1. ECUACIONES DIFERENCIALES DEL
FLUJO DE FLUIDOS
Son ecuaciones generales que permiten resolver
diferentes sistemas sin necesidad de aplicar
balances de cantidad de movimiento:
• Ecuación de continuidad (conservación de
materia)
• Ecuación de movimiento

2. 1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
• Se aplica la ley de conservación de la materia a
un pequeño volumen de fluido en movimiento.
z
∆y (x+∆x,y+∆y,z+∆z)
y Elemento
(ρx)x (ρx)x+∆x estacionario de
∆z volumen, ∆x∆y∆z, a
(x,y,z) través del cual circula
∆x
un fluido.
x
ρx: Velocidad de flujo de
materia por unidad de área

3. • Balance de materia
Velocidad de Velocidad de Velocidad de
acumulación de = entrada de − salida de
materia materia materia
Donde:
Velocidad de Velocidad de Volumen
acumulación de = cambio de x del
materia densidad elemento
En cada dirección:
Velocidad de Densidad del Velocidad Área
flujo de = fluido en la x perpendicular x de la
materia cara a la cara cara

4. Por tanto, el balance de materia queda:
• Dividiendo la ecuación por ∆x∆y∆z y tomando
límites cuando estas dimensiones tienden a cero:

5. • En términos vectoriales:
• Si la densidad del fluido permanece constante:

7. 2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
τzxz+Δz
τyxy+Δy
z (x+∆x,y+∆y,z+∆z) Direcciones del transporte
de cantidad de
τxxx τxxx+∆x movimiento debido a la
y τyxy componente x de la
(x,y,z)
velocidad
τzxz
x
τzxz+Δz Direcciones de las
τyxy+Δy fuerzas viscosas debido
τxxx τyxy τxxx+∆x al transporte de
cantidad de
τzxz movimiento

8.  Balance de cantidad de movimiento en
estado no estacionario
Velocidad de Velocidad de Velocidad Suma de
acumulación = entrada de − de salida de + fuerzas que
de cantidad de cantidad de cantidad de actúan sobre
movimiento movimiento movimiento el sistema
• La cantidad de movimiento de entrada y de salida
se debe a dos mecanismos:
- Transporte convectivo
- Transporte viscoso

9. • Transporte convectivo
La cantidad de movimiento por transporte
convectivo, en dirección x, que entra por la cara y
es:
Cantidad de
movimiento Flujo másico Componente
por transporte = a través de x de velocidad = (ρyΔxΔz)(x)|y
convectivo la cara y en dirección x
Teniendo en cuenta el flujo en todas las caras del
cubo, el transporte convectivo neto en dirección x es:

10. • Transporte viscoso
La cantidad de movimiento por transporte viscoso en
dirección x que entra por la cara y es:
La cantidad de movimiento neta por transporte
viscoso en dirección x es:

11. • Fuerzas externas
Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema
son las debidas a la presión y a la fuerza
gravitacional, la resultante de estas fuerzas en la
dirección x es:
• La acumulación de cantidad de movimiento en
dirección x es:

12.  Sustituyendo todos los términos en la ecuación de
balance de cantidad de movimiento, dividiendo
por ΔxΔyΔz y tomando el límite cuando Δx, Δy y
Δz tienden a cero, se llega a la componente x de
la ecuación de movimiento:

13.  De la misma forma se obtienen las componentes
en y y z:

14.  En notación vectorial, estas tres ecuaciones se
resumen en:
 Para obtener las distribuciones de velocidad con
la anterior ecuación, se debe conocer la relación
entre los esfuerzos y los gradientes de velocidad,
la cual está dada por la generalización de la ley de
Newton de la viscosidad:

15. Esfuerzos normales:
Esfuerzos cortantes:

16.  Cuando la densidad y la viscosidad son
constantes, la ecuación de movimiento recibe el
nombre de Navier-Stokes

17. TABLAS DE EC. CONTINUIDAD Y MOVIMIENTO Y
LEY NEWTON (ESFUERZOS)
EDICIÓN ANTIGUA DEL BIRD
Tabla 3.4-1: Ec. Continuidad
Tablas 3.4-2 a 3.4-4: Ec. Movimiento
Tablas 3.4-5 a 3.4-7: Ley Newton
NUEVA EDICIÓN DEL BIRD
Apéndice B1: Ley Newton
Apéndice B4: Ec. Continuidad
Apéndices B5 y B6: Ec. Movimiento

18. PROBLEMA
En una operación de fundición de cobre se hace pasar escoria fundida, rica en
cobre, sobre un mate con el fin de recuperar la mayor parte del cobre contenido en
la escoria. La operación es llevada a cabo en un horno (ver figura) de 20 metros de
largo y 7,5 metros de ancho. Asumiendo que:
- El mate permanece quieto.
- La escoria fluye continuamente a 2,5 m3/h (con flujo laminar) sobre el mate.
- La profundidad media de la escoria es de 0,5 m.
Determinar:
La ecuación para la
distribución de velocidad y de
esfuerzo en la capa de
escoria, dibujar perfiles.
La fracción de material que
permanece en el horno
durante por lo menos el doble
Escoria
del tiempo medio de
Mate
residencia.
7°
20 m

19. FLUJO A TRAVÉS DE DOS TUBOS
COAXIALES
Salida del
fluido
Encontrar las distribuciones de PL
velocidad, esfuerzo cortante,
las velocidades máxima y
media y el flujo volumétrico aR
(caudal), de un fluido que fluye L
entre dos tubos coaxiales por
acción de una diferencia de
presión entre los planos de
P0
entrada y salida del mismo.
R
Entrada del
fluido

20. FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS
INMISCIBLES
 Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante,
las velocidades máxima y media y el flujo volumétrico
(caudal), de dos líquidos inmiscibles que fluyen
horizontalmente por un gradiente de presión entre dos
planos horizontales.
W
Entrada del
fluido y Fluido II Salida del
z 2δ fluido
x Fluido I
Propiedades de L
los fluidos: X=0 X=L
ρI > ρII P0 PL
μI < μII

21. FLUJO TANGENCIAL DE UN FLUIDO
NEWTONIANO ENTRE DOS TUBOS CONCÉNTRICOS

Determinar los perfiles de r
z
velocidad y de esfuerzo cortante
para el flujo laminar tangencial
de un fluido incompresible, en el aR
ω
espacio comprendido entre dos
cilindros verticales coaxiales,
cuando el cilindro externo gira
con una velocidad angular ω.
R

22. FLUJO DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO A
TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR
Entrada del
 Deducir la forma análoga a fluido
P0
la ecuación de Hagen-
Poiseulli para un fluido
pseudoplástico.
n
 dvz 
L
 rz     
 dr 
(n <1) PL
Salida del R
fluido

23. VISCOSÍMETRO DE CONO Y PLATO
Deducir la expresión que permite determinar la viscosidad de un
fluido newtoniano por medio de un viscosímetro de cono y plato.
 El viscosímetro consta de un Cono girando
plato plano que permanece
quieto y sobre el cual se pone el ω
fluido, y de un cono invertido
ϕ
que se introduce en la muestra r
hasta que la punta toca el plato.  Fluido
1
 El cono se hace girar a una 0
velocidad angular (ω) constante
y la viscosidad se determina
midiendo el torque necesario Plato quieto
para hacer girar el cono. R
0 ≈ ½°