fb.com/starheaven.2110 Bùi Lợi Toán 3A 21/10/2019

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA
TS. NGUYỄN HOÀNG
GIÁO TRÌNH
KHÔNG GIAN
MÊTRIC
(CƠ SỞ GIẢI TÍCH)
Huế - 2007
1

2. MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ...........................................................................................................3
A. KIẾN THỨC BỔ SUNG.......................................................................................5
§ 1 TẬP HỢP SỐ THỰC.......................................................................................5
§2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP............................................................10
B. KHÔNG GIAN MÊTRIC....................................................................................16
§1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. .................................................................................16
BÀI TẬP...............................................................................................................21
§2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG..............................................................................23
BÀI TẬP...............................................................................................................30
§3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC .....................................................................................32
BÀI TẬP...............................................................................................................37
$4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ...............................................................38
BÀI TẬP...............................................................................................................50
§5 KHÔNG GIAN COMPACT...........................................................................52
BÀI TẬP...............................................................................................................67
§6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG .....................................................................69
BÀI TẬP...............................................................................................................71
C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN.............................................................................72
PHẦN A ...............................................................................................................72
PHẦN B ...............................................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................87
2

3. LỜI NÓI ĐẦU
Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trường
ĐHSP Huế trong những năm vừa qua. Học phần này có mục đích trang bị những
kiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phải
nắm được. Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên
tập IRk
các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận,
giới hạn liên tục… được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nó
có thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữa
hai phần tử đó. Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thích
cổ điển đã học trong những năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các học
phần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm…
Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thường
chỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưa
có một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này. Ở đây, bạn
đọc sẽ thấy nhiều bài tập được đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thời
cũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết. Phần lớn các bài tập đều có lời giản
tóm tắt hoặc chi tiết. Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế và
cũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập.
Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm được những
kiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luận
logic toán học. Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tương
đương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đối
tượng bằng qui nạp hữu hạn. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làm
được các bài tập. Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệm
không gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suy
luận chủ quan thông thường. Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiết
phải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho các
định nghĩa đó. Như Dieudonne đã nói:... trực quan hình học, cùng với sự đề
phòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnh
tổng quát…
Cuốn sách được chia làm hai phần. Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cách
có hệ thống các tính chất của tập số thực IR. Sinh viên tăng cường chú ý đến khái
niệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành
3

4. thạo, biên soạn. Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nào
thì một tập là đếm được,
Phần thứ hai là phần chính của chương trình. Có nhiều con đường để trình
bày các khái niệm. Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thường
dùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ra
tên gọi như vậy. Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa. Các
khái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ,
compact… Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiều
thuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng. Vì thế sinh
viên nên tìm thêm ví dụ và hình ảnh trực quan để dễ nhớ. Sau khi nắm được lý
thuyết, các bạn tự mình giải các bài tập cẩn thận trước khi xem lời giải. Các bài
tập khó hơn có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và phải có thời gian nghiền
ngẫm nhiều hơn.
Tác giả xin cám ơn các bạn trong tổ Giải tích khoa Toán trường ĐHSP Huế
đã động viên góp ý khi viết cuốn sách này. Mong được nhận được những phê
bình của các đồng nghiệp gần xa.
Tác giả
4

5. A. KIẾN THỨC BỔ SUNG
§ 1 TẬP HỢP SỐ THỰC
Chúng ta đã tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình toán ở bậc
phổ thông. Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắt
Dedekind, các dãy cơ bản…. của tập hợp số hữu tỉ Q. Ở đây với mục đích là hệ
thống lại những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi sẽ chọn một số mệnh
đề cơ bản làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực. Các tính chất còn lại được
suy từ các tiên đề này.
1.1. Định nghĩa:
Tập hợp số thực, ký hiệu IR là một tập cùng với các phép toán cọng + và
nhân . xác định trên đó, thoả mãn các tiên đề sau:
I. (IR, +) là một nhóm cọng Abel, tức là với mọi x, y, z thuộc IRta có:
x + y = y + x
x + (y + z) = (x + y) + z
(∃ 0 ∈ IR) (∀ x ∈ IR): x + 0 = 0 + x= x
(∀ x ∈ IR)(∃ (-x)∈ IR): x + (-x) = 0
II. (IR*
,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR*
= IR{0}, nghĩa là với mọi x,
y, z thuộc IR*
, ta có:
xy = yx
x( yz) = (xy) z
(( ∃ 1 Є IR*
) : x1= 1x = x
(∀x ∈ IR*
)(∃ x-1
∈ IR*
): xx -1
= x-1
x = 1
(Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y)
III. Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cọng:
Với mọi x,y thuộc IRta có:
x(y + z) = xy+ xz
Như thế IRcùng với các phép toán cọng và nhân lập thành một trường
IV. IRlà một trường được sắp thứ tự, nghĩa là trong IRcó xác định một quan
hệ thứ tự ‘≤’ thoả:
5

6. 1. x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z
2. x ≤ y và y ≤ z tương đương x = y
3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IRthì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x
4. x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với mọi z ∈ IR
5. 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy
Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x < y hay y > x .
V. Ta gọi một nhát cắt trong IRlà một cặp (A,B) các tập con của IRsao cho A,
Bkháctrống,A ∩ B = Ø, IR= A∪ Bvàvới mọia ∈ A, b ∈ B thì a < b .
Tiên đề Dedekink. IR là một trường được sắp liên tục, nghĩa là: Với mỗi
nhát cắt (A,B) của tập IRđều xảy ra: hoặc có một phần tử lớn nhất trong A hoặc
có một phần tử nhỏ nhất trong B và không thể vừa có phần tử lớn nhất trong A,
vừa có phần tử nhỏ nhất trong B.
Phần tử lớn nhất trong A (hoặc phần tử nhỏ nhất trong B) gọi là biên của
nhát cắt (A,B). Tập hợp số thực cũng gọi là đường thẳng thực.
1.2. Các tính chất cơ bản:
1.2.1 Supremum và infimum :
Cho M là một tập con khác trống của IR. Số x ∈ IR được gọi là một cận trên
của M nếu với mọi y ∈ M thì y ≤ x, số x ∈ IRgọi là cận dưới của M nếu x ≤ y với
mọi y ∈ M. Tất nhiên nếu x là cận trên (tương ứng, cận dưới) thì với mọi x1
> x (
t.ư… x1
< x) cũng là cận trên (t.ư cận dưới) của tập M.
Cận trên bé nhất (nếu có) của tập M được gọi là supremum của tập M, ký
hiệu sup M. Như vậy, α = sup M khi và chỉ khi
i)∀x ∈ M: x ≤ α
ii) (∀α’
∈ α < α) (∃ x ∈ M) : α’
< x
(Điều kiện ii) nói rằng vì α là cận trên bé nhất nên nếu α’
<n thì α’
không
còn là cận trên của M, do đó α’
không thể lớn hơn tất cả các x thuộc M).
Tương tự, cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập M gọi là infimum của tập M
ký hiệu là inf M. Do định nghĩa, β = inf M khi và chỉ khi
i)∀x ∈ M: β ≤ x
ii) (∀ β’
> β) (∃ x ∈ M) : x < β’
Nguyên lý supremum: Mọi tập con khác trống của IRcó cận trên thì phải
có supremum. Cũng vậy, mọi tập con khác trống của IRcó cận dưới thì phải có
infimum.
Chứng minh: Giả sử M ≠ Ø và c là một cận trên của M. Ta hãy xét các tập
hợp sau:
6

7. A ={x Є IR: (∃ a ∈ M) x ≤ a};
B ={y Є IR:(∀aЄ M) a < y}.
Khi đó A ≠ Ø vì M ⊂ A; B ≠ Ø vì với c’
> c thì c’
Є B. Với mọi z Є IR thì
hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR= A ∪ B. Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a
< z hay z < z, vô lý nên A∩B = Ø. Hơn nữa, nếu x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y với
a nào đó thuộc M nên x < y. Theo định nghĩa, (A,B) là một nhát cắt của IR. Gọi
m là biên của (A,B). Khi đó ta sẽ có m = sup A. Thực vậy, chẳng hạn m ∈ A thì
theo định nghĩa sẽ có a ∈ M để m ≤ a vì M ⊂ A nên m = a. Còn nếu m Є B thì
∀a ∈ M : a < m. Nếu m’
< m thì m’∉ B tức là m’
∈ A, hơn nữa m’ không phải
là phần tử lớn nhất trong A nên có m”∈ A, a ∈ M để m’
< m’’
≤ a < m. Phần còn
lại của định lý chứng minh tương tự.
Chú ý: Giả sử M là một tập con khác rỗng của IRnhưng không có cận trên
nào cả. Khi đó ta quy ước sup M = + ∞. Tương tự, nếu M không có cận dưới, ta
quy ước inf M = - ∞.
1.2.2 Ta gọi các số a ∈ IR, a > 0 là số dương, a < 0 là số âm và đặt ⎪x⎪ nếu
x ≥ 0; ⎪x⎪= - x nếu x < 0 và gọi ⎪x⎪là giá trị tuyệt đối của số thực x. Số a ∈ IR
gọi là giới hạn của dãy số (xn)n ⊂ IRvà ký hiệu axn
n
=
∞→
lim nếu:
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ≥ n0): ⎟ x – a⎟ < ε
Dãy (xn)n gọi là đơn điệu tăng (t.ư giảm) nếu xn ≤ xn+1 (t.ư xn ≥ xn+1) với mọi
n ∈ N bị chặn trên (t.ư dưới) nếu tập {xn} có cận trên (t.ư., dưới) hội tụ nếu (xn)
có giới hạn.
Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơn điệu tăng (t.ư.,giảm) và bị chặn trên
(t.ư., dưới) đều hội tụ.
Chứng minh: Giả sử (xn)n là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên. Theo
nguyên lý supremum, tập {xn} có một supremum α. Với ε > 0 cho trước, theo điều
kiện ii) có số nguyên n0 sao cho α – ε < xn0. Mặt khác, theo tính đơn điệu tăng
của dãy (xn), ta có α – ε < xn0 ≤ xn < α + ε với mọi n ≥ n0. Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε
với mọi n ≥ n0. Như vậy dãy (xn) hội tụ về α. Trường hợp (xn) là dãy đơn điệu
giảm, bị chặn dưới cũng được chứng minh tương tự.
1.2.3. Các phần tử của tập IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 ... và -1, -2, -3… gọi
là các số nguyên, ký hiệu tập các số nguyên là Z. Tập Z không có cận trên và
cận dưới. Thật vậy, nếu Z có cận trên α thì dãy đơn điệu tăng 1, 2, 3… phải có giới
hạn α; lúc đó α – 1 < p với một p nào đó của Z và thành ra α < p + 1 trái với α là
cận trên. Ký hiệu Q = { ab-1
=
a
b , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là tập hợp các số
hữu tỉ, còn N là tập số nguyên dương (số tự nhiên) ta có bao hàm thức sau:
7

8. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất kỳ với a > 0. Khi đó tồn tại n
Є N sao cho b < na.
Thực vậy, do N không bị chặn trên (tức là không có cận trên) nên với số
thực
a
b
sẽ có n ∈ N để
b
a < n hay b < na
1.2.4. Các tập
(a, b) = {x ∈ IR: a < x < b } và
[a,b] = {x ∈ IR: a ≤ x ≤ b}
lần lượt gọi là khoảng (hay khoảng mở) và đoạn (hay khoảng đóng). Một dãy
đoạn {[an, bn]} gọi là thắt lại nếu [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] và 0)ab(lim nn
n
=−
∞→
Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có một phần tử duy nhất chung
cho tất cả các đoạn ấy.
Chứng minh: Giả sử ([an, bn])n là dãy đoạn thắt lại. Ta có:
a1 ≤ a2 …≤ an+1 ≤ …≤ bn+1 ≤ bn ≤ … ≤ b1
với mọi n Є N. Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (an)n tăng, bị chặn trên (bởi b1
chẳng hạn) nên hội tụ về số ξ = sup {an}. Như thế an ≤ ξ với mọi n. Nếu ξ ∉
[ano, bno] với một n0 nào đó thì ắt hẳn bno < ξ. Đặt ε = ξ - bno. Khi đó với n đủ lớn thì
ξ - a n < ξ - bno tức là bno < an! vô lý. Vậy ξ Є [an,bn] với mọi n. Mặt khác, nếu có
ξ’
Є[an,bn] với mọi n thì⎥ ξ-ξ’
⎥ ≤ bn – an. Do đó
0 ≤⎥ ξ-ξ’
⎥ ≤ 0)(lim =−
∞→
nn
n
ab
hay⎥ ξ-ξ’
⎥ = 0 nghĩa là ξ = ξ’
1.2.5. Dãy (xn) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn
dưới. Điều này tương đương với:
(∃a ∈ IR)(∀ n ∈ N):⎟ xn⎟ ≤ a
Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn (xn)n đều có
một dãy con hội tụ.
Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại số a sao cho với mọi n Є N ta có – a ≤
xn ≤ a. Trong hai giai đoạn [-a,0] và [0,a] phải có một đoạn chứa vô số các phần
tử xn (nếu không, hoá ra (xn)n chỉ có hữu hạn các số hạng). Ta gọi đoạn này là
[a1,b1].Chia hai đoạn này bằng điểm giữa c1=
a1+ b1
2 . Trong hai đoạn [a1,c1] và
[c1,b1] cũng có một đoạn chứa vô số các xn, ký hiệu đoạn này là [a2,b2] và lại
chia đôi đoạn này bởi điểm giữa c2 =
2
22 ba +
v.v... Tiếp tục quá trình đó ta thu
8

