Ecuaciones lineales con dos variables: resolución gráfica y algebraica

 ¿Qué observamos en la
imagen?
 ¿Es posible la traducción de
enunciados realizados en
lenguaje formal a lenguaje
matemático?

[Ecuaciones lineales con dos variables] Recuperado de: : https://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/Ecuaciones-Lineales-en-Dos-Variables.pdf
Todo par ordenado (x,y) se puede representar como un
punto en el Plano Cartesiano.
El par ordenado (x,y) es la coordenada del punto y nos
indica cuál es la dirección de éste en el Plano
Cartesiano.
En el eje horizontal los valores positivos se encuentran a
la derecha y los negativos a la izquierda.
En el eje vertical los valores positivos se encuentran
hacia arriba y los valores negativos hacia abajo.
Ejemplo:

[Ecuaciones lineales con dos variables] Recuperado de: : https://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/Ecuaciones-Lineales-en-Dos-Variables.pdf
Ejercicios:
Indica la coordenada que le corresponde a cada punto en el Plano

[Ecuación lineal con dos variables]] Recuperada de: Ecuación lineal con dos variables - MiProfe.com
Una ecuación lineal con dos variables puede
ser escrita de la siguiente forma:
ax + by = c
Donde, x e y son dos variables a la primera
potencia.
Las constantes a, b, c son números reales, con
a ≠ 0 y b ≠0.
Gráficamente, este tipo ecuaciones son líneas
rectas.

GRÁFICAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS
VARIABLES
Para obtener el gráfico de este tipo de ecuaciones nos
apoyaremos en la ecuación canónica de una recta, la cual
tiene la siguiente forma:
x/a – y/b = 1
Donde, a y b son los puntos de corte con eje x y eje y
respectivamente.
[Ecuación lineal con dos variables] recuperado de: https://miprofe.com/ecuacion-lineal-con-dos-variables

a) Ejemplo 1: Graficar la siguiente ecuación lineal:
4x – 8y = 2.
Obtenemos la expresión canónica de la recta.
Para obtener el número 1 de dicha expresión (el cual aparece
después de la igualdad) dividimos entre 2 ambos lados de la
igualdad:
4x/2 – 8y/2 = 2/2
2x – 4y = 1
2x/1 – 4y/1 = 1
Invertimos los cocientes de la ecuación, y encontramos los
puntos de corte con los ejes: x /(1/2) – y/(1/4) = 1
Esta sería la expresión canónica. La gráfica de la ecuación lineal
será:
Ejemplo 1: graficar la siguiente ecuación lineal: 4x – 8y = 2.

Ejemplo 2:
Graficar la siguiente ecuación lineal:
5x – 9y = 3.
Dividimos entre 3 ambos lados de la igualdad:
5x/3 – 9y/3 = 3/3
5x/3 – 3y = 1
De aquí vemos que:
5x/3 – 3y/1 = 1
Si invertimos los cocientes de la ecuación,
podemos encontrar los puntos de corte con los
ejes: x /(3/5) – y/(1/3) = 1
El gráfico de nuestra ecuación será:

La gráfica de una ecuación lineal con
dos variables es una línea recta.
Esta línea representa el conjunto
solución de la ecuación.
Para dibujarla, hacen falta al menos dos
puntos.
Es necesario encontrar dos pares
ordenados del conjunto solución.
Dibuja la gráfica de la ecuación
2y + x = 6
Evaluamos la ecuación en dos
valores distintos.
Otra forma de representar la recta Ejemplo:
[ Ecuaciones lineales con dos variables]] Recuperado de:¨https://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/Ecuaciones-Lineales-en-Dos-Variables.pdf
x y
-4 5
1 5/2

Solución de la ecuación: 2y + x = 6
Marcamos estos puntos en el Plano y los unimos con una línea recta.

Una tercera forma de encontrar la solución: Práctica
[[ Ecuaciones lineales con dos variables]] Recuperado de:¨https://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/Ecuaciones-Lineales-en-Dos-Variables.pdf
Observa la gráfica anterior; luego
identifica y escribe la coordenada de
la intercepción en x y la intercepción
en y.
La intercepción con los ejes,
son puntos importantes de una
línea.
La intercepción en x es un
punto de la forma ( x ,0 ), y = 0.
La intercepción en y es un
punto de la forma ( 0, y ), x = 0.

Con los dos puntos
de intercepción con
los ejes
construimos la
recta solución de la
ecuación lineal con
dos variables.
Respuesta:

La pendiente de una línea es la medida de
inclinación de esa línea con respecto al eje
de x.
Observaciones sobre la pendiente (m):
- Una línea crece o decrece a una razón
constante
- La pendiente de una línea es única
- La pendiente es la razón del ascenso
vertical con respecto al avance horizontal
m = ascenso vertical
avance horizontal
Fórmula para hallar la pendiente
( m )
Sean P1 = ( x1, y1) y P2 =( x2, y2
), dos puntos de una línea,
entonces la pendiente de esa
línea está dada por:
La pendiente de una línea (m)

La pendiente de la línea que pasa
por los puntos (2, 5) y (7, 15) está
dada por:
La pendiente de esta línea es 2 , lo
que significa que por cada unidad
que x , el valor de y, aumenta dos
unidades.
EJEMPLO 1
Dibujamos la gráfica marcando los puntos
dados

