + −2 2 2 22 2 2 2 2
e je j
Q b ab a b a b= + + + −2 22 2 2
b g b g
Q = 2b2
+ + + −2
2
ab a b a bb gb g
Q b ab a b= + + −2 22 2 2 2
Q = 2b2 + 2ab + (a2 − b2)
Q = 2b2 + 2ab + a2 − b2
Q = a2 + 2ab + b2
∴ Q = (a + b)2 Rpta.: B
Resolución 15
E = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1
Obteniendo:
E = (x2 − 12)(x2 + 1) + 1
E = (x2 − 1)(x2 + 1) + 1
E = ((x2)2 − (1)2) + 1
E = (x4 − 1) + 1= x4 − 1 + 1
∴ E = x4 Rpta.: D
Resolución 16 Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3
à A = (z + 1)3
A = z3 + 3·z2·(1) + 3·z·(1)2 + (1)3
A = z3 + 3z2 + 3z + 1
Aplicamos: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
à B = (z − 1)3

- 46 -
Resolución 19 Sea:
A x x= − + −3 3 33 3
e je j
A x x= − − +3 3 33 3
e je j
A x x= − − − +3 3 33 3
e j e j
A x x= + − +3 3 33 3
e je j
à A x= + −
F
HG I
KJ3 33 2 2
e j e j
A = 3 + (x6 − 3)
∴ A = x6 Rpta.: E
à
1 1 1
2
1 1 1
2 2 2
x y x x y y
+
F
HG I
KJ =
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJF
HG I
KJ +
F
HG I
KJ
1 1 1 2 1
2
2 2x y x xy y
+
F
HG I
KJ = + + ......... (I)
Pero: x−1 + y−1 = a
à
1 1
x y
a+ =
También: x·y = b
Reemplazando estos valores en (I), tenemos:
a
x b y
2
2 2
1 2 1
e j= + +
a
b x y
2
2 2
2 1 1
− = +
a b
b
y x
x y
2 2 2
2 2
2−
=
+
·
a b
b
y x
x y
2 2 2
2
2−
=
+
·b g
a b
b
y x
b
2 2 2
2
2−
=
+
b g
a b
x y
b
2
2 2
2− =
+
x2 + y2 = b(a2b − 2)
∴ x2 + y2 = a2b2 − 2b Rpta.: B
(a − b)3
= a3
− b3
− 3a·b(a − b)
Obteniendo:
(x − 1)3 − x3 + 1 =(x3 − 13 − 3(x)(1)(x − 1) − x3 + 1)
=x3 − 1 − 3x(x − 1) − x3 + 1
= −3x(x − 1)
=−3x[−(1−x)]
= 3x(1 − x) Rpta.: D
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Simplificando, obtenemos:
E
a a b a b
a b a b
=
+ −
+ −
b g b g
b gb g
2
·
à E = a(a + b)
∴ E = a2 + ab Rpta.: E
B = z3 − 3(z)2·(1) + 3(z)·(1)2 − (1)3
B = z3 − 3z2 + 3z − 1
Luego:
B − A =(z3 − 3z2 + 3z − 1)− (z3 + 3z2 + 3z + 1)
B − A = z3 − 3z2 + 3z − 1− z3 − 3z2 − 3z − 1
∴ B − A = −6z2 − 2 Rpta.: D
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
à E = + − −3 2 3 2
2 2
e j e j
E= + + − + − −3 2 3 2 3 2 3 2e j e j e j e j
E = + + − + − +3 2 3 2 3 2 3 2
E = 2 3 2 2
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
Si a·b = 4 ∧ a + b = 3
à (3)2 = a2 + 2(4) + b2
9 = a2 + 8 + b2
∴ a2 + b2 = 1 Rpta.: B
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
E = 4 6 → E2
2
4 6= e j
∴ E2 = 96 Rpta.: E
Resolución 23 Sea:
M =
−F
HG
I
KJ −
−L
NMM
O
QPP−
3 13
2
3
3 13
2
1
2