9. được một dãy đoạn thắt lại [ak, bk] (vì hiển nhiên [ak+1, bk+1] ⊂ [ak, bk] và bk – ak
= k
a
2
→ 0 khi k → ∞). Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn này có duy nhất phần tử
chung ξ Є . Vì mỗi đoạn [a[ kk
k
ba ,
1
∞
=
I ] k, bk] chứa vô số các phần tử xn nên ta
hãy lấy phần tử xn1 ∈ [a1, b1] rồi xn2 ∈ [a2, b2] với n2 > n1, xn3 ∈ [a3, b3], n3 >
n2… khi đó (xnk)k là dãy con của dãy (xn)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - ak → 0 (k → ∞), nghĩa
là dãy (xnk) hội tụ về ξ.
1.2.6 Dãy số thực (xn)n được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu:
(∀ε > 0)(∃ n0)(∀ n ≥ n0)(∀ m ≥ n0) : ⎪xn –xm⎪ < ε
Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy số thực cơ bản thì phải hội tụ:
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh rằng nếu (xn)n cơ bản thì nó phải bị
chặn. Với ε = 1, tồn tại n0 để với mọi n ≥ n0 ta có ⎪xn –xno⎪ < 1 hay xno - 1≤ xn ≤
xno + 1. Đặt a = max {⎪x1⎪,…,⎪xno⎪, ⎪xno⎪+1}, khi ấy với mọi n thì -a ≤ xn ≤ a. Do
đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy (xn)n có một dãy con hội tụ về
ξ. Bây giờ với ε > 0 cho trước sẽ có n
knx
0 sao cho với m, n ≥ n0 thì⎪xn – xm⎪< ε/2 do
(xn)n cơ bản. Mặt khác → ξ nên cũng tồn tại số mknx 0 để nếu n ≥ m0 thì | – ξ| <
ε/2.
knx
Đặt n0’ = max(n0, m0) khi đó nếu n > n0
’
thì
⎪xn – ξ ⎪ ≤ ⎪xn – ⎪ +⎪ – ξ ⎪ < ε/2 + ε/2 = ε.knx knx
Vậy dãy (xn)n cũng hội tụ về ξ và điều này kết thúc việc chứng minh.
1.2.7. Tính trù mật của tập Q trong IR:
Định lý: Với mỗi cặp số thực (a;b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ
r sao cho a < r < b.
Chứng minh: Do tập IRcó tính chất Archimède nên có số nguyên n để n >
1
b-a hay b - a > 1/n. Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb. Gọi q là số nguyên bé
nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 < nb hay
q-1
n < b. Lúc này a <
q-1
n vì nếu a ≥
q-1
n sẽ dẫn đến b-a ≤ b -
q-1
n <
q
n -
q-1
n = 1/n trái với b-a > 1/n trở lên. Vậy ta
tìm được số hữu tỉ r =
q-1
n ∈ (a,b)
Sự kiện phát biểu bởi định lý trên được gọi là tập số hữu tỉ Q trù mật trong
tập số thực IR. Cũng từ định lý này, ta suy ra trong khoảng (a,b) có chứa vô số số
hữu tỉ.
9

10. §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP
Cho một tập hợp A, có các phần tử là những đối tượng nào đó. Ta chưa
quan tâm đến bản chất các đối tượng này. Trước hết hãy thử để ý đến “số lượng”
các phần tử của tập hợp A. Có thể xảy ra một trong hai khả năng:
- Nếu đếm hết được các phần tử của tập hợp A thì A được gọi là tập hữu
hạn và số nguyên cuối cùng đếm tới chính là số lượng các phần tử của tập hợp
A.
- Nếu việc đếm các phần tử của tập hợp A không thể nào kết thúc được thì
tập hợp A được gọi là tập hợp vô hạn.
- Bây giờ chúng ta muốn so sánh “số lượng” các phần tử của hai tập A, B.
Nếu trong hai tập này có ít nhất một tập hữu hạn thì việc so sánh trở nên dễ dàng
nhờ việc đếm các phần tử. Trường hợp cả A lẫn B đề vô hạn thì cách đếm không
thể thực hiện nên chưa so sánh được. Ta xét ví dụ sau. Ký hiệu B là tập hợp các
số tự nhiên chẵn:
B = {2,4,6,…, 2n,…}
Hiển nhiên B là tập con thực sự của tập số tự nhiên N = {1, 2,3,…}. Tuy
nhiên chúng ta không thể quả quyết rằng “số lượng” các phần tử của N nhiều
gấp đôi “số lượng” các phần tử của B.
Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơn ánh từ tập ta đếm
vào tập số tự nhiên N và muốn biết hai tập hợp có cùng số lượng hay không, ta
chỉ cần xem có thể thiết lập một song ánh giữa hai tập này ( tức là có thể cho
tương ứng mỗi phần tử của tập này với một và chỉ một phần tử của tập kia) hay
không. Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử của tập hữu hạn
hay vô hạn vẫn còn hiệu lực.
2.1. Tập hợp tương đương:
2.1.1. Định nghĩa: Ta nói hai tập hợp A, B là tương đương với nhau nếu
tồn tại một song ánh từ A lên B.
2.1.2. Ví dụ:
1. Hai tập hợp hữu hạn có cùng một số lượng các phần tử thì tương đương
với nhau.
2. Ở ví dụ trong phần mở đầu, hai tập B = {2,4,...,2n,…} và N tương đương
với nhau vì ta có một song ánh từ N lên B xác định bởi n → 2n, n ∈ N.
Nhận xét: Tập B có được từ N sau khi bỏ đi tất cả các số nguyên lẻ nhưng
B vẫn tương đương với N. Điều này không thể xảy ra đối với các tập hữu hạn.
10

11. Do vậy, ta có định nghĩa khác (tương đương với định nghĩa trước) về tập hữu
hạn và vô hạn như sau:
Tập A được gọi là vô hạn nếu A tương đương với một tập con thực sự của
nó.
Tập A được gọi là hữu hạn nếu A không phải là tập vô hạn.
3. Tập (0,1) tương đương với tập (a,b) với a, b bất kỳ thuộc IR, a < b, nhờ
song ánh (0,1) x → y= (b-a)x + a∋
4.Tập hợp ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
22
ππ
, tương đương với tập IRbởi song ánh
f : ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
22
ππ
, → IR: x → y = f(x) = tg x
Khi hai tập hợp tương đương với nhau ta bảo chúng có cùng lực lượng hay
cùng bản số. Đối với các tập hữu hạn, rõ ràng hai tập có cùng lực lượng khi và
chỉ khi chúng có cùng số lượng các phần tử. Do đó ta đồng nhất lực lượng của
tập có n phần tử là n. Lực lượng của tập A (hữu hạn hay vô hạn) được ký hiệu là
A hay card A. Như vậy ví dụ card{1,2,3,4,5} = 5, card {a,b,c} = 3
Nếu tập hợp B tương đương với một con thực sự của A nhưng không tương
đương với A thì ta nói lực lượng của B nhỏ hơn lực lượng của A ký hiệu AB <
hoặc cũng gọi lực lượng của A lớn hơn lực lượng của B, ký hiệu BA > .
Người ta chứng minh được rằng, cho hai tập A, B bất kỳ bao giờ cũng xảy
ra một và chỉ một trong ba trường hợp.
1. Xảy BA = (tức là A, B tương đương với nhau)
2 Xảy BA <
3. Xảy BA >
2.2. Tập hợp đếm được:
2.2.1. Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp đếm được nếu A tương
đương với tập số tự nhiên N. Nói cách khác, A đếm được nếu và chỉ nếu tồn tại
một song ánh từ N lên A. Khi đó ta cũng nói A có lực lượng đếm được.
Gọi a: N→ A là song ánh nói trên, ta có:
N Э n → a (n) = an Є A
Như vậy có thể nói tập hợp đếm được là một tập mà các phân tử của nó có
thể đánh số thành một dãy vô hạn.
a1, a2, a3,…,an,…
11

12. 2.2.2. Ví dụ:
1. Tập hợp các số tự nhiên chẵn, các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được.
Thật vậy, theo mục trước, card {2,4,6…} = cardN, còn E = { 1,3,5,...,2n +1,…}
tương đương với N nhờ song ánh.
N Э n → 2n + 1 Є E
2. Tập Z có số nguyên là đếm được. Để chứng tỏ điều đó, ta xét ánh xạ f :
N→Z cho bởi :
n
2 nếu n chẵn
n → f(n) = ‘
1- n
2 nếu n lẻ
Dễ dàng kiểm tra f là song ánh ta có được kết luận
3. Tập các số hữu tỉ Q là đếm được. Thật vậy, một số hữu tỉ có thể viết
được duy nhất thành một phân số tối giản
q
p
, q > 0. Ta hãy tạm gọi tổng |p| + q
là “hạng” của số hữu tỉ
q
p
. Rõ ràng tập hợp tập hợp các phân số có hạng cho
trước là hữu hạn, ví dụ: phân số có hạng 1 là
1
0
= 0, hạng 2 là
1
1
và
1
1−
, hạng 3
là
1
2
,
2
1
,
1
2−
,
2
1−
,... Hơn nữa mỗi số hữu tỉ đều có hạng xác định nên ta có thể
đánh số hữu tỉ thành dãy theo thứ tự tăng dần của hạng, tức là bắt đầu đánh số
các số hạng 1 rồi tiếp theo các số hạng 2, hạng 3,…Vậy các phần tử của Q có thể
sắp xếp thành dãy Q đếm được.
Tiếp theo, chúng ta thiết lập các định lý cơ bản của tập đếm được.
2.2.3. Định lý: Mọi tập vô hạn luôn luôn có chứa một tập con đếm được.
Chứng minh: Giả sử M là tập vô hạn. Lấy ra một phần tử bất kỳ a1 Є M. Khi
đó M {a1} vô hạn nên lấy tiếp phần tử a2 Є M {a1} rồi a3 Є M {a1,a2} v.v …
Quá trình này được tiếp tục mãi và ta thu được tập đếm được A = {a1, a2,…} ⊂
M
2.2.4 Định lý: Mọi tập con của một tập đếm được thì phải là tập hữu hạn
hoặc đếm được.
Chứng minh: Giả sử A = {a1, a2,…} là tập đếm được và B là một tập con
của A. Gọi an1, an2,... Là các phần tử của A thuộc tập hợp B theo thứ tự tăng dần
trong A. Nếu trong các số n1, n2,... có số lớn nhất thì B là hữu hạn. Trường hợp
12

13. trái lại, các phần tử của B được sắp thành dãy vô hạn an1, an2,... nên B đếm
được.
2.2.5. Định lý: Hợp một họ hữu hạn hay đếm được các tập đếm được là một
tập đếm được.
Chứng minh: Cho A1, A2,… là dãy các tập đếm được. Ta có thể giả thiết các
tập này không giao nhau vì nếu khác đi, ta đặt B1 = A1, B2 = A2 A1, B3 = A3 (A1
U A2),... Các tập Bi này hữu hạn hoặc đếm được, không giao nhau và
. Bây giờ ta sắp xếp các phần tử của Ai
i
i
i
BA
∞
=
∞
=
=
11
UU 1,A2,... thành một bảng vô hạn
như sau:
A1 : a11 a12 a13 ....
A2 : a21 a22 a23 ....
A3 : a31 a32 a33 ....
. . . . ...
Ta hãy đánh số tất cả các phần tử này theo “đường chéo” từ trái lên phía
trên. Do mỗi đường chéo có hữu hạn phần tử nên có thể đánh số thứ tự trên
đường chéo thứ nhất rồi đường chéo thứ hai, thứ ba,... như sau:
a11, a21, a12, a31, a22, a13,…
Vậy tất cả các phần tử của tập được đánh số thành một dãy nên
tập A đếm được.
i
i
AA U
∞
=
=
1
Nhận xét: Trong cách chứng minh ta thấy nếu một số hữu hạn hay đếm
được các tập Ai (không phải tất cả) được thay bằng các tập hữu hạn thì kết luận
của định lý không thay đổi.
2.2.6. Định lý: Khi thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập
vô hạn M thì lực lượng của nó không thay đổi.
Chứng minh: Giả sử A là tập hữu hạn hay đếm được. Ký hiệu N = M ∪ A.
Theo định lý 2.2.3, tồn tại một tập đếm được B ⊂ M. Đặt M’
= MB, ta có M =
M’
∪ B nên N = M’
∪ B ∪ A. Theo định lý 2.2.5, B ∪ A là tập đếm được nên
tồn tại song ánh f giữa B và B ∪ A. Ta đặt:
g : M = M’
∪ B → N = M’∪ (B ∪ A)
x nếu x Є M’
g (x) =
f(x) nếu x Є B
Như thế g là song ánh từ M lên N nên card M = Card N.
13

14. Theo định lý này ta thấy khoảng (a,b) tương đương với đoạn [a,b]. Hơn nữa
(a,b) tương đương với IRnên [a,b] cũng tương đương với IR.
Nhận xét: Từ các định lý 2.2.3 và 2.2.6 ta thấy lực lượng đếm được là lực
lượng “bé nhất” trong các lực lượng của tập vô hạn.
2.2.7. Định lý: Tập hợp tất cả các dãy hữu hạn có thể thành lập được với
tất cả các phần tử của một tập hợp đếm được là tập đếm được.
Chứng minh: Giả sử A = {a1,a2,...} là một tập đếm được. Ký hiệu Sm là tập
các dãy có đúng m phần tử của A dạng (ai1, ai2,...aim). Đặt . Ta chứng minh
S đếm được. Trước hết S
m
m
SS U
∞
=
=
1
1 = A đếm được. Bằng qui nạp, giả sử Sm đếm được,
hãy lấy ak Є A và ký hiệu Sk
m+1 là tập hợp tất cả các dãy có dạng (ai1, ai2,…,aim,
ak). Giữa Sk
m+1 và Sm có một song ánh cho bởi (ai1, ai2,…,aim,ak) →
(ai1,ai2,…,aim). nên Sk
m+1 đếm được. Mặt khác vì Sm+1 = nên Sk
m
k
S 1
1
+
∞
=
U m+1 đếm
được theo định lý 2.2.5. Cũng từ định lý này, S là một tập đếm được.
2.2.8. Hệ quả: Tập hợp tất cả các đa thức P(x) = a0 +a1x +...anxn
(n bất kỳ)
lấy giá trị trong IRvới các hệ số hữu tỉ a0,a1,…, an là đếm được.
Chứng minh: Mỗi đa thức tương ứng với một và chỉ một dãy hữu hạn các hệ
số hữu tỉ của nó. Vì tập Q đếm được nên theo định lý 2.2.7, tập tất cả các dãy
hữu hạn các số hữu tỉ là đếm được nên tập các đa thức này đếm được.
2.3. Lực lượng continum:
Ta đã xét các ví dụ và thiết lập các định lý về các tập hợp đếm được. Vậy có
tập hợp vô hạn nào không phải là tập đếm được hay không? Định lý sau đây cho
ta câu trả lời khẳng định.
2.3.1. Định lý. Tập hợp các số thực IRlà tập vô hạn không đếm được.
Chứng minh: Trong ví dụ ở Định lý 2.2.6 ta thấy IRtương đương với đoạn
[0,1]. Do đó chỉ cần chứng minh [0,1] không đếm được. Giả sử trái lại [0,1] là
đếm được. Khi đó các phần tử của nó được đánh số thành dãy x1,x2,..xn,… Chia
cho [0,1] thành 3 đoạn bằng nhau và gọi đoạn không chứa x1 là ∆1. Lại chia tiếp
∆1 thành 3 đoạn bằng nhau nữa và gọi ∆2 là đoạn không chứa x2,… Tiếp tục quá
trình này ta thu được dãy đoạn ∆1 ⊃∆2 ⊃... với ∆n có độ dài là |∆n| =
1
3n sao cho
xn ∉ ∆n. Đây là dãy đoạn thắt lại nên theo nguyên lý Cantor, tồn tại ξ
Є . Do đó ξ phải trùng với một x[ 1,0
1
⊂∆
∞
=
n
n
I ] no nào đó. Vì ξ Є ∆n với mọi n nên
xno Є ∆no. Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng các đoạn ∆n. Vậy đoạn [0,1]
không phải là tập đếm được.
14

