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Aplicación de las integrales

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  1. 1. UNIVERSIDAD FERÍN TORO SISTEMA INTERACTIVO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA (SAIA) CABUDARE Estudiante: Lois Copeland. CI: V- 29.525.159. Sección: Saia-A. Profesor: Domingo Méndez. Fecha: Septiembre de 2018.
  2. 2. Es el cálculo del área de una región en un plano. Cuando vemos la suma de Riemann, observamos la forma de calcular el área de una región limitada por contornos incluyendo la función que dijimos que era positiva. Si la función es negativa, significa que el área se está midiendo hacia abajo y para evitar esto, tomamos la función con su respectivo signo. Esta vez vamos a calcular áreas también limitadas por curvas, usando directamente la integral definida, ya que ahora conocemos diferentes técnicas para desarrollar estad integrales, el cálculo lo extenderemos a funciones menores que cero y será más fácil al aplicarlas. Esto nos permite recordar la interpretación geométrica de la integral, que no es más que un cálculo de área, pues es un producto de dos dimensiones.
  3. 3. Definir la integral de una función cualquiera, f(x), en un intervalo [a, b], con la única condición de que esté acotada. Se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas h(x) por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x ∈ [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla ∫ ∫ ≤ ≤ b a b a g(x)dx l h(x)dx , a este número l se le llama integral de f(x) entre a y b. Se representa: ∫ = b a l f (x)dx y se lee “integral desde a hasta b, de f(x), diferencial de x”. Teorema: Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo. Teorema Fundamental del Cálculo Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b], su función área, A(t), se define de la siguiente forma: ∫ = t a A(t) f (x)dx ∀t ∈[ ] a,b. En estas condiciones, si f es continua en [a, b], la función A es una primitiva de la función f en [a, b]. Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a, b], y F(x) una primitiva de f(x), es decir, F '(x) = f(x) para cualquier x ∈ (a, b), entonces: La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte, es un método de cálculo de integrales definidas que no exige hallar funciones escalonadas; por otro lado, representa una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.
  4. 4.  Sea f(x) continua y f(x) ≤ 0 para todo x en [a, b]: El área del recinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje de abscisas y dos rectas verticales es:  Sea f(x) continua y f(x) toma valores positivos y negativos en subintervalos de [a, b]: Cuando f(x) no tiene signo constante en el intervalo [a, b], su gráfica determina con el eje OX varias regiones. Habrá que identificar el signo de la función en cada uno de los subintervalos y calcular el área de cada una de las regiones para posteriormente sumarlas.
  5. 5.  Si f1, f2 son dos funciones distintas, integrables en [a, b] y tales que f1(x) ≤ f2(x) para todo x en [a, b], entonces el área de la región R = {(x,y)ÎÂ2, a ≤ x ≤ b y f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, es:  Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a, b] y tales que sus gráficas se cruzan en un número finito de puntos, entonces el área de la región limitada por estas curvas y las rectas verticales x = a e y = b es: • Como caso particular, si f: [a, b] en  una función integrable en [a, b] que no mantiene signo constante en dicho intervalo, entonces el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a, y x = b es:
  6. 6. El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continua f(x) sobre un intervalo dado del eje de abscisas puede considerarse igual a la suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro infinitesimal: superficie de la base –círculo de radio f(xi)- por la altura Δxi).  Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen de revolución engendrado al girar en torno al eje X, el recinto limitado por las rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica de f(x) viene dado por:
  7. 7. La longitud de un arco cualquiera para una curva continua e integrable Riemann, se obtendría como la suma infinita de las longitudes infinitesimales de arco.  Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b]; entonces la longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es: Sea f una función real continua en [a, b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b]; entonces el área lateral de revolución engendrada por f(x) al girar en torno al eje X, entre las rectas x=a y x=b, es:

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