- 47 -
( ) ( )
2
3 13 3 3 13
M 1
4 2
− −
= − −
M =
− − − −3 13 6 3 13 4
4
2
e j e j
M =
− − + −3 13 18 6 13 4
4
2
e j
M =
− + −3 13 6 13 22
4
2
e j
Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
à M =
− +
F
HG I
KJ+ −3 2 3 13 13 6 13 22
4
2 2
b ge j e j
M =
− + + −9 6 13 13 6 13 22
4
e j
M =
− + −22 6 13 6 13 22
4
∴ M = 0 Rpta.: A
1 244 344
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à P = (m − 3n)2 − 4n(2n − m) + 8
P = (m2 − 2(m)(3n)+(3n)2)−8n2 +4mn + 8
P = m2 − 6mn + 9n2 − 8n2 + 4mn + 8
P = m2 + n2 − 2mn + 8
P = (m − n)2 + 8
Pero: m − n = 8
à P = (8)2 + 8 = 64 + 8
∴ P = 72 Rpta.. C
Resolución 25
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero)
B) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)
C) a2 + b2 = (a + b)(a + b)
= (a + b)2 ................. (Falso)
D) a2 − b2 = (a + b)(a − b) ......... (Verdadero)
E) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ...(Verdadero)
Rpta.: C
A B A B· ·=
Luego, aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Sea:
Q a b a b a b b= + −F
H
I
K −F
H
I
K +· 2
Q a b a b a b b= + −
F
HG I
KJ −F
H
I
K +e je j 2
Q a b a b b= −
F
HG
I
KJ −F
H
I
K +2 2 2
e j
Q a b a b b= −F
H
I
K −F
H
I
K +2 2
Q a b b= −F
H
I
K +2
2
Q = a2 − b + b
∴ Q = a2 Rpta.: B
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Si a + b = 3 ∧ ab = 3
à a3 + b3 = (3)(a2 − 3 + b2)
a3 + b3 = 3(a2 + b2 − 3) ..... (I)
Hallamos: a2 + b2
Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Si a + b= 3 ∧ a·b = 3
à (3)2 = a2 + 2(3) + b2
9 = a2 + b2 + 6
a2 + b2 = 3 ..... (II)
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
a3 + b3 = 3(3 − 3) = 3(0)
∴ a3 + b3 = 0 Rpta.: A
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à n
n
+
F
HG I
KJ =
1
3
2
n n
n n
2
2
2
1 1
3+
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJ =b g
n
n
2
2
2
1
3+ + =
n
n
2
2
1
1+ = ..... (I)

- 48 -
à E
x
=
−
2
12 2
; pero: x = 5
à E =
−
=
−
=
2
5 1
2
5 1
2
42
e j
∴ E =
1
2
Rpta.: D
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Identidad de Legendre
R
n n
n
=
+ − −3 3
6
2 2
b g b g
R
n
n
n
n
= =
4 3
6
12
6
b gb g
∴ R = 2 Rpta.: B
1 2444 3444 1 2444 3444
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
à P = (x + 1)(x2 − x + 1)−(x − 1)(x2 + x + 1)
P = (x + 1)(x2 − x·1 + 12) − (x − 1)(x2 + x·1 + 12)
P = (x3 + 13 ) − (x3 − 13)
P = x3 + 1 − x3 + 1
∴ P = 2 Rpta.: B
Además: n
n
+
F
HG I
KJ =
1
3
2
à n
n
+ =
1
3 ...... (II)
Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
à n
n
n
n
n n
n n
3
3
2
2
1 1 1 1
+
F
HG I
KJ = +
F
HG I
KJ − +
F
HG I
KJF
HG
I
KJ·
n
n
n
n
n
n
3
3
2
2
1 1 1
1+ = +
F
HG I
KJ + −
F
HG I
KJ
Reemplazamos (I) y (II):
n
n
3
3
1
3 1 1 3 0+ = − =e jb g b g
∴ n
n
3
3
1
0+ = Rpta.: B
(a + b)(a − b) = a2 − b2
à P
x X
X
=
+ − +
+
2 2 9
52
b gb g
P
x
x
=
− +
+
2 2
2
2 9
5
e j
P
x
x
x
x
=
− +
+
=
+
+
2
2
2
2
4 9
5
5
5
∴ P = 1 Rpta.: C
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
à M
x x
x
=
+ + − −1 1 2
2 2
2
b g b g
M
x
x
=
+ −2 1 22 2
2
e j
M
x
x
x
x
=
+ −
=
2 2 2 22
2
2
2
∴ M = 2 Rpta.: E
Resolución 33
E
x x
x x
x x
x x
=
+ − −
− +
=
+ − +
− +
1 1
1 1
1 1
1 1
b g b g
b gb g b gb g
E
x x
=
− +
2
1 1b gb g
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b
à A = ((x + y)+1)2 − ((x + y)− 1)2
A = 4(x + y)(1)
∴ A = 4(x + y) Rpta.: A
Resolución 35
R = (x2 − 7x + 11)2 − (x − 2)(x − 5)(x − 3)(x − 4)
R = (x2 − 7x + 11)2 − (x2 − 7x + 10)(x2 − 7x + 12)
Hacemos: a = x2 − 7x + 11
à a − 1 = x2 − 7x + 10
à a + 1= x2 − 7x + 12
Reemplazamos estos valores en “R”
R a a a
Diferencia de
cuadrados
= − − +b g b gb g2
1 1
1 244 344
R = a2 − (a2 − 12)
R = a2 − a2 + 1
∴ R = 1 Rpta.: C