15. Nhận xét:
1. Đặt a = {
1
n : n Є N). Rõ ràng A là tập đếm được và chứa trong đoạn [0,1].
Do đó lực lượng đoạn [0,1] (hay IR)lớn hơn lực lượng đếm được. Người ta gọi
lực lượng này là lực lượng continum hay lực lượng c.
2. Tập hợp số thực bằng hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ. Do tập số hữu tỉ đếm
được nên tập số vô tỉ không đếm được và cũng có lực lượng là c.
BÀI TẬP
1.Hãy thiết lập một song ánh giữa hai tập (0,1) và [0,1]
2.Chứng minh tập các điểm gián đoạn của một hàm số đơn điệu xác định
trên [a,b] là hữu hạn hoặc đếm được.
3. Giả sử E là một tập con của tập số thực IRcó tính chất |x-y| > 1 với mọi x, y
Є E. Chứng minh E là một tập hữu hạn hoặc đếm được.
4. Giả sử E là một tập vô hạn. D là một tập con hữu hạn hay đếm được của
E sao cho ED vô hạn. Chứng minh ED có cùng lực lượng với E.
5. Cho A và B là các tập đếm được. Chứng minh A × B là tập đếm được.
6*
. Ký hiệu E là tập hợp tất cả các dãy số (xn) trong đó xn = 0 hoặc xn = 1.
Chứng minh E là tập hợp không đếm được. (Thực ra E có lực lượng c)
15

16. B. KHÔNG GIAN MÊTRIC
§1. KHÁI NIỆM MÊTRIC.
Phép toán đặc trưng của môn giải tích là phép toán lấy giới hạn. Để diễn tả
khái niệm này ta phải tìm cách xác định mức độ “ xa”, “gần’’ giữa các đối
tượng. Các mứcs độ “xa”, “gần” đó có thể đưa vào một cách khá tự nhiên thông
qua kháis niệm khoảng cách hay mêtric được chính xác hoá bởi các định nghĩa
sau đây.
1.1. Định nghĩa:
Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống cho trước, một mêtric ( hay khoảng
cách) trên X là một hàm số d: X × X→ IRthoả mãn 3 tiên đề sau đây:
1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y Є X: d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y Є X, (tính đối xứng).
3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),với mọi x, y, z Є X (bất đẳng thức tam giác).
Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là một không gian mêtric và ký hiệu là
(X,d). Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ ký hiệu
X.
Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử x ∈ X gọi là điểm của không gian X, số
thực dương (hay bằng 0) d(x,y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y.
1.2. Các ví dụ:
1.2.1. Giả sử M là tập hợp con khác trống của tập số thực IR. Ta hãy đặt
d(x,y) = | x-y | với x,y ∈ M. Khi đó nhờ các tính chất quen thuộc của giá trị tuyệt
đối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) là một không gian mêtric.
1.2.2. Ký hiệu IRk
= {(x1
,...xk
) : xi
Є IR, i = k,1 } là tập hợp các bộ k số thực.
Với x = (x1
,…,xk
), y = (y1
,...,yk
) thuộc IRk
, ta đặt:
d(x,y) = ∑
i =1
k
(xi
- yi
)2
Khi đó các tiên đề 1)-2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứng
minh:
2
1
)zx( i
k
i
i
−∑
=
≤ 2
1
)yx( i
k
i
i
−∑
=
+ 2
1
)zy( i
k
i
i
−∑
=
Đặt ai = xi
– yi
, bi = yi
– zi
khi đó ai+ bi = xi
- zi
Ta lại có :
16

17. d2
(x,z) = ∑
i =1
k
(ai+bi)2
= ∑
i =1
k
ai
2
= ∑
i =1
k
bi
2
+ 2 ∑
i =1
k
ai bi
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schawrz cho số hạng sau cùng ta được:
d2
(x,z) ≤ ∑
i =1
k
ai
2
+ ∑
i =1
k
bi
2
+ 2 ∑
i =1
k
a2
i ∑
i =1
k
b2
i
≤ ( ∑
i =1
k
a2
i + ∑
i =1
k
b2
i )2
Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có:
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Vậy (IRk
,d) là một không gian mêtric và gọi mêtric này là mêtric thông
thường trên IRk
.
Chú ý:
1. Khi k = 1 ta trở về ví dụ 1.2.1 với M = IR
2. Khi xét IRk
mà không nói rõ mêtric nào thì ta qui ước là xét IRk
với mêtric
thông thường.
1.2.3. Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống. Ta đặt
0, nếu x = y
d(x,y) =
1, nếu x ≠ y
với mọi x, y Є X. Ta hãy kiểm tra d là một mêtric trên X.
Tiên đề 1) và 2) được nghiệm đúng. Tiên đề 3 có dạng:
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
i. Nếu x ≠ z thì d(x,z) = 1 còn vế sau ≥ 1
ii) x = z thì d(x,z) = 0 còn vế sau ≥ 0
Vậy tiên đề 3) cũng thoả mãn nên (X,d) trở thành một không gian mêtric.
Mêtric d này gọi là mêtric tầm thường trên X.
1.2.4. Ký hiệu tập hợp các hàm liên tục
f : [a,b] → IR
là với hàm f,g thuộc ta hãy đặt[ b,aC ] ][ b,aC
d(f,g) =
[ ]
)x(g)x(fmax
b,a
−
Vì f,g là các hàm liên tục trên [a,b] nên hàm⎪f - g⎪cũng vậy. Do đó giá trị
lớn nhất của hàm ⎪f - g⎪ đạt được trên khoảng đóng [a,b] nên d(f,g) xác định.
Các tiên đề 1)-2) hiển nhiên. Tiên đề 3) suy ra từ
∀x ∈ [a,b] : ⎪f(x)-h(x)⎪≤ ⎪f(x)-g(x)⎪+⎪g(x)+h(x)⎪
17

18. [ ] [ ]
)x(h)x(gmax)x(g)x(fmax
b,ab,a
−+−≤
nên
[ ] [ ] [ ]
)x(h)x(gmax)x(g)x(fmax)x(h)x(fmax
b,ab,ab,a
−+−≤−
hay d(f,h) ≤ d(f,g) + d(g,h) với mọi f,g,h∈ . Không gian mêtric này thường
được ký hiệu gọn là .
[ b,aC ]
]
[ ]b,aC
1.2.5 Cũng trên tập hợp ta đặt[ b,aC
d(f,g) =∫ −
b
a
dx)x(g)x(f
Các tiên đề 2)-3) dễ dàng kiểm tra. Ta có d(f,g) ≥ 0. Nếu d(f,g) = 0 tức là
∫ −
b
a
dx)x(g)x(f = 0. Giả sử f ≠ g khi ấy có x0 ∈[a,b] để ⎪f(x)-g(x)⎪≥ ε > 0 với
mọi x ∈[α,β] nào đó chứa trong [a,b]. Như vậy
.0)()()()()( >−=≥−≥− ∫∫∫ βαεε
β
α
β
α
dxdxxgxfdxxgxf
b
a
Điều này mâu thuẫn. Vậy f = g
Không gian metric này được ký hiệu là [ ].,
L
baC
Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy có thể cho nhiều mêtric khác nhau trên
cùng một tập X (tất nhiên sẽ nhận được các không gian mêtric khác nhau). Tùy
mục đích nghiên cứu, người ta sẽ chọn mêtric nào phù hợp với yêu cầu.
1.3. Một số tính chất đơn giản
Giả sử (X,d) là một không gian metric, ta có:
1.3.1 Cho x1,...,xn là các điểm của X. Khi đó ta có bất đẳng thức tam giác
mở rộng:
d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) +...+d(xn-1,xn)
Tính chất này được suy từ tiên đề 3 và lập luận qui nạp.
1.3.2. Với mọi x,y,u,v thuộc X ta có bất đẳng thức tứ giác:
⎪d(x,y) – d(u,v)⎪≤ d(x,u) + d(y,v)
Thực vậy ta áp dung 1.3.1 ta có
d(x,y) ≤ d(x,u) + d(u,v) + d(v,y)
hay
d(x,y) - d(u,v) ≤ d(x,u) + d(y,v)
Thay đổi vai trò của x,y cho u,v ta lại được
d(u,v) - d(x,y) ≤ d(x,u) + d(y,v)
18

19. Như vậy có được điều phải chứng minh
1.3.3. Cho A,B là hai tập con khác trống trong không gian mêtric X. Đặt
),(inf),(
,
yxdBAd
ByAx ∈∈
=
và gọi số thực d(A,B) này là khoảng cách giữa hai tập A và B. Nếu A = {a} ta
viết d(A,B) = d(a,B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Để ý rằng nếu A
∩ B ≠∅ thì d(A,B) = 0 nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
Cho x,y ∈X, với mọi z ∈ A ta có
⎪d(x,A)-d(y,B)⎪≤ d(x,y)
Thực vậy với x,y ∈X ta có d(x,A) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), ∀z ∈A. Do đó
d(x,A) ≤ d(x,y) + ),(inf zyd
Az∈
hay
d(x,A) - d(y,A) ≤ d(x,y)
Tương tự d(y,A) - d(x,A) ≤ d(x,y). Từ đó kết quả được chứng minh.
1.4. Không gian metric con và không gian metric tích.
1.4.1. Định nghĩa. Giả sử (X,d) là một không gian metric và Y là một tập con
khác trống của X. Nếu xét hàm thu hẹp d’ của hàm d lên tập Y x Y : dY x Y thì hiển
nhiên d’ là một metric trên Y. Ta gọi d’
là mêtric cảm sinh bởi d lên Y. Với mêtric
cảm sinh này, (Y,d’’) được gọi là không gian mêtric con của không mêtric (X, d).
1.4.2 Định nghĩa: Giả sử (X,dx) và (Y,dy) là hai không gian mêtric tuỳ ý.
Trên tích Descartes X × Y = {(x,y) : x Є X, y ∈ Y} ta đặt d((x1, y1),(x2, y2)) = dX(x1,
x2) + dY(y1, y2)
Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng d là một mêtric trên tập X × Y. Khi đó không
gian ( X × Y,d) được gọi là tích của các không gian mêtric X và Y.
1.5. Sự hội tụ trong không gian mêtric:
Các khái niệm hội và giới hạn trong không gian mêtric X bất kỳ được định
nghĩa một cách tương tự trong tập IRvới việc thay |x-y| bằng khoảng cách giữa
hai phần tử d(x,y). Một dãy trong không gian mêtric (X, d) là một ánh xạ.
Ta cũng dùng kí hiệu quen thuộc là dãy (xn)nЄ N. Giả sử nk là một dãy tăng
thực sự các số nguyên dương. Khi đó dãy (xnk)k được gọi là một dãy con của
dãy (xn).
1.5.1. Định nghĩa: Giả sử X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãy
trong X. Ta nói dãy (xn)n hội tụ đến x∈X nếu khoảng cách giữa xn và x dần đến 0
khi n → ∞. Lúc đó x được gọi là giới hạn của dãy xn và ta sẽ ký hiệu
xxnn
=∞→
lim
hay xn→ x, n → ∞. Diễn tả lại, ta có
19

20. ( xxnn
=∞→
lim ) ⇔ )0),(lim( =∞→
xxd nn
⇔ (∀ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : d(xn, x) < ε)
1.5.2. Các tính chất.
Cho (xn)n, (yn)n là các dãy trong không gian mêtric X. Ta có
a. Nếu dãy (xn)n hội tụ đến x Є X thì mọi dã con (xnk)k của dãy (xn)n cũng
hội tụ đến x.
b. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất
c. Nếu xn→ x, yn→ y thì d(xn, yn) → d(x,y) khi n → ∞
Chứng minh:
a. Giả sử (nk)k là dãy tăng thực sự các số nguyên. Cho ε > 0 tồn tại số
nguyên n0 sao cho d(xn, x) < ε khi n ≥ n0. Từ đó với mọi nk ≥ nk0 ≥ n0 nên d(xnk,
x) < ε nghĩa là dãy con xnk→ x, k → ∞
b. Giả sử xn→ x và xn→ x’
. Khi đó từ bất đẳng thức tam giác ta có:
d(x, x’
) ≤ d(xn, x) + d(xn, x’)
Cho n → ∞ thì
0 ≤ d(x, x’) ≤ 0)',(lim),(lim =+
∞→∞→
xxdxxd n
n
n
n
Vậy d(x, x’
) = 0 hay x = x’
.
c. Theo bất đẳng thức tứ giác (1.3.2.) ta có:
|d(xn,yn) – d(x, y)| ≤ d(xn,x) + d(yn,y).
Qua giới khi n→ ∞ ta nhận được kết quả.
1.5.3. Các ví dụ:
a. Hội tụ trong IRk
. Trong IRk
với mêtric thông thường, ta xét dãy sau:
(xn)n : xn = .),...,( 1 k
nn xx
Theo định nghĩa dãy (xn)n hội tụ về điểm x0 = khi và chỉ khi d(x),...,( 1 k
nn xx n, x0)
→ 0 (n→ ∞) hay
0)(0)( 2
0
2/1
11
2
0 →−⇔→⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∑
=
ii
n
k
ii
n xxxx với mọi i = 1,...,k
⇔ |xn
i
– xo
i
| → 0, với mọi i = 1,...,k
⇔ xn
i
– xo
i
với mọi i = 1,...,k
Vậy sự hội tụ của một dãy trong IRk
chính là sự hội tụ theo toạ độ (thành
phần) của dãy. Đặc biệt, với k = 1 thì đây chính là sự hội tụ cuả một dãy số thực
thông thường.
b. Hội tụ trong C[a,b]. Giả sử (xn)n là một dãy (dãy hàm) trong C[a,b] hội tụ về
x ∈ C[a,b]. Theo định nghĩa, ta có:
20