La pendiente de la línea que
pasa por los puntos (-1, 4) y
(3, -2) está dada por:
La pendiente de esta línea es
-3/2= -1.5 , esto significa que
por cada unidad que se
avanza horizontalmente en x,
el valor de y disminuye 1.5
unidades.
EJEMPLO 2 Dibujamos la gráfica marcando los puntos
dados:

Halla la pendiente de la línea que pasa por
los puntos indicados y explica el
comportamiento de la línea.
a) ( -3, 7 ) y ( 4 , 1 )
b) ( 5, 12 ) y ( 5 , 8 )
c) ( 8, -1 ) y ( 4 , 3 )
d) ( -6 , 5 ) y (2, 6 )
e) ( 3, 3 ) y ( -1, -1 )
a) ………………….
b) ………………….
c) ………………….
d) ………………….
e) ………………….
Ejercicios propuestos: Respuestas:

Está formado por dos ecuaciones
lineales, cada una generalmente
con las variables x e y.
Resolverlo consiste en determinar
los valores de x e y que hacen
ciertas simultáneamente las dos
igualdades.
Sistema lineal con dos ecuaciones y dos variables Ejemplo:
[Sistema lineal con dos ecuaciones] Recuperado de: Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables (uprm.edu)
[Conjunto solución de dos ecuaciones lineales con dos variables]] Recuperado de htps://imgv2-2-f.scribdassets.com/img/document/370017639/original/409e2bb26c/1589431659?v=1

Método de sustitución
Resolvamos el sistema
{2x+6y =0 (1) −3x−9y =18 (2)
El método consiste primero en elegir la variable que más fácilmente pueda despejarse en una de las
ecuaciones para sustituirla en la otra ecuación.
Para este ejemplo se despeja en (1) la variable “ x ” obteniendo asi:
2x= −6y ⇒x= −6y 2⇒x =−3y
Ahora sustituimos el valor de “ x ” en la ecuación (2):
−3(−3 y)−9y=18
Multiplicamos para remover los paréntesis,
agrupamos términos semejantes y efectuamos operaciones:
⇒9y-9y=18 ⇒0 ≠18
Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Método de sustitución
Resolvamos el sistema
{2x+y =11 (1) −x−2y =4 (2)
Primero elegimos la variable que más fácilmente pueda despejarse en una de las ecuaciones para
sustituirla en la otra ecuación. Para este ejemplo se despeja en (2)
la variable “ x ” obteniendo así:
− 2 y − 4 = x
Ahora sustituimos el valor de “ x ” en la ecuación (1):
2 ( − 2 y − 4 ) + y = 11
Multiplicamos para remover los paréntesis, agrupamos términos semejantes y efectuamos
operaciones:
⇒ − 4 y − 8 + y = 11 ⇒ − 3 y = 11 + 8 ⇒ − 3 y = 19 ⇒
y = 19 − 3 = − 6.33
Una vez obtenido el valor de “ y ”, sustituimos en la expresión de “ x ” que hemos despejado al
principio:
− 2 ( 19 − 3 ) − 4 = x 38 3 − 4 = x 26 3 = x 8.67 = x
Por lo tanto el sistema tiene solución única.

• Miramos que coeficientes tienen las
variables.
• Multiplicamos las ecuaciones por el
número que consiga el mismo coeficiente
cambiado de signo en cada variable.
• Normalmente es intercambiar el número
de las variables.
• Sumamos término a término las dos
ecuaciones.
• Despejamos la incógnita que queda.
• Comprobamos si se verifica el sistema.
Solución por reducción
Ejemplo:
[Sistema lineal con dos ecuaciones] Recuperado de: SISTEMAS DE 2 ECUACIONES Y 2 VARIABLES | MATEMÁTICAS CON MUCHO TRUCO (wordpress.com)

Sistema lineal con dos ecuaciones] Recuperado de: SISTEMAS DE 2 ECUACIONES Y 2 VARIABLES | MATEMÁTICAS CON MUCHO TRUCO (wordpress.com

• Despejamos la misma variable en
las dos ecuaciones.
• Igualamos el resultado.
• Resolvemos la ecuación.
• Sustituimos la variable que hemos
calculado en cualquiera de las
despejadas en el paso primero.
• Comprobamos si se verifican las dos
ecuaciones sustituyendo los
resultados.
Método de igualación Ejemplo:

• Realizaremos operaciones siempre en las filas.
• Podemos multiplicar o dividir una fila por un
número.
• Restar o sumar filas o sus múltiplos.
• No puedo cambiar columnas entre sí.
• Puedo cambiar filas entre sí.
• No puedo operar columnas.
• Se intentan conseguir los ceros en forma
triangular, es decir debajo de la diagonal.
• Nunca se pone igual entre las matrices, porque no
son iguales, representan a sistemas de la misma
solución, por tanto equivalentes.
MÉTODO DE GAUSS CON MATRICES Ejemplo:

Problemas

 Establece la diferencia entre las formas de resolver una ecuación de
primer grado con dos incógnitas. ¿Cuál le parece más práctica? ¿Por
qué?
 Explique sobre la aplicación práctica de estos enunciados de
ecuaciones con dos variables (ver los problemas planteados).

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