- 49 -
S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(−4)+(−x)(5x2)
+(−x)(x) + (−x)(−4) + (2)(5x2) + (2)(x)
+(2)(−4)
S = 5x4 + x3 − 4x2 − 5x3 − x2 + 4x
+ 10x2 + 2x − 8
∴ S = 5x4 − 4x3 + 5x2 + 6x − 8
Rpta.: B
Resolución 2
A = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)−x)
à A = (x2 + 1)2 − x2
Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à A = ((x2)2 + 2(x2)(1) + 12) −x2
A = x4 + 2x2 + 1 − x2
∴ A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1
Reemplazando los valores en:
S = P(Q + R)
S = (x2 −x + 2)((3x2 −x−1)+(2x2 + 2x − 3))
S = (x2 − x + 2)(5x2 + x − 4)
Resolución 3 Reemplazando los valores en:
[2A − 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3)
−3(4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3)]
[2A − 3B]2 = [16x3y2 + 12x2y2 + 6x2y3
−12x2y2 − 15x3y2 − 6x2y3]
[2A − 3B]2 = 16x3y2 − 15x3y2
∴ [2A − 3B]2 = x3y2 Rpta.: A
Resolución 4
Sea “M” la expresión a agregar. Luego, según el enuncia-
do:
(3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7)
(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + a·b
((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2) + M
= (3x)2 + (5 +7)(3x) + 5·7
(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35
M = 9x2 + 36x + 35 − (9x2 + 12x + 4)
M = 9x2 + 36x + 35 − 9x2 − 12x − 4
∴ M = 24x + 31 Rpta.: A
Resolucíon 5 Sea“N”laexpresiónquesedeberestar, se-
gún el enunciado tenemos que:
(6x + 5)2 − N = (9x + 5)(4x − 3)
((6x)2 + 2(6x)(5) + (5)2)− N = 36x2 − 7x − 15
(36x2 + 60x + 25) − N = 36x2 − 7x − 15
(36x2 + 60x + 25) − (36x2 − 7x − 15) = N
36x2 + 60x + 25 − 36x2 + 7x + 15 = N
∴ N = 67x + 40 Rpta.: B
Resolución 6
* (x + 2)(3x − 3) = (x + 2)[3(x − 1)]
= 3(x + 2)(x − 1)
* (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)(3x − 3)
* (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)[−(3 − 3x)]
= −(2 + x)(3 − 3x)
* (x + 2)(3x − 3) ≠ (2 + x)(3 − 3x)
* (x + 2)(3x − 3) = 3x2 + 3x − 6
Rpta.: D
Resolución 7 Efectuando:
(a + b)x + (b + c)y−[(a − b)x-(b − c)y]−2b(x + y)
=(a + b)x + (b + c)y −(a − b)x+(b − c)y −2b(x + y)
=x((a + b)−(a −b)) +y ((b + c) + (b − c))−2b(x + y)
=x(a + b − a + b) + y(b + c + b − c)−2b(x + y)
=2bx + 2by − 2bx − 2by = 0 Rpta.: C
Resolución 8
De la figura, podemos ver que:
Sabemos que:
* Áreadel
cuadrado
=(Lado)2
* Áreadel
rectángulo =(Ladomayor)×(Ladomenor)
Luego:
Área
coloreada
=
Áreadel
rectángulo
ABCD
F
H
GG
I
K
JJ−
Área del
cuadrado
QRCP
 