21. d(xn, x) =
[ ]
)(0)()(max
,
∞→→−
∈
ntxtxn
bat
Diễn tả lại, ta có :
(∀ε > 0)(∃ n0)(∀ n ≥ n0)(∀t ∈[a,b]) : |(xn(t) – x(t)| < ε
Vậy sự hội tụ trong C[a,b] chính là sự hội tụ đều của một dãy hàm trên tập
[a,b] trong giải tích cổ điển.
c. Trong CL
[a,b] sự hội tụ của dãy (xn)n đến x có nghĩa là:
d(xn,x) = ∫ −
b
a
n
dttxtx )()( → 0 (n → ∞)
Sự hội tụ này gọi là sự hội tụ “trung bình” của dãy hàm (xn)
Nhận xét: Theo định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân của một dãy hàm
liên tục, ta thấy rằng nếu xn(t) hội tụ đều đến x(t) thì xn(t) hội tụ trung bình đến
x(t) nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Có thể coi sự “gần nhau” giữa
các điểm trong tập C[a,b] theo mêtric “max” chặt chẽ hơn mêtric “ ”∫
b
a
BÀI TẬP
1.1. Kiểm tra các tập và các hàm sau đây lập thành không gian mêtric.
a. X = IRk
, d(x,y) = ii
ki
yx −
= ,...,1
max
b. X = IRk
, d(x,y) = ∑
=
−
k
i
ii
yx
1
trong đó x = (x1
,...,xk
), y = (y1
,...,yk
) ∈ IRk
c. X = M[a,b] ={ f : [a,b] → IR, f là hàm bị chặn trong [a,b]},
d(f,g) =
[ ]
)()(sup
,
xgxf
bax
−
∈
d. X = C[a,b]: tập các hàm liên tục trên [a,b] với mọi f,g ∈ X, d(f,g) =
∫ −
b
a
dxxgxf 2/12
))()((
e. X= C[a,b] = tập các hàm số khả vi liên tục trên [a,b]
d(f,g) =
[ ]
)()()(')('max
,
agafxgxf
bax
−+−
∈
1.2. Ký hiệu c là tập hợp tất cả các dãy số thực hội tụ.Với x = (xn)n, y =
(yn)n thuộc c, ta đặt:
[ ]
nn
b,ax
yxsup −
∈
Chứng minh d là một mêtric trên c.
1.3. Giả sử d(x,y) là một mêtric trên tập X. Chứng minh các hàm sau đây
cũng là những mêtric trên X.
21

22. a. d1(x,y) =
),(1
),(
yxd
yxd
+
b. d2(x,y) = min(1, d(x,y))
1.4. Cho X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãy trong X. Chứng
minh xn→ x0 khi và chỉ khi mọi lân cận x0 đều chứa tất cả các xn ngoại trừ một số
hữu hạn xn. (Khái niệm lân cận xem ở 2.1.1)
1.5. Giả sử (un)n là một dãy số thực, un ≥ 0 và un → 0. Chứng minh rằng tồn
tại vô số n sao cho với mọi m ≥ n thì un ≥ um
1.6*
Cho (xn) là một dãy trong không gian mêtric X. Chứng minh rằng nếu
ba dãy con (x2n), (x2n+1) và (x3n) đều hội tụ dãy thì (xn) cũng hội tụ.
1.7. Trong không gian C[0,1] khảo sát sự hội tụ của các dãy sau:
a. xn(t) = tn
b. xn(t) =
sin nt
n
1.8. Cho X × Y là tích của hai không gian mêtric (x, dX), (Y, dY). Chứng
minh dãy (xn,yn)n trong X × Y hội tụ đến (x,y) ∈ X × Y khi và chỉ khi xn→ x
trong X và yn→ y trong Y.
22

23. §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG
2.1. Các định nghĩa. Giả sử X là một không gian mêtric
2.1.1. Lân cận. Cho a là một điểm của X.
a. Ta gọi hình cầu mở tâm a bán kính r > 0 trong X và ký hiệu B(a,r) là tập
{x Є X : d (x,a) < r} cũng còn gọi là r- lân cận của điểm a.
b. Tập U ⊂ X được gọi là một lân cận của điểm a nếu U có chứa một r- lân
cận nào đó của a. Tập tất cả các lân cận của a ký hiệu là N (a). Nói cách khác.
(U Є N (a)) ⇔ (∃r > 0 : B(a,r) ⊂ U)
Theo định nghĩa, các r-lân cận của a cũng là lân cận của a.
2.2.1. Vị trí tương đối của một điểm đối với một tập:
Cho A là một con của X và x là một điểm của X. Có ba vị trí tương đối của
điểm x đối với A như sau:
a. Có một lân cận của x chứa trong A. Khi đó x được gọi là điểm trong của
A (hình 1).
b. Có một lân cận của x nằm hoàn toàn ngoài A tức là tồn tại U ∈ U (x) sao
cho U ∩ A = Ø. Lúc này x được gọi là điểm ngoài của A.
(Rõ ràng U ⊂ Ac
= X A nên x lại trở thành điểm trong của phần bù Ac
của A).
(hình 2)
Hình vẽ trang 24
c. Bất cứ lân cận nào của x cũng có chứa những điểm của A và những điểm
của Ac
, tức là với mọi U ∈ N (x): U ∩ A = Ø và U ∩ Ac
= Ø. Khi đó x gọi là
điểm biên của A. Theo đĩnh nghĩa, lúc đó x cũng là điểm biên của tập Ac
. (hình
3)
2.1.3. Tập mở và tập đóng:
a. Tập mở: Tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu A không chứa điểm biên nào
cả.
Các mệnh đề sau đây tương đương với định nghĩa:
i. (A mở) ↔(∀x ЄA: X là điểm trong của A)
ii.(A mở) ↔(∀x Є A ∃ r >0 : B (x,r) ⊂ A)
iii.(A mở) ↔(∀x Є A, ∃ U Є N(x) : U ⊂ A)
23

24. Nhận xét:
1. Theo mệnh đề i) ta có tập X và Ø là các tập mở
2. Ta thường dùng mệnh đề ii) để kiểm tra một tập là mở.
b. Tập đóng: Tập A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm
biên của nó.
Từ các định nghĩa trên ta suy ra được:
a. (A đóng) ↔ (Ac
= X A là mở)
Thật vậy, vì tập các điểm của A và Ac
trùng nhau nên nếu A chứa tất cả các
điểm biên có nó thì Ac
không chứa điểm biên nào và ngược lại.
b. Các tập Ø và X cũng là các tập đóng. Thật vậy, vì theo a) các tập Xc
=Ø
và Øc
= X là các tập mở.
2.1.4. Ví dụ.
1. Trong không gian mêtric tuỳ ý mọi hình cầu mở đều là tập mở.
Chứng minh. Giả sử B (a,r) là hình cầu mở tâm a bán kính r trong X. Khi
đó với mọi x ∈ B(a,r) ta có d(x,a) < r. Đặt ε = r - d(x,y) > 0. Xét nhình cầu mở
B(x,ε). Ta chứng minh B(x,ε) ⊂ B(a,r). Nếu y Є B(x,ε) thì d(x,y) < ε. Khi đó
d( y,a) ≤ d(x,y) = d(x,a) < ε + d(x,a) = r
Nên y ∈ B (a,r). Vậy B(a,r) là tập mở.
2. Ký hiệu B’
(a,r) là tập hợp { xЄ X: d(x,a) ≤ r} với r là số dương kvà gọi
nó là hìnhcầu đóng. Ta có B’
(a,r) là tập đóng vì bằng lý luận tương tự ví dụ 1 ta
thấy X B’
(a,r) là tập mở.
3. Tập gồm một điểm trong bất kỳ không gian mêtric nào cũng là tập đóng
vì luôn luôn chứa các điểm biên của nó.
4. Giả sử a, b là hai số thực. Các tập (a,b), (a,+ ∞) là mở: các tập [a,b], [a,+
∞] là đóng trong IR.
Lưu ý: Trong một không gian mêtric tuỳ ý X ta có:
1. (A mở) ↔ (Ac
đóng)
2. Có thể có những tập không mở mà cũng không đóng.
3. Có những tập vừa mở, vừa đóng (chẳng hạn, các tập Ø, X)
2.2. Các tính chất của tập mở và tập đóng.
2.2.1. Định lý. Trong một không gian mêtric bất kỳ X ta có:
a. Hợp một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở.
b. Giao một họ hữu hạn các tập mở là tập mở
Chứng minh:
24

25. a. Giả sử là một họ các tập mở. Đặt A = .Iii )A( ∈ U
Ii
iA
∈
Nếu x ∈ A thì tồn tại
i0 ∈ I để io ∈ Aio. Vì Aio mở nên có số dương r sao cho B(x,r) ⊂ Aio. Khi đó
B(x,r) ⊂ .Vậy A là tập mở.U
Ii
iA
∈
b. Nếu Ai,…,An là các tập mở ta đặt A = . Với xI
n
i
iA
1=
Є A ta có x Є Ai với
mọi i = 1,...,n. Mỗi Ai là tập mở nên tồn tại các số dương ri sao cho B(x,ri) ⊂ Ai.
Đặt r = min {r1,…,rn} > 0, khi đó B(x,r) ⊂ B(x,ri) ⊂ Ai với mọi i = 1,...,n. Do đó
B(x,r) ⊂ hay A là tập mở.I
n
i
iA
1=
2.2.2. Định lý: Trong một không gian mêtric bất kỳ ta có:
a) Hợp một họ hữu hạn các tập đóng là tập đóng
b) Giao một họ tuỳ ý các tập đóng là tập đóng
Chứng minh
a. Giả sử F1, F2,…,Fn là các tập đóng.Khi đó các tập 1
c
F ,…, c
nF là mở. Theo
công thức De Morgan, (
1
n
i
i
F
=
U )c
=
1
n
i=
I c
iF . Áp dụng định lý 2.2.1 ta suy được
(
1
n
i
i
F
=
U )c
là tập mở nên
1
n
i
i
F
=
U = ((
1
n
i
i
F
=
U )c
)c
là tập đóng.
b. Chứng minh tương tự a).
Chú ý: Giao một họ vô hạn các tập mở nói chung chưa chắc là một tập mở.
Chẳng hạn, ta xét họ Gn= (-
1
n
,
1
n
) các khoảng mở trong tập mở trong IR. Khi ấy
={0} lại là tập không mở. Tương tự, hợp một họ bất kỳ các tập đóng chưa
chắc là tập đóng. (Lấy ví dụ, chẳng hạn xét họ F
1
n
i
G
∞
=
I
n= = (-c
nG ∞ , -1/n] ∪[1/n; +∞ ))
2.3 Điểmtụ, Điểm dính.
2.3.1. Định nghĩa. Cho A là tập con của X. Ta gọi điểm x∈X là điểm tụ
của tập A nếu bất kỳ lân cận nào của x đều có chứa vô số điểm của tập A.
2.3.2. Ví dụ.
1. Trong IRcho tập A = { 1,
1
2
,
1
3
,…
1
n
,…}. Khi ấy A có điểm tụ duy nhất là
điểm 0. Mọi điểm thuộc A đều là điểm dính của nó nhưng không phải là điểm tụ
của A.
2. Mọi điểm của tập B = (0,1] đều là điểm tụ của B.
25

26. 2.3.3.Định lý. Điểm x ∈ X là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi bất kỳ
lân cận nào của x đều có chứa một điểm của A khác với x.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh đều kiện đủ. Giả
sử bất kỳ lân cận của x đều có chứa một điểm khác với x. Cho U là một lân cận
của x, ta chứng minh trong U có chứa vô số các phần tử của A. Theo định nghĩa
của lân cận, tồn tại số dương r1 sao cho B(x,r1) ⊂ U. Gọi x1Є A ∩ B(x,r1), x1
≠ x. Lấy số dương r2 < d(x,r1). Xét hình cầu mở B(x,r2). Chọn x2 ∈ A ∩ B(x,r2),
x2 ≠ x. Hiển hiên x2 ≠ x1. Bằng qui nạp, lấy số dương rn < d(x, xn1) và chọn được
xn Є A ∩ B(x, xn), xn ≠ x với mọi n Є N. Ta thấy rằng là với n ≠ n’
thì xn ≠ xn’.
Như thế trong U có chứa vô số phần tử xn của A. Vậy theo định nghĩa, x là điểm
tụ của tập A.
2.3.4. Định nghĩa. Điểm x Є X được gọi là điểm dính của tập A ⊂ X nếu
bất kỳ lân cận nào của x đều có chứa một điểm của A.
2.3.5. Nhận xét.
1. Điểm tụ hoặc điểm dính của tập hợp A thì không nhất thiết phải thuộc
A.
2. Nếu x là điểm tụ của tập A thì x là điểm dính của A. Ngược lại nói
chung không đúng.
3. x là điểm tụ của A khi và chỉ khi tồn tại một dãy (xn) của A với xn ≠ xn’
khi n ≠ n’
, hội tụ về x.
Chứng minh.
Điều kiện đủ: Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó tồn tại r > 0 : B(x,r) ⊂
U. Do xn → x nên với r > 0 ở trên tồn tại n0 để xn Є B(x,r) với mọi n ≥ n0 . Vì
n ≠ n’
thì xn ≠ xn’ nên trong U chứa vô số các điểm của A.
Điều kiện cần: Lập luận như trong chứng minh điều kiện đủ của Định l ý
2.3.2 bằng cách chọn rn <
1
n . Khi đó dãy xn Є A hội tụ về x vì d(xn, x) ≤
1
n .
4. x là điểm dính của A khi và chỉ khi tồn tại một dãy (xn) ⊂ A (các phần
tử của dãy không cần phân biệt ) hội tụ về x.
5. x là điểm tụ hay điểm dính của A thì x không thể là điểm ngoài của A.
Vì nếu thế thì sẽ có một lân cận của x không chứa điểm nào của A.
2.3.6. Định lý. Tập A là đóng khi và chỉ khi A chứa mọi điểm tụ (hoặc
điểm dính) của nó
Chứng minh. Giả sử A đóng và x là điểm tụ (hay điểm dính) của A. Lúc
đó x chỉ có thể là điểm trong hay điểm biên của A nên phải thuộc A. Ngược lại
nếu x ∉ A thì x không phải là điểm tụ (hay điểm dính) của A nên x phải là điểm
ngoài của A. Vì thế tồn tại r > 0 để B(x,r) ∩ A = Ø. Do đó Ac
mở tức là A đóng.
Hệ quả sau đây được dùng thường xuyên để kiểm tra một tập hợp là đóng.
26

