1. Espaces vectoriels Sous-espaces et

3. Ensemble Collection d’objets Quête de la théorie des ensembles Symboles : Appartenance :   ∉ Inclusion :   

4. Exemples Soit l’ensemble A = { 1, 3, j , # ,• } 1 __ A j ____ A { 1 } ____ A { 1, 3} ____ A { 1, 2, 3} ____ A     

5. Opération Processus visant à obtenir un résultat à partir d’un ou de plusieurs objets appelés opérandes. Synonyme : Loi de composition

6. Opération interne Processus impliquant uniquement un ou des éléments d’un ensemble.

7. Propriété Constat fait sur tous les éléments d’un ensemble mis en relation à l’aide d’opérations. Exemples : Commutativité Associativité Fermeture

8. Commutativité

9. Associativité A (B   C ) = A   B   C = (A   B )   C

10. Fermeture ∀(x ∈V , y∈V), x   y ∈ V Ce qui se passe dans l’ensemble, reste dans l’ensemble !

11. Éléments remarquables Le neutre Le symétrique

12. Opération externe Processus impliquant un ou des éléments d’un ensemble avec un élément provenant d’un autre ensemble (corps). Par exemple : La multiplication de matrices par un scalaire La multiplication de vecteurs par un scalaire

13. Propriété : Distributivité k ◊ ( A   B ) = (k ◊ A)   (k ◊ B )

14. Espace vectoriel Ensemble V Opération interne : ⊕ Opération externe : ⊗ Qui répondent à 10 conditions Dans le cadre de ce cours, l’opération externe impliquera le corps des réels.

15. Conditions : Fermeture de  Commutativité de  Associativité de  Neutre de  Opposé de  Fermeture de  Associativité mixte de  Distributivité à gauche de  sur  Distributivité à droite de  sur  Neutre de  Page 405

16. Dimension Tous les espaces vectoriels peuvent être engendrés par une base. Dimension = Nombre de vecteurs de la base

17. Exemples

18. Vecteurs du plan+ vectorielle et * par un scalaire Fermeture de  Commutativité de  Associativité de  Neutre de  Opposé de  Fermeture de  Associativité mixte de  Distributivité à gauche de  sur  Distributivité à droite de  sur  Neutre de  L’addition de deux vecteurs du plan donne un vecteur du plan. u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) 0 + u = u + 0 = u u + (-u) = 0 La multiplication d’un vecteur par un scalaire donne un vecteur du plan. (km) u = k (mu) k(u + v) = ku + kv (k + m) u = ku + mu 1 u = u

19. Matrice d’ordre 2+ matricielle et * par un scalaire Fermeture de  Commutativité de  Associativité de  Neutre de  Opposé de  Fermeture de  Associativité mixte de  Distributivité à gauche de  sur  Distributivité à droite de  sur  Neutre de  L’addition de deux matrices d’ordre 2 donne une matrice d’ordre 2. A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) 0 + A = A + 0 = A A + (-A) = 0 La multiplication d’une matrice d’ordre 2 par un scalaire donne une matrice d’ordre 2 (km) A = k (mA) k(A + B) = kA + kB (k + m) A = kA + mA 1 A = A Base ? Dimension ?

20. Polynômes de degré 2+ fonctions et * par un scalaire Fermeture de  Commutativité de  Associativité de  Neutre de  Opposé de  Fermeture de  Associativité mixte de  Distributivité à gauche de  sur  Distributivité à droite de  sur  Neutre de  NON

21. À quoi ça sert ???

22. Sous-espace vectoriel

23. Sous-espace vectoriel Espace vectoriel inclus dans un espace vectoriel.

24. Soit <V ; ; > tel que : Fermeture de  Commutativité de  Associativité de  Neutre de  Opposé de  Fermeture de  Associativité mixte de  Distributivité à gauche de  sur  Distributivité à droite de  sur  Neutre de 

25. Soit U ⊂ V… à voir : Fermeture de  Commutativité de  Associativité de  Neutre de  Opposé de  Fermeture de  Associativité mixte de  Distributivité à gauche de  sur  Distributivité à droite de  sur  Neutre de 