 
 
 
 

- 50 -
à
Áreadel
rectángulo =6x2 + 22x + 20
Luego:
Área
coloreada
=
Área del
rectángulo
F
HG I
KJ−
Área del
triángulo
F
HG I
KJ
= 6x2 + 22x + 20−(2(x2 + 4x + 4))
=6x2 + 22x + 20 − (2x2 + 8x + 8)
=6x2 + 22x + 20 − 2x2 − 8x − 8
∴ Área
coloreada
= 4x2 + 14x + 12 Rpta.: C
B = 6x4 + 9x3 − 15x2 − 4x2 − 6x + 10
à B = 6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x + 10
C = 13x3 − 20x2 − 11x + 25
Luego: S = A − B + C
à S = (6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15)
− (6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x +10)
+(13x3 – 20x2 – 11x + 25)
S = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15 − 6x4 − 9x3 +
19x2 + 6x − 10 + 13x3 − 20x2 − 11x + 25
S = −13x3 + 20x2 + 12x − 25 + 13x3 − 20x2
− 11x + 25
∴ S = x Rpta.: A
Resolución 9
De la figura podemos ver que:
El triángulo BAM es rectángulo e isósceles, es decir: AB =
AM = 2x + 4
•
Áreadel
triángulo
=
AB AMb g b g·
2
=
+ +2 4 2 4
2
x xb gb g =
+2 4
2
2
xb g
=
+ +4 16 16
2
2
x x
=
+ +4 4 4
2
2
x xe j
à
Áreadel
triángulo = 2(x2 + 4x + 4)
•
Áreadel
rectángulo =(AD)(CD)
=(3x + 5)(2x + 4)
• Áreadel cuadrado
QRCP
= ((4x + 3) − (3x + 1))2
=(x + 2)2
=x2 + 4x + 4
• Áreadel rectángulo
ABCD
= (7x + 2)(4x + 3)
= 28x2 + 29x + 6
Área
coloreada
=(28x2+29x+6)−(x2+4x+4)
= 28x2 +29x+6 − x2 − 4x −4
∴
Área
coloreada
= 27x2 + 25x + 2
Rpta.: A
Resolución 10
Sea “M” la expresión que hay que sumar, según el enun-
ciado tenemos que:
{x(x + y) − x(x − y)}·[2(x2 + y2)−3(x2 − y2)]+M
= 2x3y + 3xy3
{x((x + y)−(x − y))}·[2x2 + 2y2 − 3x2 +3y2]+M
=2x3y+ 3xy3
Resolución 11
A = (2x2 − 3)(3x2 − 2x + 5)
A = (2x2)(3x2) + (2x2)(−2x)+ (2x2)(5)
+ (−3)(3x2) + (−3)(−2x) + (−3)(5)
A = 6x4 − 4x3 + 10x2 − 9x2 + 6x − 15
à A = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15
B = (3x2 − 2)(2x2 + 3x − 5)
B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(−5)
+ (−2)(2x2) + (−2)(3x) + (−2)(−5)
{x(x + y − x − y)}·[5y2 − x2]+M = 2x3y + 3xy3
{2xy}[5y2 − x2]+M = 2x3y +3xy3
(10xy3 − 2x3y)+M = 2x3y + 3xy3
M = (2x3y + 3xy3) − (10xy3 − 2x3y)
M = 2x3y + 3xy3 − 10xy3 + 2x3y
∴ M = 4x3y − 7xy3 Rpta.: A
Resolución 12
E = A(B + 1)+B(1 − A) −C
E = AB + A + B − BA − C
à E = A + B − C
Reemplazando los valores dados:
E = (3x2 + 5xy − 2y2) + (3y2 − 4xy + 5x2)
− (xy + 5y2 + 8x2)
E =3x2 + 5xy − 2y2 + 3y2 − 4xy + 5x2 − xy
− 5y2 − 8x2
E = 8x2 + xy + y2 − xy − 5y2 − 8x2
∴ E = −4y2 Rpta.: D