27. 2.3.7. Hệ quả. Tập A đóng khi và chỉ khi với mọi dãy (xn) ⊂ A mà xn→ x
thì x phải thuộc A.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ định lý 2.3.6 và nhận xét 3,4 ở mục 2.3.5.
2.4. Phần trong và bao đóng của một tập.
2.4.1. Phần trong. Cho A là một tập con của X. Luôn luôn có một tập mở
chứa trong A, chẳng hạn tập Ø.
a) Định nghĩa. Hợp tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong
của A; ký hiệu là
0
A hay int A.
Hiển nhiên
0
A ⊂ A
Như thế
0
A là tập mở lớn nhất chứa trong A theo định nghĩa nếu G là tập
mở và G ⊂ A thì G ⊂
0
A
Từ định nghĩa ta có ngay:
(A mở) ⇔ (A =
0
A)
b. Định lý: Phần trong
0
A của tập A là tập hợp của tất cả các điểm trong
của A.
Chứng minh. Giả sử x Є
0
A. Vì
0
A mở nên
0
A là một lân cận của x do đó x
là điểm trong của A. Ngược lại nếu x là điểm trong của A thì có r < 0 để hình
cầu mở B(x,r) ⊂ A. Theo nhận xét sau định nghĩa thì B(x,r) ⊂
0
A. Vậy x Є
0
A.
2.4.2. Bao đóng. Nếu A ⊂ X thì có ít nhất một tập đóng chứa A (Ví dụ X
⊃ A)
a) Định nghĩa. Giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của
tập A. Kí hiệu là A.
Hiển nhiên A là tập đóng bé nhất chứa A.
b) Định lý. Bao đóng của tập A bằng hợp của A và tập tất cả các điểm
biên của A.
Chứng minh: Kí hiệu A là tập tất cả các điểm biên của A∂ A. Ta chứng
minh A = A ∪ ∂A. Nhận xét rằng với mỗi tập đóng F ⊃ A thì tương ứng với
mỗi tập mở G = Fc
⊂ Ac
và ngược lại. Do đó:
I UI
AdongF AmoG
c
AmoG cc
GA
⊃ ⊂⊂
=== )(GF c
Vậy
27

28. x Є A ⇔ x ∉ U , GG mở ⊂ Ac
⇔ x không là điểm trong của Ac
⇔ x Є A hay x Є∂ A.
Từ đó: A = A ∪ A∂
Hệ quả.
1. ( A đóng)↔ (A = A )
2. A là tập hợp tất cả các điểm dính của A.
3. (x Є A)↔(∃(xn) ⊂ A : xn → x)
2.4.3. Các ví dụ.
1. Giả sử a, b là hai số thực. Đặt A = (a,b] khi đó
0
A = (a,b), A = [a,b],
0
A =(a,b).
2. Bao đóng tập các số hữu tỉ trong IRchính là tập IR.
3. Trong không gian mêtric bất kỳ ta đều có r)(a,B ⊂ B’
(a,r).
2.5. Tập hợp trù mật – không gian khả ly.
2.5.1. Định nghĩa. Giả sử A,B là hai tập con trong không gian mêtric X.
Nếu B A⊂ thì ta nói tập A trù mật trong tập B.
2.5.2. Nhật xét.
1. Từ định nghĩa, ta thấy (A trù mật trong B) ⇔ (Với mọi x Є B, x là
điểm dính của A). Điều này tương đương với tồn tại dãy (xn) ⊂ A, xn→ x.
2. Nếu A ⊂ B thì BA ⊂ . Do đó, nếu A trù mật trong B; B trù mật trong
C thì A trù mật trong C.
Thật vậy, ta có C B⊂ và B ⊂ A nên C ⊂ B ⊂ AA = 3. Nếu A ⊂ X và
A = X thì tập A được gọi là tập trù mật khắp nơi (trong X)
Ví dụ: Trong IR, tập số hữu tỷ Q trù mật khắp nơi.
2.5.3. Định nghĩa. Một không gian mêtric X được gọi là khả ly nếu tồn tại
một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được trù mật khắp nơi.
Có thể chứng tập (Q là tập số hữu tỉ) là đếm được và trù
mật trong IR
44 344 21
lank
k
Q...QQ ××=
k
. Do đó IRk
như là một ví dụ về không gian mêtric khả ly.
2.6. Tập mở và đóng trên đường thẳng thực.
2.6.1. Định lý. Mỗi tập mở trong IRbằng hợp một số hữu hạn hay đếm
được các khoảng mở không giao nhau.
28

29. Chứng minh. Giả sử G là một tập mở trong IR. Với x Є G tồn tại r > 0:
B(x,r) = (x- r, x+ r) ⊂ G. Ký hiệu ∆x là hợp tất cả các khoảng mở chứa trong G
và có chứa x. Ta chứng minh ∆x là một khoảng mở.
Thật vậy, đặt p = inf ∆x, q = sup ∆x (p,q có thể bằng (- ∞, + ∞). Với mọi y Є
∆x thì p < y < q vì trước hết rõ ràng ta có p ≤ y ≤ q.
Nếu y = p thì có một khoảng mở chứa x và chứa cả p nên mâu thuẫn với p
= inf ∆x. Tương tự y không thể bằng q. Vậy ∆x ⊂( p,q). Ngược lại nếu y Є( p,q),
giả sử p < y < x. Theo định nghĩa của infimum .
y xt
tồn tại t∈ : p < t ≤ y < x. Do đó có một khoảng mở chứa x và chứa luôn cả t. Vì
thế y thuộc khoảng mở này tức là y ∈ ∆
x∆
x. Vậy ∆x = (p,q).
qp
Bây giờ ta xét tất cả các khoảng ∆x ứng với các điểm x ∈ G. Hiển nhiên G
= . Nhận xét rằng nếu zU
Gx
x
∈
∆ ∈∆x thì x∆ ⊂ ∆x (Vì z∆ là khoảng mở lớn nhất
chứa x). Cho nên với 2 khoảng mở ∆x và ∆y thì hoặc ∆x ∩ ∆y = ∅ hoặc ∆x = ∆y
(vì nếu có z ∈ ∆x ∩ ∆y thì ∆x = ∆y = ∆z ).
Vậy G bằng hợp của những khoảng mở rời nhau. Trong mỗi khoảng mở
đó ta chọn 1 số hữu tỉ. Vì tập các số hữu tỉ đếm được nên số các khoảng mở lập
thành G là hữu hạn hay đếm được. Định lý được chứng minh xong.
Do mỗi tập đóng là phần bù của tập mở nên ta có:
2.6.2. Hệ quả. Mỗi tập đóng trên IRlà phần còn lại sau khi rút khỏi IRmột
số hữu hạn hay đếm được các khoảng mở rời nhau.
Các khoảng mở này được gọi là các khoảng kề của tập đóng đó.
2.7. Tập mở và tập đóng trong không gian:
Giả sử X là một không gian mêtric, Y là không gian con của X và A là một
tập con của Y. Để ý rằng, nếu A là một tập mở (hay đóng) trong Y là chưa
chắc A là mở (hay đóng) trong X. Tuy nhiên ta có:
2.7.1. Định lý. Điều kiện cần và đủ là tập A mở trong không gian mêtric
con Y là tồn tại tập mở G và X sao cho A = G ∩ Y.
Chứng minh. Ký hiệu BX(a,r), BY(a,r) lần lượt là các hình cầu mở trong X
và Y tương ứng. Nếu a ∈ Y thì BY(a,r) = {y ∈ Y : d(a,y) < r} = Y ∩ B(a,r). Giả
sử A là tập mở trong Y, khi đó với mọi x ∈ A tồn tại rx > 0 sao cho BY(x,rx)⊂ Y.
Đặt G = x
i A
B
∈
U (x,rx), tức là G bằng hợp của một họ các tập mở (trong X) nên nó
là tập mở trong X. Hơn nữa,
29

30. GY)r,x(BYY)r,x(B)r,x(BA x
Ax
Xx
Ax
Xx
Ax
Y ∩=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∩=∩==
∈∈∈
UUU Ngược lại,
cho A = G∩ Y với G là tập mở trong X. Nếu x∈G ∩ A thì do G mở nên tồn tại r
> 0 sao cho BX(x,r) G. Thành ra B⊂ Y(x,r) = BX(x,r) ∩ Y ⊂ G ∩ Y = A hay A mở
trong Y.
2.7.2. Định lý. Điều kiện cần và đủ để tập A đóng trong Y là tồn tại một
tập đóng F trong X sao cho A = Y ∩ F.
Chứng minh. Tập A đóng trong Y khi và chỉ khi Y A là mở trong Y. Theo
định lý 2.7.1, tồn tại tập mở G trong X sao cho Y A= G ∩ A. Khi đó
A= Y ∩ (XG) = Y ∩ F
với F = XG là tập đóng
Từ các định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau.
2.7.3. Hệ quả. Để mọi tập con A ⊂ Y mở (t. ư., đóng) trong Y cũng là mở
(t. ư., đóng) X, điều kiện cần và đủ là Y là tập mở (t. ư., đóng) trong X.
BÀI TẬP
2.1. Giả sử X là không gian mêtric, A ⊂ X và x ∈ X.
a) Chứng minh rằng x là đểm dính của A khi và chỉ khi d(x,A) = 0
Suy ra:
(A đóng) ⇔ (d(x,A) = 0 ⇔ x ∈ A)
b) Cho ε > 0 chứng minh
{x ∈ X : d (x,a) <ε } là tập mở
{x ∈ X : d (x,a) ≤ ε } là tập đóng
2.2. Cho F1, F2 là hai tập đóng trong không gian mêtric X sao cho F1 ∩ F2
=∅
a. Chứng minh tập G = {x ∈ X : d (x,F1) < d (x,F2)} là tập mở, đồng thời
F1⊂ G, G ∩ F2 =∅
b. Từ a suy ra có các tập mở G1, G2 sao cho F1⊂ G1, F2 ⊂ G2 và G1 ∩ G2 =
∅
2.3*
Một tập A trong không gian mêtric X được gọi là một tập kiểu Gδ và
tập mở kiểu Fσ
2.4. Giả sử A, B là các tập con của không gian mêtric. Chứng minh:
a. int(int A) = intA, A = A .
b. Nếu a ⊂ B thì
0
A ⊂
0
B
30

31. c. int (a ∩ B) =
0
A ∩ . Int (A∪B )
0
B ⊃
0
A ∪
0
B
d. BA ∩ = A ∪ B , BA ∩ ⊂ A ∩ B
2.5. Chứng minh rằng mọi không gian con của không gian mêtric khả ly là
khả ly.
2.6. Ký hiệu c0 là tập hợp tất cả các dãy số thực hội tụ về 0. Ta xem c0 như
là không gian con của không gian c (bài tập 1.2). Chứng minh c0 là không gian
khả ly.
2.7. Giả sử X là không gian mêtric và Y là không gian con của X sao cho
Y = U ∩ V với U, V là các tập mở, khác trống trong Y và U ∩ V =∅. Chứng
minh tồn tại các tập mở A, B trong X, A ∩ B = ∅ và U = A ∩ Y, V = B ∩ Y.
31

32. §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC
3.1. Định nghĩa và các tính chất chung.
Cho hai không gian mêtric (X,d1) và (Y,d2). Nếu không sợ nhầm lẫn, ta
dùng kí hiệu d để chỉ cả d1 lẫn d2. Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y và x0 là một
điểm của X.
3.1.1. Định nghĩa.
1. Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x0 nếu mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0
sao cho d(f(x), f(x0)) < ε với mọi x ∈ X mà d(x, x0) < δ.
Định nghĩa này thường gọi là định nghĩa về tính liên tục bằng ngôn ngữε ,
δ.
2. Ánh xạ f được gọi là liên tục A ⊂ X nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ A.
Một tiêu chuẩn tương đương với định nghĩa trên thường dùng để khảo sát
tính liên tục một cách có hiệu quả như sau:
3.1.2. Định lý. (Tiêu chuẩn qua dãy). Ánh xạ f liên tục tại x0 ∈ X khi và
chỉ khi mọi dãy (xn)n ⊂ X, nếu xn x→ 0 thì dãy f(xn) → f(x0).
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử f liên tục tại x0 và (xn) là dãy trong X sao cho xn x→ 0.
Ta hãy chứng minh f(xn) f(x→ 0) trong Y. Cho ε > 0, vì f liên tục tại x0 nên có δ > 0
để.
d(f(x),f(x0)) < ε
khi d(x,x0) <δ. Vì xn x→ 0 nên với δ > 0 ở trên, có n0 để d(xn, x0) < δ khi n ≥ n0.
Nhưng lúc đó thì
d(f(x),f(x0)) < ε
Vậy f(x) → f(x0).
Điều kiện đủ: Giả sử f không liên tục tại x0. Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho
với mọi δ > 0 tồn tại x ∈ X : d(x,x0) < δ mà d((f(x),f(xo)) ≥ ε. Lấy δ lần lượt bằng 1,
1
2
,…,
1
n
,… sẽ có x1, x2,…,xn…thuộc X thoả mãn d(xn,x0) <
1
n
nhưng
d((f(x),f(xo))≥ε. Như thế có dãy (xn) X, x⊂ n x→ 0 nhưng f(xn) f(x→ 0), mẫu thuẫn
với giả thiết. Vậy định lý được chứng minh
Một khái niệm liên quan chặt chẽ với khái niệm liên tục đó là giới hạn của
hàm số được định nghĩa như sau:
3.1.3. Định nghĩa. Cho A là một tập con của không gian mêtric X và f là
một ánh xạ từ A vào không gian mêtric Y, xo là một điểm dính của A. Ta nói f là
32