- 51 -
Resolución 13
E = (mx + n)(x2 + x + 1)
E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) + (n)(x2)
+ (n)(x) + (n)(1)
E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + n
E = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n
Según el enunciado:
mx3+(m+n)x2 +(m+n)x+n=4x3+Ax2+Bx+5
m = 4 ; n = 5
m + n = A ; m + n = B
à A = 4 + 5 ; à B = 4 + 5
A = 9 ; B = 9
Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5
∴ A + B + m + n = 27 Rpta.: B
Resolución 14
R = (ax + b)(x2 − x + 1)
R = (ax)(x2) + (ax)(−x) + (ax)(1) + (b)(x2)
+ (b)(−x) + (b)(1)
R = ax3 − ax2 + ax + bx2 − bx + b
R = ax3 − (a − b)x2 + (a − b)x + b
Según el enunciado:
ax3 −(a −b)x2+ (a − b)x + b =7x3 − mx2 + nx + 4
a = 7 ∧ b = 4
También: m = a − b → m = 7 − 4
n = a − b → n = 7 − 4
à m = 3 ∧ n = 3
Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3
∴ a + b + m + n = 17 Rpta.. C
Resolución 15
T = + + −3 1 3 1 3 14 4
e je je j
à T= + −
F
HG I
KJ3 1 3 14
2 2
e j e j
T = + −3 1 3 1e je j
T = −3 1
2 2
e j = 3 − 1
∴ T = 2 Rpta.: C
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à (x − y)2 = x2 − 2xy + y2
(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
Pero: x2 + y2 = 26 ; x·y = 5
à (x − y)2 = (26) − 2(5)
(x − y)2 = 26 − 10 = 16
x − y = 4
Luego:
x y−
= =
2
4
2
2 Rpta.: E
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = (x2 + y2)+ 2xy
Si: x + y = 5 ∧ x2 + y2 = 11
à (5)2 = (11) + 2xy
25 − 11 = 2xy
14 = 2xy
xy = 7
Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 − ab + b2)
à x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) − xy)
Si: x + y = 5
x2 + y2 =11
x·y = 7
à x3 + y3 = (5)((11) − 7)
∴ x3 + y3 = 20 Rpta.: D
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Pero: x + y = 2 ∧ x·y = 3
à (2)2 = x2 + y2 + 2(3)
4 = x2 + y2 + 6
x2 + y2 = −2
Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
à x3 + y3 = (x + y)(x2 − x·y + y2)
x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2)− xy)
Si: x + y = 2
x·y = 3
x2 + y2 = −2

- 52 -
Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à x
x
x x
x x
−
F
HG I
KJ = −
F
HG I
KJ +
F
HG I
KJ1
2
1 1
2
2
2
b g
x
x
x
x
−
F
HG I
KJ = + −
1 1
2
2
2
2
Pero: x
x
2
2
1
7+ =
à x
x
−
F
HG I
KJ = − =
1
7 2 5
2
x
x
− =
1
5
Luego: x
x
x
x
2
2
2
2
1 1
− = −
F
HG I
KJ
Aplicamos: a2 − b2 =(a + b)(a − b)
à x
x
x
x
x
x
2
2
1 1 1
−
F
HG I
KJ = +
F
HG I
KJ −
F
HG I
KJ
Pero: x
x
+ =
1
3 ∧ x
x
− =
1
5
à x
x
2
2
1
3 5−
F
HG I
KJ = b g e j·
∴
2
2
1
x 3 5
x
− = Rpta.: A
Aplicamos: (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
à Suma de
áreas
= 2(x2 + y2) Rpta.: E
à
Resolución 19
(x + a)(x − 2) = x2 + bx + 6
x2 + (a + (−2))x + (a)(−2) = x2 + bx + 6
x2 + (a − 2)x + (−2a) = x2 + bx + 6
(a − 2)x + (−2a) = b x + 6
−2a = 5 → a = −3
a − 2 = b
(−3) − 2 = b → b = −5
Luego: a − b =(−3)−(−5)
∴ a − b = 2 Rpta.: C
Resolución 20
Sabemos que:
Área del cuadrado = (Lado)2
• Lado del cuadrado 1: x + y
à Área del cuadrado 1 = (x + y)2
• Lado de cuadrado 2: x − y
à Área del cuadrado 2 = (x − y)2
Suma de
áreas =
Áreadel
cuadrado1
F
HG I
KJ +
Áreadel
cuadrado 2
F
HG I
KJ
Suma de áreas = (x + y)2 + (x − y)2
à x3 + y3 = (2)((−2)−3)
x3 + y3 = −10
Luego: R
x y
x y
=
+
+
=
−
−
3 3
2 2
10
2
∴ R = 5 Rpta.: D
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:
2 6 2 4
2
2 2
e j b g= + +x y
24 = x2 + y2 + 8
x2 + y2 = 16 ........ (3)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à x
x
x x
x x
+
F
HG I
KJ = +
F
HG I
KJ+
F
HG I
KJ1
2
1 1
2
2
2
b g
x
x
x
x
+
F
HG I
KJ = + +
1 1
2
2
2
2
Si: x
x
+ =
1
3 à 3
1
2
2 2
2b g = + +x
x
9 2
12
2
− = +x
x
x
x
2
2
1
7+ =
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2
(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que:
(x − y)2 = 16 − 2(4)
(x − y)2 = 8
∴ x y− = 8 Rpta.: E

- 53 -
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Identidades de Legendre
T
x y x y
x x x x
x y
x x
=
− + +
+ − −
=
+
F
HG I
KJ
− − −
2 3 2 2 3 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2
2 2
2
4
e j e j
e j e j
e j e j
·
T
x y
x
x
x y
=
+
=
+2
1 2
1
4 6
2
2
2
4 6
4
e j
· ·
Pero: x4 + y6 = 4
à T
x y
=
+
= =
4 6
2
4
2
2 Rpta.: B
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b
Identidades de Legendre
à R
x y x y
x y x y
x y
x y
=
+ − −
+ + −
=
+
b g b g
b g b g e j
2 2
2 2 2 2
4
2
·
Si x2 + y2 = 3xy
à R
xy
xy
xy
xy
= =
4
2 3
4
2
3
6b g
∴ R = 2/3 Rpta.: D
Resolución 25
R = (x − 3)(x + 2)(x − 4)(x + 3)
R = (x2 +(−3+2)x+(−3)(2))(x2 +(−4+3)x+(−4)(3))
R = (x2 − x − 6)(x2 − x − 12)
R = ((x2 − x)-6)((x2 − x)− 12)
De la condición: x
x
+ =
2
1
x
x
2
2
1
+
=
x2 + 2 = x → x2 − x = −2
Reemplazamos el valor hallado en “R”, obteniendo:
R = ((−2)−6)((−2)−12)
R = (−8)(−14)
∴ R = 112 Rpta.: C
Resolución 26
La expresión se puede escribir de la manera siguiente:
P = − − +
L
NM O
QP2 2 1 2 1 41
4
e j e j·
P = −
F
HG I
KJ − +
L
N
MM
O
Q
PP2 2 1 2 1 41
2 2
· ·e j e j
P = − +F
H
I
K − +
L
N
MM
O
Q
PP2 2 2 2 1 1 2 1 41
2 2
2
· · · · e j
( ) ( )
2
P 2· 3 2 2 · 2 1 41
 
= − − + 
 
( )( ) ( ) ( )
22
P 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 41
  
= − + − +  
  
P = − − +2 17 12 2 2 1 41· e je j
P = − − + +L
NM O
QP2 17 2 17 12 2 12 2 41
2
·
P = − − +2 29 2 17 24 41·
P = 2 29 2·
P = = =29 2 29 2 58
2
· Rpta.: C
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à x x+ = +F
H
I
K
−1 2 2
2 2 2e j
x2 + 2x ·x−1 + (x−1)2 = 2 2 2+
x2 + 2 + x−2 = 2 2 2+
à x2 + x−2 = 2 2
x x2 2 2 2
2 2+ =−
e j e j
(x2)2 + 2(x2)(x−2) + (x−2)2 = 8
x4 + 2 + x−4 = 8
∴ x4 + x−4 = 6 Rpta.: C
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
M = (x + 5)(x + 4)(x2 − 32)(x − 2)(x − 1)
M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x − 3)(x − 2)(x − 1)
M = (x + 5)(x − 3)(x + 4)(x − 2)(x + 3)(x − 1)
M = (x2 + 2x − 15)(x2 + 2x − 8)(x2 + 2x − 3)
Pero: x2 + 2x = 9
M = (9 − 15)(9 − 8)(9 − 3)
M = (−6)(1)(6)
∴ M = −36 Rpta.: C
1 244 344 1 244 344 1 244 344