33. có giới hạn l ∈Y khi x dần đến x0, kí hiệu l)x(flim
Ax
xx
=
∈
→ 0
nếu ánh xạ F xác định
bởi:
F: A ∪ {xo} → Y
⎩
⎨
⎧
=
=
xxl,
}{xAxf(x),
)x(Fx
0
0
a
liên tục tại điểm x0
Diễn tả lại, ta có:
Ax:,()l)x(flim(
Ax
xx
∈∀>∃>∀⇔=
∈
→
00
0
δε
0 < d (x,x0) < δ ⇔ d(f(x), l) < ε)
3.1.4. Địnhlý. Cho X, Y là hai không gian mêtric và f : X Y là một ánh
xạ. Các mệnh đề sau đây là tương đương.
→
a) f liên tục trên X.
b) với mọi tập đóng F ⊂ Y thì f -1
(F) là tập đóng trong X.
c) với mọi tập mở G Y thì f⊂
-1
(G) mở trong X.
d) )A(f)A(f ⊂ với mọi tập A ⊂ X
Chứng minh.
a) d). Giả sử y ∈ f(⇒ A). Khi đó tồn tại x A∈ để y = f(x). Theo tính chất
của bao đóng, tồn tại dãy (xn) ⊂ A: xn → x và vì f liên tục nên f(A) ∋ f(xn)→f(x)
= y. Vậy y ∈ ( )f A .
d) b). Giả sử F đóng trong Y. Đặt A = f⇒
-1
(F). Khi ấy ta có f(A) ⊂ F vì
thế ( )f A ⊂ F. Mặt khác, để ý rằng nếu E là tập con của X ta luôn luôn có E ⊂ f -
1
(f(E)). Do đó lấy E = A , ta được.
A ⊂ f -1
(f( A ))⊂ f -1
( ( )f A ) =A
Vậy A = A = f -1
(F) là tập đóng
b) c). Nếu G mở trong Y thì Y/G = G⇒
c
. Từ đó f -1
(Y/G) = Xf -1
(G) đóng
trong X nên f -1
(G) là mở (trong X).
c) a). Giả sử x ∈ X và ε > 0 bất kỳ. Do B(f(x⇒ 0),ε) mở trong Y nên f -
1
(B(f(x0),ε) là tập mở trong X chứa x0. Vì thế có số δ > 0 để B(x0,δ) ⊂ f -
1
(B(f(x0),ε)). Điều này có nghĩa là nếu x ∈ X sao cho d(x,x0) < δ hay x ∈ B(x0,δ)
nên f(x)∈ B(f(x0,δ) hay d(f(x), f(x0)) < ε tức là f liên tục tại x0 theo định nghĩa.
Vậy định lý được chứng minh đầy đủ.
3.1.5. Định lý. Giả sử X, Y, Z là ba không gian mêtric, f : X→ Y liên
tục tại x0, g : Y Z liên tục tại y→ 0 = f(x0). Khi đó ánh xạ hợp h = g o f : X→ Z
liên tục tại x0.
33

34. Chứng minh: Giả sử (xn) ⊂ X và xn → x0. Do f liên tục tại x0 nên f(xn)→f(x0)
= y0 và lúc ấy g liên tục tại y0 = f(x0) suy ra g(f(xn)→g(y0) = g(f(x0). Nói cách khác
(g o f)(xn)→(g o f)(x0).Vậy h = g o f liên tục tại x0.
3.2. Ánh xạ đồng phôi.
3.2.1. Phép đồng phôi. Cho X, Y là hai không gian mêtric. Giả sử f :
X→Y là một song ánh sao cho f và f -1
đều là các ánh xạ liên tục thì f được coi
là một phép đồng phôi từ X lên Y. Hai không gian mêtric được gọi là đồng phôi
với nhau nếu có phép đồng phôi từ không gian này lên không gian kia.
Ví dụ.
1. Lấy X = (a,b), Y = (0,1) là hai tập con của tập số thực IR, khi đó X, Y
đồng phôi với nhau nhờ phép đồng phôi.
f(x) =
ab
a
ab
x
−
−
−
2. Cho X = IR, Y = (0,1) cùng với mêtric thông thường thì chúng đồng phôi
với nhau nhờ phép đồng phôi.
F(x) =
1
π
actg x
1
2
.
Nhận xét.
1.Theo định lý 3.1.4, một phép đồng phôi biến một tập mở (t.ư., đóng) trong
không gian này thành tập mở (t.ư., đóng) trong không gian kia.
2. Có thể chứng minh dễ dàng rằng các định nghĩa về lân cận, điểm tụ, điểm
chính, bao đóng, phần trong, tập trù mật,… bất biến qua phép đồng phôi, nghĩa
là các tập A ⊂ X các điểm x ∈ X có tính chất kể trên thì qua ánh xạ đồng phôi f,
các tập f(A), các điểm f(x) cũng có tính chất đó. Còn những khái niệm về hình
cầu, khoảng cách, bán kính,… không phải bất biến qua phép đồng phôi.
3.2.2. Phép đẳng cự.
Cho X, Y là hai không gian mêtric. Một song ánh f từ X lên Y gọi là một
phép đẳng cự nếu với mọi x, x’∈ X ta có d(f(x), f(x’
)) = d(x,x’
). Hiển nhiên lúc đó
f -1
: Y→X cũng là phép đẳng cự và ta gọi X, Y là hai không gian đẳng cự với
nhau.
Nhận xét.
1) Nếu f là phép đẳng cự từ X lên Y thì rõ ràng f là phép đồng phôi giữa X
và Y.
2) Cho X là một không gian mêtric, Y là một tập bất kỳ. Giả sử có một song
ánh f : Y X . Khi đó nếu đặt d→
*
(y, y’
) = d(f(x), f(y’
) thì d*
là một mêtric trên Y
và hơn nữa X, Y là hai không gian mêtric đẳng cự.
34

35. 3) Theo quan niệm của không gian mêtric, nếu X và Y đẳng cự thì chúng
được đồng nhất với nhau.
3.2.3. Mêtric tương đương.
Cho d1,d2 là hai mêtric trên cùng một tập X. Khi đó ta có hai không gian
mêtric khác nhau (X,d1) và X,d2) có chung “tập nền” X.
Hai mêtric d1,d2 được gọi là tương đương tôpô nếu ánh xạ đồng nhất
id: X → X
x a x
là một phép đồng phôi từ không gian (X,d1) lên (X,d2)
Nếu tồn tại các số dương m, M sao cho
md(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ Md1(x,y)
với mọi x, y ∈ Y thì d1,d2 được gọi là hai mêtric tương đương đều.
Nhận xét.
1. Từ định nghĩa ta suy ra nếu d1, d2 tương đương thì chúng sẽ tương đương
tôpô nhưng điều được ngược lại nói chung không đúng.
2. Hai mêtric tương đương tôpô thì các tập mở (t.ư.,đóng) trong hai không
gian này trùng nhau. Tất nhiên các khái niệm khác dẫn xuất từ tập mở cũng
trùng nhau.
Hai mêtric tương đương đều thì thêm nữa là các tính chất định tính liên
quan đến khoảng cách cũng sẽ bất biến.
3.3. Suy rộng các ánh xạ liên tục.
Giả sử X, Y là các không gian mêtric và f là ánh xạ từ X vào Y. Nếu f liên
tục với mọi A ⊂ X, thu hẹp của f lên A, kí hiệu f⎪A : A Y f→ ⎪A(x) = f(x) cũng là
ánh xạ liên tục trên A. Ngược lại cho h : A→Y liên tục thì với điều kiện nào tồn
tại ánh xạ. F : X Y liên tục, duy nhất và f→ ⎪A = h?
Trước hết ta thiết lập các định lý để suy ra tính duy nhất của suy rộng.
Định lý 3.3.1. Giả sử f, g là hai ánh xạ liên tục từ X vào Y. Khi đó tập hợp
A = {x ∈ X : f(x) = g(x)}
là tập đóng trong A
Chứng minh: Giả sử x0 ∈A . Khi đó tồn tại tại dãy (xn) A sao cho x⊂ n →x0.
Theo tiêu chuẩn qua dãy ta có f(xn) f(x→ 0) và g(xn) → g(x0). Vì xn∈A nên f(xn)
= g(xn) với mọi n ∈ N nên f(x0) = g(x0) do giới hạn của mỗi dãy hội tụ là duy
nhất. Vậy xn ∈ A hay A = A , có nghĩa là A đóng
3.3.2.Hệ quả. Giả sử f, g là hai ánh xạ liên tục từ X vào Y. Nếu f(x) = g(x)
với mọi x∈X
Ta có
X = A ⊂ D = D ⊂ A
35

36. Vậy D = X hay f(x) = g(x) với mọi x∈X
3.3.3. Định lý. cho X, Y là hai không gian mêtric, A là tập con trù mật
trong X và f là ánh xạ liên tục từ A vào Y
Điều kiện cần và đủ để tồn tại ánh xạ f : X→Y liên tục, thoả mãn f ⎪A = f
là tồn tại với mọi x ∈ X . Khi đó ánh xạ)z(flim
Az∈
f duy nhất
Chứng minh. Trước hết ta diễn tả lại khái niệm giới hạn như đã định nghĩa
ở 3.1.3, nhờ dãy, sau đây.
( = l))z(flim
Az∈
⇔ (∀(zn) ⊂ A : (zn a) (f(z→ ⇒ n) →l).
Điều kiện cần. Giả sử tồn tại f liên tục và f ⎪A = f. Khi đó ∀x ∈ X và ∀(zn)
⊂ A sao cho zn x thì→ f (zn)→ f (x). Nhưng vì f(zn) = f (zn) nên f(zn) l =→
f (x) tức là giới hạn tồn tại với mọi x∈X.)z(flim
Az∈
Điều kiện đủ. Với mọi x ∈ X đặt f (x) = . Nếu x ∈ A hiển nhiên)z(flim
Az∈
f (x) = f(x) tức là f ⎪A = f. Ta chứng minh f liên tục.
Giả sử x ∈ X và (xn)n là một dãy trong X hội tụ đến x. Theo cách đặt, ta có
f (xn) = . Do đó, theo điều diễn tả lại nói trên, với mỗi n ∈ N tồn tại z)z(flim
Az∈
n
∈ A sao cho d(zn, xn) <
1
n
và
n
))z(f),x(f(d nn
1
< .
Vì d(zn,x) ≤ d(zn,xn) + d(xn,x) <
1
n
+ d(xn,x) 0 )( n→→ ∞ )
tức là zn → x, zn ∈ A nên f (x)= f(z
∞→x
lim n)
Suy ra:
d( f (xn), f (x)) ≤ d( f (x), f (zn)) + d( f (zn), f (xn))
<
1
n
d( f (zn), f (x)) 0 ( n→ → ∞ )
Điều này có nghĩa là f liên tục tại x∈X vì x bất kỳ nên f liên tục trên X.
Tính duy nhất của f được suy từ hệ quả 3.3.2.
Nhận xét. Một số các hàm số liên tục trên IRcó thể xem là các suy rộng của
hàm sốliên tục xác định trên tập số hữu tỉ Q trù mật trong IR, chẳng hạn như là
hàm số mũ là mở rộng của lũy thừa.
36

37. BÀI TẬP
3.1. Giả sử f là ánh xạ không gian mêtric X vào Y. Chứng minh các mệnh
đề sau đây là tương đương.
a. f liên tục tại x0∈X
b. Nếu V ∈ N(f(x0) thì f-1
(V) ∈ N(x0)
c.Với mọi V∈ N(f(x0) tồn tại U ∈ N(x0) : f(U V)⊂
3.2 Chứng minh các ánh xạ từ vào IRcho bởi các công thức sau đây là
liên tục
[ b,aC ]
a. x(t) → f(x) = ∫
b
a
dttx )(
b. x→ f(x) = x(a)
3. 3. Cho F1 và F2 là hai tập đóng trong không gian mêtric X. Đặt A = F1 ∪
F2 và f : A Y là một ánh xạ xác định trên A. Chứng minh rằng nếu f→ ⎪F1, f⎪F2 là
các ánh xạ liên tục thì f liên tục trên A.
3.4*
Cho X, Y, Z là không gian mêtric, f : X Y, g : Y→ X là các ánh xạ
liên tục. Chứng minh rằng nếu f là một toàn ánh còn gof là phép đồng phôi của
X lên Z thì các ánh xạ f, g lần lượt là các phép toán đồng phôi.
→
3.5. Trong tập IRk
ta xét mêtric như sau:
d1(x,y) = 2
1
( )
k
i i
i
x y
=
−∑
d2(x,y) =
i= 1....k
axm i i
x y−
d3(x,y) =
1
k
i i
i
x y
=
−∑
Với x = (x1
,…,xk
), y = (y1
,…,yk
) ∈ IRk
Chứng minh ba mêtric này tương đương đều với nhau
37

38. $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ
4.1.1 Dãy (xn)n trong không gian mêtric X được gọi là dãy cơ bản hay dãy
Cauchy nếu d(x
∞→nm,
lim n, xm) = 0. Nói cách khác
((xn) là dãy cơ bản) 0 0( 0 , : ( , )n mn m n n d x xε ε⇔ ∀ > ∃ ∀ ≤ p )
Ta có các tính chất đơn giản sau:
a) Nếu (xn) là dãy hội tụ thì (xn) là dãy cơ bản trong X.
b) Nếu dãy cơ bản (xn) có một dãy con ( ) (xknx ⊂ n) sao cho ( ) hội tụ
đến x
knx
0 thì xn → x0
4.1.2. Định nghĩa. Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric đầy
đủ nếu mọi dãy cơ bản của nó đều hội tụ trong X.
Như thế nếu biết X là không gian đầy đủ, để chứng minh một dãy hội tụ
(mà không quan tâm đến giới hạn), ta chỉ cần kiểm tra dãy này là dãy cơ bản.
4.1.3. Ví dụ
1. Không gian IRk
với mêtric thông thường là không gian đầy đủ.
Thật vậy, cho (xn)n ⊂ IRk
cơ bản, với xn = ( 1
nx ,…, k
nx ). Khi đó ta có
2 1/2
1
( )
k
i i i i
n m m n
j
x x x x
=
− ≤ −∑ = d(xn,xm) 0 (m, n → 0 (m,n → +∞) nên ( )→ i
mx m là
dãy cơ bản trong IR, do đó với mọi i = 1,2,…,k. Nhưng từ ví dụ a); 1.5.3.
ta có dãy (x
i
mx → i
x0
n) hội tụ đến x0 = ( ,…, ) ∈ IR1
0x k
x0
k
tức là IRk
đầy đủ.
2. Lấy X = (0,1] là tập con của IRvới mêtric d(x,y) = x y−
Đây là không gian mêtric không đầy đủ.
Thật vậy, lấy dãy xn =
1
n
trong X .Ta có
n mx x− =
1 1
n m
−
1 1
n m
≤ + →0, (m,n → ∞ )
nên nó là dãy cơ bản nhưng không hội tụ về điểm nào trong X, ( nếu xét trong
IRthì 0
1
→=
n
xn )
3. Không gian là không gian đầy đủ[ baC , ]
Chứng minh. Cho (xn) là dãy cơ bản trong . Điều này có nghĩa là:[ ]baC ,
[ ]
)n,m()t(x)t(x)x,x(d mn
b,at
mn max ∞→→−=
∈
0
38

39. Với mỗi t ∈ [a,b], hiển nhiên ta có ),()()( mnmn
xxdtxtx ≤− , suy ra (xn(t))n
là dãy số thực cơ bản trong IRnên hội tụ. Đặt x(t) = với mọi t∈[a,b]. Ta
còn phải chứng minh x(t) thuộc và x
)(lim txnn
[ baC , ] ]
]
]
n → x trong . Lấy ε > 0 sẽ tồn tại
n
[ baC ,
0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 và với mọi t ∈[a,b] ta có
| xn(t) – xm(t)| < ε (1)
Cho m → ∞ ở (1), ta được | xn(t) – xn(t)| < ε khi n ≥ n0 và với mọi t ∈[a,b].
Vậy xn(t) hội tụ đều đến x(t) trên [a,b], liên tục trên [a,b], tức là x(t) ∈ ,
đồng thời x
[ ]b,aC
n → x. Do đó là không gian đầy đủ.[ b,aC
4. Không gian không đầy đủ[
L
ba
C ,
Chứng minh. Ta xét trường hợp [a,b] = [0,1] và xét dãy xn(t) như sau: (hình
5)
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+≤≤−+
≤≤+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈
=
n
tkhintn
t
n
khi
tkhi
txn
2
1
2
1
2
1
21
1
2
1
2
1
0
2
1
,01
)(
Với m, n ∈ N, (m > n), ta có
d(xn,xm) = =−∫ dttxtx mn
1
0
)()( dttxtx
n
mn∫
+
−
2
1
2
1
2/1
)()(
Vì | xn(t) – xn(t)| ≤ 2 nên d(xn,xm) 0
1
→≤
n
khi m, n → ∞
Vậy xn(t) là một dãy cơ bản
Tuy nhiên ta chứng minh rằng dãy xn(t) không hội tụ trong ]. Thật vậy
x(t) là một hàm bất kỳ trong . Xét hàm số gián đoạn trên [0,1] như sau
[
L
ba
C ,
[ ]
L
C 1.0
39

40. ⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈
=
1,
2
1
,0
2
1
,0,1
)(
t
t
ty
Như thế x(t) ≠ y(t) nên phải có t0 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈
2
1
,0 chẳng hạn để y(t0) ≠ x(t0). Hơn
nữa, trên ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
1
,0 cả hai hàm x(t) và y(t) cùng liên tục nên lý luận như ví dụ 1.2.5,
ta có:
∫ −<
2/1
0
)()(0 dttytx
Từ đó:
∫∫ −≤−<
1
0
2/1
0
)()()()(0 dttytxdttytx
dttytxdttxtx nn ∫∫ −+−≤
1
0
1
0
)()()()(
Mặt khác ta có:
∫∫
+
−=−
n
nn dttytxdttytx
2
1
2
1
2/1
1
0
)()()()( =
n4
1
→ 0 (n → ∞)
Vì vậy với n đủ lớn
0)()(
2
1
)()(
2/1
0
1
0
>−≥− ∫∫ dttytxdttxtx n
tức là xn(t) không thể hội tụ về x(t) trong . Nói cách khác, không có điểm
nào trong là giới hạn của dãy cơ bản x
[ ]
L
C 1.0
[ ]
L
C 1.0 n(t) cả. Như thế không gian
không đầy đủ.
[ ]
L
C 1.0
4.2 Các tính chất cơ bản.
4.2.1 Định lý. Giả sử X là không gian mêtric đầy đủ và Y ≠ ∅ là tập con đóng
của X. Khi đó không gian con mêtric con Y cũng đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử là một dãy cơ bản trong Y. Dĩ nhiên cũng là
dãy cơ bản trong X. Vì X đầy đủ nên x
nn
x )( nn
x )(
n hội tụ đến x0 ∈ X. Mặt khác vì Y đóng
và (xn) ⊂ Y nên xn → x0 thì x0 phải thuộc Y. Vậy Y đầy đủ.
Cho B1,B2,...,Bn,… là một dãy hình cầu có bán kính r1, r2,.... Dãy hình cầu
này gọi là thắt lại nếu Bn ⊃ Bn+1, n = 1,2,... và 0lim =
∞→
n
n
r .
40

41. 4.2.2 Định lý. (Cantor) Trong không gian mêtric đầy đủ, mọi dãy hình cầu
đóng, thắt lại đều có một điểm chung duy nhất. Đảo lại, nếu mọi dãy hình cầu
đóng, thắt lại trong không gian mêtric X có một điểm chung duy nhất thì X đầy
đủ.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả B’
(x1,r1) = B1,...,B’
(xn,rn) = Bn,... là dãy hình cầu đóng,
thắt dần trong không gian đầy đủ X.Với m n thì B≥ m ⊂ Bn nên d(xn,xm) ≤ rn. Vì
rn → 0 khi n → ∞ nên (xn) là dãy cơ bản trong X, thành thử tồn tại x0 ∈ X để xn
x→ 0.
Mặt khác với mỗi n∈N, dãy (xnk)k với nk= n + k là con của dãy (xn) nên xnk
x→ 0. Hơn nữa xnk ∈ Bn với mọi k = 1, 2,…. và Bn đóng nên x0 ∈ Bn Vậy x0
∈ B
1n
∞
=
I n. Nếu có y0 ∈ B
1n
∞
=
I n thì do x0, y0 cùng thuộc Bn nên.
d(x0,y0) ≤ d(x0,xn) + d(y0,xn) ≤ 2rn → 0 (n → ∞ )
Vậy d(x0,y0) = 0 hay x0 = y0
Điều kiện đủ: Cho (xn)n là dãy cơ bản trong X. Theo định nghĩa với
2
1
1 =ε
tồn tại số nguyên n1 > 0 sao cho d(xn,xm) <
1
2
với mọi m, n ≥ n1.
Đặc biệt d(xn,xn1) <
1
2
. Đặt B1 = B’
= (xn1,1). Ta chọn n2 > n1 sao cho d(xn,xn2)
< 2
1
2
khi n n≥ 2. Dễ thấy B2 = B’
(xn2,
1
2
) ⊂ B1. Bằng quy nạp, giả sử đã chọn
được xn1,xn2,..., xnk (n1 < n2 <...< nk) và xây dựng dãy hình cầu đóng B1 ⊃ B2
⊃...⊃ Bk ta lấy xnk+1 sao cho nk+1 > nk và d(xn,xnk+1) < 1
1
2k+
với n ≥ nk+1 đồng thời
đặt Bk+1 = B’
(xnk+1,
1
2k
). Như vậy (Bk) là dãy hình cầu đóng thắt lại nên theo giả
thiết . Ta có d(x{ }0
1
xB
k
k =
∞
=
I nk,x0) ≤ 1
1
2k−
, k = 1,2,…nên xnk →x0.
Do b) 4.1.1, dãy cơ bản (xn) cũng hội tụ về x0 vì (xnk) là một dãy con của
(xn).Vậy X đầy đủ.
4.3. Các tập thuộc phạm vi trù I, II:
4.3.1. Định nghĩa. Cho M là một tập con của không gian mêtric X. Ta gọi
M là tập hợp không đâu trù mật (hay còn gọi là tập hợp thưa) nếu nó không trù
mật trong bất kỳ hình cầu nào. Nói một cách tương đương:
(M ⊂ X là tập thưa (
0
M = ∅).
41

42. 4.3.2. Định lý. M ⊂ X là tập hợp thưa nếu và chỉ nếu mọi hình cầu mở
trong B trong X, tồn tại một hình cầu (đóng hoặc mở) B1⊂ B sao cho B1 ∩ M =
∅.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử
0
M = ∅ và B là hình cầu mở trong X.
Hiển nhiên B ⊄ M nên có x ∈ B và x ∉M . Theo tính chất của bao đóng, tồn tại
r > 0 để B(x,r) ∩ M = . Do B mở nên có thể chọn r đủ nhỏ để B(x,r) ⊂ B đồng
thời B(x,r) M = .
∅
∅
Điều kiện đủ: Giả sử M không phải là tập hợp thưa, tức là M ≠ 0. Lấy x
∈M sẽ có r > 0 để B(x,r) ⊂ M . Vậy bất kỳ hình cầu nào chứa trong B(x,r) đều
chứa trong M nên phải có giao với M khác trống.
4.3.3. Định nghĩa. Cho A là tập con của không gian mêtric X. Tập A được
gọi là tập thuộc phạm trù I trong X nếu tồn tại dãy các tập thưa M1,M2,… sao
cho A =
1
i
i
M
∞
=
U .
Nếu A không phải là tập thuộc phạm trù I thì A gọi là tập thuộc phạm trù II.
4.3.4. Định lý. (Baire) Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ. Khi đó X
tập thuộc phạm trù II.
Chứng minh. Dùng phản chứng. Giả sử X thuộc phạm I, khi đó tồn tại dãy
tập thưa An ⊂ X sao cho X =
1
n
n
A
∞
=
U . Do A1 thưa nên có hình cầu đóng B1 bán
kính r1 < 1 sao cho B1 ∩ A1 =∅. Cũng vậy, vì A2 thưa, tồn tại hình cầu đóng B2
⊂ B1 bán kính r2 <
1
2
để B2 ∩ A2 = ∅. Bằng quy nạp ta xây dựng được dãy hình
cầu đóng thắt lại Bn có bán kính rn<
1
n
sao cho Bn ∩ An= ∅ với n ∈ N. Theo định
lý 4.2.2, tồn tại duy nhất x0 ∈ 1
n
n
B
∞
=
I .Vì x ∈ B nên x ∉ A với n ∈ N. Từ đó x
∉
0 n 0 n 0
1
n
n
A X
∞
=
=I . Điều này vô lý.Vậy X phải thuộc phạm trù II.
Một hệ quả rất hay dùng được phát biểu dưới dạng sau.
4.3.5. Hệ quả. Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ và X =
1
n
n
A
∞
=
U . Khi
đó tại n0 ∈ N sao cho nA
0
≠ ∅.
42

43. 4.4. Ánh xạ liên tục đều:
Giả sử X, Y là hai không gian mêtric, f là ánh xạ từ X vào Y. Bằng ngôn
ngữ ε, δ theo định nghĩa, hàm f liên tục tại điểm x0 ∈ N nếu với mọi ε > 0 tồn tại
δ > 0 (δ nói chung phụ thuộc vào x0 và ε) sao cho d(f(x),f(xo)) < ε mỗi khi
d(x,x0) < δ. Nếu số dương δ không phụ thuộc vào mỗi điểm x0 ta có khái niệm
liên tục đều.
4.4.1 Định nghĩa. Ánh xạ f : X Y được gọi là liên tục đều trên X nếu với
mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, x
→
’
∈ X mà d(x,x’
) < δ thì (d(f(x),f(x’
))
<ε.
4.4.2. Nhận xét.
1. Mọi ánh xạ liên tục đều từ X vào Y là liên tục. Điều ngược lại nói chung
không đúng. Chẳng hạn, hàm x xa
2
là liên tục nhưng không liên tục đều trên IR
vì hiệu (x + h)2
– x2
= h(2x + h) có những giá trị lớn tuỳ ý dù h lấy đủ bé.
2. Nếu f : X Y và g : Y Z là ánh xạ liên tục đều thì ánh xạ hợp h = g o f
: Y Z cũng liên tục đều.
→ →
→
4.4.3 Định lý. Cho X là không gian mêtric, A là tập con trù mật trong X và
f là ánh xạ từ A vào không gian mêtric đầy đủ Y. Giả sử f liên tục đều trên A.
Khi ấy tồn tại duy nhất mở rộng f của f lên X và f liên tục đều trên X.
Chứng minh. Ta sẽ sử dụng Định lý 3.3.3 để chứng minh tồn tại mở rộng
f . Muốn thế dãy kiểm tra rằng vớimọi x ∈ X thì tồn tại.)z(flim
xz
Az
→
∈
Lấy một dãy bất kỳ (zn) trong A mà zn →x. Với ε > 0 cho trước tuỳ ý, do f
liên tục đều trên A nên tồn tại số dương δ sao cho (d(f(z’
),f(z’’
) < ε khi d(z’
,z’’
) <
δ với mọi z’
, z’’
∈ A.
Vì zn → x nên dãy (zn)n là dãy cơ bản : với δ > 0 ở trên tồn tại số nguyên n0
để (zn,zm) < δ với mọi m, n n≥ 0. Nhưng khi đó d(f(zn),f(zm)) < ε. Như thế (f(zn))n
là một dãy cơ bản trong Y. Hơn nữa, Y đầy đủ nên tồn tại (f(zlim
x→∞
n)) = l. Vậy ta
có được ánh xạ f : X Y mở rộng liên tục duy nhất của ánh xạ f.→
Còn lại ta chứng minh f liên tục đều trên X. Lại ứng dụng tính liên tục đều
của f trên A như trước, giả sử x0 và x0
’
là hai điểm trong X với d(x0,x0
’
) < δ. Xét
hai dãy (zn) và (zn
’
) trong A lần lượt hội tụ đến x0 và x0
’
. Chọn n0 đủ lớn ta thấy
rằng nếu n n≥ 0 thì
d(zn,z’
n) ≤ d(zn,x0) + d(z’
n,x0) ≤
2
δ
+
2
δ
= δ .
Do vậy:
43