- 54 -
Luego:
Q
x y x y
x y x y
=
+ − −
+ − −
b g b g
e j e j
4 4
2 2 2 2 2 2
2 2
Q
x y x y
x y x y
=
+ − −
+ − −
b g b g
e j e j
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
Aplicamos: a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)2 −(a − b)2 = 4ab
2 2 2 2
à Q
x y x y x y x y
x y
=
+ + − + − −b g b g b g b g
e je j
2 2 2 2
2 2
4 2
Q
x y xy
x y
=
+2 4
8
2 2
2 2
e j
M a a= − + +6 64 1 1 1e je j
M a= −
F
HG I
KJ+6 2 2
4 1 1e j b g
M a a= − + =124 124
1 1
∴ M = a3 Rpta.: B
6 744 844
6 744 844
Resolución 29
La expresión dada se puede escribir de la siguiente mane-
ra:
E = + + + − −2 3 5 2 3 5 2 6e je j e je j
à E = + −
F
HG I
KJ −2 3 5 2 6
2 2
e j e j
E = + + −F
H
I
K −2 2 2 3 3 5 2 6
2 2
e je j
E = + − −5 2 6 5 2 6
E = 0 Rpta.: B
Resolución 30
* Área del cuadrado = (Lado)2
à Área del cuadrado = (x + y)2
*
Áreadel
triángulo =
base alturab g b g·
2
à
Áreadel
triángulo=
x y·
2
Según el enunciado, tenemos que:
x y
x y
+ =
F
HG I
KJb g2
8
2
·
(x + y)2 = 4xy
x2 + 2xy + y2 = 4xy
x2 + 2xy + y2 − 4xy = 0
x2 − 2xy + y2 = 0
(x - y)2 = 0
à x − y = 0 → x = y
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
M a a a a a= − + + + + +1 1 1 1 12 3 64 b ge je je j
M a a a= − + + +3 3 3 64 1 1 1 1e je je j
M a a a= − + + +3 3 64 1 1 1 1e je je j
M a a= −
F
HG I
KJ + +3 2 2 64 1 1 1e j b g e j
Q
xy x y
xy
=
+8
8
2 2
2
e j
b g
Q
x y
xy
=
+2 2
; pero: x = y
à Q
x x
x x
x
x
=
+
=
2 2 2
2
2
·
∴ Q = 2 Rpta.: B
Resolución 32
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
E = + − −F
H
I
K
F
HG
I
KJ2 3 2 3
2 3
E = +F
H
I
K − +F
H
I
K −F
H
I
K+ −F
H
I
K
F
HG
I
KJ2 3 2 2 3 2 3 2 3
2 2 3
E = + − + − + −
F
HG I
KJ2 3 2 2 3 2 3 2 3
3
e je j
E = − + −
F
HG I
KJ4 2 2 3 2 3
3
e je j
E = − −
F
HG
I
KJ4 2 2 3
2 2
3
b g e j
E = − −4 2 4 3
3
e j
E = (4 − 2)3
∴ E = 8 Rpta.: C
(a + b) + (a − b) = 2(a +b )