44. d( f (zn), f (zn
’
)) = d(f(zn),f(zn
’
)) < ε
Cho n → ∞ ta có d( f (x0), f (x0
’
)) ≤ ε.Vậy f liên tục đều trên X.
4.5.Nguyên lý ánh xạ co.
4.5.1. Định nghĩa. Cho ánh xạ f từ tập X bất kỳ vào chính nó. Phần từ x ∈
X sao cho f(x) = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f.
Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ là vấn đề có nhiều ứng dụng trong
giải tích, đặc biệt trong lý thuyết phương trình (vi phân, tích phân…) vì một
điểm bất động của ánh xạ f là một nghiệm của phương trình f(x) = x.
Bây giờ cho X là một không gian mêtric và f là một ánh xạ từ X vào X, f
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α∈[0,1] sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:
d(f(x),f(y)) ≤αd(x,y).
Từ định nghĩa ta thấy ngay mọi ánh xạ co là liên tục đều.
4.5.2. Định lý (nguyên lý ánh xạ co Banach). Giả sử X là một không gian
mêtric đầy đủ f : X X là một ánh xạ co. Khi đó f có một điểm bất động duy
nhất.
→
Chứng minh. Lấy một điểm tuỳ ý x0 ∈X. Đặt
x1= f(x0), x2 = f(x1)= f(f(x0)),...,xn = f(xn-1) = f(f...f)(x0),...
N lần
Ta chứng tỏ (xn) là một dãy cơ bản trong X.
Vì f là ánh xạ co lên nếu n ≥ 1 thì
d(xn,xn+1) = d(f(xn-1),f(xn) ≤ αd(xn-1,xn)
= αd(xn-2,f(xn-1))
α≤
2
d(xn-2,xn-1))≤……≤ αn
d(x0,x1)
Với α ∈ [0,1]
Lúc đó với mọi số nguyên n và p,từ (*) ta có
d(xn,xn+p) ≤ d(xn,xn+1) +... + d(xn+p,xn+p)
≤(α2
+ αn+1
+…+ αn+p-1
) d(x0,x1) ≤
1
n
α
α−
d(x0,x1)
Khi n đủ lớn và p tùy ý ta có d(xn,xn+p) 0 (n→ ∞ ) suy ra (x→ n)n là dãy cơ
bản trong không gian đầy đủ X nên tồn tại giới hạn x*
= lim
n
xn .
Cũng từ (*), ta có
d(xn,x+1) ≤ d(xn, xn+1) ≤ αn
d(x0,x1).
Cho n và nhớ rằng các hàm d và f liên tục,ta có→ ∞
0 ≤ d(xlim
x→∞
n,f(xn)) = d(x*
,d(x*
)≤ 0
hay d(x*
,f(x*
)) = 0
Vậy f(x*
) = x*
tức là x*
là điểm bất động của f.
44

45. Nếu có y ∈ X mà f(y) = y thì
d(x*
,y) = d(f(x*
), f(x) αd(x≤
*
,y*
)
hay (1-α)d(x*
,y*
) 0≤
Suy ra d(x*
,y) = 0 tức là x*
= y. Do đó điểm bất động x*
là duy nhất
4.5.3.Ví dụ.
a.Chứng minh phương trình
1
2
arctgx – x + 3 = 0
có một nghiệm thực duy nhất
Đặt f(x) =
1
2
arctgx + 3 là hàm từ IRvào IR, f là ánh xạ co vì f(x) – f(y) = (x-
y) 2
1
2(1 )ξ+
, với ξ nằm giữa x và y theo định lý lagrange, nên
1
( ) ( )
2
f x f y x y− ≤ − . Do đó f có một điểm bất động với duy nhất x*
. Nói cách
khác, phương trình
1
2
arctgx + 3 = x có nghiệm duy nhất là x*
.
b) Xét phương trình vi phân
(1)
dx
dy
= f(t,x) với điều kiện ban đầu
(2) x(t0) = x0
trong đó f(t,x) là hàm liên tục trong tập mở G ⊂ IR2
, (t0,x0) ∈ G và f là thoả mãn
điều kiện Lipschitz x, nghĩa là có một số dương k sao cho
⎪f(t,x1) – f(t,x2)⎪≤ K⎪x1 - x2)⎪ (3)
với mọi (t,x1),(t,x2) ∈ G
Ta chứng minh định lý Picard: Trên một đoạn ⎪t – t0⎪ r nào đó phương
trình (1) có một nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện ban đầu (2).
≤
Phương trình (1) với điều kiện (2) tương đương với phương trình tích phân
sau đây
x(t) =x0 + (4)∫
t
t
d))(x,(f
0
τττ
Do G là tập mở chứa (t0,x0) nên có hình tròn (hình cầu) tâm (t0,x0) chứa
trong G. Gọi
D = {(t,x) ∈ G :⎪t – t0⎪≤ a, ⎪x – x0 ⎪ ≤ b}
là một hình chữ nhật đóng bất kỳ nội tiếp trong hình cầu đó. Vì f(t,x) liên tục
trên D nên ( , )f t x L≤ với mọi (t,x) ∈ D với L là số dương nào đó. Lấy 0 < r <
45

46. min{
L
b
,
K
1
} và kí hiệu C’ là không gian con của C[t0-r, t0+r] gồm các hàm số mà
0( )x t x− ≤ b
]
với mọi t∈[t0-r, t0+r] = I . Nếu (xn) ⊂ C’ và xn x thì do ⎪x→ n(t) –
x0⎪≤ b với mọi n ∈ N và t ∈ I nên qua giới hạn, ta cũng có ⎪xn(t) – x0⎪≤ b với
mọi t ∈ I. Như vậy C’ đóng trong không gian đầy đủ C[t[ rt,rtC +− 00
0, t0+r] nên
C’ cũng phải đầy đủ
Xét
P : C’ C’→
x Pxa
xác định bởi
(Px)(t) = 0
0
xd))(x,(f
t
t
+∫ τττ
Với ⎪t – t0⎪≤ r
Ánh xạ P đặt như trên là hợp lý vì nếu x(t) ∈ C’ thì P(x(t)) liên tục, đồng
thời
bLrLdd))(x,(fx))t(x(P
t
t
t
t
≤≤≤=− ∫∫ ττττ
00
0
Hay Px ∈ C’. Mặt khác, nếu x, y ∈ C’ thì
∫∫
∫
≤−≤
−=−
t
t
t
t
t
t
d)y,x(dKd)(y)(xK
d))(y,(f))(x,(f)t)(Py()t)(Px(
00
0
ττττ
τττττ
(giả sử t ≥ t0, trường hợp t < t0 lý luận tương tự).
Như thế
)y,x(dKr)y,x(dttK)t(Py)t(Pxmax)PyPx(d
It
≤−≤−=−
∈
0 .
Vì Kr < 1 nên P là ánh xạ co. Theo định lý Banach tồn tại một hàm số duy
nhất x(t) ∈ C’ sao cho Px(t) = x(t). Nói cách khác trên I bài toán (1) – (2) có
nghiệm duy nhất.
4.6. Đầy đủ không gian mêtric.
Chúng ta đã thấy vai trò quan trọng của không gian mêtric đầy đủ qua các
phần vừa xét ở trên. Do đó, với một khoảng không gian đầy đủ X ta hãy bao nó
bằng một không gian đầy đủ X*
chứa X và X*
phải là không gian gọn nhất.
46

47. 4.6.1.Định nghĩa. Giả sử X là một không gian mêtric. Không gian mêtric
đầy đủ X*
được gọi là đầy đủ hóa (hay còn gọi là bổ sung) của X nếu:
a. X là một không gian của X*
b. X trù mật khắp nơi trong X*
4.6.2.Định lý. Mỗi không gian mêtric X đều có đầy đủ hoá X*
của nó. Hơn
nữa, không đầy đủ hoá này là duy nhất theo định nghĩa nếu có không gian
X’*
cũng thoả mãn a) và b) trong định nghĩa thì X*
và X’*
đẳng cự với nhau.
Chứng minh. Ta chia phép chứng minh làm nhiều bước
1. Xây dựng tập hợp X*
.
Ký hiệu X là tập hợp tất cả các dãy cơ bản trong X. Nếu (xn) và (yn) là hai
phần tử của X, ta đặt
(xn) R (yn) nếu d(xlim
x→∞
n,yn) = 0
R là một quan hệ tương đương trên X vì các tính chất phản xạ, đối xứng
thoả mãn một cách rõ ràng. Nếu
d(xn,yn) 0 và d(y→ n.zn) 0→
nên R thoả mãn tính chất bắc cầu, nghĩa là nếu (xn)R(yn) và (xn)R(zn) thì (xn)R(zn).
Ký hiệu X*
là tập thương của X theo quan hệ tương đương R vừa nêu trên
2. Xác định mêtric trong X*
:
Ký hiệu x*
và y*
là các phần tử trong X*
đó là những lớp tương đương các
dãy cơ bản trong X. Chọn x*
và y*
các đại diện (xn) và (yn) rồi đặt
d(x*
,y*
) = d(x
∞→x
lim n,yn) (1)
Ta chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa này tức là chứng minh giới
hạn (1) tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện (xn)n∈ x*
và
(yn)n ∈ y*
mà chỉ phụ thuộc vào các lớp tương đương x*
và y*
.
Thật vậy, ta có:
|d(xm,ym) - d(xn,yn)| ≤ d(xm,xn) + d(yn,ym)| → 0 (m, n → ∞)
(do áp dụng bất đẳng thức tứ giác và các dãy (xn) và (yn) là dãy cơ bản). Như vậy
(d(xn,yn))n là một dãy cơ bản số thực nên phải hội tụ. Ngoài ra, nếu (xn’) ∈ x*
và
(yn’) ∈ y*
thì
|d(xn,ym) - d(xn’,yn’)| ≤ d(xn,xn’) + d(yn,yn’)| (2)
Vì (xn)R(xn
’
) và (yn)R(yn
’
) nên vế sau của (2) tiến về 0 khi n nghĩa là→ ∞
∞→x
lim d(xn,yn) = d(x
∞→x
lim n
’
,yn
’
)
Bây giờ ta kiểm tra 3 tiên đề của mêtric
i) Ta có ngay là d(x*
,y*
) 0 d(x≥
*
,y*
) = 0 ⇔
∞→x
lim d(xn,yn) hay (xn)R(xn
’
).Vậy
x*
= y*
47

48. ii) Tiên đề 2) rõ ràng
iii) Nếu xn ∈ x*
, (yn) ∈ x*
và (zn) ∈ x*
thì do
d(xn,zn) ≤ d(xn,yn) + d(yn,zn)
nên chuyển qua giới hạn khi n→ ∞ ta được
d(x*
,z*
) d(x≤
*
,y*
) + d(y*
,z*
) với mọi x*
, y*
, z*
∈ X*
Vậy (X*
,d) là một không gian mêtric
Với mỗi x ∈ X ta đặt tương ứng với một lớp tương đương các dãy cơ bản x+
chứa dãy dừng (x,x,…,) ∈ X gồm toàn phần tử x. Từ định nghĩa khoảng cách
trong X*
ta có
d(x+
,y+
) = d(x
∞→x
lim n,yn) = d(x,y)
Như thế ta xác định được một phép đẳng cự từ X lên một không gian con
X+
= {x+
∈ X*
: x+
∋(x,x,…,), x ∈ X} của X*. Do đó ta đồng nhất X với X+
với X+
và như thế X ⊂ X*
.
3. X trù mật trong X*
:
Cho x*
∈ X*
và giả sử ε là số dương cho trước. Lấy (xn) ∈ x*
. Vì (xn) là dãy
cơ bản trong X nên tồn tại n0 sao cho khi n n≥ 0 ta có d(xn,xn0) < ε
Xét phần tử x+
no∈ X+
= X từ định nghĩa về khoảng cách trong X*
ta có
d(x+
no,x*
) = d(x
∞→x
lim n0,xn) ≤ ε
Vậy X+
= X trù mật trong X*
4. X*
là không gian mêtric đầy đủ:
Giả sử (x*
n) là một dãy cơ bản trong X*
. Vì X = X*
nên với mỗi số nguyên
n > 0 tồn tại xn ∈ X để d(xn,x*
n) <
1
n
. Khi đó
d(xn,xm) ≤ d(xn,xn
*
) + d(xn
*
,xm
*
) + d(xm
*
,xm)
<
1
n
+
1
m
+ d(xn
*
,xm
*
)
Vậy d(xn,xm) → 0 (m, n→∞) nên (xn) là dãy cơ bản trong X tức là (xn) ∈ X.
Đặt x*
là lớp chứa dãy (xn) thì x*
∈ X*
, ta có:
d(xn
*
,xn) ≤d(xn
*
,xn) + d(xn,x*
)
1
n
+ d(xn,x*
)
Vì (xn,xn,...) ∈ x+
n và (x1, x2,...) ∈ x*
nên
d(xn,x*
) = d(x
∞→m
lim n,xm)
Vậy
d(xn
*
,x*
) ≤
1
n
+ d(x
∞→m
lim n,xm)
Cho ta được d(xm → ∞ n
*
,xn) 0 hay x→
*
n x→
*
48

49. Như thế X*
là đầy đủ
5. Tính duy nhất (sai khác một phép đẳng cự) của đầy đủ hoá X*
của X.
Giả sử X’* là một không gian mêtric đầy đủ và có các tính chất
i) X ⊂ X’* (X đẳng cự với một không gian con của X’*)
ii) X = X’*
Ta hãy chứng minh X’* đẳng cự với X*
Lấy x*
∈ X*
khi ấy tồn tại (xn) ⊂ X sao cho xn →X’*. Đặt
ϕ : X*
→ X’*
X*
→x’*
đây là phép đẳng cự phải tìm. Thật vậy ϕ là toàn ánh vì nếu y’*
∈ X’* thì y’*
= y
∞→n
lim n, yn ∈ X nên y’*
= ϕ(y*
) với y*
= y
∞→n
lim n, y*
∈ X*
Mặt khác
d(x*
,y*
) = (x
∞→n
lim n,yn) trong X*
và
d(x’*
,y’*
) = (x
∞→n
lim n,yn) trong X’*
nên
d(x*
,y*
) =d(x’*
,y’*
) = d(ϕ(x
*
),ϕ(y
*
)
Vậy ϕ là đơn ánh và từ các điều vừa chứng minh trên ta suy ra ϕ là phép
đẳng cự. Định lý được chứng minh đầy đủ.
4.6.3.Ví dụ.
1. Tập hợp Q các số hữu tỉ là một không gian mêtric với khoảng cách:
d(x,y) = x y− ; x, y ∈ Q
Phương pháp xây dựng tập số thực IRbằng dãy cơ bản các số hữu tỉ chính là
đầy đủ hoá không gian mêtric Q như đã trình bày ở trên. Tuy nhiên trong IRta
còn phải xây dựng các phép toán + và . đồng thời phải kiểm nghiệm lại IRlà một
trường liên tục.
2. Giả sử M là tập con của không gian mêtric đầy đủ X. Không gian đầy đủ
hoá của không gian con M chính là M .
3. Ta có là không gian mêtric không đầy đủ. Không gian đầy đủ hoá
của nó ký hiệu là L
[
L
b,aC ]
[a,b] là tập hợp các hàm đo được xác định và khả tích theo
nghĩa Lebesgue trên [a,b] (lý thuyết tích phân Lebesgue sẽ học ở phần Lý thuyết
độ đo và tích phân).
49