- 55 -
Perímetro del cuadrado = 4×(Lado)
Perímetrodel
cuadrado ABCD = 8(2x +1) = 4(Lado)
8 2 1
4
x
Lado
+
=
b g b g
à
Lado del
cuadrado ABCD = 2(2x + 1)
De la figura, podemos ver que:
Lado del
cuadrado ABCD = 2
Lado del
cuadrado EFGD
FH IK
2(2x +1) = 2
Lado del
cuadradoEFGD
FH IK
2 2 1
2
x +b g =
Lado del
cuadrado EFGD
à
Lado del
cuadrado EFGD = 2x + 1
Luego:
Área
coloreada
=
Áreadel
cuadrado
ABCD
F
H
GG
I
K
JJ +
Áreadel
cuadrado
EFGD
F
H
GG
I
K
JJ
Área
coloreada
=
Lado del
cuadrado
ABCD
F
HG
I
KJ
2
+
Lado del
cuadrado
EFDG
F
HG
I
KJ
2
Área
coloreada
= 2 2 1 2 1
2 2
x x+ + +b gc h b g
Área
coloreada
= 4(2x + 1)2 +(2x +1)2
Área
coloreada
= 5(2x + 1)2
Área
coloreada
= 5((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)
∴ Área
coloreada
= 5(4x2 + 4x + 1) Rpta.: C
1 2444 3444
Resolución 34 Sea:
M = (x + y + z)3 − (x + y)3 − 3(x + y + z)(x + y)z
Hacemos: a = x + y
à M = (a + z)3 − a3 − 3(a + z)(a)z
M = (a + z)3 − a3 − 3az(a + z)
Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
M=(a3+3a2z+3az2 +z3)−a3 −3az(a+z)
M=a3+3a2z+3az2 +z3−a3−3a2z−3az2
∴ M = z3 Rpta.: C
Resolución 35
Sabemos que: 2 = 5 − 3
Luego:
La expresión dada se puede escribir de la
siguiente manera:
M = − + + + +5 3 5 3 5 3 5 3 32 2 4 4 84 b gb ge je j
M = − + + +5 3 5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84
e je je j
M = −
F
HG I
KJ + +5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84 e j e j e j
M = − + +5 3 5 3 34 4 4 4 84
e je j
M = −
F
HG I
KJ +5 3 34 2 4 2 84 e j e j
M = − +5 3 38 8 84
M = =5 584 2
∴ M = 25 Rpta.: E
(DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES) Pág.(193, 194, 195, 196)
NIVEL I
Resolución 1
Sabemos que: D = d × q + R .... (I)
Según los datos :
d = (x2 + 1)
q = (x + 2)
R = (x − 3)

- 56 -
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
M
x x x
x x
=
+ + −
+ +
4 6 1
4 7 1
2 2 2
2
e j
M
x x x x x x
x x
=
+ + + + + −
+ +
4 6 1 4 6 1
4 7 1
2 2
2
e je j e je j
M
x x x x
x x
=
+ + + +
+ +
4 7 1 4 5 1
4 7 1
2 2
2
e je j
∴ M = 4x2 + 5x + 1 Rpta.: E
∴ Residuo = −5x + 14 Rpta.: E
Reemplazando en (I) tenemos que:
D = (x2 + 1)(x + 2) + (x − 3)
D = x3 + 2x2 + x + 2 + x - 3
∴ D = x3 + 2x2 + 2x − 1 Rpta.: B
Resolución 2
Dividimos entre 4 al dividendo y al divisor
64 36 8
4
4 1
4
4 2
x x x x− + −
:
16 9 2
1
4
4 2
x x x x− + −:
Aplicamos el método de Ruffini:
Resolución 4
Aplicando el método de Horner, obtenemos:
∴ cociente: 16x3 + 4x2 − 8x Rpta.: C
Resolución 3
Cociente: x − 4
Residuo: 8x − 4
Luego:
Suma de coeficientes
del residuo = 8 +(−4)= 4
Rpta.: D
∴ Cociente = x + 1 Rpta.: A
∴ Cociente = x2 − 3x − 11
Residuo = −34x2 + 2x + 12 Rpta.: C
Resolución 7 Por el teorema del
Resto: x − 1= 0 → x = 1
Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:
Dividendo = 6x3 − 5x2 − 4x + 4
Residuo(R) = 6(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 4
= 6 − 5 − 4 + 4
∴ R = 1 Rpta.: A
Resolución 5 Por el teorema del
Resto: x + 3 = 0 → x = −3
Reemplazamos el valor x = -3, en el dividendo
Dividendo = x4 − 2x2 − 6
Residuo(R) = (−3)4 − 2(−3)2 − 6 = 81 − 2(9) − 6
∴ R = 57 Rpta.: D
Resolución 6
Resolución 9

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